4.2. Jatkuva jakauma
Kasvatetaan koehenkilöiden määrää Luokkaväliä pienennetään
Histogrammin pylväiden kokonaisala = 1
”todennäköisyysmassaa” yhden pinta-alayksikön verran
y = f(x) tiheysfunktio Ala = 1
Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio
Funktio f on jatkuvan satunnaismuuttujan x tiheysfunktio, jos 1) f(x) 0 x R
2) f on jatkuva kaikkialla, paitsi ehkä ei äärellisen monessa kohdassa
3) Käyrän y = f(x) ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala = 1
Miten tutkitaan, onko funktio tiheysfunktio
Tutkitaan, täyttääkö funktio yllä olevat kolme vaatimusta
.E.1. (t.301) E.1. (t.301)
Osoita, että f(x) = ½x (0 x 2) on tiheysfunktio
1) Selvästi f(x) 0, kun 0 x 2 2) Funktio on jatkuva
3) Käyrän y = f(x) ja x akselin väliin jäävä alue on kolmio:
2 1 1 2 A
joten ehto (3) toteutuu 1 2
1
½
x y
½ 2 = 1
2 – 0 = 2
E.2.(t. 307a) E.2.(t. 307a)
Erään jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on 3 ) 2
(x ax f
välillä 0 x 3, muualla f(x) = 0 Määritä a.
Alan, jota rajoittavat x- ja y-akseli sekä suorat x = 3 ja y = ax + 2/3 oltava 1
2 3
3 ) 3 2
3 ( 2
a
A )
3 3 4
2 (
3
a 2
2 9
a 1
2 2
9 a
9 2 2 1
9
a
a
3 2/3
x y
3 – 0 = 3
3x+2/3
3
2
ax y
Tasainen jakauma
Kun aina samanpituisella alueella on sama todennäköisyys, on jakauma tasainen.
Merkitään x ~ Tas(a,b)
Tasaisen jakauman tiheysfunktio
on vakio sillä välillä [a,b], mille satunnaismuuttujan arvot voivat osua.
Tällä välillä on siis funktion arvot 1/(b - a) ts. f(x) = 1/(b - a) (ks. esimerkki 4, sivu 120)
E.3. Satunnaismuuttujan x arvot ovat jakaantuneet tasaisesti välille [2,6].
Mikä on tiheysfunktio?
f(x) = 1/(b - a)
= 1/(6 – 2)
= ¼ x [2,6]
1 2 3 4 5 6
½ 1/4
x y
4.2.2. Tiheysfunktio ja todennäköisyys 4.2.2. Tiheysfunktio ja todennäköisyys
Todennäköisyys P(c x d) on sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrä y = f(x), x-akseli sekä suorat y = c ja y = d
E.4. (t. 302) Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 2x (0 x 1).E.4.
Millä todennäköisyydellä x on a) enintään ½ b) vähintään 0,6?
4 1 2
2 1 1 A
)
a
½ 1 2
1
x y
2 ½ = 1
½ – 0 = ½
E.4. (t. 302) Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 2x (0 x 1).E.4.
Millä todennäköisyydellä x on b) vähintään 0,6?
64 , 0 4 , 2 0
2 2 , A 1
)
b
Vastaus: a) P = ¼ b) P = 0,64 ½ 1
2 1
x y
2 1 = 2
1 - 0,6 = 0,4 2 0,6 = 1,2
