Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku
TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 1/2
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku
4. harjoitukset/Tehtävät
Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat:
Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio, Negatiivinen binomijakauma, Odotusarvo, Otanta ilman takaisin- panoa, Otantasuhde, Otanta takaisinpanolla, Pistetodennäköisyysfunktio, Poisson-jakauma, Standardipoikkeama, Varianssi
4.1. Pelaaja heittää virheetöntä noppaa kymmenen kertaa. (Virheettömässä nopassa jokaisella silmäluvulla i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi.)
(a) Laske silmälukujen summan odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama.
(b) Pelaaja saa voittona silmälukujen summan euroina kymmenkertaisena.
Mikä on voiton odotusarvo ja standardipoikkeama?
Kannattaako peliin osallistua, kun se maksaa 400 euroa?
4.2. Kone tekee viallisia tuotteita todennäköisyydellä 0.2. Eräänä päivänä kone tekee 10 tuotetta.
(a) Mikä on todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy 2 kpl?
(b) Mikä on todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy?
(c) Mikä on odotettavissa oleva viallisten tuotteiden lukumäärä?
4.3. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen. Osa kuulista ei mahdu ko.
rajojen sisälle ja ne ovat käyttökelvottomia.
Kuulien laadunvalvonta on toteutettu niin, että joka sadas valmistettu kuula mitataan. Jos mitatun kuulan halkaisija on ko. rajojen ulkopuolella, koneen toiminta keskeytetään tarkastusta varten.
Oletetaan, että koneen valmistamista kuulista keskimäärin 1/10 on käyttökelvottomia.
(a) Millä todennäköisyydellä joudutaan tutkimaan 10 kuulaa tai enemmän, ennen kuin kone
joudutaan pysäyttämään?
(b) Millä todennäköisyydellä joudutaan tutkimaan 13 kuulaa tai enemmän, jos on tutkittu 9 kuulaa löytämättä yhtään käyttökelvotonta?
(c) Mikä on niiden kuulien odotettavissa oleva lukumäärä, jotka joudutaan tutkimaan ennen ensimmäisen käyttökelvottoman löytymistä?
X ∼ Geom(p)
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku
TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 2/2
4.4. Tehdas valmistaa tuotetta, jolla on erittäin korkeat laatukriteerit. Keskimäärin vain 60 % tuotteista täyttää kriteerit. Valitaan satunnaisesti tuotteita tarkastettavaksi, kunnes on löydetty 3 kelvollista tuotetta.
(a) Mikä on todennäköisyys, että joudutaan tarkastamaan enemmän kuin 4 tuotetta?
(b) Kuinka monta tuotetta joudutaan keskimäärin tarkastamaan?
4.5. Pakkauksessa on 100 tuotetta, joista 30 on viallista.
(a) Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on 1 viallinen tuote?
(b) Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on 1 viallinen tuote?
4.6. Tehdas väittää, että korkeintaan 1 % tuotteista on viallisia. Ostat 1000 tuotetta ja poimit satunnaisesti tarkastettavaksi 25 tuotetta ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että löydät tarkastettujen tuotteiden joukosta useampia kuin 2 viallista, jos valmistajan väite on oikeutettu?
4.7. Puhelinkeskukseen tulee keskimäärin 3 puhelua minuutissa.
Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:
(a) 30 sekunnissa ei tule yhtään puhelua?
(b) Minuutissa tulee korkeintaan 4 puhelua?
(c) Seuraavan minuutin aikana ei tule yhtään puhelua, kun edellisenä minuuttina puheluita
oli 4?
(d) Mikä on odotettavissa olevien puheluiden lukumäärä 1 tunnin aikana?
4.8. Pikkupullaan käytetään 1 dl taikinaa. Kuinka monta rusinaa 10 litraan taikinaa on pantava, jotta jokaisesta pullasta löytyisi ainakin 1 rusina vähintään todennäköisyydellä 0.95?
