Matematiikan perusmetodit / Sov. Kes¨atentti 18.6.2012 (J. Arhippainen) 1. a) Ratkaise ep¨ayht¨al¨o 1 < |x − 2| < 3. b) M¨a¨ar¨a¨a funktion f (x) = (x − 1)

Matematiikan perusmetodit / Sov.

Kes¨atentti 18.6.2012 (J. Arhippainen)

1. a) Ratkaise ep¨ayht¨al¨o 1 < |x−2| < 3.

b) M¨a¨ar¨a¨a funktion f(x) = (x−1)², x≥ 1, k¨a¨anteisfunktio

2. a) M¨a¨ar¨a¨a raja-arvo lim

x→1

√x−1 x²−1 . b) Ratkaise yht¨al¨o 2iz + ¯z = −1 +i.

3. a) M¨a¨ar¨a¨a f⁰(x), kun f(x) = arctan ¹_x, x 6= 0.

b) Tutki derivaatan avulla milloin funktio f(x) = x³ −3x, x ∈ R on aidosti kasvava.

4. M¨a¨ar¨a¨a funktion f(x) = x

x² + 1, x ∈ R, paikalliset ¨a¨ariarvokohdat ja tutki niiden laatu.

5. M¨a¨ar¨a¨a integraalit a)

Z

x(1 +x²)³dx, b) Z

sin 2x dx.