P∞ k=1 kzk, kun |z| <1

KOMPLEKSIANALYYSI II Harjoitus 4, kev¨at 2006

1. M¨a¨ar¨a¨a seuraavien potenssisarjojen suppenemiss¨ateet ja suppenemiskiekot a)

X∞

k=0

1

2^k + 1z^k, b) X∞

k=1

1

k²(z −1)^k, c) X∞

k=0

k²z^k. Tutki sarjan suppenemista my¨os suppenemiskiekon reunalla.

2. M¨a¨ar¨a¨a sarjan P∞ k=0

1 1−¹₂i

k+1

z − ¹

2i^k

suppenemiss¨ade ja m¨a¨ar¨a¨a my¨os sarjan summa.

3. Tunnetusti P∞ k=0

z^k = _1−z¹ , kun |z| <1. M¨a¨ar¨a¨a funktio f(z) = P∞ k=1

kz^k, kun |z| <1.

4. Olkoon f(z) = 1− z² 3! + z⁴

5! − z⁶

7! +· · · . Tutki milloin sarja suppenee.

M¨a¨ar¨a¨a funktion f(z) lauseke. Onko f analyyttinen koko C:ss¨a?

5. Olkoon f(z) = X∞

k=0

k³

3^kz^k. M¨a¨ar¨a¨a f⁽⁹⁾(0).