Analyysi IV Harjoitus 1 2003
1. Olkoon{x1, . . . , xn}lineaarisesti riippumaton avaruudenRnvektorien joukko. Todista, että jokaisella x∈Rn on korkeintaan yksi esitys muotoa x=λ1x1+· · ·+λnxn. 2. Osoita, että{e1, . . . , en}ei ole minkään avaruudenRn lineaarisesti riippumattoman
joukon aito osajoukko.
3. OlkoonV luonnollisten lukujen joukossaNmääriteltyjen reaaliarvoisten funktioiden vektoriavaruus. Etsi vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton osajoukko, jossa on 10 000 alkiota.
4. Osoita, että Määritelmän 1.5 joukkoF(S, V)varustettuna funktioiden yhteenlaskul- la ja skalaarilla kertomisella on vektoriavaruus.
5. OlkoonV eräs F-kertoiminen vektoriavaruus, {x1, . . . , xn} ⊂V ja
W ={(a1, . . . an)∈Fn|a1x1+· · ·+anxn= 0}.
Onko W vektoriavaruuden Fn lineaarinen aliavaruus?
6. Olkoon V eräs vektoriavaruus, U1 ja U2 sen lineaarisia aliavaruuksia. Näytettävä, että U1∪U2 on vektoriavaruudenV lineaarinen aliavaruus, jos ja vain jos U1 ⊂U2 tai U2 ⊂U1.
7. Osoita, että kuvausF :R3 →R2,
F(x, y, z) = (y+z, x) on lineaarinen eliF ∈L(R3,R2).
