Osoita, ett¨a avaruuden Rn, n≥2, ei-standardi normi ||x||1 = n X j=1 |xj| ei ole sis¨atulon indusoima

Analyysi 4 Kev¨at 2002

Palautettavat harjoitukset 6/6

Seuraavat teht¨av¨at palautetaan kirjallisesti luennoilla erikseen sovittavaan ajankohtaan menness¨a. Ratkaisuissa kannattaa olla huolellinen, sill¨a ne vai- kuttavat kurssilta saatavaan arvosanaan.

1. Osoita, ett¨a avaruuden Rⁿ, n≥2, ei-standardi normi

||x||₁ =

n

X

j=1

|x_j|

ei ole sis¨atulon indusoima. (||·||1on todellakin normi — todistus seuraa vaikkapa soveltamalla Lemman 4.2 yl¨apuolella olevaa esimerkki¨an−1 kertaa.)

Vihje: Osoita, ett¨a suunnikass¨a¨ant¨o kaatuu sopivasti valituille avaruu- den Rⁿ luonnollisen kannan (ks. sivu 3) vektoreille.

2. Olkoon X n-dimensioinen sis¨atuloavaruus ja olkoon {e₁, . . . , e_n} ava- ruuden X ortonormaali kanta. T¨all¨oin kaikilla α₁, . . . , α_n ∈F p¨atee

n

X

j=1

α_je_j

2

=

n

X

j=1

|α_j|².

Huom: Kun X =R² ja F=R, seuraa tuloksesta Pythagoraan lause.

3. Olkoon H kompleksinen Hilbertin avaruus ja olkoon y ∈ H. Osoita, ett¨a kuvaus T :H −→C,T(x) =< x, y >, on jatkuva ja lineaarinen.