N →∞ POLSp β −→ β, ˆ i =1 i =1 i i POLS i i β = X X X Y . ˆ ′ ′ X X N N − 1 ! ! =1 ,...,N i i ( E ( X X ))= K,i ′ i i E ( X u )=0 , ′ i i ( Y ,X ) i =1 ,...,N i i i Y ,u T × 1 X T × K β K × 1 i i i Y = X β + u ,

Tenttikysymykset

2011, Joulukuu 15

Tehtävät1-5kuuluvataineopintojententtiin jatehtävät1-6kuuluvatsyven-

tävien opintojen tenttiin.

1. Määrittele seuraavat aineistotyypit ja anna esimerkkejä kustakin ai-

neistotyypistä:

(a) aikasarja-aineisto (timeseries data),

(b) rinnakkaisaineisto(ross setional data),

() paneeli-aineisto(panel data).

2. Olkoon

Y _i = X _i β + u _i ,

missä

Y i , u i

^ovat

T × 1

-vektoreita,

X i

^on

T × K

^-vektorija

β

^on

K × 1

^-

vektori. Oletetaan, että

(Y i , X i )

^,

i = 1, . . . , N

^{,ovat i.i.d.,}

E(X _i ^′ u _i ) = 0,

ja

rank

(E(X _i ^′ X i )) = K, i = 1, . . . , N

^{. Olkoon}

β ˆ _{P OLS} =

N

X

i =1

X _i ^′ X _i

! − 1 N

X

i =1

X _i ^′ Y _i

! .

Osoita, että

β ˆ _{P OLS} −→ ^p β,

kun

N → ∞

^.

Y _i = X _i β + u _i ,

missä

Y i , u i

^ovat

T × 1

-vektoreita,

X i

^on

T × K

^-vektorija

β

^on

K × 1

^-

vektori. Oletetaan, että

(Y i , X _i )

^,

i = 1, . . . , N

^{,ovat i.i.d.,}

E(X _i ^′ u i ) = 0, i = 1, . . . , N,

ja

rank

(E(X _i ^′ X _i )) = K, i = 1, . . . , N.

Olkoon

β ˆ _{P OLS} =

N

X

i =1

X _i ^′ X _i

! − 1 N

X

i =1

X _i ^′ Y _i

! .

Osoita, että

N ^{1 / 2} ( ˆ β − β) −→ ^d N 0, A ^{− 1} BA ^{− 1} ,

kun

N → ∞

^,missä

A = E(X _i ^′ X _i )

^ja

B = E(X _i ^′ u _i u ^′ _i X _i )

^.

4. Olkoon

Y = Xβ + u,

missä

Y

^ja

u

^ovat

T × 1

vektoreita,

X

^on

T × K

^{-vektori ja}

β

^on

K × T

^{-vektori. Olkoon}

Ω = E(uu ^′ )

^{. Oletetaan, että}

E(X ^′ Ω ^{− 1} u) = 0

^ja

rank

(E(X ^′ Ω ^{− 1} X)) = K

^{. Osoita,että}

β = [E(X ^′ Ω ^{− 1} X)] ^{− 1} E(X ^′ Ω ^{− 1} Y ).

5. Tarkastellaan kiinteitten vaikutusten mallia(xed eets model)

Y _it = X _it β + c _i + u _it ,

t = 1, . . . , T

^,

i = 1, . . . , N

^{, missä}

Y _it , u _it ∈ R

,

X _it

^on

1 × K

^-vektori,

β

on

K × 1

^-vektorija

c i ∈ R

.Määrittelekiinteittenvaikutustenmuunnos (xed eets transformation).

HUOM. Tehtävä 6kuuluu vainsyventävien opintojen tenttiin.

6. Olkoon

Y _it = X _it β + u _it ,

i = 1, . . . , N

^,

t = 1, . . . , T

^{, missä}

X _it

^on

1 × K

^-vektori,

β

^on

K × 1

^-

vektori, ja

Y _it , u _it ∈ R

. Olkoon

u it = ρu i,t − 1 + e it ,

missä

E(e _it | X _it , u _i,t− 1 , X _i,t− 1 , u _i,t− 2 , . . .) = 0.

Selitä miten hypoteesia

H 0 : ρ = 0

voidaan testata.