KOMPLEKSIANALYYSI II
Harjoitus 4, kev¨at 2010
1. M¨a¨ar¨a¨a seuraavien sarjojen suppenemiss¨ateet ja suppenemiskiekot a)
X∞
k=0
1
2k+ 1zk, b) X∞
k=1
1
k2(z−1)k, c) X∞
k=0
k2zk, d) X∞
k=0
k3 3kzk.
2. M¨a¨ar¨a¨a sarjan X∞
k=0
1 1− 12i
k+1
(z − 1
2i)k suppenemiss¨ade. M¨a¨ar¨a¨a my¨os sarjan summa.
3. Tunntetusti X∞
k=0
zk = 1
1−z,kun|z|<1.M¨a¨ar¨a¨a funktiof(z) = X∞
k=1
kzk,kun|z|<1.
4. M¨a¨ar¨a¨a funktion f(z) =ez−1−sinz nollakohdan z = 0 kertaluku.
5. Jatka funktio f analyyttisesti mahdollisimman laajaan alueeseen, kun
f(z) = X∞
k=1
kzk−1.
6. Lausu funktio f(z) = sinz, Taylor-sarjana pisteess¨a z = π 4.
7. Olkoon f(z) = X∞
k=0
zk
2k+1 ja g(z) = X∞
k=0
(z−i)k
(2−i)k+1. Osoita, ett¨a g on f:n analyytti- nen jatke.