ELEC-C4120 Piirianalyysi II

ELEC-C4120 Piirianalyysi II

Vastaa KOLMEEN teht¨ av¨ a¨ an.

1.

e1(t) R1 C

R_L R2

E

Oheisessa piiriss¨a vaikuttaa tasaj¨annitel¨ahde E = 1 V sek¨ae1(t) = ˆe1sin(ω0t)+ ˆe2sin(2ω0t). Laske vastuksessa RL kuluva p¨at¨otehoP.

ˆ

e1= 2 V eˆ2= 1 V f0= 1 kHz C= 10µF RL= 100 Ω R1= 10 Ω R2= 50 Ω.

2.

R1 R2

C1 E=αU C2

U1 U U2

I1 I2 Laske kuvan kaksiportiny-parametrit.

3.

Z0, ` Z_L E

R I Laske virta I ketjumatriisin avulla. Siirtojohdon omi-

naisimpedanssiZ0= 75 Ω ja pituus`= 3,50 m. Aallon etenemisnopeus johdolla on v = 2·10⁸ m/s. Kuorman impedanssi onZL= (30 + j22,5) Ω.

K=

· cos(β`) jZ0sin(β`) jY0sin(β`) cos(β`)

¸

R= 50 Ω E= 1/0^◦V f0= 100 MHz.

4.

Z0, ` ZL

Zin

⊃ ρin

Kuorma, jonka impedanssi on ZL=(30+j22,5) Ω, kyt- ket¨a¨an siirtojohtoon, jonka ominaisimpedanssi Z0 = 75 Ω ja pituus ` = 1,75λ. M¨a¨arit¨a Smithin karttaa k¨aytt¨aen kytkenn¨an

a) sis¨a¨anmenoimpedanssiZin ja b) heijastuskerroinρin.

c) SAS johdolla.

Palauta Smithin kartta osana vastaustasi!

Laplace-muunnostaulukko

M¨a¨aritelm¨a

1. f(t) F(s) =L {f(t)}=

Z ∞

0

f(t)e^−stdt Laplace-muunnoksen ominaisuuksia

f(t) F(s) =L {f(t)}

2. A1f1(t) +A2f2(t) A1F1(s) +A2F2(s)

3. d

dtf(t) sF(s)−f(0)

4. dⁿ

dtⁿf(t) sⁿF(s)−

n

X

i=1

sⁿ⁻ⁱf⁽ⁱ⁻¹⁾(0) 5.

Z t

0

f(τ)dτ 1 sF(s)

6. (−t)ⁿf(t) dⁿ

dsⁿF(s) 7. f(t−a)ε(t−a) e^−asF(s)

8. f(t+a) e^as(F(s)−

Z a

0

e^−stf(t)dt)

9. e^−atf(t) F(s+a)

10. f(at) 1

aF³s a

´

11. jaksollinen funktio f(t) =f(t+T) F1(s)

1−e^−sT, F1(s) = yhden jakson muunnos 12. f1(t)∗f2(t) =

Z t

0

f1(τ)f2(t−τ)dτ F1(s)F2(s)

13. f(0⁺) = lims→∞sF(s)

14. f(∞) = lims→0sF(s), jos loppuarvo on olemassa

Muunnospareja

f(t) F(s) =L {f(t)}

15. δ(t) 1

16. aε(t) a

s

17. t 1

s²

18. tⁿ

n!

1 sⁿ⁺¹

19. e^−at 1

s+a

20. e^−at−e^−bt b−a

(s+a)(s+b)

21. sin(ωt) ω

s²+ω²

22. cos(ωt) s

s²+ω²

23. sinh(at) a

s²−a²

24. cosh(at) s

s²−a²

25. e^−atsin(ωt) ω

(s+a)²+ω²

26. e^−atcos(ωt) s+a

(s+a)²+ω²

27. e^−attⁿ

n!

1 (s+a)ⁿ⁺¹

28. t

2ωsin(ωt) s (s²+ω²)² 29. [ε(t)−ε(t−π/ω)] sin(ωt) ³

1 +e^−πs/ω´ ω s²+ω²

0.1

e1(t)

R1 C

RL

R2

E

Oheisessa piiriss¨a vaikuttaa tasaj¨annitel¨ahde E = 1 V sek¨ae1(t) = ˆe1sin(ω0t)+ ˆe2sin(2ω0t). Laske vastuksessa RL kuluva p¨at¨otehoP.

ˆ

e1= 2 V eˆ2= 1 V f0= 1 kHz C= 10µF RL= 100 Ω R1= 10 Ω R2= 50 Ω.

L¨ahteet ovat eri taajuuksilla, joten niiden vaikutus on laskettava erikseen. Tarkastellaan ensin piiri¨a DC:ll¨a:

RL

R2

E

U

Resistanssin RL j¨annite

U0= RL

R2+RL

E= 100

150·1 V = 2 3 V Lasketaan seuraavaksi resistanssin j¨annite taajuudellaω0:

1 jω0C

R1

RL R2 U

e(t)

Lasketaan rinnankytkent¨a

R2L= R2RL

R2+RL

= 5000

150 V = 33,33 V J¨annitel¨ahde osoittimeksi taajuudella ω0:

E1= 2

√2/0^◦ V Nyt j¨anniteU1saadaan j¨annitteenjaolla

U1= R2L

R2L+R1+_jω¹_0CE1= 1,02/20,2^◦V Samalla tavoin lasketaan j¨annite taajuudella 2ω0:

E2= 1

√2/0^◦ V

U1= R2L

R2L+R1+_j2w¹_0CE2= 0,535/10,4^◦ V

Kokonaisteho on

P =|U0|²+|U1|²+|U2|²

RL = 0,0177 W

R1 R2

C1 E=αU C2

U1 U U2

I1 I2

Laske kuvan kaksiportiny-parametrit.

Laitetaan j¨annitel¨ahde porttiin 1 ja oikosulku porttiin 2.

R1 R2

C1 E=αU

U1 U

I1 I2

Lasketaan virta

I1= U1

R1+_jωC¹₁ = jωC1U1

jωC1R1+ 1 ja t¨ast¨a virrasta

y11= I1

U1

= jωC1

jωC1R1+ 1 Siirtoadmittansia varten lasketaan ensinU

U =

1 jωC1

1 jωC1 +R1

U1

ja t¨ast¨a edelleen

I2= −αU

R2 = −α

R2+ jωC1R1R2U1

joilloin

y21= I2

U1

= −α

R2+ jωC1R1R2

Paremetrejay12 jay22 varten laitetaan porttin 2 l¨ahde ja oikosuljetaan portti 1.

KoskaU2ei vaikuta virtaanI1, niin

y12= 0

Ja koska my¨osU = 0, piirist¨a n¨ahd¨a¨an, ett¨a toisen portin sy¨ott¨opisteadmittanssi on y22=G2+ jωC2

0.3

Z0, ` ZL

E

R I

Laske virta I ketjumatriisin avulla. Siirtojohdon omi- naisimpedanssiZ0= 75 Ω ja pituus`= 3,50 m. Aallon etenemisnopeus johdolla on v = 2·10⁸ m/s. Kuorman impedanssi onZL= (30 + j22,5) Ω.

K=

· cos(β`) jZ0sin(β`) jY0sin(β`) cos(β`)

¸

R= 50 Ω E= 1/0^◦V f0= 100 MHz.

Etenev¨an aallon aallonpituus

λ= v

f = 2·10⁸

100·10⁶ = 2 m.

β`=2Π λ `= 2π

2 3,5 = 3,5π Ketjumatriisista saadaan

Zin=U1

I1

= cos(β`)2+ jZ0sin(β`)I2

jY0sin(βell)U2+ cos(β`)I2

= cos(β`)·<sup>U</sup>I2<sup>2</sup>+ jZ0sin(β`)

jY0sin(β`)<sup>U</sup><sub>I2</sub><sup>2</sup> + cos(β`) =cos(β`)·ZL+ jZ0sin(β`) jY0sin(β`)ZL+ cos(β`) Koska sin(3,5π) =−1 ja cos(3,5π) = 0, niin

Zin= cos(β`)·ZL+ jZ0sin(β`)

jY0sin(β`) + cos(β`) = −jZ0

−jY0ZL

= (120−j90) Ω N¨ain ollen virta

I= E R+Zin

= 1

170−j90= (4,6 + 2,4) mA

Z0, ` ZL

Zin

⊃ ρin

Kuorma, jonka impedanssi on ZL=(30+j22,5) Ω, kyt- ket¨a¨an siirtojohtoon, jonka ominaisimpedanssi Z0 = 75 Ω ja pituus ` = 1,75λ. M¨a¨arit¨a Smithin karttaa k¨aytt¨aen kytkenn¨an

a) sis¨a¨anmenoimpedanssiZinja b) heijastuskerroinρin.

c) SAS johdolla.

a) Merkit¨a¨an antennin normalisoitu impedanssi (johdon 2 suhteen)zL= ZL

Z02 = 30 + j22,5

75 = 0,4 + j0,3 Ω.

Siirryt¨a¨an 1,75λ(3,5 kierrosta Smithin kartalla) vakioympyr¨a¨a pitkin generaattoriin p¨ain ja saavutaan pistee- seenz⁰ = 1,6−j1,2.

Puretaan normalisointi, eliZ⁰ =z⁰·Z02= (1,6−j1,2)·75 = (120−j90) Ω.

b) heijastuskerroin

ρ= 0,46/−39^◦ c)

SAS = 2,8

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.3

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.5

0.5

0.5

0.6

0.6

0.6

0.7

0.7

0.7

0.8

0.8 0.80.9

0.9 0.9 1.01.01.0

1.2

1.2

1.2

1.4

1.4

1.4

1.6

1.6

1.6

1.8

1.8

1.8

2.0

2.0

2.0

3.0

3.0

3.0

4.0

4.0

4.0

5.0

5.0

5.0

10

10

10

20

20

20

50

50

50

0.2

0.2 0.2

0.2 0.4

0.4 0.4

0.4 0.6

0.6 0.6

0.6 0.8

0.8 0.8

0.8 1.0

1.0 1.0

1.0 INDUCTIVE REA

CTANCE COMPONENT (+jX/Zo), OR CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)

PA CA IV CIT EA E R AN CT

CO CE

ON MP T ( EN /Z -jX

, Oo)

INR

UD

IVCT

SUE EPSC TA CN

E (-jB/Yo)

RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)

20

-20 30

-30 40

-40 50

-50 60

-60 70

-70 80

-80 90

-90 100

-100 110

-110 120

-120 130

-130 140

-140 150

-150 160

-160 170

-170

180–

0.04 0.04

0.05 0.05

0.06 0.06

0.07 0.07

0.08 0.08

0.09 0.09

0.1 0.1

0.11 0.11

0.12 0.12

0.13 0.13

0.14 0.14

0.15 0.15

0.16 0.16

0.17 0.17

0.18 0.18

0.19 0.19

0.2 0.2

0.21 0.21

0.22 0.22

0.23 0.23

0.24 0.24

0.25 0.25 0.26

0.26 0.27

0.27 0.28

0.28 0.29

0.29 0.3

0.3 0.31

0.31 0.32

0.32 0.33

0.33 0.34

0.34 0.35

0.35 0.36

0.36 0.37

0.37 0.38

0.38 0.39

0.39 0.4

0.4 0.41

0.41 0.42

0.42 0.43

0.43 0.44

0.44 0.45

0.45 0.46

0.46 0.47

0.47 0.48

0.48 0.49

0.49

0.00.0

RADIALLY SCALED PARAMETERS 0.1

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 RFL. COEFF, E or I

0 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 RFL. COEFF, P

0

1.1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.5 3 4 5 10 20 40100 SWR

1 ¥

1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 30 40 dBS

1 ¥

CENTER

AN GLE

OF R SEEREG DEFNLET ICIENTION COEFFIC

—> WAVELEN GTH

S TO WARD GEN

ERATOR —>

<—

W

VA

ELENGTHS TOWARD LOAD <—

X zL= 0,4 + j0,3

z⁰ = 1,6−j1,2