ELEC-C4120 Piirianalyysi II

ELEC-C4120 Piirianalyysi II

1.

E

R1 k

R2 L

i(t)

u(t)

Kytkin avataan, kunt= 0. Eon tasaj¨annitel¨ahde.

a) Laske kelan virtai(0) jatkuvuustilassa ennen kytki- men avaamista.

b) Hahmottele kelan virtai(t) ajan funktiona.

c) Hahmottele kelan j¨anniteu(t) ajan funktiona.

2.

J R

L1

C k

L2

i(t)

Oheisen piirin kytkin k avataan hetkell¨a t = 0. T¨at¨a ennen piiri on jatkuvuustilassa. Muodosta induktanssin L¹ virrani(t) lauseke.

R= 4 Ω C= 1/8 F L¹= 2 H L²= 5 H J = 9 A.

3.

R

rI

C I

Uout(s) Uin(s)

a) MuodostaH(s) = U^out Uin

.

b) Mill¨ar:n arvolla (rreaalinen) piiri on stabiili?

0.1

E

R1 k

R2 L

i(t)

u(t)

Kytkin avataan, kunt= 0.E on tasaj¨annitel¨ahde.

a) Laske kelan virta i(0) jatkuvuustilassa ennen kytki- men avaamista.

b) Hahmottele kelan virtai(t) ajan funktiona.

c) Hahmottele kelan j¨anniteu(t) ajan funktiona.

a)

i(0) =IL0= E R1

b) Kelan virta on jatkuva. Ennen kytkimen avaamista virta on alkuarvon suuruinen E/R ja l¨ahestyy nollaa kytkimen avaamisen j¨alkeen.

E/R¹ i(t)

t

c) Kelan j¨annite voi muuttua ¨akillisesti. Ennen kytkimen avaamista j¨annite on nolla, j¨annite hypp¨a¨a yht¨akki¨a kun kytkin avataan ja laskee sen j¨alkeen eksponentiaalisesti nollaan.

u(t)

−ER²/R¹

t

0.2

J R

L1

C k

L2

i(t)

Oheisen piirin kytkin k avataan hetkell¨a t = 0. T¨at¨a ennen piiri on jatkuvuustilassa. Muodosta induktanssin L1 virrani(t) lauseke.

R= 4 Ω C= 1/8 F L¹= 2 H L²= 5 H J = 9 A.

Ratkaistaan induktanssin alkuvirta ja kondensaattorin alkuj¨annite.

J R

IL0 k

UC0

Induktanssin alkuvirtaIL0=J jaUC0= 0.

Kytkin aukaistaan hetkell¨a t = 0. Muodostetaan Laplace-muunnettu piiri, ja l¨ahdemuunnetaan virtal¨ahde, E=RJ.

E s

R sL¹

1 sC

LIL0

I(s)

E

s +LIL0=RI+sLI+ 1 sCI ratkaistaan

I(s) =

E

s +LIL0

R+sL+_sC¹ =

E L +sIL0

s²+s^R_L +_LC¹ sijoitetaan lukuarvot

I(s) =

4·9 2 + 9s s²+s⁴2+2·1¹/8

= 18 + 9s

s²+ 2s+ 4 = 18 + 9s (s+ 1)²+ (√

3)² = 9(s+ 1) + 9 (s+ 1)²+ (√

3)²

I(s) = 9 (s+ 1) (s+ 1)²+ (√

3)² + 9

√3·

√3 (s+ 1)²+ (√

3)² K¨a¨anteismuunnetaan:

i(t) = 9e^−tcos(√

3t) + 9

√3e^−tsin(√ 3t) A

0.3

R

rI

C I

Uout(s) Uin(s)

a) MuodostaH(s) =Uout

Uⁱⁿ .

b) Mill¨ar:n arvolla (rreaalinen) piiri on stabiili?

a) Laitetaan sis¨a¨antuloon l¨ahdeUin ja lasketaanUout.

R

rI

C I

U^out(s) Uⁱⁿ(s)

Teht¨av¨an voi ratkaista kirjoittamalla silmukkayht¨al¨on tai j¨annitteenjaon avulla.

R+_sC¹ I

=

Uin+rI Siirret¨a¨an l¨ahdetermi

R+_sC¹ −r I

= Uin

T¨ast¨a saadaan ratkaistua virta

I= Uⁱⁿ R+_sC¹ −r Ulostuloj¨annite on

U^out = 1

sC ·I= 1

sC · Uin

R+_sC¹ −r = Uin

1 +sC(R−r) Siirtofunktio

H(s) = 1 1 +sC(R−r)

b) Siirtofunktion napojen tulee sijaita vasemmassa puolitasossa tai imaginaariakselilla yksinkertaisena, joten s:n kertoimen tulee olla positiivinen. T¨am¨a toteutuu, kunr≤R.