Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 6. harjoitukset
TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 1/3
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku
6. harjoitukset/Tehtävät
Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat:
Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva jakauma, Kertymä- funktio, Korrelaatio, Korreloituneisuus, Kovarianssi, Odotusarvo, Pistetodennäköisyysfunktio, Regressiofunktio, Reunajakauma, Riippumattomuus, Riippuvuus, Tiheysfunktio, Varianssi, Yhteisjakauma
6.1. Heitetään kahta noppaa. Määritellään satunnaismuuttujat X = 1. nopan heiton tulos
Y = 2. nopan heiton tulos Z = X – Y
Määrää
(a) Satunnaismuuttujien X ja Z yhteisjakauma.
(b) E(Z) (c) Var(Z) (d) Cov(X, Z)
(e) Satunnaismuuttujan Z ehdollinen jakauma ehdolla X = 2.
(f) Satunnaismuuttujan X ehdollinen jakauma ehdolla Z = –3.
(g) E(Z| X)
6.2. Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio
Pr(X = 2¸ Y = 3) = Pr(X = 1¸ Y = 1) = Pr(X = –1¸ Y = 1) = Pr(X = –1¸ Y = –2) = 1/4 Määrää
(a) Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat.
(b) Cov(X, Y) (c) Cor(X, Y)
(d) Satunnaismuuttujan Y ehdolliset jakaumat.
(e) E(Y| X)
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 6. harjoitukset
TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 2/3
6.3. Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f(x, y) = C(x + y)
jossa C on vakio, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
Määrää (a) Vakio C.
(b) Pr(X ≥ Y)
(c) Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman kertymäfunktio.
(d) Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat. Ovatko X ja Y riippumattomia?
(e) Tiheysfunktio satunnaismuuttujan X ehdolliselle jakaumalle ehdolla Y.
(f) Ehdollinen odotusarvo E(X|Y).
6.4. Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f(x, y) = Cxy
jossa C on vakio, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
Määrää (a) Vakio C.
(b) Pr(0 ≤ X ≤ 1/2, 1/2 ≤ Y ≤ 1)
(c) Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman kertymäfunktio.
(d) Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat. Ovatko X ja Y riippumattomia?
(e) Tiheysfunktion satunnaismuuttujan X ehdolliselle jakaumalle ehdolla Y.
(f) Ehdollinen odotusarvo E(X|Y).
6.5. Olkoot 2-ulotteisen diskreetin jakauman pistetodennäköisyydet Pr(X = +1, Y = 0) = 1/4
Pr(X = 0, Y = +1) = 1/4 Pr(X = –1, Y = 0) = 1/4 Pr(X = 0, Y = –1) = 1/4
(a) Ovatko X ja Y korreloimattomia?
(b) Ovatko X ja Y riippumattomia?
Selitä saamasi tulos.
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 6. harjoitukset
TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 3/3
6.6. Olkoot 2-ulotteisen diskreetin jakauman pistetodennäköisyydet Pr(X = +2, Y = 4) = 1/3
Pr(X = −2, Y = 4) = 1/3 Pr(X = 0, Y = 0) = 1/3
(a) Ovatko X ja Y korreloimattomia?
(b) Ovatko X ja Y riippumattomia?
Selitä saamasi tulos.
