Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 7. harjoitukset/Tehtävät Aiheet: Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Avainsanat:

(1)

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 7. harjoitukset

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 1/4

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku

7. harjoitukset/Tehtävät

Aiheet: Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot

Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Avainsanat:

Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Ehdollinen varianssi, Kaksiulotteinen normaalijakauma, Korrelaatio, Kovarianssi, Odotusarvo, Regressiofunktio, Tiheysfunktio, Varianssi, Yhteisjakauma

Intervalliasteikko, Järjestysasteikko, Laatueroasteikko, Nominaaliasteikko, Ordinaaliasteikko, Suhdeasteikko, Välimatka-asteikko

Aritmeettinen keskiarvo, Frekvenssi, Frekvenssijakauma, Geometrinen keskiarvo,

Harmoninen keskiarvo, Histogrammi, Järjestystunnusluvut, Keskiarvo, Luokiteltu frekvenssijakauma, Maksimi, Mediaani, Minimi, Otoshajonta, Otosvarianssi, Pylväsdiagrammi, Vaihtelu- väli, Vaihteluvälin pituus

1. Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat 2-ulotteista normaalijakaumaa parametrein

E(X) = 1 E(Y) = –1

Var(X) = D²(X) = 9 Var(Y) = D²(Y) = 4 Cor(X, Y) = 0.5

(a) Määrää muuttujien X ja Y kovarianssi.

(b) Määrää muuttujan X regressiofunktio muuttujan Y suhteen ja muuttujan Y regressiofunktio muuttujan X suhteen sekä vastaavat ehdolliset varianssit.

(c) Määrää kohdan (b) regressiofunktioita vastaavien suorien leikkauspiste ja vertaa sitä muuttujien X ja Y odotusarvojen vastaavaan pisteeseen. Mitä havaitset?

2. (a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat 2-ulotteista normaalijakaumaa parametrein

E(X) = 0 E(Y) = 1

Var(X) = D²(X) = 1 Var(Y) = D²(Y) = 4 Cov(X, Y) = –1

Määrää muuttujien X ja Y korrelaatio ja muuttujan X regressiofunktio muuttujan Y suhteen ja muuttujan Y regressiofunktio muuttujan X suhteen sekä vastaavat ehdolliset varianssit.

(2)

(b) Olkoon muuttujan X regressiosuora muuttujan Y suhteen 8 14

3 3

y= − x+

ja muuttujan Y regressiosuora muuttujan X suhteen

3 7

2 2

y= − x+

Määrää muuttujien X ja Y odotusarvot.

3. Alla on lueteltu joukko muuttujia.

1. Mansikoiden C-vitamiinipitoisuus; mg/100 g 2. Alvarin aukiolta löydetyn kasvin laji

3. Paine, joka vaaditaan teräksisen säiliön murtumiseen; kg/cm² 4. Henkilöiden reaktio väitteeseen

”Suomen on liityttävä NATO:on”

mitattuna asteikolla täysin eri mieltä, yhden tekevää, täysin samaa mieltä 5. Jokereiden sijoitus jääkiekkoliigassa; 1, 2, …

6. Teekkarin koulutusohjelma 7. Teekkarin älykkyysosamäärä; piste

8. Teekkarin pistemäärä kurssin 1. välikokeessa; 0 – 30 9. Lentokoneen nopeus; km/h

(a) Mitä mitta-asteikkoja muuttujat noudattavat?

(b) Mitkä muuttujista ovat kvalitatiivisia ja mitkä kvantitatiivisia?

(c) Mitkä muuttujista ovat diskreettejä ja mitkä jatkuvia?

4. Erään talon asukkailla on seuraavat kuukausitulot (€/kk):

20100 19400 10100 23000 24200 25100 8200 8900 10300 26000 11400 12900 13200 14300 15800 16100 17200 18900 5200 10100 12300 14000 15100 16000 11100 10800 9100 7200 4300 38000 51100 9600 10900 12000 13200 15100

(3)

Määrää aineistosta seuraavat tunnusluvut:

(a) minimi, maksimi

(b) vaihteluväli, vaihteluvälin pituus (c) mediaani

5. Muodosta tehtävän 4 aineistosta luokiteltu frekvenssijakauma, jonka luokat ovat:

4000 – 12000

12001 – 28000

28001 – 60000.

Määrää myös tätä frekvenssijakaumaa vastaavan histogrammikuvion suorakaiteiden korkeudet, kun luokkaa 4000 – 12000 vastaavan suorakaiteen korkeudeksi on valittu 15 ruutua ruudullisella paperilla. Hahmottele myös ko. histogrammikuvio paperille. Missä luokassa on jakauman moodi?

6. Määrää tehtävän 4 aineiston kahden ensimmäisen sarakkeen 8 luvusta aritmeettinen keskiarvo, otosvarianssi ja otoshajonta.

Kaavat tehtävään 6

Laskutapaan 1 liittyvät kaavat:

( )

1 2 2

1 2

1

1 1

n i i

n

x i

i

x x

n

s x x

n

s s

=

= −

−

=

∑

Laskutapaan 2 liittyvät kaavat:

1

2 2 2

1 2

1

1 1

n i i

n

x i

i

y y

x x

n

s x nx

n

s s

=

 

= −  − 

=

∑

(4)

Tehtävissä 7 ja 8 osoitetaan, että aritmeettinen keskiarvo ei ole aina käypä tunnusluku.

7. Olet ottanut 10000 euron lainan, jota ei saa lyhentää kahden ensimmäisen vuoden aikana.

Lainasopimuksen mukaan korko on 1. vuotena 10 % ja 2. vuotena 20 %, jolloin takaisin maksettava lainapääoma kasvaa kahdessa vuodessa x % (laske x).

Oletetaan, että lainasopimusta muutetaan niin, että korkona käytetään koko ajan samaa korkoa, mutta tämä vakiona pidettävä korko valitaan niin, että takaisin maksettava laina- pääoma ei kasva enempää kuin alkuperäisen sopimuksen mukaan.

(a) Totea, että x/2 %

ei ole uuden sopimuksen vakiokorko.

(b) Totea, että oikea vakiokorko saadaan laskutoimituksella

(

1.1 1.2 1 100× − ×

)

%

Huomautus: Laskutoimituksessa sovelletaan geometrisen keskiarvon kaavaa:

Positiivisten lukujen x1 , x1 , … , xn geometrinen keskiarvo on G = ⁿ x x_{1 2}"x_n

8. Paikkakuntien A ja B välimatka on 120 km. Henkilö ajaa A:sta B:hen keskinopeudella 60 km/h ja B:stä A:han keskinopeudella 120 km/h.

(a) Totea, että keskinopeus edestakaisella matkalla ei ole (60+120)/2 = 90 km/h

(b) Totea, että oikea keskinopeus saadaan laskutoimituksella 1

1 1 1

2 60 120

 + 

 

 

Huomautus: Laskutoimituksessa sovelletaan harmonisen keskiarvon kaavaa:

Positiivisten lukujen x1 , x1 , … , xn harmoninen keskiarvo on

1

1 1 ⁿ 1

i i

H

n ₌ x

=