i i i i i i A = E ( X X ) B = E ( X u u X ) ′ ′ A BA , − 1 − 1 i i ( E ( X X ))= K,i =1 ,...,N. ′ i i ( Y ,X ) i =1 ,...,N i i i Y ,u T × 1 X T × K β K × 1 i i i Y = X β + u , β =[ E ( X Ω X )] E ( X Ω Y ) . ′ − 1 − 1 ′ − 1 ( E ( X Ω X ))= K ′ − 1 Ω= T E

Tenttikysymykset

2012, Toukokuu 21

1. Havaitaan

( X _t,i , Y _t,i )

^,

i = 1 , . . . , N

^,

t = 1 , 2

^{, jotka} toteuttavat lineaari- sen mallin

Y _t,i = β 0 + β 1 X _t,i + c _i + u _t,i ,

missä

E(X t,i u _t,i ) = 0

^ja

c _i

^on kontrollimuuttuja jota ei havaita. Sel- vitä, kuinka parametri

β 1

^{voidaan estimoida pienimmän} neliösumman menetelmällä.

2. Olkoon

Y = Xβ + u,

missä

Y

^ja

u

^ovat

T × 1

vektoreita,

X

^on

T × K

^{-vektori ja}

β

^on

K × T

^{-vektori. Olkoon}

Ω = E(uu ^′ )

^{. Oletetaan, että}

E(X ^′ Ω ^{− 1} u) = 0

^ja

rank

( E ( X ^′ Ω ^{− 1} X )) = K

^{. Osoita,että}

β = [E(X ^′ Ω ^{− 1} X)] ^{− 1} E(X ^′ Ω ^{− 1} Y ).

3. Olkoon

Y _i = X _i β + u _i ,

missä

Y _i , u _i

^ovat

T × 1

-vektoreita,

X _i

^on

T × K

^-vektorija

β

^on

K × 1

^-

vektori. Oletetaan, että

(Y i , X _i )

^,

i = 1, . . . , N

^{,ovat i.i.d. ja}

rank

( E ( X _i ^′ X _i )) = K, i = 1 , . . . , N.

Määrittele järkevä estimaattori matriisille

A ^{− 1} BA ^{− 1} ,

missä

A = E ( X _i ^′ X _i )

^ja

B = E ( X _i ^′ u _i u _i X _i )

^.

Y _it = X _it β + c _i + u _it ,

t = 1, . . . , T

^,

i = 1, . . . , N

^{, missä}

Y _it , u _it ∈ R

,

X _it

^on

1 × K

^-vektori,

β

on

K × 1

^-vektorija

c _i ∈ R

.Määrittelekiinteittenvaikutustenmuunnos (xed eets transformation).

5. Olkoon

Y _i = X _i β + u _i ,

missä

Y _i , u _i

^ovat

T × 1

-vektoreita,

X _i

^on

T × K

^-vektorija

β

^on

K × 1

^-

vektori. Oletetaan, että

( Y _i , X _i )

^,

i = 1 , . . . , N

^{,ovat i.i.d.,}

E(X i ⊗ u _i ) = 0,

Ω = E(u i u ^′ _i )

^on positiivisestideniittija

rank

(E(X _i ^′ Ω ^{− 1} X _i )) = K, i = 1, . . . , N

^{. Olkoon}

β ˆ _SGLS =

N

X

i =1

X _i ^′ Ω ^{− 1} X _i

! − 1 N

X

i =1

X _i ^′ Ω ^{− 1} Y _i

! .

Osoita, että

β ˆ _SGLS −→ ^p β,

kun

N → ∞

^.