Maaston korkeusvaihteluiden matemaattinen kuvaus ja sen merkitys

Maaston korkeusvaihteluiden matemaatti- nen kuvaus ja sen merkitys

Yleisesikuntaeversti L Kaj e

Johdanto

Kirjoittaja on useissa kartoi.tusta ja maaston käy.tiliä koskevissa tut- kimuksissa todennut puutteeksi sen, ettei ole tiedossa mitään yleistä teoriaa, jonka perusteella korkeusvaihteluiden luonne olisi kuvattavissa eshn tunnuslukujen avulla ,tai muilla keinoin. Ilman täJlai,sta teoriaa muodostuvat monet .tilastolliset laskelmat suuritöisiksi ja loppu tulokset saattavat kuitenkin olla vain likimääräisiä. Maastoalueiden luokittelu korkeusvaihteluiden mukaan on usein :taI1>eellista, mutta se perustuu pääasiassa silmämääräiseen arviointiin. Uwtena tehtävänä esille tullut kysymys maaston kulkukelpoisuuden selvittelystä yhdessä erään toisen, kokonaan matemaaJttista laatua olevan probleeman kanssa johti kirj,oit- tajan kokeilemaan yleispätevän teorian kehlttelemistä. Koska lopputu- tulokset osoittautuivat jopa yllättävän yksinkertaisiksi ja käytettävä

"tekniikka" on kenen talhansa helposti opiJtta.'vissa ja sovellettavQssa ul- kopuolella topografiankin monenlai.silln ,tarkoituksiin, lienee asia esi..ttä- misen arvoinen myös laajemmalle lukijapfuille. Työn viimeistelyssä on otettu huomioon eräiltä neuvoja ja viitteitä, jotka on saatu prof R A Hirvoselta ja apul prof 0 Lokilta.

Maaston korkeusvaihtelut voidaan jakaa makrotopografisiin ja mikrotopografisiin esiintymiin, vaikka tarkkaa rajaa näiden välille ei voitane vetää. Kartografisessa mielessä mikrotopografisia ovat

kaikki sellaiset esiintymät, joita ei voida enää ainakaan oikeakaavai- sina kuvata kaI'ltalla. Maaston mikr.otopografialla saattaa kuitenkin esim kulkukelpoisuuden kannalta olla jopa ratkaiseva merkitys. Te.orian tu- lee .olla niin joustava ja tarkoituksenmukainen, että sitä sovellettaessa on mahdollista yleistää ja "tasoittaa" maastoa kulloinkin tehtävän vaa- timalla tavalla. On edelleen voitava tarvittaessa käsitellä erikseen makrotopografisia ja erikseen mikrotopografisia ilmiöitä. Kaikkeen tähän ovatkin mahdollisuudet .olemassa.

Alla esi.tetty te.oria tähtää nimenomaan maaston korkeusvaihteluja kuvaavien tunnuslukujen johtamiseen. Niiltä esitetään useitakin ja käy- tännöllisistä tarpeista sekä kokemuksista jää lähemmin dippuvaksi, mitkä niistä ehkä osoittautuvat arvokkaiksi. Koska maastoprofiileja - joista tavallisimmin on kysymys - ei tietenkään v.oida kuvata tark.oin min:käänlaisilla yhtälöillä, on tunnuslukujen laslremiseksi pyritty kehit- tämään mahdollisimman yksinkertaisia erikoism.enetelmiä.

Vaihteluiden ominaisuuksista ja tunnusluvuista

Maastotutkimusta suodtettaessa on aina huomioon otettava tarkoi- tuksenmukaisuusnäkökohdat. ValItakunnallisissa puitteissa saatamme tarkastella, missä määrin maaston kesldkorkeus muuttuu rannikoilta sisämaahan päin. Jolla:kin paikallisella alueella tutkimm>l mieluummin- kin vaihteluja keskikorkeuden molemmin puolån. Mäkien korkeuden arvostelemme tavallisesti jostakin pohjakorkeudesta emmekä esim me- renpinnasta lukien. Nummi- ja suoolueita pidämme ehkä tasaisina, vaikka nlillä ·todellisuudessa löytyy lukemattomia kuoppia ja pikku töyryjä, jotka "muurahaisperspektiivistä" ja usein myös liikkuvuuden kannalta tarkastettuina saattavat .olla varsin merkittäviä esiinJtymiä.

Sen vu.oksion .tarkoin harkittava, mistä perspektiivistä nähtynä las- kelmat on tark.oituk.senmuka.isilllta suorittaa, ja jos huomioon ottamatta jätetyillä esiintymillä (esim maanpinnan kivikkoisuudella tai kumpa- reisuudella liikennekelpoisuutta ajatellen) on merkitystä tehtävän kan- nalta, on niistä syytä erikseen mainita. Laskuperusteiden harkitsem.a- ton valmita saattaa vähentää lopputulosten pätevyyttä tai tehdä ne ko- konaan arvottom.i.ksikin.

Tehtävää silmällä pitäen on erikoisesti syytä tarkastella, millaiset häiriöjaksot kussakin maastossa. ovat vaikuttavimmat. Niiden erikois- tutkimus saattaa olla padkallaan. Mitä lyhy1tjaksoisempia tällaiset vaih- relut ovat, sitä suppeamm.aJt koealueet tavallisesti riittävät niiden tut- kimiseen. Piirroksissa 1 a) ja b) osoitetaan merkille pantava ilmiö mi- ten epätasaisuudet pyrkivät kumoamaan tietyssä mielessä toisiaan siten, että vain jyrkimmät jäävät määrääviksi. Tapauksessa a) näemme al-

L.I

^{... ~}

~~

P. /1

Piirros 1

l '

"

haalla vasemmalla matalia kumpuja, joiden korkeus on 0,5 yksikköä. KUIll

a) nämä kumpareet sijoitetaan niitä jyr- kempään 45°:een rinteeseen, ne lak- kaavaJt olemasta kumpuja. Nousu muo- dostuu jatkuvaksi ja vain jyrkernmästä päärinteestä laskevaksi. Tapau.k:seQ;.a b) taas kummut ovat jyrkkiä edustaen

b) kahden yksikön vaakamatkalla neljän yksikön nousujen ja laskujen sum- maa. Huomaamme, että suu.reen rin- teeseen tultua nousujen ja laskujen summa on edeHeenkin neljä (=3+1), joten suurimuotoisella mutta loivemmalla rinteellä ei ole ollut mitään vaikutusta nousujen ja laskujen summaan. Jyrkimmät vaihtelujaksot siis määräävät sen. Käytännössä tosin hylkäämme kaikkein pienijaksoi- si.rnm.at, koska lIliillä ei ihmisen kannalta ole mitään merkitystä.

Korkeusvai!hteluiden itseisarvojen summa tapauksen 1 b) esittä- mällä maastoprofiililla on 16 yksikköä. Kun se jaetaan vastaavalla vaakaetäisyydellä, mikä on 8 yksikköä, saadaan osamääräksi 2. Kwten piirroksesta voidaan päätellä, tämä lukuarvo esittää maanpinnan. keski- määrädstä kaltevuutta (kaltevuuskulman tangenttia) kyseisellä profii- lilla. Laskutapa on yleispätevä kaikille profiileille niiden muodosta riippumatta. Merkitsemme tällaista profiilille laskettua maanpinnan keskikaltevuutta k. olettaen tällöin kuiten:kdn., että profiili on otettu valikoimattomaan suunltaan (ei esiIn jyrkimmän pu10aman suuntaan).

S uure ^{1 . . ' Ao,} JO ^nka' vounme ^{e5l ...} ... " .. a k aav a • all k

= - - ,

~ Ihl ^{on e} päi!" ^emau.a ...

s

-tärkeä maaston korkeusvaihteluita kuvaava tunnusluku, jos se on las-

kettu siten, että se "edustaa" hyvin kyseistä maastoa. Alempana

osoo-

:I;e,taan, että maanpinnan keskimääräinen gradienttikaltevuus K.. tällöin saadaan yksinkertaisesti ker:tomalla k. vakiolla ~ . Gradienttikalte-

2

vuudeUa ymmärretään jyrkimpään suuntaan mitattua maastoputoaInaa kussakin maastopisteessä pituusyksikön vaakamatkalla.

J03 valikoima·ttoma8lIl suuntaan maastossa m.iJta:ttu vaakaetäisyys (a) on pieni, on sitä vastaava korkeuden muutos keskimäärin h.

=

k. X a, tai hieman pienempi. Kun a suurenee, pienenee kuitenkin suureen h.

kasvun vauhti ainakin alussa jatkuvasti ja melko tasaisestikin edellyt- täen etteivä,t maaston epätasaisuudet seuraa toisiaan jaksollisesti (esiIn siniaallon tapaan) vaan täysin satunna1sesti, sillä muuten saattaa h.

e3im vuoroon kasvaa, välillä taas pienetlltyä. Kun a on suuri, saattaa välille a jäädä useitakin nousuja ja ~askuja, mutta suureella h. (tilas- tollisena ke3kiarvona) tarkoitamme nimenomaan välin a päätepisteiden keskimääräistä korkeuseroa. Olisi virheellistä määritellä, että h. on maaston keskimääräinen nousu (tai lasku) matkalla a, sillä se saa j,onkin lukuarvon siinäkin ;tapauksessa, että maaston keskikorkeus ei muutu.

Kun ver.taamme suureita k., K.. ja h., huomaamme nidden merki- tyksessä :tunnuslukuina (h. on paremminkin tunnusfunktio) periaat- teellisen eron. Tunnusluvut k. ja K.. eivät välttämättömästi sano mitään varmaa siitä, onko maasto pieni- vaiko suurimuotoista esim mäki- tai tunturimaastoa. Sen sijaan tunnusfunktio h. kasvaa a:n kasvaessa sitä suuremmaksi mitä suurimuotoisempi maasto nimenomaan vertikaali- ulottuvuuksiltaan on. Mitä enenunän "yleistämme" maastoa, siis jätäm- me pikku kohoutumia huomioon ottamatta ,tarkoituksenmukaisuus- syistä, sitä enemmän myös suureiden k. ja K. kasvu samalla kuvaa maaston suurmuotojen .kasvua. Etelä-Suomen mäkinlaastossa voimme kuitenkin helposti saada suurempia em tunnuslukujen arvoja kuin Poh- jois-Suomen tunturimaastossa.

Voimme edelleen kysyä, kuinka suuri on keskimäärin kaikkien kor- keusvailiteluiden (itseisarvojen) summa H. matkalla a edettäessä vali- koimattomaan suuntaan maastossa. Tunnusluvun k. edellä esitettyyn lasku tapaan nojautuen saamme H.

=

k •. a. Jos a on piend, on H. ~ h •.

Olemme siis tähän asti määritelleet tunnusluvut tai -funktiot ko ,

Ko, h. ja H. ja selostaneet niiden laskutava,tkin lukuun ottamatta suu- retta ha , johon palaamme alempana. Tarkastelemme vielä tunnusluvun ko ominaisuuksia, Korvaamme profiilin käsittelyn helpottamiseksi ly- hyellä, suorista osIsta kootulla profiilipätkällä, j,ota sitten muuntelemme eri ·tavoin.

[2ISJ _a) ~

_b)

^~ _c) ^.~ _d)

Piirros Z

Piirroksessa 2 a) näemme "kukkulan", jonka leveys on 2 yksikköä ja korkeus 1 yksikkö ja siis k..

=

^1. Jos nyt venytämme korkeusulot- tuvuudet kaksinkel'taisiksi (tapaus b), muuttuvat maanpinnan kalte- vuudet (mäen muodosta riippumatta) jokaisessa pisteessä kaksinker- taisiksi ja siis myös k.. kasvaa kaksinkemaiseksi. Jos ,taas supistamme vaakauIottuvuuden puoleen (tapaus c), on <tulos aivan sama, siis ko ka·s- vaa nytkin kaksinkertaiseksi. Ilmeistä on, että jos kukkuloiden luku alkuperäisessä ltapauksessa jollakin matkalla on ollut n kpl, niin nyt niitä samalla matkalla on keskimäärin 2n kpl. Jos vihdoin (tapaus d) venytämme kadkki vertikaaliuIottuvuudet kaksinkemaisiksi ja samalla lisäämme mäkien tiheyden profiililla samoin kaksinkertaiseksi, ts supis- tamme horisontaalimittakaavaa puolella, kasvaa ko nelinkertaiseksi.

Yleisesti voimme merkitä

missä A on maaston korkeusvaihtelun sopivasti valittu mitta ja k on maaston k a r k e u s k e r r 0 i n, joka kuvaa kukkuloiden tiheyttä maastossa ,tai (riippuen siiJtä miJten A lasketaan) on siihen verrannol- linen. Koska maastossa todellisuudessa on erimuotoisia kohoutumia,

joiden korkeudet vaihtelevat, on lähinnä suureen A lasku tapa erikseen sovi.ttava (kuitenkin siten, että ajateltu veJ.'ltikaalimitJtakaavan muutt-a- minen aiheuttaa suhteellisesti saman muutoksen suureen A arvoon), jolloin karkeuskerroin k määritJtyy siten, että em yhtälö (k.. = k X A) toteutuu. Tämä ei muuta millään tavoin sitä, mitä edellä on karkeus- kertoimen yleisestä merkityksestä havainnollisesti esitetty. Suureen A laskutavan valino1:a tulee esille tuonnempana.

Tunnusluvun h. laskeminen graafisesti

y

a _!} I

I

X+a X,..-o

X

Piirros 3

Piirroksessa 3 esittää korkeusero b erästä korkeuden muutosta, kun profiililla siirrytään eteenpäin vaakamatka a. TunnUiSluku h. ilmaisee kaikkien näiden korkeuserojen keskimääräisen arvon, kun mittaus aja- tellaan suoritetuksi pi.tkin koko profiilia. On muistettava, että on ky- symys ~tseisarvojen -keskiarvosta. Jollakin mielivaltaisella välillä X,:stä X.:een saadaan tulokseksi

II

x. [y (x+a) - y (x) ]

I

dx

h. ~X~t _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

X.--X.

Rajoitwnme aluksi integroimisväliin, jolloin jatkuvasti y (x+a)

>

y (x). Graafinen tarkastelu osoittaa nyt helpoiten, että integraali voi- daan kirjoittaa myös seuraavasti

x.+a x,+a

fydx-fydx

Alkupiste (Xl) on mieluimmin valittava siten, että y (x) = y (x+a)

ja päätepiste (X.) vastaavasti kohtaan, jossa korkeuseron etumerkki vaihtuu. Osoittajassa olevaa ensimmäistä integraalia esittää piirroksen 3 pystyviivoitettu alue ja toista osaintegraalia vinoviivoitettu alue, joka vasemmalta on samalla siirretty pystyviivoi.tetun alueen päälle sen ala- osaan. Jäännöspinta-ala, siis osaintegraalien erotus, saadaan tällä ta- voin näkyviin. Muilla profiilin osilla menetellään vastaavalla tavalla.

Joka toisella välillä jäännöspinta-alan etumerkki vaihtuu, mutta vain niiden itseisarvoilla on merkitystä.

Voidaan päätellä, että seuraava perusratkadsu tunnusluvun h. las- kemiseksi koko profiililla on oikea (piirros 4). Huipuista ja notkoista

Piirros 4

katkaistaan osat, joiden leveys on a. Näiden huipuista ja notkoiSlta muodostetaan vaakapohjaiset suorakaitee.t piirroksen mukaisesti si·ten, että suorakaiteiden pinta-alat vastaavat huippujen ja notkojen erotet- tuja piIllta-aloja. Piirroksen mukaisesti lasketaan yhteen korkeuserot h1+h.+h.+ ...

=

llhl. Haettu tunnusluku h. saadaan kertomalla

tämä summa vaakavälin mittaluvulla a ja tulo jaetaan koko profiilin vaakapituudella s, siis

h_a = a~

Ih/

s

Jos kuv.ittelemme mitttayksikön pituuden hyvin pieneksi ja valit- semme a = 1, saamme rajatapauksena maanpinnan keskikaltevuuden arvon ko =

~

Ihl , mikä siten on tullut uudelleen johdetuksi. Piir-

s

roksen 4 mukainen menettely.tapa on erittäin yksinkertainen, mutta se edellyttää tietenkin profiilien piir:tämistä. Huomattakoon, ettei rintei- den nousun yksityiskohtaisilla pnrteillä ole mitään merldtystä loppu- tuloksen kanna1ta, mutta huipuilla ja notkoilla ,taas on hyvJnkin ratkai- seva merkitys. Eräissä sovellutuksissa saattaa :tulla kysymykseen myös toinen menettelyttapa (joka ei välttämättä edellytä profiilin piirtämistä).

Tällöin oletetaan kahden perättäisen. laakso- ja harjapisteen (tai päin- vastoin) välisen profiilin osan vastaavan sinikäyrän (y = A sin a) PUO-

lijaksoa (vastaava vaakaväli kulm.amitoissa. = 11") ja h. = ha lasketaan aluksi pätkittäin näille perättäisiJle puolijaksoille. Perusyhtälö on sini- käyrää varten suoraan ratkaistavissa j·a saadaan

t.. (sinikä··· .. ) _ 4 A . a

ua yra - - s m -

11" 2

Jos H on sinikäyrän kokonaisamplitudi, siis huippu- ja laaksopisteen korkeusväli = 2A, saadaan myös

t.. (sinik·.·· .. ) _ 2 H· a

ua ayra - - s m -

11" 2

Kulma a on helppo laskea, kun laakso- ja harjapisteiden vaaka- väli X on mitattu. Se on

11"

a

= -

a·

X

Laskutikkua käyttäen on pätkittäin odotettua nopeammin lasketta- vissa perättäiset h :n arvot, joista lopullinen arvo saadaan ottamalla painotettu keskiarvo. a

h. = h saa sindkäyrällä maksimiarvonsa, kun a = 11" ja se cm a

h11"

=

^{h (maks)} 2 H (sinikäyrä)

a

Jos kukkulat seuraavat toisiaan suunnilleen tasavälein, saadaan h.:lle maksimiarvo samoin suunnilleen sillä a:n arvolla, mikä vastaa harjapisteiden välimatkaa.

Maanpinnan kesk.i.k:altevuus sinikäyräJIä on helposti laskettavissa.

Sijoittamalla a - X a saadaan h.

=

²

'1r

x

H sin (~. a)

=

^y

2X

Derivoimalla a:n suhteen saadaan

, H ('1r )

Y = - cos - - · a

X 2X

Ottamalla derivaatta pisteessä a = 0 saadaan tulokseksi maanpin- nan keskikaltevuus ka, siis

k.

= ~

(sinikäyrä) X

Vastaavasti jos profidlilla seuraa perätysten pari suunnilleen yhtä korkeaa kukkulaa, joiden korkeus on H ja X, on maanpinnan keski- ktaltevuus tällä profiilivälillä laskettavissa kuten edellä sinikäyrälläkin (pienet pintaepätasaisuudet ajatellaan silloin tasoitetuiksi taJi. "yleiste- tyiksi" pois). Ympyrän kaarella saadaan h. (mw) kun a vastaa ympy- rän halkaisijaa ja tämä maksimiarvo on =~(normaalilla sinikäyrällä

4

taas

=i...).

Pinnan keskika,ltevuus ympyräprofiililla on aina = 1 (nor-

'1r

maalilla sinikäyrällä taas =

~).

Maasto voidaan kuvi<tella muodoste- tun siten, että perärttäi.set kukkulat ja notkot muodostuvat samanlaisista puoliympyröistä.

On kehiteltävissä eräitä pintasääntöjä, joiden avuila tunnusluvut h. voidaan laskea esiIn silloin, kun a on suhteellisen suuri -tai kun kuk- kulat ja laaksot ovat jakautuneet välihäiriöillä pienempiin osiin. Mer- ltitsemme

h. = -1 s

jossa I:lle (integraali) juuri kehitämm.e erikoisia laskusä.äntöjä ja s on profiilin vaaka:pituus. 'Eräs tapa I:n määrittämi.seksi on seuraava:

B

PUrros 5

Asetamme janan a oikean päätepisteen profiilin alkupisteeseen (piirros 5 piste A) siten, että jana on täsmälleen vaakasuorassa. Janan koko ajan säilyttäe$Sä vaaka-asentonsa. annamme ~n oikean päätepis- teen liikkua pitkin profillia alusta loppuun (esim pisteeseen B) asti.

Janan tä1löin peittämä pinta (piirroksessa varjostettu) esittää silloin integraalin arvoa, kuitenkin siten, että jos sama pinta pyyhitään kaksi kertaa (tai 4 kertaa, 6 kertaa jne), niin se jää pois .:lask~ mutta jos se pyyhitään 3 kentaa (tai 5 ker.taa, 7 kentaa jne) niin se tulee jäl- leen mukaan laslruiliin (integraaliin).

B

PUrro86

Toinen tapa (piir- ros 6) on seuraava.

Kuljetamme janaa a vaakasuorassa ensin va- semmalta oikealle siten, että sen vasen paa liukuu profiilia pitkin.

Oikean päätepisteen ura piirretään niiltä osin kuin se jää profiiliviivan alapuolelle ja näin ero- tetut pinnat profiilin a:lIa vaakavlivoitetaan. Sen jälkeen ·teemme saman peilikuvana lähtien oikealta janan vasen pää edellä ja oikean seura- tessa profliliviivaa. Erotetut pinnat pystyvarjostetaan. Yksinkertai- 3 - Tiede ja Ase

sena varjostetut pinnat tulevat mukaan integraaliin yksinkertaisina, ristivarjostetut kak.sinkerlaisina. Piirros 6 esittää lähinnä moniosaista kukkulan huippua. Jos kysymyksessä on suurempi maastoalue (ja a on suuri), on menetelmä periaatteessa vastaava. Tarkkuuteen pyrilttäessä on in,tegroimisalueen oikean rajan taakse piirrettävä kuitenkin uudel- leen osa profiilin vasenta alkupäätä ja vasemman rajan taakse taas oikeata päätä. Janan a llike aloiJtetaan siten, että liukuva pää on etäi- syydellä a in!egroimisrajan uJkopuolella. Suuretta 1 laskettaessa ote- taan huomioon vain inftegroimisvälin sisään jäävät pinnat. Sen suu- ruuden ratkaisevat pääasiassa isoimmat kukkulat (ne tulevat pää- asiassa mukaan integraaliin).

Nousevissa rinteissä saattaa esiintyä isohkoja kuhmuja, joiden mer- kitystä on vielä syytä valaista (piirros 7). Alhaalta jana a kulkee ylös

a

vasen pää profiilia noudattaen kunnes oikea pää kohtaa profiiliviivan. Koko va- semmalle jäävä osa varjostetaan vaaka- viivoituksella. Y1Jhäällä lähestY'tään kuh- mua janan oikea pää profiililla ja anne- taan,sen seurata sitä niin kauan kuin va- sen reuna vielä eroi,ttaa osia äsken jo val- miiksi varjost~ta alueelta (ristiv·arjos- tus). Näiden osien pinta-ala lasketaan ka:k.sinkertadsena. Jos häiriöiden vaaka- Piirros 7

ulottuvuus on pienempi kuin a, huo- maamme, ettei niillä ole mitään vaikutusta integraaliin (lisähäiriöinä), joten ne voidaan ajatella ,tasoiJtetuiksi pois ..

Yhtälön K. = k. johto 2

Esim kartalle mielivaltaisesti vedetty suora tai myös käyrä viiva leikkaavat kartan korkeuskäyriä aivan satunnaisissa kulmissa. Kun profiili tällaisen viivan mukaisesti piirretään ja lasketaan maanpinnan keskika1tevuus

ko,

ei se vielä anna käsitystä siitä, mikä on gI'adientti- kaltevuus profiililla eli keskimääräinen putoama jyrkimpään suuntaan eikä profiiliviivan suuntaan laskettuna.

Johdamme Y'htälön esim seuraavasti (piirros 8).

k

^{K =} gradienttijyrkkyys jossakin satunnaisessa rinnepisteessä iProfiililla

PUrros 8

k = kaltevuuskomponentti mitattuna profiili- viivan suuIlltaan

a - edellisten välinen ku1maero

On helposti näy:tettävissä, että k

=

^KcOSa

Edelleen pitää paildmnsa, koska K ja a ovat toisistaan riippumatto- mia satunnaissuureita, että

k=K·coSa

ts että k:n keskiarvo tai keskirnääriHnen arvo (,tulemme tässä toimeen pe1killäsamamnerkkisillä arvoilla) saadaan laskemalla K:n keskimää- räinen arvo ja kertomalla se cOSQ:n keskimääräi.sel arvol1a. Anta- malla a:n vaihdella välillä 0 -~, saamme sen cosinin (samoinkuin

2 . . k· ) k--'-'-_· k· 2 S··

smrn m ~-vo Sl _ . llS

- 2

k

=

^k..

=

^{-!Co, ja !Co = ~ k.}

'II" 2

Tunnusfunktion h.. yhtälö

Voidaan pitää selvänä, että h~:rn kasvu a:n mukana ei tapahdu suo- raviivaisesti. Aluksi (kun a suurenee lähtien arvosta nolla) h. ilmei- sesti kasvaa hyvin nopeasti - kussakin maastossa :kuitenkin eri tavoin - mutta kasvun vauhti vähentyy pakostakin, koska kohoutumat ja kukkulat ovat valtaosaltaan IIl:8Jtalia ja alueellisesti pieniä. Kun a tulee suuremmaksi kuin joidenkin yleisten kukkulatyyppien vaakatt:1ottu- vuus, ei tämä lrukkulatyyppi enää vaikuta h.:n kasvua lisäävästi, vaan se riippuu suureIIllIlista maastomuodoista. Isompia ja korkeampia kuk-

kuloita esiintyy kuitenkin asteittain yleensä yhä harvemmassa ja näin ollen h.:n kasvulla täytyy myös olla raja, jota se ei voi ylittää.

Jos alue, jolle h.:n arvot halutaan laskea, on täysin epähomogeeni- nen sikäli, että siihen kuuluu laajoj·a alankoja mutta toisaalta myös erilaisia mäkimaastoja, ei voida odottaa h.:n kasvun muodostuvan eri- tyisen säännölliseksi. Toisaalta myös tunnuslukujen merltitys on silloin muutenkin kyseenalainen. On va1ittava samantyyppisiä ja yleensä yhtenäisiä alueita, joille kullekin lasketaan omat tunnuslukunsa.. Myös käytännön tarpeet ilmeisesti vievät tähän valintaan. On odotettavissa, että h.:n kasvu tällöin muodostuu periaatteessa seuraavaksi.: Kuvaaja (vaaka-a.kselina suure a) nousee ensin suhteellisen jyrkästi, mutta nousu tasoilttuu vähitellen ja käyrä alkaa asymptoida jotakin arvoa, jota voimme merkitä h co. Jos alue on pieni, emme saa tasaista nousu- käyrää, mutta voimme katsoa sen johtuvan "havaintoarvojen vähyy- destä". Kuitenkin tulee väliin eräs häiritsevä tekijä, jonka vaikutus juuri h.:n suhteen on merkittävä, ja joka estää meitä bavaintotulosten avulla varmuudella päättelemästä, onko perusolettamuksemme oikea.

Maastollisten häiriötekijöiden joukkoon kuuluvat myös paikallise.sti ensi näkemällä huomaamattomat, mutta korkeusvaihteluLtaan ainakin kymmenien metrien luokkaa olevat, hyvin laaja-alaiset ja epäsäännöl- liset aaltoilut samoin kuin vähittäinen mutta kuitenkin tuntuva sekä vaihteleva maan keskikorkeuden nousu rannikoilta sisämaahan ja alan- go1ta ylävänunille seuduille. Näillä esiintymillä on varsin vähäinen merltitys maaston paikallisen yleisluonteen vaihtelun kannalta, mutta ne vaikuttavat selvästi ,twmusluvun h. laskuihln, kun a on valittu suu- reksi. Maan nousuuntaan h. kasvaa siten a:n mukana jatkuvasti, vaikka kasvu poikkisuunnassa havaitaankin selvästi .tasoittuneeksi. Korjaus keskitasoonkin on vaikeata, koska tuo laaja-alainen vaihtelu saattaa osoittautua peräti epäsäännöllise.ksi.

Tällöin herää kysymys, onko tunnusluku ha, edttäinkin sen raja- arvo laskettava kokonaan teoreetti:sin perustein, jos se stten parhaiten sopii mittaksi erilaisia maasroja keskenään vertailtaessa. On pää,teltä- V'issä, että ,tunnusluku h co' mikäli se on olemassa on laskettavissa seu- raavin perustein. Janan a alkupiste ensinnäkin sattuu jotakin (ja mitä tahansa) maastokorkeutta vastaavalle kohdalle sillä todennäköisyydellä kuin kutakin korkeusluokkaa olevia pisteitä maastossa esiiIlItyy. Janan

loppupiste lankeaa teoreettisesti mihin pisteeseen :tahansa sillä ympy- rän kaareUa, joka a-jana säteenä tällöin ajatellaan piirrettäväksi.

Koska tämä kaari rajatapauksessa on hyvin pitkä, se edustaa täysin koko perusjoukkoa, tässä ;tapauksessa pisteiden korkeusjakaantumaa.

Sekä alku- että loppupisteet (niiden korkeus) ovat siis saman veroisia ja ;toisistaan riippumattomia, ne edustavat satunnaisia maaston kor- keuspisteitä. Tunnusluvan h ⁰⁰ laskeminen muodostuu siis - saadak- semme tutun vertauksen laskutavan suhteen samanJaiseksi kuin keskimääräisen erotuksen laskeminen. Edelleen h 00 on selvästi maas- ton korkeusvamteluiden mitta, joka ei muutu siitä, vaikka maaston horisontaalista mittakaavaa muutebta.isiinkin. Mutta vertikaalimitta- kaavan muutos aiheuttaa saman suhteellisen muutoksen myös h 00 :n arvoon.

Näin ollen täyttää h 00 ne vaatimukset, mitkä kaavassa k..=:k.·A

on edellä suureelle 9 asetettu. Tunnusluku h ⁰⁰ voidaan laskea joko profiilien avulla ottamalla esim yksi korkeuspiste jokaista pituusyksik- köä kohti vaakamat:k.alla tai kartan (maaston) perusteella ottamalla

yksi korkeuspiste pintayksikköä kohti. Tunnusluku h 00 laskettuna näi- den pisteiden keskimääräisenä korkeuserona .tulee siis merkitsemään samalla kahden maas:toalueelta satunnaisesti ote- tuo pisteen keskimääräistä korkeuseroa.

Koska h.:n kasvu aikaisemmin esitetyn perusteella saattaa olla epä- säännöllinen ja koska usein joudutaan tutkimaan varsin lyhyitä profii- leja tai niiden yhdistelmiä, on .tunnusluvun h ⁰⁰ tilalle mahdollista merkitä vain A, jolloin voimme piJtää sitä eräänlaisena virtuaalisena tunnuslukuna. Alempana osoitetaan, että laskemalla h. kahdella a:n arvolla (tai toisen sijasta k..), sa'adaan myös A määritettyä. Tämän jäl- keen on helppo laskea kaikki muut h.:narvot suoraan. Näin päästään siis käyrävhlvaiseen interpolointi- ja ekstrapolointimenetelmään, mikä on suoraviivaista interpolointia parempi. Nimenomaan k.. on aina (kun se määritetään suoraan maastomittauksella) laskettava harkiten, siis

"yleistämällä" maastoa oikealla tavalla tehtävän laadusta riippuen.

Osoitamme, että yhtälöt h. = (l--e-^ka) A tai h.

=

(l--e-") h

00

e

=

luonnollisen logaritmijärjestelmän kantaluku

toteuttavat yleensä ne vaatimukset, joita teoreettisesti voidaan esittää.

Kun derlvoiInme yhtälöt a:n suhteen ja otamme derivaatan arvon pisteessä a = 0, saamme ilmeisesti arvon tunnusluvulle k.. Tällöin saamme k., = k . A .tai k. = k . h 00' kuten tulee ollakin. Kun a = 0, tulee h. = 0, mikä myös on välttämätöntä. Edelleen arvolla a = 00

saamme h. = A = h 00' kuten myös tulee ollakin. Tunnusluvun h.

kuvaaja on alussa jyrkin, mutta se loivenee jatkuvasti läheten raja- arvoa A tai h 00 ' kun. Ilo kasvaa. Puolilogaritmi!paperilla f un k t i 0 h.

on kuvattavissa suor'alla viivalla, mikä helpottaa i n t e r pol 0 i n t i te h t ä v i s s ä.

HuomattakDOD, että kun k = 0, on myös k. = 0 ja maasto siis on tasainen. Kun k = ^00, on myös k., = ⁰⁰ ja maaston kaltevuus on siis kauttaaltaan 90°. Tällöin on h. = A = h 00 riippumatta a:n arvosta.

Maasto on siis äkkijyrkänlteistä kokoonpantu. Si:käJi k:n arvon kasvu merkitsee maaston "karkeuden" jatkuvaa lisääntymistä, kuten aikai- semmin olemme selittäneetkin.

Karkeuskerroin k saadaan lasketuksi, kun h.:lle on mitattu kaksi arvoa tai toisen tilalle k. tai A (h ^{00 ).} Vastaava koskee A:n (h ⁰⁰ :n) määrittämistä, ellei sitä ltehdä suoraan. On muistettava, että h.:n ja k.:n yhitälöjä voidaan käyttää rinn.an toistensa kanssa.

Kuten helposti nähdään, täy.ttää kaikki edellä asetetut vaatimukset myös seuraava yksinkertainen yhtälö

ih.=_a_ A

a+-

1 k

missä A:n tilalle voidaan kirjoittaa h ja a sekä k ovat samat kuin

00

edellä. KununankJn empiirisen laskutavan eroja selventää osittain alempana esitetty laskuesimerkki (Enijärven maasto). Laskutapojen paremmuudesta ei sen perusteella voida tehdä varmaa johtopäätöstä.

ESIMERKKEJÄ JA SOVELLUTUKSIA Mittauksia maastossa ja kartalla

Jotta saataisiin käsitys siitä miten tarkasti kal'talta määr.itety,t k.:n arvot vastaava:t suoraan maastossa saatuja tuloksia, suoritettiin Tuusu-

lan ympäristössä koemirttauksia. Maastossa käytettiin Thommen ane- roidia, jonka mittaustarkkuuden mukaan. tapahtui pienten vaihtelui- den tasoitus. Nousut ja laskut siis merkittiin muistiin sikäli kuin kor- keusmittari pystyi ·ne ero~ttamaan, mikä merldtsee runsaan 0,5 metrin tarkkuutta. Profiilit olivat muutaman km:n luokkaa. Tunnusluku k.

osoittau.tui edullisimmaksi ilmaista prosentteina ja se vaihteli neljällä profiililla 3-9 %:n välillä. Neljä kakematonta lukijaa arvioi korkeus- vaihtelut kartan perusteella yrittäen notko- ja huippualueilla arvos- tella lisähäiriöiden suuruutta, mikä ei tietenkään näy välittömästi kar- talla. Alle on merkitty maastomittau.ksen -tulos ja havaitsijoiden tulos- ten keskimääräinen poikkeama siltä.

Maastomittaus k. (8/0)

1. 4.70 2. 6.09 3. 8.21

4. 3.49

5. 4.52 Keskim. 5.40

Keskim. poikkeama kar:talta mitattaessa

0.40 0.39 1.M 0.22 0.94 0.65

Kokemattomuuden otakia oli mittausten joukossa jokunen karkeakin virhe, jollaisista välity,tään jo vähäise.nkin rtottumuksen kautta. Toi- saalta oli havaittav,issa kuinka tärkeä.tä on., eottei kartoi.ttaja yleistä- mistä suorittaessaan muuta maaston luonnetta pyöristämällä korkeus- käyriä, jos kulmikkuus on nii:lle luonteenomaista, sillä oikea kuvaus- tapa helpottaa korkeusvaihteluiden arviointia. Merkille pantavaa on, että kartan perusteella arvioitu tulos oli 12 ltapauksessa suurempi ja vain 8 tapauksessa pienempi kuin maastomittauksen antama tulos.

Yhdellä profiililla oliva:t kaikki 4 arvioinltia liian suuria ja yhdellä taas kaiklci. liian pieniä johtuen paitsi tottumatltomuudesta myös siitä, että karttakuvaus ei antanut oikeaa kuvaa maaston pikkUipiirleisyy- destä.

Käytännön tarpeita ajatellen näyttää k.:n arviointi vottavan suorit- taa peruskartan perusteella täysin riittävällä tarkkuudella. Topografi- karttojen puuttuessa on maaston läpi suunniteltava reitti, joka tasa-

puolisesti edustaa kyseistä maastoa ja suoritettava korkeusvaihtelui- den mittaus. Kuljettu matka voidaan ottaa taloudelliselta karta1takin, ellei sitä ehditä mitata maastossa. Korkeuden mittaus ei sanottavasti hidasta etenemistä. Tunnusluvut ko, K. ja H. saadaan määritettyä samalla kertaa hyvin helpolla tavalla, mutta tunnuslukujen k .ja h.

laskeminen on hitaampaa ja vaatii lisäJtoimenpiteitä.

Topografikartan 1: 50000 lehti Enijärvi (36234) länsi- ja lounais- osan muodostaa Etelä-Suomeen verrattuna korkeahko vaaramaasto, josta kartan perusteella otettiin mitattavaksi n 80 km² alue. Keskikor- keus merenpinnasta osoittaUItui olevan n 250 m heilahtelun sen molem- min puolin ollessa keskimäärin 21.5 m. Korkeuspisteiden jakaantuma oli hämmästyttävän lähellä normaalia jakaanJtumaa. Tunnusluvulle h

00

tuli arvo 31 m. Suhdeluku 31: 21.5

=

1.44 on lähellä normaalijakaan- tuman ,teoreettista arvoa

y2 =

1.41. Kuitenkin maastossa on havait- tavissa jatkuvaa nousua lähinnä pohjoiseen, osin myös itään. Nousu pohjoiseen on noin 5 piirun (0.3°) luokkaa ja sen vaikUItus näkyy sel- västi n.:n arvoissa, kun a on suuri. Mittaamalla kartalta tasavälein yhtä kilometriä vastaavat korkeuden muutokset ja ottamalla keski- määräinen arvo, tulee h.:ksi 22.1 m, mikä e.ksponenttikaavan mukaan vastaa korkeuskerroi.nJta 0.0012 ,tai yksinker.taisemm.an, viimeksi esi.te- tyn kaavan mukaan laskettuna karkeuskerroillJta 0.0025. Tästä saamme ko:ksi 0.0012 . 31 = O. 037, siis 3.7 % tai 0.0025 . 31 = 0.077 eli 7.7 %.

Edelleen saamme K.

=

^5.8

%

.tai vastaavasti 12

%.

Suoralla mittauk- seIla arvioimme k.:n arvoksi n 6 %, jota vastaa K.

=

^{9.4 %. Laske-}

malla eksponenttikaavan mukaan ja karkeuskerrointa 0.0012 käY'ttäen h.:·n arvot 2 ja 3 kilometrin etäisyyksille saamme luvut 28 ja 30 m ja yksinkertaisemmalla kaavalla karkeuskerrointa 0.0025 käyttäen vas- taavasti 26 m ja 27 m, kun taas suorami,ttaus antaa arvot 27.4 m ja 31.5 m. Kun a suurenee, kasvaa h. maan nousun takia jatkuvasti yLi,t- täen jo 50 m, kun a on 10 km.

Mainitun Enijärven lehden luoteiskulmassa on laaja suoalue, josta siellä täällä kohoaa esiin kumpare ja laidoilla vaarojakin. Koealaksi otettiin täällä n 60 lon² pinta-ala. Pohjakorkeus oli siis kutakuinkin sama ja poikkeamat siitä ylöspäin oliva.t keskimäärin 14 m huippujen noustessa n 50 m pohjatason yläpuolelle. Jakautuma oli tyydY'1ltävän lähellä norroa·alia siJ:lä seurauksella, että negatiiviset arvot puuttuivat.

On todistettavissa, että teorian mukainen h 00 saadaan tällöin ottamalla 85 % keskimääräisestä poikkeamasta ja se olisi siten 0.85 ·14 m = 12 m.

Mittaamalla nähdään, että k. on suunnilleen -luokkaa 0.01 ja siis kar- keuskerroin luokkaa 0.001 tai alle senkin. Tällä arvona saadaan teo- reettisesti 1 km matkalle korkeuden muutos n 7.5 m ja mittaus antaa suunnilleen 5.5 m, mikä vastaa korkeuskerrointa n 0.0006.

Tunnusluvuille Lapin maastossa näyttää yleensäkin tulevan maas- ton melko suuresta korkeusvaihtelusta huolimatta suhteellisen pieniä arvoja. Vaikka korkeusvaihtelut etelämpänä ovat vähäisiä, näyJt,tävät tunnusluvut siellä nousevan melko suuriksi. Tähän palaamme alem- pana.

Maaston kulkukelpoisuus tunnuslukujen valossa

Ihmisen silmä on - etenkin ilman harjoitusta - huono arvioimaan ri!D.teiden jyrkkyyksiä maastossa. Korkea kukkula vaikuttaa vaistomai- sesti jyrkemmä1tä kuin matala ja tästä johtuva väärä asennoituminen haittaa oikean -arvostelun suorittamista. Rinteiden todellisella jyrkkyy- dellä on kuitenkin usein ratkaiseva vaikutus sekä pyörä- että telaket- jullisten ajoneuvojen liikkwnismahdollisuuksidn maastossa. Ajoneuvo- jen suhteen on vielä otettava huomioon nimenOlIJlaan niille ominainen haitta: Mitä jyrkempi rinne on, sitä enemmän ajoneuvo on pakotettu nousemaan rinnettä ylös sen jyrkimpään suuntaan. Tunnusluvulla K.

tulee &it-en olemaan suurempi merkitys kuin tunnusluvulla k..

Hevosten vähentyessä tulee sekä sotilas- että siviilitarpeiden (puu- -tavaran kuljetus) kannalta välttämättömäksi selviottää moottoriajoneu- vojen kulkukelpoisuuskysymy.k:set meikäläisessä maastossa. Yksityis- kohtaisten kulkukelpoisuuskarttojen valmistaminen on paljon aikaa viepä -työ ja silmämääräinen arviointi taas johtaa liian suuriin virhei- siin. Näin ollen on alustavasti koetettu tutkia asiaa myös tunnusluku- jen valossa, koska niiden käyttö on periaatteessa riippumaton yksilölli- sistä vaikutuksista.

Telaketjullisten ajoneuvojen nousukyvyn raja maastossa on 45 %:n rinne (45 m/100 m) ja pyöräajoneuvojen vastaavasti 30 %:n rinne.

Riittää, kun jollakin kohtaa rinteessä on tämä jyrkkyys. Näillä ehdoilla voimme täydellisen analyysin perusteella tutkia koealoja ja eroitella

niistä estemaastoksi luettavat alueet. Senjälkeen laskemme näitä alueita koskevat -tunnusluvut ja oletamme, että tunnuslukujen ja estevaiku- tusten välillä vallitsee riittävä korrelaatio, joten voimme jatkaa aluei- den luokitte1ua pelkkien tunnuslukujen perusteella.

Tutkimukset viittaavat siihen, että panssarivaunuille esteen muodos- tavassa maastossa saataisiin tunnusluvuJlek. arvoksi 16-17 %, mikä vastaa gradienttikaltevuutta K.. 25-27 %. Edelleen näyttää siltä, että Etelä-Suomessa olisivat k.:n arvot 1Q-15 % ja siis K..:n arvot 16-24

% verrattain yleisiä. Vain suppeilla alueilla näyttää k. nousevan 20

%:iin ja K. siis yli 30 %:n. PoIhjois-Suomessa. maasto lienee loivempaa suurista korkeusvaihteluista huolimatta.

Mikäli nämä alustavat tulokset ovat oikeaa suuntaa antavia, on todettava seuraavaa. Etelä-Suomen laajahkot, metsäiset mäkimaastot ovat korkeusvaihteluittensa puolesta usein lähellä esteInaaston rajaa, mutta ne jäänevät valitettavasti sen alapuolelle. Tarvitaan siis vielä muita estevaikutusta korostavia lisätekijöitä, jotka on erikseen tutkit- tava. Tällaisia ovat esim liettymiselle altis ja pehmeä maaperä, mikro- topografiset esiintymät, kuten kivisyys ja kuoppaisuus sekä riittävän tiheä puusto, jonka liiallinen harventaminen tässä mielessä O5OtttaUtuu maanpuolustuksellises1li. hyvinkin haitalliseksi. Lisältutkimukset maas- tossa lisäävät myös kustannuksia, jotka jäävät pois silloin, kun maasto pelkän korkeusvaihtelun :takia on luokiJteltavissa estemaastoksi. Este- maastossakin saattaa löytyä kulku-uria ja olisi kieltämättä eduksi löy- tää todennäköisyysluvut näille, mikäli myös riittävä korrelaatio tun- nuslukuihin tässä mielessä on olemassa.

Pyöräajoneuvoille gradienttikaltevuudet K.

=

16-24 % vastanne- vat useimmiten selvää esteInaa&toa - joitakin ehkä helposti tutkittavia ucla lukuunottamatta. Tällaisilla alueilla huolto siis vaikeutuu tai kat- keaa, ellei teitä voida käy.ttää, vaikka panssarivaunut pääsisivätkin läpi.

Edellä on tutkittu vain k.:n tai K.,:n soveltuvuutta kulkukelpoisuu- den ilmaisuun johtuen siitä, että näiden tunnuslukujen laskeminen on nopeasti suoritettava. Tunnusluku h. 8Il!taisi käsityksen odotettavissa olevten nousujen korkeudesta j-a pituudesta (moottorien ylikuumene- minen) sekä samalla maaston suurmuodoista, mutta hankalahkojen laskujen vuoksi ei tätä puolta asiassa ole tutkittu. Karkeuskertoimen

merkitystä kulkukelpoisuuden suhteen ei myöskään ole selvitetty.

Ulkomaiset tutkimukset perustuvat yleensä maaston täydelliseen ana- lyysiin, mikä korkeusvaihteluiden osalta merkitsee jokaisen jyrkän- teen etsimistä erikseen kuvatulkinnalle tai maastossa. Kokeilut on myös meillä aloitettu.

Mielikuvan saamiseksi siitä, millainen maasto profiilikuvauksena merkitsee estettä myös telaketjuajoneuvoille esitetään alla mallipiirros, joka perustuu sinikäyrään. Lukijan tulee kuv1tella kulkevansa keski- määräisessä maastossa kaltevuusgradientin suuntaan, siis kohtisuoraan korkeuskäyriä vastaan. Tätä liikesuuntaahan ajoneuvojen on nimen- omaan jyrkissä kohdissa pakko noudattaa välttyäkseen sivuliukumis- ja kaatumisvaaralta. Riittää kun käyrällä on yksi kohta nousevaJla kaa-

Piirros 9

rella, jossa kalte- vuus nousee 45

%:iin. Sinikäyrä y=Asinaon jyrkin kohdassa

a = 0 ja jyrk- kyyden ilmaisee käyrän derivaatta y' = A COSa, mikä sijoituksella a = 0 antaa tulok- sen y' = A. Saamme siis ehdon A = 0.45, jonka perusteella käyrä on piirrettävissä. Kuvaaja (piirros 9) ei silmän virheellisestä :tottumuk- sesta johtuen näytä uskottavalta. Kuitenkin profiilin keskikalitevuus on t eoree lses tt· t· ^{1 -}2A = - -0.9 ~ 029 . . Kä'" yra on ^SIIS .. k e · skimäär""· m hi 'eman

'Ir 3.14

jyrkempikin kuin estemaastoIle edellä saamamme gradienttijyrkkyys (Ko ) = 25-27 %. Pyöräajoneuvoja ajatellen sijoitamme vastaavasti A = 0.3 ja keskikaltevuudeksi tulisi 0.6

~

0.19. Estearvo K.:lle to-

3.14

dellisessa maastossa lienee tässäkin tapauksessa hieman pienempi.

Muistisääntönä voinemme (ottaen hieman varmuutta lisää) sanoa:

Maasto muodostuu esteeksi telake1juajoneuvoille, ellei muita haittoja ole, kun keskimääräinen gradienttikaltevuus K. nousee 30 %:iin (17°) ja pyöräajoneuvoille, kun se nousee 20 %:iin (11°). Edellisen luokan estemaastoja ei meillä yleensä tava.ta laajoina alueina.

Mikrotopografisille esiintymille ei kannattane laskea em periaat- teilla tunnuslukuja ainakaan kulkukelpoisuutta ajatellen. Niille voitai- siinajatella laskettavan eri periaatteilla omat tunnuslukunsa si,ten, että makro- ja mikrotopograafisten tunnuslukujen summa suoraan ilmaisisi maaston estearvon. Mikään ei estä myöskään puuston huomioon otta- mista vastaavalla ,tavalla. Tällaisen sYsteemin rakentamista ei toistai- seksi ole kokeiltu. Todettakoon tässä täydellisyyden vuoksi, että 70- 120 cm:n kovat jyrkänteet ja puolta matalampi kivikkoalue merkitse- vät jo panssarivaunuestettä, ja kuormavaunuille riittävät vastaavasti 15--30 cm:n "jyrkänteet" tai kdvikko. Panssarivaunut ja kuorma-autot voivat tasaisella maalla kier.tää harvassa olevat "mikroesteet", mutta jyrkissä rinteissä tämä ei kohtisuoran nousun takia käy päinsä.

Loppusanat

Em tunnuslukujen määrIttämisen suhteen ei voine olla huomautet- tavaa muiden kuin h.:n arvojen laskemisen osalta silloin, kun se suo- ritetaan kaavan perusteella. Jos nim maasto jatkuvasti nousee johon- kin suuntaan isol:lakin koealalla, ei funkltio asymptoi vaakasuoraa vaan nousevaa suoraa ja käyrä ,taipuu samalla ylöspäin. Enijärven esimer- 1tissä kaavalla 'laskeminen näY'ttää ,tyydyttävältä aina etäisyyteen (a) 2 km asti, mutta sitä pitempiä välejä tuskin ,tarvittaneekaan. Interpo- loitaessa voidaan kahden havainnon perusteella (joista toinen voi olla k.) laskea "virtuaalinen" suure A teoreettisen h oo:n asemesta. 'Iun- nusluvulla h 00 taas on raja-arvon ohella itsenäinen merkitys muuten- kin (kahden satunnaisesti otetun pisteen keskimääräinen korkeusero), ja se on ainoa tunnusluvuista, joka on yksinomaan korkeusvaihtelun mitta.

Jos alue, jolle tunnusluvut on määrättävä on pieni, ei tunnuslukuja h. suurille a:n arvoille voida laskea muuten kuin teoreettisesti, mutta silti ne saattavat olla vertauslukuina 1arpeen. Suurilla alueilla voidaan tietenkin poimia esim kal1talta suoraan riittävä havaintoaineisto (mit- tauksia a:n piiuisin välein) ja ,tyytyä siis "triviliaaliratkaisuun", mikä ei vaadi sen enempää teoriaa.

Edellä ei ole näytetty esimerkkejä alueiden maanJtieteellisestä jaosta tunnuslukujen perusteella (kulkukelpoisuuskysymysten yhteydessä asia oikeastaan on esillä) eikä interpolaatiotehtävistä, jotka mo1ernma,t ovat ammattialan erikoiskysymyksiä. "Jokamiehen" helposti hallitta- vissa ova,t tunnuslukujen k., K. (ja H.) laskut ja sen vuoksi juuri näiden ihnaisuarvoon on edellä lciinnitetty päähuomio. Sotilaallisesti merki,tyksellisin lienee kulkukelpoisuustutkimuksen edelleen kehittä- minen.

Maastoprofiileja muistut.tavia käyriä esiintyy kaikilla aloilla eri ilmiöiden kuvaajina. Monissa tapauksissa saattaa esitetyn teorian mu- kaisi:lle tunnusluvuille löytyä luonteva selitys, jonka avulla ilmiöiden merkitystä voidaan mitoitettavalla tavalla havainnollistaa. Olemme täl- löin kuitenkin jo varsinaisen aiheen ulkopuolella.