Tutki sarjan X∞ n=1 ln(n+ 1) n+ 10 suppenemista

Analyysi III 4. harjoitus 2003

1. Osoita, ett¨a sarja

X∞

n=1

xⁿ n

suppenee, kun 0≤x <1, ja hajaantu, kun x≥1.

2. Oletetaan, ett¨a positiiviterminen sarja X∞

n=1

x_n

suppenee. Osoita, ett¨a my¨os sarja

X∞

n=1

x²_n

suppenee.

(Ohje: Oletuksesta seuraa, ett¨a suurilla n:n arvoilla x_n < 1 (miksi?). Vertaile lukuja xn ja x²_n.)

3. Tutki sarjan

X∞

n=1

ln(n+ 1) n+ 10 suppenemista.

4. Tutki sarjan

X∞

n=2

lnn n²

suppenemista.

5. Tutki seuraavien sarjojen suppenemista

a) X∞

n=2

√ 1

n³−2, b) X∞

n=1

n−1 n²+ 1.

6. Tutki sarjan

X∞

n=1

1 1 +x²ⁿ suppenemista.