)=OOIE 11 IOIO & 0=HEJKI '  AJAJ== AJJ L : 4n →

Analyysi II, syksy 2008 Harjoitus 9

1. Oletetaan ettäL:Rⁿ →R^p on lineaarinen kuvaus, eli että L(x+λy) =L(x) +λL(y)

kaikilla x,y∈ Rⁿ ja λ∈ R. Osoita, ettäL on dierentioituva. Mikä on kuvauksenL derivaatta eli Jacobin matriisi? (vrt. tehtävä 3)?

2. OlkoonD⊂Rⁿ avoin jaF:D→R^p funktio. Osoita, ettäFon dieren- tioituva pisteessäa ∈ D jos ja vain jos jokainen sen koordinaattifunktio on dierentioituva pisteessäa.

3. Olkoon Fkuten edellisessä tehtävässä. Osoita, että josF on dierentioi- tuva pisteessä a ∈ D, niin sen derivaatta on Jacobin matriisiJF,a. Siis osoita, että jos on olemassa sellainenp×n-matriisiAja sellainen funktio ρettäρ(h)→0kunh→0ja

F(a+h) =F(a) +Ah+khkρ(h) kunkhk on riittävän pieni, niin silloinA=JF,a.

[Vihje: valitseh=tej ja tutkiF:n koordinaattifunktioita kunt→0]

4. Tutkitaan muunnosta P napakoordinaateista karteesisiin koordinaattei- hin; siis kuvaustaP:R²→R²,

P(r, θ) = (rcosθ, rsinθ).

Onko P injektio? Missä pisteissä P on lokaalisti kääntyvä? Valitse, mi- käli mahdollista, jokin sopiva pisteen(1,7)avoin ympäristöU ja määrää käänteisfunktioP⁻¹:P(U)→U.

5. Muunnos G:R³→R³pallokoordinaateista karteesisiin koordinaatteihin määritellään kaavalla

G(r, φ, θ) = (rsinφcosθ, rsinφsinθ, rcosφ),

ja muunnosH:R³→R³sylinterikoordinaateista karteesisiin koordinaat- teihin kaavalla

H(ρ, θ, z) = (ρcosθ, ρsinθ, z).

Laske molempien kuvausten Jacobin matriisit ja niiden determinantit.

6. Olkoot GjaH kuten tehtävässä 5, ja olkoonh:R³→R kuvaus h(x, y, z) =1

2(x²+y²+z²).

Laske funktioiden h◦G ja h◦H Jacobin matriisit sekä ketjusäännöllä, että suoraan. Tulkitse tulos geometrisesti.

7. Osoita, että on olemassa pisteen x = 0 sisältävä avoin väli I ⊂ R ja sellainen yksikäsitteinenC¹-funktio g:I →R, ettäg(0) = 1jay =g(x) on yhtälön

xy⁷+x³y²=y+ 2x²−1

ratkaisu kaikillax∈I. Laske myös funktiong derivaatta pisteessä0.