Tunntetusti X∞ k=0 zk = 1 1−z,kun|z|<1.M¨a¨ar¨a¨a funktiof(z

KOMPLEKSIANALYYSI II

Harjoitus 4, kev¨at 2012

1. M¨a¨ar¨a¨a seuraavien sarjojen suppenemiss¨ateet ja suppenemiskiekot a)

X∞

k=0

1

2^k+ 1z^k, b) X∞

k=1

1

k²(z−1)^k, c) X∞

k=0

k²z^k, d) X∞

k=0

k³ 3^kz^k.

2. M¨a¨ar¨a¨a sarjan X∞

k=0

1 1− ¹₂i

k+1

(z − ¹

2i)^k suppenemiss¨ade. M¨a¨ar¨a¨a my¨os sarjan summa.

3. Tunntetusti X∞

k=0

z^k = 1

1−z,kun|z|<1.M¨a¨ar¨a¨a funktiof(z) = X∞

k=1

kz^k,kun|z|<1.

4. Lausu funktio f(z) = sinz, Taylor-sarjana pisteess¨a z = π 4.

5. Lausu funktio f(z) = 1

(z−1)² Taylor-sarjana pisteess¨a z = 2.

6. M¨a¨ar¨a¨a funktion f(z) =e^z−1−sinz nollakohdan z = 0 kertaluku.