Poissonin integraalitulos R 2 -tason kiekossa ja sen sovelluksia
Ilkka Puhakka
Pro gradu -tutkielma Itä-Suomen yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos
Kevät 2019
Abstract
The main topic in this MSc thesis is the study of Poisson integral and its applications in a disc in R2. For that it is necessary to study harmonic function theory in R2 as well. Let u : Ω →R where Ω ⊂R2 is a non-empty open set. If f solves the Laplace equation ∆u(z) = 0 for all z ∈ Ω then u is called harmonic in Ω. If u is harmonic function in a disc B(a, R) then u satisfys the mean value property which states that for all 0< r < R we can write
u(a) = 1 2π
Z 2π
0
u(a+reiφ)dφ.
The boundary value problem in a disc of radius R is stated as follows: Con- sider a disc B(a, R)⊂R2 and a function U :∂B(a, R)→R. Is it possible to nd a function uthat is harmonic in a discB(a, R)and has the same values on the boundary as U? If the boundary value functionU has a nite number of discontinuity points in ∂B(a, R) then
u(z) = 1 2π
Z 2π
0
U(a+Reiφ) R2 − |z|2
|Reiφ−z|2dφ
uniquely solves the boundary value problem inB(a, R). The previous integral is called the Poisson integral in a disc radius R. The Poisson integral also characterizes the harmonic function. That is, ifu:B(a, R)→Ris continuous in B(a, R) and harmonic in B(a, R) then u can be written as
u(z) = 1 2π
Z 2π
0
u(a+Reiφ) R2− |z|2
|Reiφ−z|2dφ.
Many quantities in physics such as a heat ux behaves as harmonic functions.
If we consider a heat conductive disc in which we know the temperature in the boundary of the disc, then the Poisson integral gives the temperature function on the whole disc. One such example is given in this thesis (see Chapter 4.1).
As mathematical applications the Harnack inequality and Schwarz lemma for harmonic functions are studied and proved with help of the Poisson integral.
The last application of the Poisson integral in this thesis is the inverse mean value property. This is proved by using the Poisson integral and this gives out the result that the mean value property also characterizes the harmonic function.
Tiivistelmä
Tässä Pro Gradu -tutkielmassa tutustutaan Poissonin integraalilausee- seen R-säteisessä kiekossa R2-tasolla sekä sen sovelluksiin. Poissonin inte- graalitulos liittyy vahvasti harmonisiin kuvauksiin, joten työssä tarkastellaan myös harmonisten kuvausten määrittelyä ja ominaisuuksia tasolla R2. Ol- koon Ω ⊂ R2 avoin ja epätyhjä joukko. Jos funktio u : Ω → R toteuttaa Laplacen yhtälön ∆u(z) = 0 kaikilla z ∈ Ω, niin funktiota u kutsutaan har- moniseksi joukossa Ω. Jos u on harmoninen kuvaus kiekossa B(a, R) niin silloin kaikille 0< r < R on voimassa
u(a) = 1 2π
Z 2π
0
u(a+reiφ)dφ.
Tätä tulosta kutsutaan keskiarvolauseeksi. Tarkastellaan seuraavaksiR2-kie- kon reuna-arvo-ongelmaa, jossa kysytään, voidaanko löytää kiekossa B(a, R) harmoninen kuvaus, joka saa kiekon reunalla ennalta määrätyt arvot funktion U : ∂B(a, R) → R mukaisesti? Mikäli reuna-arvoja kuvaavalla funktiolla U on äärellinen määrä epäjatkuvuuskohtia, niin silloin kuvaus
u(z) = 1 2π
Z 2π
0
U(a+Reiφ) R2 − |z|2
|Reiφ−z|2dφ
ratkaisee yksikäsitteisesti R2-kiekon reuna-arvo-ongelman. Tätä tulosta kut- sutaan Poissonin integraalilauseeksi R2-kiekossa. Poissonin integraalilause toimii myös karakterisoivana tuloksena harmonisille kuvauksille. Tämä tar- koittaa sitä, että mikäli funktio u : B(a, R) → R on jatkuva suljetussa kie- kossa B(a, R) ja harmoninen avoimessa kiekossa B(a, R) niin silloin u on muotoa
u(z) = 1 2π
Z 2π
0
u(a+Reiφ) R2− |z|2
|Reiφ−z|2dφ.
Monet fysiikan suureet käyttäytyvät kuten harmoniset kuvaukset. Yksi esi- merkki on lämpövuo. Jos tarkastellaan lämmönjohtavaa kiekkoa, jonka reu- nan lämpötilat tunnetaan, voidaan Poissonin integraalilauseen avulla löytää funktio, joka kuvaa kiekon sisäpisteiden lämpötiloja. Tämän työn Luvussa 4.1 on tästä tilanteesta esimerkki. Matematiikan puolen esimerkkeinä Poissonin integraalilauseen sovelluksista tässä työssä on esillä Harnack'n epäyhtälö sekä Schwarzin lemma harmonisissa kuvauksissa. Nämä tulokset on käsitelty sekä todistettu käyttäen Poissonin integraalilausetta apuna. Viimeisenä sovelluk- sena työssä esitellään käänteinen keskiarvolause, joka todistetaan Poissonin integraalilauseen avulla. Käänteinen keskiarvolause osoittaa keskiarvolauseen karakterisoivan ominaisuuden harmonisen kuvauksen määrittelyssä.
Sisältö
1 Johdanto 2
2 Yleistä harmonisista kuvauksista 3
2.1 Harmonisten kuvausten määrittely . . . 3
2.2 Harmonisten kuvausten ominaisuuksia . . . 11
3 Poissonin integraalitulos 23 3.1 Dirichlet'n ongelma . . . 23
3.2 Poissonin integraalilause . . . 28
4 Poissonin integraalituloksen sovelluksia 34 4.1 Lämpövuo kiekossa . . . 35
4.2 Harnack'n epäyhtälö . . . 37
4.3 Schwarzin lemma harmonisille kuvauksille . . . 39
4.4 Käänteinen keskiarvolause . . . 42
Lähteet 44
1 Johdanto
Tämän työn perusta lähtee liikkeelle ranskalaisesta monitieteilijästä Pierre Simon Laplacesta (1749-1827), joka oli aikansa merkittävistä ranskalaisista matematiikan kehittäjistä lähinnä soveltavaa matemaatikkoa. Laplace tun- netaan parhaiten todennäköisyysteorian ja taivaanmekaniikan kehitystyös- tä. Laplace toi esille potentiaalin käsitteen ja Laplacen yhtälön. Tuo yhtälö on perusta harmonisille funktioille. Harmonisiin kuvauksiin liittyvä Dirich- let'n ongelma on nimetty preussilaisen matematiikko Peter Lejeune Dirich- let'n (1805-1859) mukaan. Dirichlet tunnetaan lukuteorian tutkimuksesta, jossa hän käytti apunaan kehittyneitä analyyttisiä menetelmiä. Sen vuok- si Dirichlet'n ansiot analyysin kehitystyössä ovat myös merkittäviä. Tässä työssä keskeisessä asemassa oleva ranskalainen matemaatikko Siméon-Denis Poisson eli vuosina 1781-1840. Poisson opetti matematiikkaa, tutki ja kehitti paljon fysiikkaan liittyviä matemaattisia aiheita, ja hänen mukaansa on ni- metty myös potentiaaliteoriaan liittyvä Poissonin integraali. [4, s. 656-692, 702-703, 741-742]
Tämän työn tarkoituksena on perehtyä Poissonin integraalitulokseen ja esitellä muutamia sovelluskohteita, joissa Poissonin tulosta käytetään hyö- dyksi. Koska Poissonin integraalitulos liittyy vahvasti harmonisiin kuvauk- siin sekä Dirichlet'n ongelmaan, käsitellään myös näitä aihealueita tarpeel- lisen monipuolisesti. Kaikki keskeiset lauseet ja apulauseet on tässä työssä todistettu. Poissonin integraalitulos esitetään tässä työssä vain R-säteisen kiekon tapauksessa. Tulokselle on sovelluksia myös monissa muissa R2-tason osajoukoissa, mutta niihin voi lukija perehtyä lähdekirjojen kautta.
Tämä työ on jaettu lukuihin seuraavalla tavalla. Luku 2 lähtee liikkeel- le harmonisten kuvausten perusteista. Harmoniset kuvaukset määritellään kompleksifunktioiden avulla. Luvussa on esitetty kattavasti myöhemmin työs- sä tarvittavia ja sovellettavia tuloksia. Harmonisten kuvausten perusominai- suudet esitellään ja perustellaan myös tässä luvussa. Luku 3 esittelee Pois- sonin integraalituloksen. Poissonin integraalitulos liittyy vahvasti Dirichlet'n ongelmaan, jonka vuoksi luvun johdanto käsitellään sen kautta. Luvussa tar- kastellaan Poissonin integraalin muotoa sekä todistetaan Poissonin integraa- lilause sekä sen käänteinen tulos. Lukuun 4 on kasattu muutamia sovellus- kohteita, joissa Poissonin integraalitulosta käytetään apuna. Tämän luvun tavoitteena on antaa lukijalle hyviä havainnollistavia esimerkkejä Poissonin integraalilauseen monipuolisuudesta ja käytöstä.
Hyvin monet tässä työssä esitetyt tulokset pätevät myös yleisemmin n- ulotteisessa avaruudessa Rn. Teorian ymmärtämisen ja lukemisen helpotta- miseksi tämä työ käsitellään kokonaan avaruudessa R2, josta voidaan hyvin myös käyttää merkintänä kompleksiavaruutta C. Tällöin tuloksia on helppo
hahmottaa myös visuaalisesti esimerkiksi paperilla. Tähän työhön on lisätty muutama apukuva hahmottamaan todistusten kulkua. Lähdekirjat esittävät teorian usein n:ssä ulottuvuudessa, kuten esimerkiksi kirja [3], mikä tekee niiden lukemisen haastavammaksi. Tässä työssä teorian käsittely on avattu sellaiseen muotoon, että se on helposti ymmärrettävissä jokaiselle lukijalle, jolla on pohjalla hyvät perustiedot yliopiston maisteritason matematiikan opinnoista. Erityisesti kompleksianalyysin ja integraalilaskennan perustunte- mus on hyvä pohja tämän työn lukemiseen.
Lähdekirjoissa esitetyt tulokset on tähän työhön avattu tarpeellisen moni- puolisesti. Usein lähteissä esiintyvien tulosten todistuksissa on käytetty pal- jon oikoteitä ja esimerkiksi sivuutettu tarkempia perusteluja. Sen vuoksi tu- losten todistamiseen on käytetty tässä työssä paljon aikaa ja omaa pohdin- taa. Vastaavasti muutamia yleis- ja ennakkotietoina pidettäviä tuloksia ei ole tässä työssä avattu erikseen, mutta lukijalle on annettu viitteeksi lähdeteos, jossa tulokset tarkemmin käsitellään.
2 Yleistä harmonisista kuvauksista
Yleisesti harmonisiksi kuvauksiksi tai funktioiksi kutsutaan Laplacen yhtälön ratkaisuja. Nämä funktiot ovat merkittäviä erilaisissa matematiikan ja fysii- kan sovelluksissa. [3] Tutustumme tässä kappaleessa harmonisten kuvausten määrittelyyn sekä harmonisten kuvausten keskeisiin ominaisuuksiin. Tässä kappaleessa käsitellään myös muutamia yleisempiä tuloksia, joita sovelletaan jatkossa tässä työssä.
2.1 Harmonisten kuvausten määrittely
Johdetaan harmonisten kuvausten määritelmä tarkastelemalla kompleksifunk- tioita. Kompleksiarvoisia funktioita f voidaan merkitä
f :U →C, f =u+iv,
missä U on kompleksitason C osajoukko. Kuten kompleksilukujen tapauk- sessa, funktion f reaaliosaa merkitään Ref =u ja imaginääriosaa Imf =v. [5, s. 39]
Tarkastellaan funktiotaf(z) =u+iv, missäujav ovat reaaliarvoisia ku- vauksia. Josf on määritelty pisteenz0 ympäristössä, sille voidaan määritellä derivaatta
f0(z0) = lim
∆z→0
f(z0+ ∆z)−f(z0)
∆z .
Mikäli ylläoleva raja-arvo on olemassa, sanotaan, että funktio f on derivoi- tuva pisteessä z0. Tässä tapauksessa raja-arvossa ei ole merkitystä, mistä suunnasta ∆z lähestyy origoa.
Merkitään f(z) = u(x, y) +iv(x, y) ja z0 = x0 +iy0. Jos funktiolla f on derivaatta pisteessä z0 ja annetaan luvun ∆z lähestyä origoa x-akselin suunnassa, niin silloin ∆z = ∆x ja derivaatasta saadaan
f0(z0) = lim
∆x→0
u(x0+ ∆x, y0) +iv(x0+ ∆x, y0)−u(x0, y0)−iv(x0, y0)
∆x
= lim
∆x→0
u(x0+ ∆x0, y0)−u(x0, y0)
∆x +i lim
∆x→0
v(x0+ ∆x, y0)−v(x0, y0)
∆x
= ∂u
∂x(x0, y0) +i∂v
∂x(x0, y0).
Derivaatta voidaan siis muodostaa käyttämällä vain funktioiden u ja v osit- taisderivaattoja. Vastaavasti jos annetaan luvun∆z lähestyä origoay-akselia pitkin, voidaan kirjoittaa ∆z =i∆y ja derivaatasta saadaan vastaavasti
f0(z0) = ∂v
∂y(x0, y0)−i∂u
∂y(x0, y0).
Derivaatan reaali- ja imaginääriosien on oltava samat kompleksiesityksen yk- sikäsitteisyyden vuoksi, jolloin saadaan yhtälöt
∂u
∂x = ∂v
∂y, (1)
∂v
∂x =−∂u
∂y. (2)
Näitä yhtälöitä kutsutaan Cauchy-Riemannin yhtälöiksi. Ne ovat siis voi- massa kaikissa niissä pisteissä, joissa kompleksifunktio on derivoituva. Mikä- li funktiof on derivoivuta kaikissa avoimen joukonS pisteissä, sanotaan sen olevan analyyttinen joukossa S.
Lyhyemmin osittaisderivaatoista voidaan käyttää merkintääux=∂u/∂x, jolloin Cauchy-Riemannin yhtälöt saavat lyhyet muotonsa
ux =vy, vx=−uy.
Cauchy-Riemannin yhtälöiden avulla voidaan kätevästi osoittaa seuraava tu- los, johon myöhemmin tässä työssä viitataan.
Lemma 2.1. Olkoon U ⊂ C ja f : U → C analyyttinen funktio. Tällöin f on identtisesti vakio jos ja vain jos |f| on identtisesti vakio.
Todistus. Merkitään f = u+iv. Jos f on vakio niin selvästi myös |f| =
√u2+v2 on vakio. Näytetään väite toiseen suuntaan. Olkoon |f| vakio eli u2 +v2 = c, missä c ∈ R on vakio. Jos tämä vakio on 0, on silloin oltava u= 0 ja v = 0, ja tulos on selvä. Oletetaan siis, että cei ole 0. Derivoimalla osittain muuttujien xja y suhteen saadaan silloin yhtälöt
2uux+ 2vvx = 0, 2uuy + 2vvy = 0.
Käyttämällä Cauchy-Riemannin yhtälöitä edellisten yhtälöiden ensimmäisiin termeihin, saadaan silloin yhtälöt
2uvy+ 2vvx = 0,
−2uvx+ 2vvy = 0.
Ratkaisemalla yhtälöistä saadaan 2vx
u2 v +v
= 0, 2vy
u2 v +v
= 0.
Tästä saadaan tulokseksi vx = 0 ja vy = 0, mikä näyttää funktion v olevan vakio. Vastaavasti voidaan näyttää, että myös u on vakio, jolloin myös f on vakiofunktio, mikä osoittaa tuloksen.
Lause 2.2. Jos funktion f : Rn → R kaikki toisen kertaluvun osittaisderi- vaatat ovat jatkuvia joukossa Rn, niin silloin
fij =fji kaikille i, j ∈ {1, . . . , n}.
Tämä tulos on perinteinen usean muuttujan analyysiin liittyvä tulos, jon- ka uskotaan olevan lukijoille tuttu. Väite on tarkemmin käsitelty esimerkiksi kirjassa [9, s. 235-236]. Tulos tunnetaan myös nimellä osittaisderivaattojen riippumattomuus derivoimisjärjestyksestä.
Oletetaan reaalifunktiotu jav kahdesti derivoituviksi tarkastelujoukossa S. Derivoimalla yhtälöt (1) ja (2) puolittain muuttujan x suhteen, saadaan
∂2u
∂x2 = ∂2v
∂y∂x, ∂2v
∂x2 =− ∂2u
∂y∂x.
Derivaatat muuttujan y suhteen ovat toisaalta
∂2u
∂x∂y = ∂2v
∂y2, ∂2v
∂x∂y =−∂2u
∂y2.
Laskemalla yhtälöt yhteen ja käyttämällä osittaisderivaattojen riippumatto- muutta derivoimisjärjestyksestä, saadaan
∂2u
∂x2 + ∂2u
∂y2 = 0.
Tätä osittaisdierentiaaliyhtälöä kutsutaan toisen asteen Laplacen yhtälöksi.
[1, s. 37-45] Yhtälö voidaan esittää lyhyemmässä muodossa määrittelemällä Laplace-operaattori ∆seuraavalla tavalla:
∆f(x, y) = ∂2f
∂x2 + ∂2f
∂y2.
Laplace-yhtälön avulla määritellään harmoniset kuvaukset.
Määritelmä 2.3 (Harmoninen funktio). OlkoonΩjoukonR2 avoin epätyhjä osajoukko ja f joukossa Ω määritelty reaali- tai kompleksiarvoinen funktio.
Jos funktion f kaikki toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia ja lisäksi∆f = 0, niin funktiota f kutsutaan harmoniseksi joukossaΩ. [3, s. 1]
Esimerkki 2.4. Tarkastellaan joukon R2 funktiotaf(x, y) =x2−y2. Funk- tiolla selvästi on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatat ja lisäksi
fxx = 2, fyy =−2,
jolloin fxx+fyy = 0. Siis Laplacen yhtälö on voimassa funktiolle f ja tällöin f on yksi esimerkki harmonisesta funktiosta.
Luonnollisesti kaikki ensimmäisen asteen polynomifunktiot ovat harmo- nisia sekä erityisesti vakiofunktiot.
Lause 2.5. Jos f = u+iv on analyyttinen joukossa G, niin reaaliarvoiset funktiot u ja v ovat harmonisia joukossa G.
Todistus. Funktion f derivaatta muuttujan x suhteen on f0(z) = ux+ivx.
Cauchy-Riemannin yhtälöiden nojalla tästä saadaan
ux+ivx =vy−iuy. (3)
Myös yhtälön (3) molemmat puolet ovat analyyttisiaG:ssä, jolloin funktioilla u ja v on jatkuvat toisen asteen osittaisderivaatat. Soveltamalla Cauchy- Riemannin yhtälöitä erikseen yhtälön (3) reaali- ja imaginääriosiin, saadaan
uxx = (vy)x = (vx)y =−uyy
vxx = (−uy)x = (−ux)y =−vyy.
Nähdään, ettäujavtoteuttavat Laplacen yhtälön, jolloin ne ovat harmonisia joukossa G. [6, s. 239]
Lause 2.5 yhdistää harmoniset ja analyyttiset funktiot toisiinsa. Hyvin merkittävä tulos analyyttisille funktioille on niiden käyttäytyminen integroi- taessa niitä suljettua käyrää pitkin. Tulos tunnetaan Cauchyn integraali- lauseena. Tässä työssä riittää tarkastella paloittain sileitä (engl. piecewise smooth) suljettuja käyriä. Nämä muodostuvat äärellisestä määrästä jatku- via käyriä, jotka yhdessä muodostavat suljetun ketjun. Jatkuvalla käyrällä tarkoitetaan jatkuvaa funktiota γ : [a, b] → R2. Suljetussa käyrässä saa siis olla äärellinen määrä teräviä kulmia, mutta tämän työn kannalta tieto on epäolennainen. Tässä työssä tyypillinen käyräintegraali suoritetaan kiekon reunaa pitkin, joka selkeästi on siisti suljettu käyrä. Tässä työssä avoimia kiekkoja merkitään
B(a, r) =
x∈R2 :|x−a|< r ,
jossa merkinnällä |x−a| tarkoitetaan tason R2 normaalia etäisyysfunktio- ta (euklidista metriikkaa), eli merkintä on lyhennetty ilmaus merkinnästä
||x −a||R2. Itseisarvoina esitettävää merkintää käytetään tässä työssä jat- kossa ilman tarkentavaa huomautusta. Kiekon B(a, r) vastaavaa suljettua kiekkoa merkitään B(a, r)ja kiekon reunaa ∂B.
Määritellään seuraavaksi joukkoihin liittyviä käsitteitä, joita tässä työssä myöhemmin tarvitaan. Seuraavat määritelmät ovat peräisin kirjoista [6, s.
24-25] ja [9, s. 32, 36, 40].
Määritelmä 2.6 (Joukon yhtenäisyys). Joukkoa A kutsutaan yhtenäiseksi, jos sitä ei voida esittää kahden avoimen epätyhjän pistevieraan joukon yhdis- teenä. Polkuyhtenäiseksi joukoksi kutsutaan joukkoa, jonka jokaisen kahden pisteen välille voidaan löytää jatkuva polku, joka kuuluu joukkoon. Yhdesti yhtenäinen joukko (engl. simply connected set) on polkuyhtenäinen jouk- ko, jossa lisäksi vaaditaan, että mikäli kahden pisteen välille voidaan löytää kaksi eri polkua, myös näiden kahden polun muodostaman suljetun ketjun rajaaman osajoukon kaikki sisäpisteet sisältyvät joukkoon. Polkuyhtenäistä joukkoa kutsutaan myös alueeksi.
Määritelmä 2.7 (Avoin peite ja kompakti joukko). Joukon A ⊂ R2 avoi- meksi peitteeksi kutsutaan joukkojen kokoelmaa{Sk}, jossa jokainenSk⊂R2 on avoin joukko ja
A⊂[
k
Sk.
Jos joukoista Sk valitaan äärellinen määrä joukkoja Ski siten, että A⊂Sk1 ∪ · · · ∪Skn,
niin kokoelmaa{Ski}sanotaan peitteen{Sk}äärelliseksi osapeitteeksi. Jouk- koa A ⊂ R2 sanotaan kompaktiksi, jos sen jokainen avoin peite sisältää ää- rellisen osapeitteen.
Kompaktin joukon määrittely avointen peitteiden avulla antaa helpon ta- van perustella esimerkiksi Lauseen 2.10. Joukossa R2 joukon kompaktius voi- daan kuitenkin esittää helpommin ymmärrettävässä muodossa seuraavasti.
Lause 2.8 (Heine-Borelin lause). Joukko A ⊂ R2 on kompakti, jos ja vain jos A on sekä suljettu että rajoitettu.
Heine-Borelin lause on hyvin tunnettu tulos reaalianalyysissä. Tuloksen todistus tässä työssä sivuutetaan, mutta kattava perustelu löytyy esimerkiksi kirjasta [9, s. 40].
Tason R2 tapauksessa yhtenäisyys voidaan käsittää joukkona, joka voi- daan muodostaa yhdestä palasesta. Yhdesti yhtenäisen joukon ero tasolla polkuyhtenäiseen joukkoon on se, että yhdesti yhtenäisessä joukossa ei saa olla reikiä. Esimerkiksi yksikkökiekkoB(0,1)on selvästi yhdesti yhtenäinen joukko tasolla R2, mutta vastaava punkteerattu kiekko
B∗(0,1) =B(0,1)\ {(0,0)}
ei ole yhdesti yhtenäinen. Tämän työn kannalta olennaista on todeta, että jokainen suljettu kiekko B(a, r)on kompakti. Heine-Borelin lause perustelee tämän.
Funktiotaf :R2 →Rsanotaan jatkuvaksi pisteessäz0, jos jokaista ε >0 vastaa sellainen δ >0, että |f(z)−f(z0)|< ε aina kun|z−z0| < δ. Tämän työn kannalta on syytä tarkastella jatkuvuus myös topologisesta näkökul- masta.
Lause 2.9 (Topologinen jatkuvuus). Olkoot X ⊂ R2 ja Y ⊂ R. Funktio f :X → Y on jatkuva jos ja vain jos kaikille avoimille joukoille V ⊂ Y on myös f−1(V)⊂X avoin.
Todistus. Näytetään väite molempiin suuntiin. Oletetaan aluksi, että f on jatkuva joukossa X ja että V ⊂ Y on avoin. Valitaan satunnainen a ∈ X siten, että f(a)∈V ja näytetään, että pisteelläaon ympäristö, joka sisältyy joukkoon f−1(V), mikä osoittaa kyseisen joukon avoimuuden. Koska V on avoin niin pisteelläf(a)on ympäristö, joka kuuluu joukkoonV. Toisin sanoen löytyy sellainen ε >0, että aina kun |f(a)−y|< ε, niin y ∈V. Koska f on jatkuva niin löytyy sellainenδ >0että|f(a)−f(x)|< εaina kun|a−x|< δ. Tällöin f(x) ∈ V, eli x ∈ f−1(V). Tällä tavoin pisteelle a löytyi δ-säteinen ympäristö, joka sisältyy joukkoon f−1(V), mikä osoittaa väitteen.
Oletetaan nyt, ettäf−1(V)on avoin aina kunV ⊂Y on avoin. Näytetään, että f on jatkuva. Olkoot a∈X ja ε >0. Valitaan
V ={y ∈Y :|f(a)−y|< ε}.
Tämä joukko on avoin, jolloin oletuksen nojalla myös f−1(V) on avoin. Nyt f(a)∈V eli a∈f−1(V). Joukon avoimuudesta seuraa, että löytyy sellainen δ >0, että pisteen a δ-säteinen ympäristö kuuluu myös joukkoon f−1(V) eli aina kun|a−x|< δ niinx∈f−1(V). Tällöin siisf(x)∈V eli|f(a)−f(x)|<
ε, mikä osoittaa funktionf jatkuvuuden joukossa X. [9, s. 86-87]
Olkoon f : A → B surjektio, jolloin jokaisella joukon B alkiolla on al- kukuva joukossa A. Otetaan joukostaB osajoukko E ⊂B. Tällöin f−1(EC) koostuu niistä joukonApisteistä, jotka eivät kuvaudu joukkoonE. Kuitenkin jokainen joukon A piste kuvautuu joko joukkoon E tai sen komplementtiin EC =B\E. Tällöin saadaan tulos
f−1(EC) = A\f−1(E) = f−1(E)C.
Jokaisen suljetun joukon komplementti on avoin, jolloin topologinen jatku- vuus voidaan todeta koskemaan myös suljettuja joukkoja. Tällöin tuloksena on, että funktio on jatkuva jos ja vain jos jokaisen suljetun joukon alkukuva on suljettu.
Yksi tässä työssä myös käytetty lause liittyy kompakteihin joukkoihin, jollaisia myös suljetut kiekot ovat. Tulos kertoo, että kompaktissa joukossa jatkuva funktio saavuttaa minimi- ja maksimiarvonsa kyseisessä joukossa.
Tulos on muotoiltu seuraavalla tavalla:
Lause 2.10. Olkoon A⊂R2 kompakti joukko ja funktio f :A→R jatkuva.
Tällöin löytyy sellaiset pisteet m, n ∈ A, että f(m) ≥ f(x) ≥ f(n) kaikilla x∈A.
Todistus. Riittää näyttää, että f(A) on kompakti, eli suljettu ja rajoitettu, joukko. Tällöin f(A) eli funktion f arvojoukko sisältää maksimi- ja mini- miarvonsa.
Olkoon{Sk}joukonf(A)avoin peite. Tällöin jokainen Sk on avoin jouk- ko ja funktion topologisen jatkuvuuden nojalla myös kukin alkukuvajoukko f−1(Sk)on avoin. Selvästi kokoelma{f−1(Sk)}on joukonAavoin peite, sillä kokoelma {Sk} peittää funktion koko arvojoukon f(A). Tällöin
A ⊂[
k
f−1(Sk),
mutta koska A on oletuksen nojalla kompakti, on tällä avoimella peitteellä äärellinen osapeite. Olkoon kyseinen peite {f−1(Ski)}, jolloin
A⊂f−1(Sk1)∪ · · · ∪f−1(Skn). (4) Olkoon a ∈ f−1(Sk1) ∪ · · · ∪f−1(Skn), jolloin siis a ∈ f−1(Skm) jollakin 1 ≤ m ≤ n. Silloin f(a) ∈ Skm ja täten myös f(a) ∈ ∪iSki. Tästä seuraa, että a ∈f−1(∪iSki). Tämä osoittaa, että
f−1(Sk1)∪ · · · ∪f−1(Skn)⊂f−1
n
[
i=1
Ski
! , jolloin kaavarivistä (4) saadaan
A⊂f−1(Sk1)∪ · · · ∪f−1(Skn)⊂f−1
n
[
i=1
Ski
! . Käyttämällä yhteyttä f(f−1(S))⊂S saadaan tästä silloin
f(A)⊂
n
[
i=1
Ski.
Tämä osoittaa, että joukolle f(A)löydetään äärellinen osapeite, mikä osoit- taa joukon f(A) olevan kompakti. Tämä osoittaa väitteen. [9, s. 89]
Lause 2.11 (Cauchyn integraalilause). Olkoon f analyyttinen alueessa S. Jos Γ on paloittain sileä suljettu käyrä siten, että käyrän sisäpuolen pisteet kuuluvat myös alueeseen S, niin silloin
Z
Γ
f(z)dz = 0.
Cauchyn integraalilause on hyvin keskeinen kompleksianalyysin tulos. Se tulee esille pääsääntöisesti kaikissa kompleksianalyysin perusteita käsittele- vissä kirjoissa ja kursseissa, joten tuloksen uskotaan olevan lukijalle tuttu.
Integraalilauseen käsittely ja todistus löytyy esimerkiksi kirjasta [7, s. 107].
Seuraava esimerkki näyttää, että mikäli integroitava funktio ei ole analyytti- nen kaikissa suljetun käyrän sisäpuolen pisteissä, integraalin arvosta ei aina saada 0:aa.
Esimerkki 2.12. Integroitaessa paloittain sileää suljettua käyrää pitkin on otettava huomioon integroitavan funktion analyyttisyys käyrän sisäpisteissä.
Näytetään, että
Z
∂B(a,r)
dz
z−a = 2πi.
Tässä integraalissa integroitava funktio ei ole määritelty pisteessä a, mikä aiheuttaa sen, ettei Cauchyn integraalilausetta voida soveltaa. KiekkoB(a, r) voidaan kirjoittaa muodossa
∂B(a, r) =
a+reiφ : 0≤φ ≤2π ,
jolloin integraalissa voidaan merkitä z =a+reiφ, missä a on vakio. Tällöin dz =ireiφdφ.
Sijoittamalla nämä integraaliin saadaan siitä Z
∂B(a,r)
dz z−a =
Z 2π
0
ireiφ
a+reiφ−adφ= Z 2π
0
ireiφ reiφdφ=
Z 2π
0
idφ= 2πi.
Tätä tulosta tullaan käyttämään tässä työssä myöhemmin esiintyvissä tilan- teissa.
2.2 Harmonisten kuvausten ominaisuuksia
Tässä kappaleessa esitellään harmonisiin kuvauksiin liittyviä tuloksia. Kap- paleessa käsitellään aluksi hyvin keskeisessä asemassa olevat keskiarvolauseet.
Lemma 2.13 (Cauchyn keskiarvolause). Jos f(z) on analyyttinen kiekossa B(a, R), niin
f(a) = 1 2π
Z 2π
0
f(a+reiφ)dφ, missä 0< r < R.
Todistus. Osoitetaan aluksi, että (katso [6, s. 91-92]) f(a) = 1
2πi Z
∂B(a,r)
f(z)
z−adz (5)
kaikille 0 < r < R. Funktion f analyyttisyydestä seuraa, että kaikille ε >0 löydetään kiekon B(a, r) sisältä suljettu kiekko B(a, r0), jossa on voimassa
|f(z)−f(a)| < ε kaikille z ∈ B(a, r0). Tutkitaan apuna Kuvaa 1. Tähän
kuvaan on merkitty kaksi suljettua käyrää γ1 (kuvassa musta) ja γ2 (har- maa), joista γ1 alkaa pisteestä A, kiertää kiekon B(a, r) yläkaaren ja palaa kiekon lävistäjää pitkin kiertäen kiekon B(a, r0) yläkaarta pitkin tullen ta- kaisin pisteeseen A. Sen sijaan käyrä γ2 kiertää vastaavanlaisen reitin mutta vastakkaiselta puolelta. Jokainen kiertosuunta on pisteestä A positiiviseen suuntaan eli vastapäivään.
Kuva 1: Apukuva Cauchyn integraalituloksen osoitukseen. Kuvassa näkyy suljettu musta käyrä γ1 sekä harmaa suljettu käyrä γ2.
Käyräintegraalille ominaiseen tapaan (tarkempi tarkastelu [6, s. 90-91]) integraali reunan ∂B(a, r) yli voidaan laskea kolmessa osassa muodossa
Z
∂B(a,r)
f(z) z−adz =
Z
γ1
f(z) z−adz+
Z
γ2
f(z) z−adz+
Z
∂B(a,r0)
f(z) z−adz.
Käyrät γ1 ja γ2 ovat paloittain sileitä suljettuja käyriä joiden sisäpisteissä f(z)on analyyttinen, minkä vuoksi näiden integraalien arvot ovat0. Tällöin integraalin arvo riippuu vain kiekon B(a, r0)reunan integraalista. Tämä pä- tee yleisemminkin, mutta tuloksen yleinen käsittely on tämän työn kannalta epäolennaista. Nyt
Z
∂B(a,r0)
f(z) z−adz =
Z
∂B(a,r0)
f(a) z−adz+
Z
∂B(a,r0)
f(z)−f(a) z−a dz,
joista etummainen integraali saa Esimerkin 2.12 mukaan arvon 2πif(a). Sil-
loin
Z
∂B(a,r)
f(z)
z−adz−2πif(a)
≤ Z
∂B(a,r0)
|f(z)−f(a)|
|z−a| dz
<
Z
∂B(a,r0)
ε
|z−a|dz
< ε|2πi|= 2πε.
Tässä päättelyssä on taas sovellettu Esimerkin 2.12 integraalia. Antamalla ε →0, saadaan
Z
∂B(a,r)
f(z)
z−adz−2πif(a) = 0,
josta yhtälö (5) seuraa. Jos merkitään z = a +reiφ niin dz = ireiφdφ ja integraalista (5) saadaan
f(a) = 1 2πi
Z 2π
0
f(a+reiφ)
a+reiφ−aireiφdφ
= 1 2πi
Z 2π
0
f(a+reiφ)
reiφ ireiφdφ
= 1 2π
Z 2π
0
f(a+reiφ)dφ, mikä osoittaa tuloksen. [6, s. 98-99]
Lause 2.14 (Harmonisten kuvausten keskiarvolause). Jos u : R2 → R on harmoninen kiekossa B(a, R) niin
u(a) = 1 2π
Z 2π
0
u(a+reiφ)dφ, missä 0< r < R.
Todistus. Olkoon f =u+iv analyyttinen kiekossaB(a, R), jolloinv on har- moninen. Tätä funktiotav kutsutaan funktionuharmoniseksi konjugaatiksi.
Cauchyn keskiarvolauseen nojalla f(a) = 1
2π Z 2π
0
f(a+reiφ)dφ
aina kun 0< r < R. Sijoittamalla f =u+iv saadaan muoto u(a) +iv(a) = 1
2π Z 2π
0
u(a+reiφ) +iv(a+reiφ) dφ
= 1 2π
Z 2π
0
u(a+reiφ)dφ+ 1 2π
Z 2π
0
iv(a+reiφ)dφ.
Poimimalla tästä yhtälöstä reaaliosat saadaan haluttu tulos. [6, s. 242]
Keskiarvolause kertoo siis, että harmoninen kuvaus käyttäytyy symmet- risesti siten, että sen arvo tietyssä pisteessä voidaan määrittää pistettä ym- päröivän kiekon reunan arvojen keskiarvona. Tämä keskiarvoperiaate on voi- massa kaikille r-säteisille kiekoille, joissa kyseinen harmoninen kuvaus on määritelty, joten on luonnollista tarkastella myös, toimiiko keskiarvolause pinta-alamitallisena versiona. Tällöin harmonisen kuvauksen u arvon u(a) määrittäisi kaikkien kiekon B(a, R) sisäpisteiden arvojen keskiarvo. Merki- tään kiekon B(a, R) pinta-alaa A(B(a, R)), jonka suuruus pidetään tunnet- tuna perusgeometriasta. Tällöin kirjoitetaan
A(B(a, R)) = Z
B(a,R)
dA=πR2,
jossa kyseistä integraalia sanotaan pinta-alaintegraaliksi kiekon B(a, R) yli.
[3, s. 5-6]
Lause 2.15 (Pinta-alamitallinen keskiarvolause). Olkoon kuvausu:R2 →R harmoninen kiekossa B(a, R). Tällöin
u(a) = 1 A(B(a, R))
Z
B(a,R)
udA.
Kuva 2: Lauseen 2.15 todistamiseen käytetty apukuva. KiekonB(a, R)pinta- alayksikkö dA, joka on kuvassa väritetty tummaksi, muodostuu etäisyydel- lä dr toisistaan olevien ympyränkaarien väliselle alueelle keskuskulmalladθ. Tällöin dA=dθrdr.
Todistus. Olkoon u harmoninen kiekossa B(a, R). Pidetään ympyrän pinta- alan kaava tunnettuna. Johdetaan pinta-alaintegraali kiekonB(a, R)yli muo- dostamalla aluksi pinta-alayksikkö dA. Pinta-ala muodostuu, kun pisteen z =a+reiθ muuttujista r käy läpi välin [0, R] ja θ käy välin [0,2π]. Tällöin z käy läpi koko kiekon B(a, R). Muodostetaan pinta-alayksikkö dA kuten Kuvassa 2. Tässä pisteen z ympärille rakentuva pinta-alayksikkö muodoste- taan toisistaan dr:n päässä olevien ympyränkaarien väliseksi alueeksi, joka rajoitetaan argumenttivälille dθ. Pinta-alayksikön koko on tällöin
dA= dθ 2π
A
B
a, r+ dr 2
−A
B
a, r−dr 2
= dθ 2π π
r+ dr
2 2
−π
r− dr 2
2!
=dθrdr.
Tällöin esimerkiksi koko kiekon B(a, R) ala saadaan integraalilla A(B(a, R)) =
Z
B(a,R)
dA= Z R
0
Z 2π
0
dθrdr= Z R
0
2πrdr =πR2.
Tällä tavoin kaksiulotteinen pinta-alaintegraali on saatu purettua kahteen yk- siulotteiseen integraaliin. Vastaavasti integroimalla kuvaustaukiekonB(a, R) yli saadaan tästä
Z
B(a,R)
udA= Z R
0
Z 2π
0
u(a+reiθ)dθrdr. (6) Normaali keskiarvolause antaa sisällä olevasta integraalista muuttujanθ suh- teen arvon 2πu(a), jolloin integraalista (6) saadaan
Z
B(a,R)
udA = Z R
0
2πu(a)rdr =u(a) Z R
0
2πrdr =u(a)A(B(a, R)), josta haluttu tulos seuraa.
Eräs selkeä seuraus keskiarvolauseesta liittyy harmonisten kuvausten nol- lakohtiin. Nollakohtaa kutsutaan eristetyksi, mikäli nollakohdan ympäriltä löytyy sellainen kiekko, joka ei sisällä muita nollakohtia.
Seuraus 2.16. Reaaliarvoisella harmonisella kuvauksella ei ole eristettyjä nollakohtia.
Todistus. Olkoon u harmoninen kuvaus joukossa Ωja olkoon a∈Ωkuvauk- sen nollakohta. Valitaan r > 0 siten, että B(a, r) ⊂ Ω. Funktion u harmo- nisuudesta seuraa, että funktion u arvojen keskiarvo reunapisteissä ∂B(a, r) on keskiarvoperiaatteen nojalla 0. Tämä tarkoittaa sitä, että joko u= 0taiu saa sekä negatiivisia että positiivisia arvoja reunalla∂B(a, r). Jälkimmäises- tä oletuksesta johtuen funktion u on saatava myös 0 jossain reunapisteessä, sillä reuna ∂B(a, r) on yhtenäinen joukko ja u siellä jatkuva. Tästä seuraa, että funktiolla uon nollakohta mielivaltaisen pienessäa-keskeisessä kiekossa, mistä johtuen a ei voi olla eristetty nollakohta. [3, s. 6]
Kuten on jo tähän mennessä todettu, harmonisen kuvauksen arvo pistees- sä määräytyy pisteen ympäröivien arvojen mukaan. Tätä periaatetta voidaan jatkaa vielä pitemmälle. Jos kaksi harmonista kuvausta saavat samat arvot jossain epätyhjässä avoimessa joukossa, ovat silloin kuvaukset yhtäläiset koko määrittelyalueessaan. Tätä tulosta kutsutaan yksikäsitteisyyslauseeksi (engl.
identity theorem).
Lause 2.17 (Yksikäsitteisyyslause). Olkoot u ja v alueessa S ⊂ R2 harmo- nisia kuvauksia. Jos on olemassa sellainen avoin ja epätyhjä joukko A ⊂S, että u=v joukossa A niin silloin u=v koko alueessa S.
Todistus. Olkoon h=u−v, joka näinollen on harmoninen kuvaus alueessaS siten, ettäh= 0joukossaA. Kun käytetään kuvauksenhderivaatoista muut- tujien xjaysuhteen merkintöjähxjahy, voidaan määritellä kompleksiarvoi- nen kuvausf =hx−ihy. Koskahon harmoninen, kaikki sen toisen kertaluvun derivaatat ovat jatkuvia. Kuten aiemmin todettiin, Cauchy-Riemannin yhtä- löt ovat voimassa kaikissa niissä pisteissä, joissa kompleksiarvoinen funktio on derivoituva eli analyyttinen. Funktion f tapauksessa Cauchy-Riemannin yhtälöiksi saadaan
hxx =−hyy ja hxy =−(−hyx) =hyx.
Nämä yhtälöt ovat molemmat voimassa alueessaSfunktionhharmonisuuden sekä Lauseen 2.2 nojalla. Tällöin siisf on analyyttinen alueessaS. Erityisesti myös f = 0 joukossa A. [8, s. 6]
Näytetään, että analyyttinen kuvaus f on identtisesti 0 koko alueessa S, mikä osoittaa lopulta halutun lauseen. Tähän käytetään apuna Taylorin sarjakehitelmää, joka on kompleksianalyysissä keskeinen työkalu. Sen vuoksi Taylorin lauseen uskotaan olevan lukijoille tuttu. Lyhyesti tulos tarkoittaa si- tä, että mikäli f on analyyttinen kuvaus pisteen z0 ympäristössä, tarkemmin sanottuna kiekossaB(z0, r), niin silloin funktiollef saadaan sarjakehitelmäe-
sitys
f(z) =
∞
X
n=0
an(z−z0)n, (7)
joka pätee kaikilla z ∈ B(z0, r). Vastaava pätee myös toiseen suuntaan, eli mikäli kuvaukselle f on olemassa kyseinen sarjaesitys kiekossa B(z0, r), on f silloin analyyttinen kiekossa B(z0, r). Taylorin lauseen tarkempi käsittely löytyy useimmista kompleksianalyysin peruskursseista ja -kirjoista. Lukija voi tutustua tulokseen esimerkiksi kirjasta [2, s. 33-35].
Olkoon siis analyyttinen kuvausf identtisesti 0 avoimessa joukossa A⊂ S. Valitaan joukonAreunalta∂Apistez0. Jos pistettäz0lähestytään joukon A sisäpisteiden kautta, nähdään, että funktion f jatkuvuuden nojalla myös f(z0) = 0. Valitaan r > 0 siten, että f on analyyttinen kiekossa B(z0, r). Silloin kiekon pisteille z saadaan Taylorin lauseen mukaan sarjaesitys (7).
Tässä sarjassa joko an= 0 kaikillan tai on olemassa pienin kokonaisluku m, jolle am 6= 0. Silloin esityksestä saadaan muoto
f(z) = 0 +· · ·+am(z−z0)m+am+1(z−z0)m+1+· · ·
= (z−z0)m am+am+1(z−z0) +am+2(z−z0)2+· · ·
= (z−z0)m
∞
X
n=0
bn(z−z0)n, bn =am+n. Nyt sarja P∞
n=0bn(z−z0)n esittää Taylorin lauseen nojalla funktiotag, joka on analyyttinen pisteen z0 ympäristössä ja jolle g(z0) = am 6= 0. Silloin jatkuvuuden nojalla g(z) 6= 0 myös pisteen z0 ympäristössä. Tällöin myös f(z) = (z−z0)mg(z)ei saa arvoa 0 pisteenz0ympäristössä. Tämä on ristiriita sen suhteen, ettäz0on joukonAreunapiste jaf(z) = 0kaikillaz ∈A. Tällöin on siis oltava an = 0 kaikillan elif(z) = 0 kiekossa B(z0, r).
Määritellään nollakohtien suppenevien jonojen rajapisteiden joukko Zf ={z ∈S :löytyy jono(zn)∈S, jolle zn→z ja f(zn) = 0 kaikilla n}. Koskaf on jatkuva, niin myösf(z) = 0kaikillaz ∈Zf. Lisäksi nähdään, että sekäAettä∂Aovat joukonZf osajoukkoja, jotenZf ei ole tyhjä. Näytetään, että Zf on sekä avoin että suljettu alueessa S.
Olkoon z ∈Zf, jolloin f(z) = 0. Silloin on olemassa sellainen r >0, että f on analyyttinen kiekossaB(z, r)ja erityisestif(z) = 0 kaikillaz ∈B(z, r). Tämä perustellaan vastaavasti, kuin edellä on tehty. Siten myösB(z, r)⊂Zf. Tämä osoittaa joukon Zf avoimuuden.
Joukko on suljettu, jos joukon mielivaltaisen suppenevan lukujonon raja- arvo kuuluu myös joukkoon. Olkoon siis (wn) ∈ Zf ja wn → w ∈ S. Koska
wn ∈ Zf niin silloin funktion f jatkuvuuden nojalla f(wn) = 0 kaikilla n. Edelleen jatkuvuuden nojalla myös suppenevan jonon raja-arvolle w on voimassa f(w) = 0, jolloin joukon Zf määritelmän nojalla myös w∈Zf.
Epätyhjä polkuyhtenäisen joukon S osajoukko Zf on sekä suljettu että avoin vain silloin, kun Zf = S. Tämä tarkoittaa sitä, että ainut vaihtoehto on, että f on identtisesti 0 alueessa S, mikä osoittaa väitteen. [2, s. 40]
Harmonisten kuvausten arvojoukkoa määrittävät maksimiperiaate sekä siitä seuraava Liuovillen lause.
Lause 2.18 (Maksimiperiaate). Olkoonureaaliarvoinen harmoninen funktio yhdesti yhtenäisessä avoimessa joukossa Ω. Jos funktiolla u on maksimi tai minimi joukossa Ω, silloin u on vakiofunktio.
Todistus. Oletetaan, että funktiollauon maksimi tai minimi pisteessäa ∈Ω. Valitaan r > 0 siten, että B(a, r)⊂ Ω. Tarkastellaan keskiarvolausetta kie- kossa B(a, r). Jotta kuvauksen u arvot kiekon B(a, r) sisäpisteissä toteutta- vat keskiarvolauseen, on sisäpisteiden arvojen keskiarvon oltavau(a). Tällöin joko uon vakio kiekossaB(a, r)tai u saa sekä suurempia että pienempiä ar- voja kuin u(a). Tällöin u(a) ei voi olla minimi eikä maksimi, joten ainut vaihtoehto on, että funktio u on vakio kiekossa B(a, r).
Tarkastellaan nyt vain maksimin tapaus. Oletetaan, ettäu(a)on kuvauk- sen u maksimi joukossa Ω. Merkitään maksimia M ja jaetaan yhdesti yhte- näinen joukko Ω seuraavasti:
A={z ∈Ω :u(z)< M}, B ={z ∈Ω :u(z) = M}.
Edellä näytettiin, että u saa maksimiarvonsa avoimessa joukon Ω osajou- kossa, jolloin B on avoin. Koska u on harmonisena kuvauksena jatkuva, on topologisen jatkuvuuden nojalla myös A avoin joukko. Nämä kaksi joukkoa jakavat yhtenäisen joukon Ω, jolloin joko A = Ω tai B = Ω. Koska u saa maksimiarvonsa joukossa Ω niin on oltava B = Ω eli u = u(a) joukossa Ω. Tämä osoittaa kuvauksen u olevan vakiokuvaus. Minimiarvon tapauksessa edellinen päättely toimii vastaavalla tavalla. [3, s. 7]
Maksimiperiaate näytettiin siinä tilanteessa, jossa käsittelyssä on globaali maksimi yhdesti yhtenäisessä joukossa. Tämä tulos on voimassa myös lokaa- lin maksimin tai minimin tapauksessa.
Seuraus 2.19. Olkoon uharmoninen kuvaus yhdesti yhtenäisessä avoimessa joukossaΩ. Jos kuvauksellauon lokaali maksimi tai minimi joukossaΩ, niin u on vakiofunktio.
Todistus. Tarkastellaan vain maksimin tapaus. Olkoon u harmoninen funk- tio, jolla on lokaali maksimi pisteessä a ∈ Ω. Valitaan r > 0 siten, että pisteessä a on kiekon B(a, r) globaali maksimi. Tämä valinta on mahdolli- nen siitä syystä, että lokaalin maksimin määritelmä edellyttää, että pisteena ympäriltä löytyy alue (esim. kiekko), jossausaa pienempiä arvoja kuinu(a). Maksimiperiaatteen nojalla u on vakio kiekossa B(a, r), tarkemmin ottaen u=u(a). Nyt kuvauksetujau(a)ovat molemmat harmonisia kuvauksia jou- kossa Ω, ja lisäksi löytyy sellainen avoin ja epätyhjä joukko (kiekkoB(a, r)), jossa nämä kuvaukset yhtyvät, joten Lauseen 2.17 nojalla u = u(a) koko joukossa Ω. Minimin tarkastelu toimii vastaavasti.
Lause 2.20 (Liouvillen lause positiivisille kuvauksille). Jokainen joukon R2 positiivinen harmoninen kuvaus on vakio.
Todistus. Olkoon u positiivinen harmoninen kuvaus joukossa R2. Valitaan x∈R2 ja r > |x|. Käyttämällä keskiarvolauseen pinta-alamitallista muotoa, saadaan
u(x)−u(0) = 1 A(B(x, r))
Z
B(x,r)
udA− 1
A(B(0, r)) Z
B(0,r)
udA
= 1
A(B(0, r)) Z
B(x,r)
udA− Z
B(0,r)
udA
. (8)
Tämä on selvä, sillä A(B(x, r)) = πr2 on vakio kaikilla x ∈ R2. Merkitään Dr joukkoa, joka koostuu yhdisteen B(x, r)∪B(0, r) niistä pisteistä, jotka eivät kuulu leikkaukseen B(x, r)∩B(0, r).
Näytetään, että joukkoB(x, r)\B(0, r) on joukon Dr osajoukko. Koska r > |x| niin silloin joukko B(x, r) sisältää ainakin origon. Tällöin joukko B(x, r)\B(0, r) ei ole tyhjä, joten valitaan sieltä piste a. Tällöin siis a ∈ B(x, r) eli myös a ∈ B(x, r)∪B(0, r). Samaan aikaan a /∈ B(0, r) eli myös a /∈B(x, r)∩B(0, r). Yhteenvetona siis
a∈B(x, r)∪B(0, r)\B(x, r)∩B(0, r) = Dr.
Tämä osoittaa, että B(x, r)\B(0, r)⊂ Dr. Koska u >0 kaikkialla, niin Z
B(x,r)
udA− Z
B(0,r)
udA ≤ Z
Dr
udA.
Tällöin yhtälöstä (8) saadaan
|u(x)−u(0)| ≤ 1 A(B(0, r))
Z
Dr
udA. (9)
Kuva 3: Apukuva Lauseen 2.20 todistukseen. Joukko Dr on merkitty kuvaan tummana alueena.
Tarkastellaan, mitä tälle integraalille tapahtuu, kunrkasvaa rajatta. Ar- vioidaan joukkoaDr suuremmaksi. JoukkoDr sisältyy kiekkojenB(0, r+|x|) ja B(0, r− |x|) väliin jäävään alueeseen, sillä kiekkoB(0, r+|x|)sisältää yh- disteen B(x, r)∪B(0, r) kun taas kiekkoB(0, r− |x|) sisältyy leikkaukseen B(x, r)∩B(0, r), kuten on esitetty Kuvassa 3. Koska u > 0 kaikkialla, niin voidaan arvioida
1 A(B(0, r))
Z
Dr
udA ≤ 1
A(B(0, r)) Z
B(0,r+|x|)\B(0,r−|x|)
udA
= 1
A(B(0, r)) Z
B(0,r+|x|)
udA− Z
B(0,r−|x|)
udA
. Käyttämällä keskiarvolauseen pinta-alamitallista muotoa ja laskemalla kiek-
kojen pinta-alat auki, saadaan edellisestä 1
A(B(0, r)) Z
Dr
udA ≤ 1
A(B(0, r))(u(0)A(B(0, r+|x|))−u(0)A(B(0, r− |x|)))
= u(0)
πr2 π(r2+ 2r|x|+|x|2)−π(r2 −2r|x|+|x|2)
= 4|x|u(0) r .
Tämä suppenee 0:aan, kun r kasvaa rajatta, sillä |x| ja u(0) ovat vakioita muuttujan r suhteen. Tällöin yhtälöstä (9) seuraa |u(x)−u(0)| = 0. Siis u(x) = u(0) kaikilla x ∈ R2, mikä osoittaa funktion u olevan vakio. [3, s.
45-46]
Lause 2.21 (Liouvillen lause rajoitetuille kuvauksille). Jokainen joukon R2 rajoitettu harmoninen kuvaus on vakio.
Todistus. Olkoonu:R2 →Rharmoninen siten, että|u| ≤MjollekinM >0. Valitaan x∈R2 jar >|x|. Koska A(B(x, r)) =A(B(0, r)), niin harmonisten kuvausten pinta-alamitallisen keskiarvolauseen nojalla
|u(x)−u(0)|= 1 A(B(0, r))
Z
B(x,r)
udA− Z
B(0,r)
udA
= 1
A(B(0, r)) Z
B(x,r)\B(0,r)
udA
≤ 1
A(B(0, r)) Z
B(x,r)\B(0,r)
|u|dA.
Nyt |u| ≥0 kaikkialla ja Lauseen 2.20 todistuksessa esiintyvien perustelujen ja merkintöjen nojalla B(x, r)\B(0, r)⊂ Dr, joten tällöin saadaan arvio
1 A(B(0, r))
Z
B(x,r)\B(0,r)
|u|dA≤ 1 A(B(0, r))
Z
Dr
|u|dA.
Koska u on rajoitettu, niin tällöin tämä arvio sievenee lopulta muotoon
|u(x)−u(0)| ≤ 1 A(B(0, r))
Z
Dr
M dA. (10)
Vastaavasti kuin Lauseen 2.20 todistuksessa, voidaan perustella, että kun r → ∞ niin epäyhtälön (10) oikean puolen lauseke suppenee 0:aan. Tästä saadaan yhteenvetona |u(x)−u(0)| = 0, mikä osoittaa kuvauksen u olevan vakio joukossa R2. [3, s. 31]
Liouvillen lause pätee yleisemmin kokonaisille funktioille (kokoC:ssä ana- lyyttisille funktioille). Jos kokonainen funktio on rajoitettu C:ssä, on se sil- loin vakio. [6, s. 99] Harmonisten kuvausten keskiarvoperiaate on muodoltaan vastaavanlainen analyyttisille kuvauksille voimassaolevan Cauchyn keskiar- voperiaatteen (Lemma 2.13) kanssa. Sen vuoksi monet tässä kappaleessa har- monisille kuvauksille esitetyt tulokset ovat voimassa myös yleisemmässä muo- dossa analyyttisille kuvauksille, sillä niiden todistukset perustuvat pääasiassa keskiarvoperiaatteeseen. Esitellään tämän kappaleen lopuksi maksimiperiaa- te analyyttisille kuvauksille sellaisessa muodossa, että siihen voidaan viitata jatkossa tässä työssä. Tämä lause käsitellään muista poiketen analyyttiselle funktiolle, jonka arvojoukko on tason R2 osajoukko.
Lause 2.22 (Maksimiperiaate analyyttisille funktioille). Olkoon Ω ⊂ R2 avoin ja rajoitettu polkuyhtenäinen joukko sekä f : Ω → R2 analyyttinen ei-vakio funktio, joka on jatkuva sulkeumassa Ω. Tällöin
|f(z)|<max
z∈∂Ω|f(z)|
kaikilla z ∈Ω.
Todistus. Merkitään supz∈Ω|f(z)| = λ. Näytetään kohdassa (a) aluksi, että
|f| ei voi saavuttaa arvoa λ joukossa Ω. Kohdassa (b) näytetään lauseen varsinainen tulos.
(a) Jos löytyy sellainen piste z0 ∈ Ω, jossa |f(z0)|= λ, niin silloin Cauchyn keskiarvoperiaate saadaan itseisarvojen avulla muotoon
|f(z0)| ≤ 1 2π
Z 2π
0
f(z0+reiφ) dφ,
missä r on tarpeeksi pieni, että B(z0, r) ⊂ Ω. Jos kuitenkin |f(z0)|
on funktion |f| arvojoukon supremumarvo, niin silloin
f(z0+reiφ) ≤
|f(z0)| kaikillaφ, jolloin keskiarvoperiaatteesta saadaan
|f(z0)| ≤ 1 2π
Z 2π
0
f(z0+reiφ)
dφ≤ 1 2π
Z 2π
0
|f(z0)|dφ=|f(z0)|.
Tällöin olisi 1 2π
Z 2π
0
|f(z0)| − |f(z0+reiφ)|
dφ= 0,
jonka sulkulauseke on ei-negatiivinen kaikilla φ, joten sen on oltava 0, jotta integraalin arvosta tulee 0. Tämä tarkoittaa sitä, että|f| on vakio
kiekossa B(z0, r) ⊂ Ω. Lemman 2.1 mukaan silloin f on vakio kiekos- sa B(z0, r). Koska yksikäsitteisyyslause on voimassa myös analyyttisille kuvauksille (näytettiin yksikäsitteisyyslauseen todistuksessa), on silloin f vakio joukossa Ω, mikä on ristiriita oletuksen kanssa. Siis |f| ei voi saavuttaa supremumarvoaan joukossaΩ eli|f(z)|< λkaikilla z ∈Ω. (b) OlkoonΩrajoitettu joukko jaf jatkuva sulkeumassaΩsekä analyyttinen
joukossa Ω. Merkitään maxz∈∂Ω|f(z)| = M. Olkoon (zn) ∈ Ω sellainen jono, että |f(zn)| → λ. Koska Ω on rajoitettu niin jono (zn) on rajoi- tettu. Tällöin tämä jono (zn) sisältää suppenevan osajonon. Tämä tulos tunnetaan Bolzano-Weierstrassin lauseena, ja sen tarkempi perustelu si- vuutetaan yleisyytensä vuoksi. Lukija voi perehtyä tuloksen tarkempiin yksityiskohtiin esimerkiksi kirjasta [9, s. 51-52]. Valitaan nyt suppeneva osajono(zk)⊂(zn), jollezk →zm. Joszm∈Ω, niin funktionf jatkuvuu- den nojalla|f(zm)|=λ, mikä on ristiriita kohdan (a) kanssa. Siis ainoa vaihtoehto on, että zm ∈ ∂Ω. Koska |f| on jatkuva reunalla ∂Ω, niin se saavuttaa maksimiarvonsaM jossain reunapisteessä. Tällöin edellisen päättelyn sekä kohdan (a) perusteella |f(z)| < λ ≤ M kaikilla z ∈ Ω, mikä osoittaa väitteen. [2, s. 42]
3 Poissonin integraalitulos
Tässä luvussa esitellään johdantona harmonisten kuvausten reuna-arvo-ongel- ma, jota kutsutaan Dirichlet'n ongelmaksi. Kun ongelman ratkaisua puretaan auki, saadaan aikaan ratkaisukaava, jonka yleinen muoto on haastava käsi- teltävä. Kun reuna-arvo-ongelmaa tutkitaan R-säteisessä kiekossa, saadaan aikaan helpompi muoto ratkaisulle. Tätä muotoa kutsutaan Poissonin inte- graaliksiR-säteisessä kiekossa. Kun Poissonin integraalin muoto on johdettu, sitä tarkastellaan tässä luvussa monipuolisemmin. Luvun lopussa Poissonin integraalilause todistetaan käänteiseen suuntaan.
3.1 Dirichlet'n ongelma
Fysiikan ilmiöissä tullaan ongelmiin, joissa joudutaan etsimään tietyt ehdot täyttävää potentiaalifunktiota. Tällaiselle ongelmalle on luonteenomaista en- nakkotiedot, jotka rajaavat ratkaisuja. Dirichlet'n ongelma on eräs esimerkki reuna-arvo-ongelmasta (engl. boundary value problem), jossa tavoitteena on löytää tarkastelualueessa G määritelty harmoninen funktio, jolla on halu-
tut arvot alueenG reunapisteissä. [6, s. 243] Tässä kappaleessa tarkastellaan Dirichlet'n ongelman ratkaisua R-säteisen kiekon tapauksessa.
Dirichlet'n ongelma tasolla R2 on yleisesti seuraavaa muotoa:
Tarkastellaan mielivaltaista aluetta G ⊂ R2. Onko mahdollista löytää sellaista harmonista funktiota, joka on määritelty alueessa G ja joka saa ennalta annetut arvot alueen Greunapisteissä?
Merkitään Dirichlet'n ongelman ratkaisua pisteessä z0 kuvauksella u(z0) ja oletetaan, että g on funktio, joka kuvaa alueen G yhdenmukaisesti yksik- kökiekolle B(0,1) siten, että g(z0) = 0. Tällaisen kuvauksen olemassaolon takaa seuraava tulos.
Lause 3.1 (Riemannin kuvauslause). Olkoon A sellainen yhdesti yhtenäi- nen alue, joka sisältää ainakin kaksi reunapistettä. Tällöin mielivaltaiselle pisteelle z0 ∈A löytyy yksikäsitteinen bijektiivinen ja analyyttinen kuvaus g, joka kuvaa alueen A yksikkökiekolle siten, että g(z0) = 0 ja g0(z0)>0.
Riemannin kuvauslause on käyttökelpoinen tulos, mutta sen todistami- nen on haastavaa. Haasteellinen ja monimutkainen osuus todistuksesta on kuvauksen g olemassaolon perusteleminen. [6, s. 189], [7, s. 225] Näytetään tässä kuitenkin, että Riemannin kuvauslauseessa esiintyvä kuvaus g on yksi- käsitteinen. Tätä varten käsitellään aluksi seuraava lemma.
Lemma 3.2. Olkoon f analyyttinen ja bijektiivinen funktio, joka kuvaa kie- kon B(0,1) itselleen siten, että f(0) = 0. Silloin |f0(0)| ≤1. Jos |f0(0)|= 1, niin silloin f on muotoa f(z) = cz, missä c on kompleksinen vakio, jolle
|c|= 1.
Todistus. Määritellään
g(z) = f(z)
z , z 6= 0.
Kun z → 0 niin g(z) → f0(0), jolloin asettamalla g(0) = f0(0) saadaan funktiosta g jatkuva ja analyyttinen kiekossa B(0,1). Kiekon B(0, r), missä 0 < r < 1, reunapisteissä z ∈ ∂B(0, r) on voimassa |z| =r, jolloin |g(z)|=
|f|
|z| ≤ 1r, sillä funktion f arvojoukko on B(0,1), jolloin aina |f| ≤ 1. Tämä arvio on voimassa reunapisteissä ∂B(0, r), joten maksimiperiaatteen (Lause 2.22) mukaan arvio on voimassa myös kiekossa B(0, r). Antamalla r → 1 saadaan |g(z)| ≤1 kaikillaz ∈B(0,1). Tällöin myös|g(0)|=|f0(0)| ≤1.
Oletetaan, että |f0(0)| = 1, jolloin siis |g(0)| = 1. Koska lisäksi |g| ≤ 1 kiekossa B(0,1) niin silloin supz∈B(0,1)|g(z)| = 1. Maksimiperiaatteen to- distuksessa näytettiin, että |g| ei voi saavuttaa supremumarvoaan olematta vakiofunktio. Muut oletukset pätevät funktioon g, joten on oltava |g| vakio,
erityisesti siis |g| = 1 kiekossa B(0,1). Tästä saadaan siis, että f(z) = cz, missä c on vakio, jolle|c|= 1. Tämä osoittaa väitteen. [2, s. 99-100]
Riemannin kuvauslauseen yksikäsitteisyyden todistus. Olkoon z0 ∈ A ja ol- koot kuvaukset g ja f sellaiset, että ne kuvaavat alueen A bijektiivisesti yksikkökiekolle siten, että g(z0) = f(z0) = 0 sekä molemmat g0(z0) > 0 ja f0(z0) > 0. Näytetään, että näillä oletuksilla on aina g = f. Nyt yh- distetty kuvaus g ◦f−1 kuvaa yksikkökiekon itselleen siten, että yhdistetty kuvaus on sekä analyyttinen että bijektiivinen. Lisäksi f−1(0) = z0, joten (g◦f−1)(0) =g(z0) = 0.
Oletetaan aluksi, että g0(z0) = f0(z0). Silloin g◦f−10
(0) =g0 f−1(0)
· 1
f0(z0) = g0(z0) f0(z0) = 1,
jolloin Lemman 3.2 nojalla (g ◦f−1)(z) = cz, missä c on vakio siten, että
|c|= 1. Silloin yhdistetyn kuvauksen derivaatta on(g◦f−1)0(z) = c, joten on oltava c= 1. Täten kuvausten g ja f−1 yhdistetty funktio on identtinen ku- vaus, joten tällöin funktioideng jaf−1 on oltava toistensa käänteiskuvauksia.
Saadaan siis tuloksena, että g =f.
Oletetaan nyt, että g0(z0) 6= f0(z0). Molemmat ovat kuitenkin oletusten nojalla reaalisia ja positiivisia. Olkoon g0(z0) > f0(z0). Tällöin yhdistetyn kuvauksen derivaatasta saadaan (g◦f−1)0(0) >0, mikä aiheuttaa ristiriidan Lemman 3.2 kanssa. Olettamalla g0(z0)< f0(z0)päädytään samaan tilantee- seen kuvauksen f ◦g−1 avulla. Siis on oltava g0(z0) = f0(z0), joka edellisen päättelyn nojalla antaa tuloksen, että g = f. Tämä osoittaa väitteen. [2, s.
171-172]
Palataan nyt Dirichlet'n ongelmaan, jossa kuvaus g kuvaa alueen G yh- denmukaisesti yksikkökiekolle siten, ettäg(z0) = 0. Tässä tilanteessa bijektii- viseltä funktioltagvaaditaan, että sen arvojoukko kattaa myös yksikkökiekon reunan ja että g on analyyttinen niissäkin pisteissä, jotka kuvautuvat yksik- kökiekon reunalle. Tässä vaiheessa on epäolennaista tarkastella kuvausta g tämän tarkemmin. Nyt käänteiskuvauksen g−1 lähtöjoukko sisältää suljetun yksikkökiekon B(0,1) ja u on harmoninen alueessa G ja sen reunalla, jol- loin yhdistetty kuvaus u◦g−1 on harmoninen kiekossaB(0,1). Harmonisten kuvausten keskiarvolauseen mukaan pisteelle (u◦g−1)(0) saadaan esitys
(u◦g−1)(0) = 1 2π
Z 2π
0
(u◦g−1)(eiφ)dφ.
Merkitään yksikkökiekon reunapistettä eiφ =v. Tällöin dv=ieiφdφ,
josta saadaan edelleen
dφ= dv ieiφ = dv
iv.
Silloin keskiarvolauseen mukainen integraali saadaan muotoon (u◦g−1)(0) = 1
2πi Z
∂B(0,1)
(u◦g−1)(v)dv
v . (11)
Koskav ∈∂B(0,1)niin voidaan käyttää merkintääv =g(z), jossa pisteet z ovat niitä pisteitä, jotka kuvautuvat yksikkökiekon reunalle. Osoitetaan, että nämä pisteet ovat alueen Greunapisteitä.
Lemma 3.3. Olkoon g : G → B(0,1) analyyttinen bijektio. Tällöin vain alueen G reunapisteet kuvautuvat yksikkökiekon B(0,1) reunapisteiksi.
Todistus. Olkoon z alueen G reunapiste ja (zi) jono G:ssä, joka suppenee pisteeseen z. Merkitäänlimi→∞g(zi) =zg ja oletetaan vastoin väitettä, että zg ∈ B(0,1). Bijektiivisyydestä johtuen käänteiskuvaus g−1 : B(0,1) → G löytyy ja analyyttisen kuvauksen käänteiskuvauksena ong−1 jatkuva. Tällöin
g−1(zg) = lim
i→∞g−1(g(zi)) = lim
i→∞zi =z.
Nyt vastaoletuksen nojallazg ∈B(0,1)jolloing−1(zg)∈G, mutta kuitenkin z ∈∂G, mikä johtaa ristiriitaan. Tämä osoittaa, että pisteen g(z) on oltava kiekon reunapiste.
Nyt sijoittamalla v = g(z) voidaan integraali (11) muuttaa muotoon, jossa integrointi suoritetaan alueen Greunaa pitkin. Tulokseksi saadaan siis
u(z0) = 1 2πi
Z
∂G
u(z)g0(z)
g(z)dz. (12)
Tämä tulos kertoo, että ratkaisun u arvot alueen G sisäpisteissä saadaan reunapisteiden yli integroimalla. [6, s. 245]
Tarkastellaan seuraavaksi aluetta G = B(0, R). Tällöin alueen G yksik- kökiekolle kuvaava funktio on
g(z) = R(z−z0) R2−z¯0z ,
jossag(z0) = 0jaz¯0on luvunz0 kompleksikonjugaatti (liittoluku). Tämä voi- daan todeta etsimällä pisteet, joissa g(z)∈B(0,1). Vaatimus vastaa epäyh- tälöä
|g(z)|2 = R2|z−z0|2
|R2−z¯0z|2 <1.
