Matematiikan perusmetodit II Kes¨atentti 21.6.2004 1. Tutki seuraavien integraalien suppenemista. a)

Matematiikan perusmetodit II Kes¨atentti 21.6.2004

1. Tutki seuraavien integraalien suppenemista.

a) Z∞

0

1

x²+ 3, b) Z1

0

ln x dx.

2. Vektorit ¯a,¯bja ¯c ∈ R³toteuttavat ehdot ¯a+¯b+¯c = ¯0,||a¯|| = 2,||¯b|| = 3 ja ||¯c|| = 4. M¨a¨ar¨a¨a ¯a·¯b.

3. R³:n suora L = {r¯ ∈ R³|r¯ = (1,−1,1) + t(1,1,2), t ∈ R} ja taso {(x, y, z) ∈ R³|x+ 2y−z = 3} leikkaavat toisensa. M¨a¨ar¨a¨a leikkaus- piste.

4. M¨a¨ar¨a¨a funktion f osittaisderivaatat fx, fy ja fxy, kun f(x, y) = arctan√

xy.

5. M¨a¨ar¨a¨a funktion f(x, y) = 8x³ −24xy +y³ kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu.