2/2012
http://solmu.math.helsinki.fi
Solmu 2/2012
ISSN-L 1458-8048
ISSN 1459-0395 (Painettu) ISSN 1458-8048 (Verkkolehti) Matematiikan ja tilastotieteen laitos PL 68 (Gustaf Hällströmin katu 2b) 00014 Helsingin yliopisto
http://solmu.math.helsinki.fi Päätoimittaja:
Markku Halmetoja, lehtori, Mäntän lukio Toimitussihteeri:
Juha Ruokolainen, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Sähköposti:
toimitus@solmu.math.helsinki.fi Toimituskunta:
Pekka Alestalo, dosentti, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Heikki Apiola, dosentti, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Sirkka-Liisa Eriksson, professori, Matematiikan laitos, Tampereen teknillinen yliopisto
Aapo Halko, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Ari Koistinen, FM, Metropolia Ammattikorkeakoulu
Mika Koskenoja, yliopistonlehtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Matti Lehtinen, dosentti, Helsingin yliopisto
Liisa Näveri, tutkijatohtori, Opettajankoulutuslaitos, Helsingin yliopisto
Marjatta Näätänen, dosentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto
Antti Rasila, tutkija, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Hilkka Taavitsainen, lehtori, Ressun lukio
Graafinen avustaja:
Marjaana Beddard
Yliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkilöt:
Virpi Kauko, FT, matemaatikko, virpi@kauko.org, Jyväskylä Jorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fi
Sovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen yliopisto Jorma Merikoski, dosentti, jorma.merikoski@uta.fi
Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Tampereen yliopisto Petri Rosendahl, assistentti, petri.rosendahl@utu.fi
Matematiikan laitos, Turun yliopisto
Matti Nuortio, tutkijatohtori, matti.nuortio@oulu.fi Matemaattisten tieteiden laitos, Oulun yliopisto
Timo Tossavainen, yliopistonlehtori, timo.tossavainen@uef.fi
Soveltavan kasvatustieteen ja opettajankoulutuksen osasto, Itä-Suomen yliopisto Numeroon 3/2012 tarkoitetut kirjoitukset pyydämme lähettämään 3.9.2012 mennessä.
Kiitämme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa.
Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin, jotka ovat sitä erikseen pyytäneet. Toivomme, että lehteä kopioidaan kouluissa kaikille halukkaille.
Sisällys
Pääkirjoitus: Perusopetuksen tuntijakoesityksesta (Markku Halmetoja) . . . . 4
Väitteitä matematiikan opetuksesta ja vastauksia niihin (Tuomas Korppi) . . . . 6
Vedonlyönnin matematiikkaa (Jukka Liukkonen) . . . . 10
Piin ja taun päivät (Niklas Hietala) . . . . 13
Määrätyn integraalin opettamisesta likiarvotarkasteluin (Kyösti Tarvainen) . . . . 14
Miten integroitiin, kun ei vielä osattu integroida? (Matti Lehtinen) . . . . 18
Pääsiäinen on aina sunnuntaina (Kimmo Vehkalahti) . . . . 22
Yhtenäisyydestä (Tuomas Korppi) . . . . 29
Pythagoraan lause vektoreilla (Markku Halmetoja) . . . . 34
Perusopetuksen tuntijakoesityksestä
Matematiikan tuntimäärää ei sentään vähennetä
Perusopetuksen tuntijakoa miettinyt työryhmä on jul- kaissut raporttinsa [1] ja asia viedään päätökseen ku- luvan kevään aikana. Sisältökysymykset ratkaistaan myöhemmin opetussuunnitelmien tekemisen yhteydes- sä, mutta matematiikan asemaa tulevassa peruskoulus- sa voi arvioida jo annetun esityksen pohjalta. Työryh- mä lienee ollut tietoinen LUMA-raportissa [2, s. 16] to- detusta matematiikan tuntimäärän pienuudesta. Suo- men peruskoulussa matematiikan opiskeluun käytetään keskimäärin 2,6 viikkotuntia, kun eurooppalainen kes- kiarvo on 4,3 tuntia. Tästä huolimatta oppituntimäärä on esityksessä ennallaan. Onneksi työryhmä kuitenkin toteaa, että ”perusopetuksessa matematiikkaan varat- tua vähimmäistuntimäärää ei tulisi laskea.”
Eriyttäminen on välttämätöntä
Suomalaisesta peruskoulujärjestelmästä pyritään eräi- den lehtitietojen mukaan tekemään uusi vientituo- te. Sen markkinointi edellyttää menestymistä PISA- testeissä, mikä luo painetta laatia opetussuunnitelmat niitä silmälläpitäen. Tällöin on vaarana, että jatko- opinnoissa tarvittavat todelliset valmiudet unohtuvat lopullisesti. PISA-matematiikka on pääasiassa mate- matiikan lukutaitoa, mikä tarkoittaa suuruusluokkien arviointia, graafisten esitysten tulkintaa ja erilaisten laskentamallien antamien tulosten tarkastelua. Tämä
tärkeä kansalaistaito ei kuitenkaan riitä matematiik- kaa syvällisemmin edellyttäviin jatko-opintoihin, mis- sä oleellisinta on se, mistä tuntijakotyöryhmä raportis- saan toteaa: ”Algebran ja geometrian osaamisen on sen sijaan todettu olevan heikkoa.” Työryhmä ei ilmeises- ti ole kuitenkaan ymmärtänyt kirjoittamaansa lauset- ta, sillä esityksestä puuttuu edellisen vaalikauden viime hetken poliittisissa myrskyissä kaatuneen tuntijakoesi- tyksen sisältämä mahdollisuus pariin eriyttävään ma- tematiikan kurssiin, joilla nimenomaan voitaisiin opis- kella puuttuvia algebran ja geometrian taitoja. Toi- vottavasti päättäjillä on riittävästi kaukonäköisyyttä ja asiantuntemusta eriyttämismahdollisuuden palaut- tamiseen, sillä siinä on kyseessä loppujen lopuksi kor- keakoulujemme taso ja työpaikkojen säilyminen koti- maassa, kuten mm. LUMA-sanomissa käydyissä kes- kusteluissa on moneen kertaan todettu.
Matematiikkakin on taidetta
Tuntijakotyöryhmän raportissa esitetään taito- ja tai- deaineiden aseman parantamista. Valitettavasti ei ylei- sesti ymmärretä, että matematiikkakin kuuluu tähän aineryhmään. Miksi matematiikka on myös taidetta?
Siksi, että monet matemaattiset totuudet ovat hy- vin kauniita ja niiden löytäminen edellyttää luovaa ajattelua. Luovuuteen päästään parhaimmillaan jo pe- ruskoulun matematiikassa, sillä miltei poikkeuksetta keskimääräistä vaativammille harjoitustehtäville löytyy useita toisistaan poikkeavia ratkaisutapoja. Mutta voi-
Pääkirjoitus
daanko koulumatematiikassa päästä näkemään todel- la kauniita matematiikan tuloksia? Kyllä; seuraavassa muutama esimerkki.
Kertotaulua opeteltaessa havaitaan, jos jätetään yk- kösellä kertomiset huomiotta, että tietyt luvut eivät koskaan esiinny vastauksina. Tällaiset luvut ovat al- kulukuja. Jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää alkulukujen tulona, jolloin alkuluvut tulkitaan yksitekijäisiksi tuloiksi. Kreikkalainen matemaatikko Eukleides todisti jo yli 2000 vuotta sitten, että alkulu- kuja on ääretön määrä. Tulokseen johtava ajatuskulku on yksi matematiikan kauneimmista ja peruskoululai- sen tavoitettavissa:
Olkoot p1, p2, . . . pn äärellinen joukko alkulukuja. Täl- löin luku
m= 1 +p1p2. . . pn
ei ole jaollinen yhdelläkään niistä, sillä jokaisesta ja- kolaskusta m:pı jää jakojäännökseksi ykkönen. Kos- ka m kuitenkin voidaan esittää alkulukujen tulona, on olemassa muitakin alkulukuja kuin nuo mainitut. Siis mikään äärellinen alkulukujoukko ei sisällä kaikkia al- kulukuja.
Eräissä lukion oppikirjoissa todistetaan algebrallisesti kahden positiivisen luvun aritmeettisen, geometrisen ja harmonisen keskiarvon välinen suuruusjärjestys
H ≤ G ≤ A.
Tämä epäyhtälöketju yhtäsuuruusehtoineen voidaan päätellä myös geometrisesti oheisen kuvion avulla.
A
G H
a b
Jatko-opintojen kannalta onkin erinomaisen tärkeää, että oppilas tajuaa algebran ja geometrian välisiä yh- teyksiä.
Yllä todettiin, että alkulukuja on ääretön määrä. Nii- den ominaisuuksia tutkitaan lukiossa lukuteorian kurs- silla. Siellä todistetaan esimerkiksi, että josaon mikä
tahansa kokonaisluku ja pon alkuluku, niinap−aon jaollinen luvullap, eli
ap≡a(mod p).
Tässä kauneus ja hyöty kulkevat käsikädessä, sillä tä- män yhtälön taustalla oleviin ajatuksiin perustuu mm.
eräs nykyaikainen tiedonsalausalgoritmi.
Matematiikkaa opiskeltaessa ja opetussuunnitelmia laadittaessa ei ole mielekästä alati kysellä, missä mitä- kin osa-aluetta tarvitaan ja mitä hyötyä mistäkin yksi- tyiskohdasta on. Se on yhtä turhaa kuin veden pump- paaminen karille ajaneen laivan alle. Jos veden pin- ta nousee ja vuotoja ei ole, niin laiva irtoaa karilta.
Jos matematiikkaa opiskellaan avoimella mielellä op- piaineen omaa logiikkaa noudattaen, saavutetaan au- tomaattisesti valmiudet tarttua vaativiinkin sovelluk- siin.
Uusi professuuri
Helsingin yliopistoon on nimitetty sen historian ensim- mäinen matematiikan opettajankoulutuksen professori.
Virkaan kutsutun matematiikan tohtori Juha Oikko- sen mielenkiintoinen haastattelu on luettavissa LUMA- sanomissa [3]. Solmun toimitus onnittelee uutta profes- soria nimityksen johdosta ja toivoo syvenevää yhteis- työtä yhteisten ongelmien voittamiseksi.
Viitteet
[1] http://www.minedu.fi/OPM/Julkaisut/2012/
Tulevaisuuden_perusopetus.html
[2] LUMA – Suomen menestystekijä nyt ja tulevaisuu- dessa
http://www.oph.fi/instancedata/prime_
product_julkaisu/oph/embeds/110468_luma_
neuvottelukunnan_muistio_2009.pdf [3] http://www.luma.fi/artikkelit/1093/
tuore-matematiikan-opettajankoulutuksen- professori-kaipaa-opetukseen-lisaeae- mielekyyttae-ja-kohtaamisia
Markku Halmetoja
Pääkirjoitus
Väitteitä matematiikan opetuksesta ja vastauksia niihin
Tuomas Korppi
Maallikoilla on mitä kummallisimpia näkemyksiä ma- tematiikasta, ja nämä näkemykset heijastuvat siihen, millaisena he näkevät matematiikan kouluopetuksen1 roolin. Tässä kirjoitelmassa esitän tällaisia näkemyksiä väitemuodossa ja annan oman vastaukseni väitteisiin.
Vaikka väitteiden muotoilu on minun tekemäni, kaikil- la esitetyillä väitteillä on esikuvansa todellisuudessa.
Matematiikan luonne
Väite 1. Matematiikkahan on pelkästään joukko sopi- muksia.
Vastaus:Kaikilla tieteenaloilla on omaa erikoistermino- logiaansa, ja termien merkitykset voidaan nähdä sopi- muksina. Matematiikka ei ole mikään poikkeus, ja ma- temaatikkojen ammattikielessä tällaista termin merki- tyksen määrittelyä kutsutaanmääritelmäksi.
Määritelmät itsessään eivät ole matematiikassa se asian pihvi, vaan se, että niistä voidaan loogisesti päätellä uusia väittämiä, joita kutsutaan teoreemoiksi. Päätte- lyketjut ovat useissa tapauksissa hyvinkin monipolvi- sia, ja se, että jokin teoreema on määritelmien loogi- nen seuraus, voi olla päättelyketjua tuntemattomalle ihmiselle (jopa matemaatikolle) hyvinkin yllättävää.
Muista tieteistä matematiikka eroaa siten, että muissa tieteissä tulokset eivät ole pelkästään termien merkitys- määrittelyjen loogisia seurauksia, vaan tulokset riippu-
vat sekä termien merkityksistä että ympäröivän todel- lisuuden luonteesta.
Matematiikan varsinaisesti mielenkiintoisen sisällön voidaankin katsoa muodostuvan lauseista tyyppiä
”Näistä-ja-näistä määritelmistä seuraavat nämä-ja- nämä teoreemat”. Tällaisten lauseiden totuus tai epä- totuus ei sitten enää olekaan sopimuksenvarainen asia vaan looginen välttämättömyys.
Matematiikka suhteessa muihin kouluai- neisiin
Väite 2. Koulun on tarkoitus tarjota yleissivistystä ei- kä keskittyä insinöörien tuotantoon talouselämän palve- lukseen. Näin ollen matematiikkaa ei tule painottaa.
Vastaus:Matematiikassa on osia, jotka kuuluvat yleis- sivistykseen. Tällaista on esimerkiksi ala-asteella opit- tava peruslaskento, joka jokaisen länsimaisen ihmisen kuuluu osata. Kirjainalgebrasta yleissivistykseen kuu- luu ainakin sen ymmärtäminen, kuinka kirjainten avul- la voidaan esittää yleisiä, kaikkia lukuja koskevia väit- teitä. Tämä on yleissivistävää, koska se esittää oppi- laille uuden tavan ilmaista asioita.
Yleissivistävää materiaalia löytyy myös nykyisen kou- lukurssin ulkopuolelta. Tärkeimpänä tällaisena asiana pidän deduktiivisen metodin hallintaa, jossa lähdetään aksioomista, ja niistä käsin todistetaan eli perustellaan
1Koululla tarkoitan tässä kirjoitelmassa peruskoulua ja lukiota.
aukottomasti teoreemoja. Tämä on yleissivistävää sik- si, että tällaisessa ympäristössä tutustutaan siihen, mil- laista on tieto, joka voidaan tietää varmasti, ja joka ero- aa empiirisissä tieteissä saavutettavasta tiedosta, joka on epävarmaa.
Deduktiivinen metodi, Eukleideen geometriana, on myös kuulunut klassiseen yleissivistykseen.
Myös modernimmassa matematiikassa on osia, joiden hallinta on mielestäni yleissivistävää. Tällaisia ovat ai- nakin seuraavat:
• δ–ε-metodi, jolla jatkuvaa muutosta voidaan käsitel- lä matemaattisen täsmällisesti.
• Kardinaalilukujen teorian alkeita sen verran, että ymmärretään, että parhaiden matemaattisten teo- rioiden mukaan äärettömiä joukkoja on eri kokoisia.
• Lebesguen mitan teoria, joka kertoo, kuinka omitui- sen mallisiin joukkoihin käsitteitä ”pituus”, ”pinta- ala” ja ”tilavuus” voidaan mielekkäästi soveltaa.
• Sen ymmärtäminen, mitä Gödelin epätäydellisyys- lauseet sanovat. Tämä kertoo matemaattisen meto- din rajat. Lisäksi nämä lauseet osoittavat, että to- tuus transsendenttina ominaisuutena on erotettava todistuvuudesta inhimillisesti saavutettavissa oleva- na ominaisuutena. Monissa maallikoiden käymissä filosofisissa keskusteluissa olen huomannut, että ih- misillä on mitä kummallisimpia harhaluuloja kos- kien Gödelin epätäydellisyyslauseita.
Yllä olen esimerkinomaisesti luetellut matematiikan osia, jotka ovat yleissivistäviä. Luetteloa ei ole tar- koitettu kattavaksi; yleissivistävää materiaalia löytyy varmasti lisääkin. Näin ollen kouluopetuksen muutta- minen yleissivistävämmäksi ei tarkoita matematiikan osalta sitä, että sen määrää vähennettäisiin, vaan en- nemmin sitä, että painopistettä siirretään matematii- kan sisällä insinöörien tarvitsemasta ”välinematematii- kasta” kohti käsitteellisesti mielenkiintoista matema- tiikkaa.
Väite 3. Matematiikka ja kovat luonnontieteet edus- tavat kovia arvoja. Kouluopetuksen on sitä vastoin pai- notettava pehmeitä arvoja.
Vastaus: Ensinnäkin tekisi mieli muistuttaa Humen giljotiinista. Matematiikka ja luonnontieteet tuottavat tietoa siitä, kuinka asiat ovat, eivätkä ne suoranaisesti kerro siitä, kuinka asioiden pitäisi olla. Näin ollen ne ovat neutraaleja arvokeskustelussa.
Kovia arvoja edustaakin nähdäkseni lähinnä rahan ja yleisemmin talouden roolin painottaminen päätöksen- teossa, eikä matematiikka sinällään sano juuta eikä jaa- ta koskien sitä, pitäisikö näitä asioita painottaa.
Taloustieteen teorioissa toki sovelletaan matematiik- kaa, ja jotta ihminen voisi uskottavasti argumentoida
kovia taloudellisia arvoja kannattavia ihmisiä vastaan, hänen täytyy hallita talouden lainalaisuudet, ja näin ol- len myös matematiikkaa. Näin matematiikka on, hiu- kan kiertotietä, hyödyllistä myös ihmiselle, joka haluaa edesauttaa pehmeiden arvojen toteutumista.
Väite 4. Koulun on opetettava kriittistä ajattelua, ja sitä tukevat parhaiten humanistiset aineet, ei matema- tiikka.
Vastaus:Ensinnäkin kouluopetuksessa on sellainen on- gelma, että tieteiden metodologiaan ei yleensä päästä, mikä rajoittaa kriittisen ajattelun opettamista ylipää- tänsä, koska oppilaat eivät näe, millaisia ovat ne ajatte- lutavat, joita tiedon keräämisessä käytetään. Myös hu- manistisissa aineissa ”kriittinen ajattelu” jää koulussa usein mielipiteiden ilmaisemisen tasolle.
Matemaattinen metodi, deduktiivinen päättely, on pe- riaatteessa opetettavissa jo lukiotasolla (katso vastaus Väitteeseen 2). Tämä edesauttaa kriittisen ajattelun valmiuksia, koska oppilaat tutustuvat päättelyketjui- hin, jotka ovat tiukasti totuuden säilyttäviä. Tämä aut- taa hahmottamaan hyvän ja huonon päättelyn eroa.
On tietysti totta, että kriittinen ajattelu on paljon muutakin kuin deduktiivista päättelyä, mutta väitän, että humanististen tieteiden summittaisella painotta- misella matematiikkaan verrattuna tavoitetta ei saavu- teta. Eräs mahdollisuus kriittisen ajattelun opettami- seen olisi matemaattisen deduktion opettaminen, ja sen lisäksi väittelytaidon kurssi, jolla keskityttäisiin argu- mentaatiovirheiden karsimiseen. Argumentaatiovirheet kun ovat yleensä seurausta ajatusvirheistä.
Matemaattisista ajatusprosesseista
Väite 5. Koulun tulee opettaa luovuutta, ja koska ma- tematiikka ei ole luovaa, sitä ei tule painottaa.
Vastaus:Koulumatematiikassa hinkataan hyvin paljon mekaanisia laskutehtäviä, mikä tosiaan ei ole luovaa.
Yliopistomatematiikassa tilanne on toinen. Siellä tör- mätään ongelmiin, jotka toteuttavat molemmat seuraa- vista ehdoista:
1. Ongelman ratkaisun oikeellisuuden tarkastaminen on mekaaninen toimenpide.
2. Ongelman ratkaisun löytämiseen ei ole mekaanista menetelmää.
Tällaisissa olosuhteissa törmätään aivan omanlaiseen- sa luovuuden lajiin. Kohdan (2) takia luovuutta tosi- aan tarvitaan: Valmiin ratkaisukonseptin mekaaninen soveltaminen ei ole mahdollista. Kohdan (1) takia ke- nenkään ei ole mahdollista tarjota epäkelpoa ratkaisua ja väittää, että sen hyvyys on mielipidekysymys.
Tällainen luovuus eroaa jonkun verran siitä luovuudes- ta, jota esimerkiksi kuvataiteilija käyttää, koska esi- merkiksi tehtävänannon ”luova tulkitseminen” ei ole sallittua. Toisaalta tällainen luovuus tulee lähelle ru- noilijan luovuutta silloin kun runoilija kirjoittaa ru- noa johonkin mittaan: Mitta asettaa reunaehdot runon rytmille ja loppusoinnuille samaan tapaan kuin mate- matiikan oikeellisuuden säännöt asettavat reunaehdot matemaattisen tehtävän ratkaisulle. Nähdäkseni mit- taan kirjoittava runoilija tarvitsee vapaaseen mittaan kirjoittavaan verrattuna huomattavasti enemmän luo- vuutta, koska hänen on löydettävä sanat, jotka sekä sopivat mittaan että välittävät sen, mitä hän haluaa sanoa.
Uskoisin, että elävässä elämässä tarvitsemme enemmän matemaatikon luovuutta kuin kuvataiteilijan luovuut- ta, koska todellisuus asettaa selkeitä rajoja ratkaisujen hyvyydelle.
Näin ollen olenkin vahvasti sitä mieltä, että matema- tiikan kouluopetukseen olisi tuotava mahdollisuuksien mukaan tehtäviä, jotka toteuttavat ehdot (1) ja (2).
Eräs tehtävätyyppi, jossa tähän törmätään ilman, et- tä vaaditaan syvällistä matematiikan teorioiden tunte- musta, ovat tehtävät, joissa etsitään voittostrategioita yksinkertaisiin peleihin.
Väite 6. Matemaatikot pelkästään tuijottavat kaavoi- hinsa. Haluamme, että koulussa ihmisille opetetaan laaja-alaisempaa ymmärryskykyä.
Vastaus:Kuten edellä on tullut ilmi, matematiikka on päättelyä ja ongelmanratkaisua, ja kaavat ovat vain kieli matemaattisten asioiden esittämiseen. Itse asiassa matemaattisessa tekstissä yleensä vaihdellaan luonnol- lisen kielen ja kaavojen välillä aina sen mukaan, kum- malla on esitettävä asia helpompi ilmaista.
Matemaattisen ymmärryskyvyn omaavat ihmiset yleensä myös ymmärtävät, mistä kaavat tulevat, mikä on ainoa tapa hahmottaa jonkun kaavan sovellusalu- een rajat tai kysymys kaavan pätevyydestä ylipäätän- sä. Kritiikitön kaavan soveltaminen on yleensä merk- ki matemaattisen ymmärryskyvyn puutteesta, ja eräs matematiikan opettamisen syistä onkin antaa ihmisille ymmärrys, jolla punnita kaavoja tai matematiikkaan pohjaavia väitteitä ylipäätänsä.
Matematiikan käytännön hyöty
Väite 7. Koulujen matematiikan opetuksessa on siir- ryttävä soveltaviin tehtäviin.
Vastaus: Tässä sana ”soveltava” on aika monitulkin- tainen. Ensinnäkin sillä voidaan tarkoittaa sovelluksia käytännön elämään. Toisekseen sillä voidaan tarkoit- taa esitetyn matemaattisen teorian soveltamista uusiin
matemaattisiin ongelmiin, joilla ei välttämättä ole yh- teyttä käytännön elämään.
Mielestäni käytäntöön soveltaminen ei saa olla oppisi- sältöjen valinnassa itseisarvo. Tärkeää on se, että op- pilaat oppivat matemaattista teorianmuodostusta se- kä luovaa matemaattista ongelmanratkaisukykyä, eli yhteenvetona matemaattista ajattelua. Käytäntöön so- veltavia ongelmia kannattaa esittää vain sikäli, kun se palvelee tätä tarkoitusta. Erityisesti sellaisia soveltavia tehtäviä on vältettävä, joissa tehdään vain mekaaninen, suoraviivainen sovellutus esitetystä teoriasta.
Soveltaminen uusiin matemaattisiin ongelmiin on sel- keämmin kannatettavaa. Tällaiset tehtävät ovat hyvin usein niitä, joissa sovellus ei ole suoraviivainen, vaan vaatii kekseliäisyyttä, eli yleensä toteuttaa Väitteen 5 vastauksessa mainitut pykälät (1) ja (2).
Väite 8. Matematiikan opettaminen koulussa on tur- haa. En ole eläessäni tarvinnut derivaattaa mihinkään.
Vastaus: Ensinnäkin on kohtuutonta yleistää derivaa- tan tarpeettomuus koko matematiikan tarpeettomuu- deksi. Esimerkiksi ala-asteella opetettavia peruslasku- toimituksia jokainen tarvitsee arkipäiväisessä elämäs- sään.
Lisäksi differentiaali- ja integraalilaskenta, johon deri- vaattakin kuuluu, on välttämätöntä luonnontieteisiin ja tekniikkaan jatko-opinnoissa suuntautuville oppilaille, ja koulun on annettava valmiudet myös heille. Tässä merkittävä on lukion matematiikan jako pitkään ja ly- hyeen matematiikkaan. Ne jotka aikovat jatkossa suun- tautua luonnontieteisiin ja tekniikkaan, voivat lukiossa valita pitkän matematiikan.
Kuitenkin suuri osa koulussa opetettavasta asiasta muissakin aineissa on sellaista, jota ei jatkossa kon- kreettisesti tarvita, mutta jonka hallitsemisen katso- taan olevan arvokasta yleissivistystä. Siitä, mikä osa matematiikasta on mielestäni tällaista, olen kirjoitta- nut Väitteen 2 vastauksessa.
On totta, että en katso derivaatan kuuluvan matemaat- tiseen perusyleissivistykseen. Sitä vastoin differentiaali- ja integraalilaskentaa tarvitaan hyvinkin yksinkertai- sen fysiikan ymmärtämisessä. Esimerkiksi nopeus on kuljetun matkan derivaatta ajan suhteen. Mielestäni tietty määrä fysiikkaa, ympäröivän todellisuuden pe- rimmäisten lainalaisuuksien tutkimisena, kuuluu yleis- sivistykseen jos mikä. Näin derivaattakin kuuluu yleis- sivistykseen, ei osana matemaattista yleissivistystä vaan osana fysikaalista yleissivistystä.
Liite: Aksioomien ja määritelmien suh- teesta
Väitteen 1 vastauksessa puhun siitä, että teoreemat seuraavat määritelmistä. Koska joillekin koelukijoilleni
heräsi kysymys, eikö aksioomia tarvita myös, selvennän tässä liitteessä kantaani.
Tässä kannattaa huomata aksiooman roolin muuttumi- nen antiikista nykyaikaan. Aiemmin aksioomia pidet- tiin itsestäänselvyyksinä, jotka eivät tarvinneet perus- telua, ja joita siksi voitiin pitää päättelyn lähtökohta- na.
Nykyisin aksioomiin ei liity tuollaista itsestäänselvyy- den vaatimusta, ja ne esiintyvät osana määritelmiä.
Esimerkiksi topologinen avaruus määritellään miksi ta- hansa systeemiksi, joka toteuttaa topologisen avaruu- den aksioomat. Ryhmät määritellään samalla tavoin aksiomaattisesti. Itse yleistäisin vielä tästä, ja pitäisin esimerkiksi 2. kertaluvun Peanon aksioomia luonnollis- ten lukujen systeemin määritelmänä: Määrittelen luon- nollisten lukujen systeemin siksi isomorfiaa vaille yksi- käsitteiseksi systeemiksi, joka toteuttaa 2. kertaluvun Peanon aksioomat. Reaaliluvut määrittelen vastaavas- ti.
Tällä lähestymistavalla tarvitsemme matematiikan läh- tökohdaksi kolme asiaa:
1. Määritelmät
2. Päättelysäännöt
3. Matemaattisen konstruoimisen säännöt
Väitteen 1 vastauksessa tarkoitukseni oli käyttää sa- naa ”looginen” löyhässä mielessä niin, että se kattaa pykälät (2) ja (3). Jos ollaan tarkkoja, ylläoleva lista tarkentuu muotoon
1. Määritelmät
2. 1. kertaluvun predikaattilogiikka 3. ZFC-joukko-opin aksioomat
Näin ZFC-joukko-opin aksioomat (tai, jos niin halu- taan, joku niiden vahvennus, jossa voidaan puhua myös aidoista luokista) ovat ainoa aksioomien muoto, jot- ka ovat aksioomia vanhassa, antiikinaikaisessa mieles- sä. Puolustan kuitenkin niiden sisällyttämistä ”logiik- kaan” vastauksessani sillä, että suuri osa matemaati- koista ei edes tunne kyseisiä aksioomia perusteellisesti, vaan suorittavat matemaattiset konstruktiot itsestään- selvänä pitämällään tavalla, joka yhtyy ZFC:ssä sallit- tuihin operaatioihin.
Diplomitehtävien oheislukemistoa
Osoitteessa http://solmu.math.helsinki.fi/diplomi.html on diplomitehtäville oheislukemistoa, joka var- masti kiinnostaa muitakin kuin diplomien tekijöitä:
Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat?
Murtolukujen laskutoimituksia Negatiivisista luvuista
Hiukan osittelulaista
Lausekkeet, kaavat ja yhtälöt Äärettömistä joukoista
Erkki Luoma-aho: Matematiikan peruskäsitteiden historia Gaussin jalanjäljissä
K. Väisälä: Algebra Yläkoulun geometriaa
Geometrisen todistamisen harjoitus K. Väisälä: Geometria
Lukuteorian diplomitehtävät
Vedonlyönnin matematiikkaa
Jukka Liukkonen
Metropolia ammattikorkeakoulu
Vedonlyönnissä vedonlyöntitoimisto sitoutuu maksa- maan vedonlyöjälle eliasiakkaallehänen vetoon sijoit- tamansa rahamäärän eli panoksen tietyllä kertoimel- la kerrottuna, mikäli vedonlyöjän veikkaama tulos to- teutuu. Muussa tapauksessa asiakkaan maksamat ra- hat jäävät vedonlyöntitoimistolle. Jos toimisto julkis- taa kertoimet ennen vedonlyönnin alkamista, kertoimia sanotaan kiinteiksi. Käytännössä kertoimet useimmi- ten määräytyvät asiakkaiden yhteenlaskettujen panos- ten perusteella ja ne muuttuvat sitä mukaa kun uusia vetoja lyödään. Tämän esityksen tavoitteena on tutus- tuttaa lukija (itse asiassa kirjoittaja, jos rehellisiä ol- laan!) vedonlyönnin matematiikkaan ja erityisesti ar- bitraasin käsitteeseen. Sen takia tarkastelemme mah- dollisimman yksinkertaista tilannetta, jossa kertoimet ovat kiinteät.
Olkoon vedonlyönninkohteena kahden jalkapallojouk- kueen, sanokaamme FC1 ja FC2, tietyn pelin tulokset kiinteillä kertoimilla. Tulosvaihtoehdot ovat
(1) joukkue FC1voittaa,
(x) joukkueet pelaavat tasapelin ja (2) joukkue FC2voittaa.
Kun tulokset koodataan reaaliluvuiksix1,x2jax3, nii- tä voidaan pitää satunnaismuuttujan X arvoina: esi- merkiksi x1 = 1 (FC1 voittaa), x2 = 1.5 (tasapeli) ja x3 = 2 (FC2 voittaa). Vedonlyöntitoimisto asettaa ve- donlyöntikertoimetλ1,λ2 jaλ3 sen perusteella, miten
todennäköisiksi se arvioi pelin tulosvaihtoehdot. Ker- toimiin vaikuttaa luonnollisesti myös se, kuinka suu- ren osan asiakkaan sijoittamista varoista toimisto kes- kimäärin haluaa palauttaa asiakkaalle. Olkoot kohteen tulosvaihtoehtojen x1, x2 ja x3 arvioidut todennäköi- syydet vastaavasti p1, p2 ja p3. Niiden summan tulee tietysti olla yksi:
p1+p2+p3=
3
X
k=1
pk = 1. (1) Jos asiakas sijoittaa vetoihin tulostenx1,x2jax3puo- lestar1, r2 jar3 euroa tässä järjestyksessä, asiakkaan saamapalautuson vastaavastiλ1r1,λ2r2 taiλ3r3 riip- puen siitä, mikä tulosvaihtoehdoista toteutuu:
Pelintulos näköisyysToden- Kerroin Panos Palautus
x1 p1 λ1 r1 λ1r1
x2 p2 λ2 r2 λ2r2
x3 p3 λ3 r3 λ3r3
Asiakkaan saaman palautuksen odotusarvoµon µ=p1λ1r1+p2λ2r2+p3λ3r3=
3
X
k=1
pkλkrk.
Merkitään symbolilla r asiakkaan sijoittamien panos- ten summaa:
r=r1+r2+r3=
3
X
k=1
rk.
Suhdettaµ/r kutsutaan palautusprosentiksi. Jotta ve- donlyöntitoimisto hyötyisi toiminnastaan taloudellises- ti, palautusprosentin tulee olla pienempi kuin yksi – siis alle 100 %. Yleisessä tapauksessa palautusprosentti riippuu panoksistark. Kertoimetλkon kuitenkin mah- dollista säätää panosinvarianteiksi eli sellaisiksi, että palautusprosentti ei riipu panoksista. Tällöin panos- tuksilla
r1=r r2= 0 r3= 0
r1= 0 r2=r r3= 0
r1= 0 r2= 0 r3=r tulee olla sama palautusprosenttic. Vaatimukset
c= µ
r =piλir r =piλi
johtavatpanosinvarianssiehtoihin λi= c
pi
⇔ pi = c λi
, i= 1,2,3. (2) Merkitsemällä
Λ =
3
X
i=1
1 λi
ja ottamalla huomioon yhtälö (1) saadaan 1
c = 1 c
3
X
i=1
pi=
3
X
i=1
pi
c
=
3
X
i=1
1 λi
= Λ ⇒ c= 1
Λ. (3)
Tässä artikkelissa kertoimet oletetaan panosinvarian- teiksi, ellei erikseen mainita.
Esimerkki 1. Olkoot vedonlyöntitoimiston ilmoitta- mat panosinvariantit vedonlyöntikertoimetλ1 = 2.30, λ2= 2.90 jaλ3= 3.00. Koska
Λ = 1 2.30+ 1
2.90+ 1
3.00≈1.1129, palautusprosentti on
c≈ 1
1.1129≈0.8986≈90 %.
Vedonlyöntitoimiston arvioimat todennäköisyydet ovat siten
p1= c λ1
≈0.8986
2.30 ≈0.3907≈39 % p2= c
λ2
≈0.8986
2.90 ≈0.3099≈31 % p3= c
λ3
≈0.8986
3.00 ≈0.2995≈30 %
Summasta
3
X
k=1
crλ−1k =cr
3
X
k=1
1 λk
=crΛ(3)= r nähdään, että panokset voidaan asettaa kaavan
rk =crλ−1k (4) mukaisiksi, k = 1,2,3. Tällä panostuksella asiakkaan saama palautus on aina tasan cr. Vaihtoehdonxi to- teutuessa nimittäin palautus on λiri = λicrλ−1i =cr kaikilla i = 1,2,3. Panostusta (4) voidaan siis kutsua neutraaliksi panostukseksi. Tilanne muuttuu asiakkaan kannalta mielenkiintoiseksi, jos
Λ<1. (5)
Silloin palautusprosentti on yhtälön (3) nojalla suurem- pi kuin 100 %. Mikään positiiviseen taloudelliseen tu- lokseen tähtäävä vedonlyöntitoimisto ei tahallaan aseta tällaisia kertoimia, mutta entä jos toimistoja on useita ja niillä on erilaiset kertoimet samalle kohteelle. Asia- kashan voi hajauttaa vetonsa eri toimistojen kesken.
Toimistot ovat saattaneet arvioida kohteen tulosvaih- toehtojen todennäköisyydet eri tavalla, mistä on seu- rauksena eri kertoimet yhtälön (2) mukaisesti.
Olkoon ehto (5) voimassa. Tutkitaan mahdollisuutta saada voitto v varmasti. Kaikilla i = 1,2,3 pitää siis olla
λiri−r=v ⇔ ri= r+v λi
. (6)
Summaamalla saadaan r=
3
X
i=1
ri = (r+v)
3
X
i=1
1 λi
= (r+v)Λ
⇔ (1−Λ)r=vΛ
⇔ r= Λ
1−Λ v. (7)
Tällöin
ri (6)=
Λ
1−Λv+v λi
= v
(1−Λ)λi
.
Yhteenvetona saadaan seuraava tulos:
Lause 1. Jos vedonlyöntikertoimet toteuttavat yhtälön Λ<1, ja panokset ovat
ri= v (1−Λ)λi
, i= 1,2,3,
asiakas saa aina positiivisen voitonvriippumatta siitä, mikä tulosvaihtoehdoista x1,x2 ja x3 toteutuu.
Lauseessa kuvattu vedonlyöntimenettely on esimerkki arbitraasista, hinnoitteluerojen mahdollistamasta ris- kittömään tuottoon johtavasta toimintatavasta. Arbit- raasi voidaan toteuttaa vain ehdolla Λ<1.
Esimerkki 2. Muutetaan esimerkki 1 sellaiseksi, et- tä vetoa lyödään samanaikaisesti kolmessa vedonlyön- titoimistossa. Oheiseen taulukkoon on merkitty kun- kin toimiston osalta palautusprosentti ja toimiston ar- vio tulosvaihtoehtojen todennäköisyyksistä. Lopuksi on laskettu kerrointen käänteisluvuilleλ−1k =pkc−1likiar- vot. Toimisto numero 3 on sama kuin esimerkissä 1.
Tsto Pal.- pros.
Toden- Kerrointen käänteisluvut näköisyydet
prosentteina
c p1 p2 p3 λ−11 λ−12 λ−13
1 95 35 29 36 0.37 0.31 0.38
2 93 42 26 32 0.45 0.28 0.34
3 90 39 31 30 0.43 0.34 0.33
Ideana on veikata kussakin toimistossa vain yhtä tulos- vaihtoehtoa. Katsomalla kolmelta viimeisimmältä sa- rakkeelta pienimmät luvut havaitaan, että summa Λ = λ−11+λ−21+λ−31saa pienimmän arvon, kun toimistossa 1 veikataan tulostax1, toimistossa 2 veikataan tulosta x2ja toimistossa 3 veikataan tulostax3(sattumalta tu- li sama järjestys). Koska tämä pienin arvo on 0.98<1, voimme soveltaa arbitraasivedonlyöntiä.
Seuraavassa taulukossa ajatellaan, että vetoa lyödään kuvitteellisessa toimistossa, jonka kertoimet on ke- rätty kolmesta todellisesta toimistosta edellä kuvatun mukaisesti. Todennäköisyyksiä merkitään sekaannus- ten välttämiseksi symbolilla qk. Viimeisille sarakkeil- le on laskettu kertoimetλk =ckq−1k ja panoksetrk = v(1−Λ)−1λ−1k . Laskenta on tehty maksimitarkkuudel- la, mutta luvut esitetään kahdella desimaalilla. Panok- set on laskettu päämääränä saada 100 euron varma voitto. Siisv= 100.
Tsto Pal.- Todennäk. Kerroin Panos
pros. pros. eur
k ck qk λk rk
1 95 35 2.71 1972.73
2 93 26 3.58 1496.97
3 90 30 3.00 1784.85
Σ 91 5254.55
Koska toimistot ovat erimielisiä todennäköisyyksistä, hajautetussa vedossa eri tulosvaihtoehtojen arvioitujen todennäköisyyksien summa on 91 % eikä 100 %. Asiak- kaan saama voitto 100 euroa on vain 1.9 % noin 5250
euron kokonaispanoksesta, mutta se on riskitöntä tuot- toa. Muutama tällainen voitto vuodessa tuottaisi sijoi- tetulle pääomalle tavoittelemisen arvoisen koron.
Otetaanpa vielä korostetun yksinkertainen ja äärim- mäinen esimerkki, jotta varman voiton mahdollisuus tietyissä olosuhteissa tulisi varmasti selväksi:
Esimerkki 3. Olkoon veikattavassa kohteessa kaksi tulosvaihtoehtoa x1 ja x2. Hajautetaan veto kahteen toimistoon T1 ja T2, joilla kummallakin on palautus- prosentti 90 %. Toimisto T1 arvioi tuloksenx1 toden- näköisyydeksi 75 % ja tuloksenx2 todennäköisyydeksi 25 %. Toimiston mielestä tulosx2tulee siis keskimäärin joka neljännellä pelikerralla. Jos toimisto ei tavoittelisi taloudellista hyötyä, se maksaisi tulosvaihtoehdolle x2
asetetun panoksen nelinkertaisena takaisin asiakkaalle aina, kun tulosx2sattuu tulemaan. Toimisto kuitenkin haluaa asiakkaan panoksista keskimäärin 10 % itsel- leen, joten se maksaa tuloksenx2 toteutuessa sille ase- tetun panoksen vain 3.6-kertaisena takaisin. Vastaavin perustein toimisto maksaa tulokselle x1 asetetun pa- noksen kertoimella 1.2 kerrottuna takaisin tuloksenx1
toteutuessa. Toimisto T2 arvioi todennäköisyydet juu- ri päinvastoin. Sen mielestä tuloksenx1todennäköisyys on 25 % ja tuloksenx2 todennäköisyys on 75 %.
Toimisto Pal.pros.
Toden-
Kertoimet näköisyydet
prosentteina
p1 p2 λ1 λ2
T1 90 75 25 1.2 3.6
T2 90 25 75 3.6 1.2
Asiakkaan kannalta merkitykselliset tosiasiat ovat seu- raavat:
1) Tuloksenx2toteutuessa T1maksaa vaihtoehdollex2
asetetun panoksen 3.6-kertaisena takaisin.
2) Tuloksenx1toteutuessa T2maksaa vaihtoehdollex1
asetetun panoksen 3.6-kertaisena takaisin.
Asiakas päättää lyödä toimiston T1 kanssa 100 eurol- la vetoa sen puolesta, ettäx2toteutuu. Lisäksi asiakas päättää lyödä toimiston T2 kanssa 100 eurolla vetoa sen puolesta, että x2 ei toteudu eli että x1 toteutuu.
Tapahtuipa sitten niin tai näin, asiakas saa aina 360 euroa takaisin. Voitto on 160 euroa 200 euron sijoituk- sella. Asiakas saa siis 80 % riskittömän tuoton sijoitta- malleen pääomalle.
Verkko-Solmun oppimateriaalit ovat nyt omalla sivullaan
http://solmu.math.helsinki.fi/oppimateriaalit.html
Piin ja taun päivät
Niklas Hietala
Joka maaliskuun 14. päivänä monet matemaatikot tai muuten matematiikasta innostuneet juhlivat piin päi- vää. Päivän suosio on suurimmillaan maissa, joissa päi- vämäärät kirjoitetaan nurinkurisessa järjestyksessä eli kuukausi ennen päivää. 3.14. – 14. maaliskuuta – on tietenkin piin likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella.
Suomalaiseen päivämääräjärjestelmään sopivampi juh- lapäivä piille olisi 22.7. (eli 22/7), koska hyvä likiarvo piille on 227. Tämä päivä ei kuitenkaan ole saavuttanut kovin suurta suosiota. Ehkä murtolukulikiarvot eivät ole digitaalisessa maailmassa enää niin tärkeitä.
Englanninkielisissä maissa iso osa piin päivän juhlintaa on piirakoiden leipominen ja syönti (lausutaanhan ’pi’
ja ’pie’ samalla tavalla). Onko pii-rakoilla yhtä suuri rooli suomalaisessa piin päivässä? Pii-rakoista puhumi- nen ei kuulosta kauhean herkulliselta. Jospiirakat ovat osa piin päivää, niin miksei yhtälaillapiimä,piiloleikit japiirtäminen? Ehkei kuitenkaanpiikit,piiskaaminen japiina.
Suomenkielen sana pii ei tarkoita vain kreikan kirjainta ja matemaattista vakiota, vaan myös alkuainetta. Kos- ka piitä käytetään mikropiirien valmistamiseen, niin ehkä piin päivä voisikin olla matemaatikkojen ja tie- tojenkäsittelytieteilijöiden yhteinen juhlapäivä.
En osaa oikein päättää, tulisiko minun suomalaisena juhlia piin päivää maaliskuussa ja näin osoittaa tukeni takaperoiselle päivämäärämerkinnälle. Ehkä ongelma ratkeaa hylkäämällä pii. Piihän on väärin, kuten esi- merkiksi Bob Palais (The Mathematical Intelligencer, 23 (3), s. 7, 2001) ja Michael Hartl (tauday.com) ovat tuoneet esiin. Ei piissä sinällään mitään vikaa ole. On
vain kummallista, että puhumme ympyrän kehän ja halkaisijan suhteesta, emmekä kehän ja säteen suhtees- ta. Yleensähän ympyröistä puhuttaessa säde on halkai- sijaa paljon tärkeämmässä asemassa.
Halkaisijan käyttö säteen sijasta johtaa joihinkin epä- loogisuuksiin. Radiaaneissa täysi kierros on 2π. Miksi tässä täytyy olla tuo kakkonen mukana? Radiaanien oppiminen olisi varmaan helpompaa, jos näin ei olisi.
Samaten kerroin 2πtulee esiin lukuisissa eri yhteyksis- sä, joissa olisi kätevämpää, että olisi vain yksi merkki.
Piin kilpailijalle, kehän ja säteen suhteelle, on ehdo- tettu nimeä tau. Olisi siis τ = 2π. Englanninkieliselle tau on helppo muistaa siitä, että kierros eli ’turn’ alkaa t:llä. Suomenkielinen voisi pitää muistisääntönään sitä, että tau tarkoittaa täyttä kierrosta ja piipuolta kier- rosta. Symboli τ muistuttaa myös π:tä. Tau on kuin pii, jolta on yksi jalka katkaistu. Tau on siis kuin vii- va, jonka alla on yksi jalka – kierros jaettuna yhdellä – ja pii on viiva, jonka alla on kaksi jalkaa – kierros jaettuna kahdella.
Taun päivää vietetään kesäkuun 28. päivänä. Jälleen nurinperinen järjestys 6.28. Milloin olisi suomalainen taun päivä? Ehkä tulisi tyytyä yhden desimaalin tark- kuuteen ja viettää taun päivää 6.2. Vai pyöristyisikö se pikemminkin maaliskuun kuudenteen? Vaikka alistuisi- kin vieraaseen merkintätapaan ja viettäisi taun päivää kansainvälisyyden hengessä 28.6. (tai siis 6.28.), niin yksi kysymys jää kuitenkin vaille vastausta: miten tä- tä päivää vietetään, kun ei kai silloin oikein sovi pii- rakoitakaan syödä? Vai olisiko piirakoiden tuhoaminen syömällä juuri oikeanlainen protesti piitä vastaan?
Määrätyn integraalin opettamisesta likiarvotarkasteluin
Kyösti Tarvainen
Matematiikan yliopettaja, Metropolia ammattikorkeakoulu
Johdanto
Määrätyn integraalin lauseke muodostetaan fysiikan ja tekniikan sovellutuksissa päättelyllä, joka lähtee liik- keelle likiarvosummista (myös differentiaalisten tarkas- telujen pohjalla ovat likiarvosummat). Jatko-opintoja ajatellen olisi siten tarpeen, että lukion matematiikas- sa määrätty integraali esiteltäisiin ja määriteltäisiin vastaavanlaisella tavalla. Näin tehtiin legendaarisessa Väisälän oppikirjassa [1], mutta nykyisin lukiokirjoissa määrättyjä integraaleja esitellään myös tavoilla, jotka poikkeavat sovellutuksissa käytetyistä tarkastelutavois- ta.
Pari kirjaa ovat jopa suoraan määritelleet määrätyn in- tegraalin integraalifunktion avulla, pitäen yhtälöä
Z b a
f(x)dx=F(b)−F(a), (*) jossaF onf:n integraalifunktio, määrätyn integraalin matemaattisena määritelmänä. Mutta se, että määrät- ty integraali voidaan laskea tämän yhtälön avulla ilman likiarvosummia, on matematiikan tärkeimpiä tuloksia, ei määritelmä. Ilmeisesti se, että yhtälö (*) on halut- tu esittää määrätyn integraalin määritelmänä, johtuu siitä, että näin vältytään likiarvotarkasteluilta.
Mutta sovellutuksissa määrättyjä integraaleja johdet- taessa ei voi välttyä likiarvotarkasteluista. Selvennyk- seksi todettakoon, että niissä ei ole kyse puhtaasti
matemaattisesta kysymyksestä, lähestyykö jokin mate- maattinen likiarvosumma (esimerkiksi Riemannin sum- ma) jotain tiettyä matemaattista arvoa. Kyse on siitä, onko jokin likiarvosumma niin hyvä likiarvo jonkin geo- metrisen tai fysikaalisen suureen arvolle, että tämä li- kiarvo lähestyy tämän geometrisen tai fysikaalisen suu- reen tarkkaa arvoa.
Seuraavassa esitetään ensin yleinen kuvaus, miten mää- rätyn integraalin lausekkeita johdetaan sovellutuksissa lähtien liikkeelle likiarvosummista. Vaikeutena on usein nähdä se, että likiarvosummat lähestyvät laskettavan suureen tarkkaa arvoa. Kirjoituksen tarkoituksena on esittää erilaisia tapoja, jotka auttavat näissä likiarvo- tarkasteluissa.
Abstrakti kuvaus määrätyn integraalin lausekkeen muodostamisesta
Sovellutusten kannalta määrätty integraali Rb
af(x)dx on tietynlaisiin likiarvosummiin liittyvän tarkan arvon symboli. Tarkempi kuvaus on pitkä, mutta sinänsä ky- se ei ole vaikeasta asiasta, sillä määrättyjä integraaleja laskettiin jo Antiikissa. Seuraavassa esitetään yleisellä tasolla kuvaus määrätyn integraalin muodostamisesta, joka vastaa sitä tapaa, jolla jo Leibnitz johti määrät- tyjen integraalien lausekkeita (joita hän merkitsi vain hieman nykykäytännöstä poikkeavalla tavalla).
1) Meillä on lukusuoran, esimerkiksi x-akselin, väli [a, b], jossab > a. Tämä väli voi olla suoraan tarkas-
telun alainen tai meillä voi olla esimerkiksi kappale, johon liitetäänx-akseli, ja kappale rajautuu tällöin välille [a, b].
2) Meidän on laskettava tähän väliin liittyvän suureen arvo. Ongelmana on se, että laskettavan suureen ar- voon vaikuttaa jokin x:n funktio f(x), joka olkoon jatkuva. Oletetaan, että me kuitenkin pystymme las- kemaan vastaavan vakiotapauksen (f(x) on vakio) siten, että laskettavan suureen arvo välillä [a, b] ja kaikilla sen osaväleillä saadaan kertomalla vakioar- vo välin pituudella (vakiokaava).
3) Oletetaan, että vaikeampi tapaus, jossa f(x) ei ole vakio välillä [a, b], voidaan geometrisen tai fysikaa- lisen näkemyksen perusteella ratkaista likimäärin seuraavasti vakiokaavaa käyttämällä. Jaetaan väli [a, b] n:ään yhtä pitkään osaväliin, joiden pituutta merkitään ∆x:llä. Merkitään osavälien alkupisteitä x1(= a), x2, x3, . . . , xn. Ideana on se, että kullakin osavälillä jatkuva funktiof(x) ei ehdi muuttua pal- jon eli kullakin osavälillä funktio on likipitäen va- kio – sitä tarkemmin, mitä lyhempiä osavälit ovat eli mitä enemmän niitä on. Määrätään tarkastel- tavan suureen likiarvo kullakin osavälillä vakiokaa- van avulla kertoen funktion f arvo osavälin alku- pisteessä osavälin pituudella ∆xelik:nnen osavälin (k = 1,2, . . . , n) kohdalla laskettavan suureen liki- määräinenkertymä onf(xk)∆x.
4) Oletetaan (käytännössä tämä on yleensä selvä asia geometrisen tai fysikaalisen näkemyksen perusteel- la), että laskettavan suureen tarkka arvo koko tar- kasteluvälillä [a, b] saadaan summana osaväleillä ta- pahtuvien kertymien tarkoista arvoista. Täten ko- ko välillä [a, b] laskettavan suureen likiarvo saadaan osaväleillä tapahtuvien kertymien likiarvojen sum- manaPn
k=1f(xk)∆x.
5) Oletetaan (tämä voi olla vaikea nähdä geometrises- ti tai fysikaalisesti; siksi siitä jäljempänä), että li- kiarvoPn
k=1f(xk)∆xlähestyy laskettavan suureen tarkkaa arvoa, kun osavälien lukumäärä n kasvaa rajatta.
6) Tällöin tarkkaa arvoa merkitään symbolilla Rb
af(x)dx, joka heijastaa likiarvosummia, joilla yhä tarkempia likiarvoja voidaan määrittää.
Tämä likiarvostrategia keksittiin siis jo Antiikissa. Ark- himedes pystyi esimerkiksi pallon tilavuuden likiarvo- summien (palloa approksimoivien kiekkojen tilavuuk- sien summien) avulla päättelemään, mitä arvoa ne lähestyvät. Pallon tilavuuden määrittämistä hän piti elämänsä suurimpana saavutuksena. Sittemmin 1600- luvulla, derivaatan keksimisen jälkeen, keksittiin myös, miten tarkka arvo voidaan laskea ilman likiarvosummia yhtälön (*) avulla.
Huomautus. Joissain sovellutuksissa meillä on suoraan lähtökohtana 4. kohdan likiarvosummat
Pn
k=1f(xk)∆x. Näin on esimerkiksi tarkasteltaessa ve- den paineen aiheuttamaa kokonaisvoimaa padon seinä- mään.
Huomautus. Koska määrätyn integraalin lausekkei- den johtamisessa toistuu aina samanlaisia merkintöjä ja päättelyitä, tekniikan ja fysiikan sovellutuksissa nä- mä johdot tehdään virtaviivaistetustidifferentiaalisella päättelyllä.
Likiarvostrategiaan ja sen toimivuuteen tutustutaan luonnollisesti ensin numeerisilla esimerkeillä. Olen huo- mannut ammattikorkeakoulussa, että opiskelijat pitä- vät siitä, että tässäkin palataan historiassa taaksepäin eli siihen tapaan, jolla Arkhimedes määritti likiarvoja.
Arkhimedeen ala- ja ylälikiarvoja määrä- tylle integraalille
Arkhimedes sovelsi likiarvo-strategiaa aina siten, että hän määräsi laskettavalle arvolle ala- ja ylälikiarvot.
Alalikiarvon hän sai, kun hän kullakin osavälillä käytti sellaista funktion f(x) osavälillä saamaa arvoaf(x′k), että likimääräinen kertymä f(x′k)∆x on pienempi tai yhtä suuri kuin todellinen kertymä kyseisellä osavälil- lä. Vastaavasti hän määritti ylälikiarvon.
Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä: on määrättävä li- kiarvo x-akselin välin [0,1] yläpuolelle ja funktion f(x) = −3x2 + 8x+ 1 kuvaajan alapuolelle jäävälle pinta-alalle (kuva 1).
Kuva 1. Funktionf(x) =−3x2+ 8x+ 1kuvaaja välillä [0,1]. Vasemmassa osakuvassa väli on jaettu 10 osavä- liin ja kullakin osavälillä funktiota on esitetty likimää- rin vakiofunktiolla, jonka arvo on funktion arvo osavä- lin alkupisteessä. Oikeassa osakuvassa osavälejä on 50.
Sovelletaan tähän esimerkkiin edellä selostettua likiar- vomenettelyä. Vakiotapauksena on nyt suorakaiteen pinta-alan määrääminen (korkeus on vakio). Kuvan 1 vasempaan osakuvaan on piirretty tapaus, jossa väli
[0,1] on jaettu kymmeneen osaväliin. Kunkin osavä- lin yläpuolella olevan pinta-alan suuruus lasketaan liki- määrin suorakaiteen avulla, jonka korkeus on funktion kuvaajan korkeus osavälin alkupisteessä.
Kun kymmenen osavälin tapauksessa sovelletaan edel- lä kuvattua likiarvomenettelyä, kohdassa 4 päädytään pinta-alan likiarvoon 3,745. Tämä likiarvo onkin ala- likiarvo pinta-alalle, sillä likiarvo on kuvaan piirretty- jen suorakaiteiden pinta-alojen summa, joka on selvästi pienempi kuin laskettava pinta-ala.
Vastaavasti tämän monotonisesti kasvavan funktion kohdalla saadaan pinta-alan ylälikiarvo, kun jokaisel- la osavälillä vakioarvona käytetään osavälin loppupis- teessä olevaa funktion arvoa (tästä voi piirtää kuvaa 1 vastaavan kuvan).
On helppo vakuuttua geometrisesti (vertaa kuvan 1 osakuvat), että alalikiarvot (samoin kuin ylälikiarvot) lähestyvät pinta-alan tarkkaa arvoa, kun tarkasteluvä- li jaetaan yhä useampaan osaväliin. Seuraava taulukko esittää, miten ala- ja ylälikiarvot muuttuvat, kun osa- välien lukumäärää kasvatetaan.
Osavälien Alalikiarvo Ylälikiarvo lukumäärä pinta-alalle pinta-alalle
10 3.745000000000000 4.245000000000000 100 3.974950000000002 4.024950000000001 1 000 3.997499499999999 4.002499499999999 10 000 3.999749995000002 4.000249995000002 100 000 3.999974999950032 4.000024999950032 1 000 000 3.999997499999456 4.000002499999456 10 000 000 3.999999750000234 4.000000250000234 Taulukko 1. Kuvan 1 pinta-alan ala- ja ylälikiarvoja osavälien lukumäärän kasvaessa.
Taulukon alimmalta riviltä näemme, että lasketta- va pinta-ala on varmuudella välillä 3,999 999 7 . . . 4,000 000 3. Toisin sanoen se on 4 ± 0,000 000 3, ja näyttää siltä, että pinta-alan tarkka arvo olisi 4.
Määrätyn integraalin lausekkeen johta- misesta ja matemaattisesta määritelmäs- tä
Sen jälkeen kun edellisen kaltaisissa numeerisissa esi- merkeissä on saatu tuntumaa likiarvostrategian toimi- vuuteen, voidaan johtaa algebrallisia integraalilausek- keita eri sovellutuksille. Ala- ja ylälikiarvotarkastelut tekevät ilmeiseksi sen, että kummatkin likiarvot lähes- tyvät tarkkaa arvoa. Edelleen tällöin on ilmeistä, että ei tarvitse tarkastella ala- tai ylälikiarvoja, vaan voi tarkastella edellä olevan 6-kohtaisen likiarvostrategian mukaisia likiarvosummia (joiden arvot ovat pakosti ala- ja ylälikiarvojen välissä). Algebrallisissa tarkasteluis- sa päädytään esimerkiksi tavanomaisessa pinta-alan ta- pauksessa määrättyyn integraaliinRb
a f(x)dx.
Esitetyssä likiarvostrategiassa määrätyn integraalin määritelmä on sanallinen. Itse asiassa olen ammattikor- keakoulujen matematiikassa siirtynyt yleensä tällaiseen varhaisen analyysin tapaan määritellä määrätty inte- graali sanallisesti, siis käyttämättä raja-arvomerkintöjä (koska matemaattista määritelmää ei myöhemmin käy- tetä hyväksi). Näin on menetelty yhdessä lukiokirjas- sa ja ammattikorkeakoulun oppikirjassa [2]. Näissä kir- joissa ei ole käytetty edes summamerkkiä likiarvosum- missa, vaan summat on kirjoitettu auki. Mutta ilman summamerkkiä on ehkä vaikea hahmottaa, miten mää- rätyn integraalin lauseke syntyy heijastamaan likiarvo- laskuja.
Olisi hyvä, jos integraalilaskenta palautettaisiin lukion lyhyeen matematiikkaan. Tällöin määrätty integraali voitaisiin esittää ilman raja-arvomerkintöjä. Integraa- lilaskennalla on niin suuri merkitys esimerkiksi teknii- kan opinnoissa, että olisi hyvä tutustua sen perusteisiin jo lukiossa.
Kun määrätty integraali määritellään matemaattises- ti, niin edellä olevaan 6-kohtaiseen likiarvomenettelyyn suoraan liittyvä määritelmä on seuraava:
Z b a
f(x)dx= lim
n→∞
n
X
k=1
f(xk)∆x.
Näin Väisäläkin (ks. [1], s. 154) määritteli määrätyn in- tegraalin matemaattisesti (tosin toisenlaisia merkintö- jä käyttäen). Ainoa ehto yllä olevan määritelmän päte- vyydelle on funktionf jatkuvuus. Sovellutuksissa esiin- tyy epäjatkuvuuksia, mutta silloin yleensä tarkastelu- väli jaetaan osaväleihin, joissa funktio on jatkuva, ja osavälit tarkastellaan erikseen.
Likiarvosummien tarkentumisesta
Kun siis sovellutuksissa muodostetaan määrätyn inte- graalin lausekkeita, lähtökohtana ovat likiarvosummat.
Lukion matematiikassa tämä on ainoa kerta, kun käy- tännön suureisiin liittyvät likiarvot tulevat enemmälti esiin. Tämä voi olla monelle opettajallekin asia, josta on vähän omia kokemuksia, mihin johdannossa viitat- tiin. Siksi asiaan tulee kiinnittää huomiota, ja johtojen loogisuuden vuoksi on tärkeää perustella, miksi likiar- vosummat lähestyvät laskettavan suureen tarkkaa ar- voa, kun osavälien lukumäärä kasvaa rajatta. Yksi pe- rustelutapa ovat edellisen esimerkin kaltaiset numeeri- set laskut ja geometriset perustelut (kuva 1).
Mutta esimerkiksi tapausta, jossa määrätään kappa- leen tilavuus määrättynä integraalina, kun poikkipinta- alan funktio tunnetaan, on yleisessä tapauksessa han- kala havainnollistaa geometrisesti. Perustelu voidaan tehdä vastaansanomattomasti algebrallisen keskiarvo- tarkastelun avulla, kuten on esitetty esimerkiksi lukion kirjan [3] lisätiedoissa. Yleisemmällä tasolla vastaavan- laisia vakuuttavia keskiarvoperusteluja, jotka sopivat
korkeakoulujen matematiikan opintoihin, on käsitelty viitteessä [4].
Ei ole mitään yleistä tapaa, jolla voidaan perustella se, että likiarvot lähestyvät laskettavan suureen tarkkaa arvoa. Ehkä yleisin tapa perustella likiarvotarkastelut on se, että todetaan, että kunkin osavälin kertymän li- kiarvon suhteellinen virhe menee nollaan osavälin pi- tuuden lähestyessä nollaa. Tämä riittää, sillä seuraava mahdollinen epäilys on turha: vaikka osavälien luku- määrän kasvaessa kullakin osavälillä vakiokaava toimi- si yhä tarkemmin, kasvaako kokonaisvirhe sen takia, että likimääräisten termien lukumäärä kasvaa. Tämän epäilyksen torjuu seuraava lause.
Lause. Olkoon meillä sellaisia positiivisia likiarvoja (tai kaikki negatiivisia), että kunkin tarkka arvo poikke- aa korkeintaanp% likiarvosta. Tällöin tarkkojen arvo- jen summa poikkeaa korkeintaan p% likiarvojen sum- masta.
Tämän lauseen merkitys on siinä, että jos saamme jo- kaiseen osaväliin liittyvän kertymän likiarvon esimer- kiksi 0,01 %:n suhteellisella tarkkuudella, niin vaikka osavälejä olisi kuinka monta, tarkkojen kertymien sum- ma poikkeaa korkeintaan 0,01 % kertyminen likiarvojen summasta.
Tämä lause on helppo todistaa algebran avulla. To- distuksen idean näkee seuraavasta numeroesimerkistä.
Olkoon meillä likiarvot 100, 200 ja 500, joista tarkat arvot poikkeavat korkeintaan 1 %:n verran. Siten sum- man tarkka arvo on lukujen 792 (= 99 + 198 + 495) ja 808 (= 101 + 202 + 505) välillä eli pahimmassa tapauk- sessa summan tarkka arvo poikkeaa 1 %:n likiarvojen summasta 800.
Jos likiarvosummassa on sekä positiivisia että negatii- visia termejä, on ilmeistä, että positiivisten termien summa tarkentuu, kuten myös negatiivisten termien summa, ja siten koko summa tarkentuu.
Suhteellisen virheen nollaan menemisestä voi vakuut- tua usein seuraavanlaisella päättelyllä. Tarkastellaan esimerkkinä kuvan 1 pinta-alan tapausta (joka edellä perusteltiin myös toisenlaisella tavalla). Oikeanpuolei- sen osakuvan ensimmäisellä osavälillä kertyvän pinta- alan likiarvoksi on otettu suorakaiteen pinta-ala, jon- ka korkeus on funktion kuvaajan korkeus välin alku- pisteessä. Alueen korkeus kasvaa kuitenkin noin 20 % tällä osavälillä. Siten aivan karkeasti arvioiden tämän osavälin pinta-alan likiarvossa (suorakaiteen pinta-ala) on 20 %:n virhe.
Ajatellaan, että kaksinkertaistamme osavälien luku- määrän, jolloin osavälien pituus puolittuu. Geometri- sesti näemme kuvasta 1, että kun puolitamme ensim- mäisen osavälin, niin uudella ensimmäisellä osavälillä funktion kasvukin noin puolittuu eli on noin 10 %, jol- loin pinta-alan likiarvon suhteellinen virhekin suunnil- leen puolittuu ensimmäisellä osavälillä. Kaikkien osavä- lien kohdalla tapahtuvat vastaavanlaiset suhteellisten
virheiden puolittumiset. Osavälien lukumäärän kaksin- kertaistumisia edelleen ajateltaessa, osaväleihin liitty- vien pinta-alojen suhteelliset virheet aina suunnilleen puolittuvat, jolloin lauseen mukaisesti likiarvosumman- kin suhteellinen virhe joka kerta suunnilleen puolit- tuu. Täten likiarvosummat lähestyvät pinta-alan tark- kaa arvoa (tästä voi piirtää lukusuorakuvan).
Vastaavasti erittäin monessa muussakin sovellutukses- sa voidaan funktion f(x) jatkuvuuden perusteella va- kuuttua geometrisesti tai fysikaalisesti siitä, että jokai- sen osavälin kertymän likiarvon f(xk)∆xsuhteellinen virhe menee nollaan, kun ∆xlähestyy nollaa.
Lauseen esittäminen ja sen mukaiset perustelut suh- teellisine virheineen vievät ehkä niin paljon aikaa, että ne on jätettävä korkeakouluopintoihin.
Yhteenveto
Jatko-opintojen tarpeita silmälläpitäen kirjoituksessa on ehdotettu palaamista Väisälän [1] esittämään ta- paan motivoida ja määritellä määrätty integraali. Hä- nen ja nykyisten amerikkalaisten calculus-kirjojen ta- paan kannattanee lukioissa määrättyjen integraalien lausekkeet johtaa likiarvosummien kautta, ei differen- tiaalisesti.
Väisälän oppikirjan ja calculus-kirjojen puutteena voi pitää sitä, että niissä ei yleensä riittävästi perustella si- tä, että geometristen tai fysikaalisten suureiden likiar- vosummat lähestyvät laskettavan suureen tarkkaa ar- voa. On huomattava, että koska kyse on geometriaan tai fysiikkaan liittyvien suureiden likiarvojen tarkaste- luista, myös perustelut vetoavat geometrisiin ja fysikaa- lisiin mielikuviin ja käsityksiin, ei puhtaasti matemaat- tisiin asioihin Mitään kaikkiin tapauksiin soveltuvaa perustelutapaa ei ole olemassa. Artikkelissa on tarkas- teltu, miten perusteluja voi tehdä esimerkiksi numeeri- sin laskuin, geometrisen tarkasteluin ja esitettyä lauset- ta hyväksi käyttäen. Myös muita tapoja esiintyy, mutta esimerkiksi lukiossa varmaan riittää se, että muutama määrätyn integraalin lauseke perustellaan kunnolla ja muut annetaan valmiina kaavoina.
Viitteet
[1] K. Väisälä, Algebran oppi- ja esimerkkikirja 2, WSOY, 1963.
[2] E. Sorvali, P. Toivonen,TAM alfa, WSOY, 2004.
[3] P. Kontkanen, J. Lehtonen, K. Luosto, S. Savolai- nen, Pyramidi10, Tammi, 2007.
[4] K. Tarvainen, Justifying differential derivations when setting up definite integrals, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, Vol. 39, No 1, 61–68, 2008.
Miten integroitiin, kun ei vielä osattu integroida?
Matti Lehtinen Helsingin yliopisto
Koulussa ja muuallakin differentiaali- ja integraalilas- kentaan tutustutaan nykyään niin, että ensin opitaan derivaatta ja sitten määritellään funktionf integraali- funktio R
f(x)dx sellaisena funktiona, jonka derivaat- ta on f. Sitten muistellaan derivointisääntöjä ja pää- tellään niistä erinäisiä integrointikaavoja, kuten
Z
xpdx= 1 p+ 1xp+1.
Hiukan yllättävänä bonuksena tulee sitten tieto, jonka mukaan integraalin avulla voi määrittää mielenkiintois- ten suureiden, esimerkiksi pinta-alojen ja tilavuuksien arvoja.
Integraalin historiallinen kehitys ei ole ihan kulkenut näitä latuja. Integroinnin ja derivoinnin yhteyden oival- sivatIsaac NewtonjaG.W. Leibniz1600-luvun lopulla.
Tarve määrittää esimerkiksi pinta-aloja johti kuitenkin jo aikaisemmin moniin kekseliäisiin ”integrointimene- telmiin”. Tässä esitellään muutamia.
Kun on tarkoitus selvittää jonkin käyrärajaisen alueen pinta-ala tai kappaleen tilavuus, niin aika luonnollinen lähestymistapa on yrittää täyttää kyseessä oleva kuvio mahdollisimman hyvin sellaisilla kuvioilla tai kappa- leilla, joiden ala tai tilavuus hallitaan. Jos ympyrä pa- kataan mahdollisimman täyteen tasakylkisiä kolmioi- ta, joiden kärki on ympyrän keskipisteessä ja kannan päätepisteet ympyrän kehällä, ja jos kolmioiden kan- nat ovat lyhyitä, niin niiden korkeus on likimain ym- pyrän säde ja yhteenlaskettu ala lähellä lukua, joka on
puolet ympyrän säteestä kerrottuna ympyrän kehän pi- tuudella. Likiarvo on sitä tarkempi, mitä pienempiin ja useampiin kolmioihin ympyrä jaetaan. Kun ympyrän kehän pituuden ja säteenrsuhde on – määritelmän mu- kaan – 2π, niin ympyrän alan kaavaA=πr2tulee aina- kin hyvin uskottavaksi. Samalla tavalla voimme jakaa pallon melkein kokonaan pyramideiksi, joiden huippu on pallon keskipisteessä ja muut kärjet pallon pinnalla.
Jos r-säteisen pallon pinta-ala on S(r), niin pyrami- din tilavuuskaava johtaa siihen, että pallon tilavuus on V = 1
3rS(r). Jos vielä tiedettäisiin, että S(r) = 4πr2, saataisiin tuttu pallon tilavuuden kaava.
Tällaiset päättelyt eivät ole ihan näin suoraviivaisia, jos tutkittava alue tai kappale ei ole yhtä symmetrinen kuin ympyrä tai pallo. Katsotaan seuraavassa, miten muutamat varhaiset matemaatikot selvittivät sellaisen alueen pinta-alaa, jota rajoittaa paraabeliny=x2kaa- ri tai yleisemmin käyräny =xp kaari ja kaksi janaa.
Oiomme vähän: xy-koordinaatit ovat olleet käytössä vasta 1600-luvulta, ja varhaisten aikojen matemaatikot joutuivat käsittelemään käyriään hankalammin.
Arkhimedes
Arkhimedeen laista jaheureka! -huudahduksesta kuu- luisaArkhimedes Syrakusalainen(287–212 eKr.) on yk- si kaikkien aikojen merkittävimpiä matemaatikkoja.
Arkhimedes laski kahdella tavalla paraabelin segmen- tin alan. Toinen tapa perustui segmentin pilkkomiseen
kolmioiksi, joiden alat muodostivat geometrisen lukujo- non; tämän summan Arkhimedes hallitsi ja pystyi au- kottomasti perustelemaan saamansa tuloksen. Toinen Arkhimedeen menetelmä oli lähempänä nykyaikaista integrointia. Esitellään se tilanteessa, jossa laskettava- na on paraabelin y = x2 ja suorien y = 0 ja x = 1 rajaama alueen pinta-ala S. Nykyaikaisin merkinnöin haemme siis integraalin
Z 1 0
x2dx
arvoa.
Arkhimedes ajatteli näin: pinta-ala koostuu pystysuo- rista janoista joiden päätepisteet ovat (x,0) ja (x, x2) eli janoista [(x,0),(x, x2)]. Tällaisen janan pituus on siis x2. Siirretään jana janaksi [(1,0),(1, x2)], ikään kuin pystyyn pisteen (1,0) kohdalle. Ajatellaan sit- ten vaakaa, joka tasapainotetaan pisteessä (0,0). Nyt siirretty jana ja jana [(−x,0),(−x, x)] tasapainottavat vaa’assa toisensa: toisen varren pituus on 1 ja varren päässä on massax2, toisen varren pituus on xja var- ren päässä on massa x. Mutta kun x kasvaa nollasta yhteen, niin tasapainopisteen vasemmalla puolella ole- vat janat peittävät kolmion, jonka kärjet ovat (−1,0), (0,0) ja (−1,1). Koska kolmio koostuu kaikista janois- ta [(−x,0),(−x, x)] ja kukin jana tasapainottaa janan [(0,1),(0, x2)], niin kolmion massa tasapainottaa suo- ralle x = 1 kootun alueen A massan. Kolmion ala eli massa on 1
2 ja sen voidaan ajatella keskittyvän kolmion painopisteeseen, jonka x-koordinaatti on −2
3 (muis- tamme, että kolmion painopiste on sen keskijanojen leikkauspiste ja että keskijanojen leikkauspiste jakaa keskijanat suhteessa 2 : 1). Vaa’an tasapainoehdoksi tulee S·1 = 1
2 ·2
3. SiisS= 1 3.
Stevin ja Kepler
Hollantilainen Simon Stevin (1540–1603) oli monitoi- minen mies. Nykykielellä häntä voisi nimittää insinöö- riksi, mutta matematiikan historia muistaa hänet yhte- nä ensimmäisistä desimaalilukujen käyttäjistä. Stevin
suoritti integrointeja mm. painopisteen määrittämisek- si. Hän ajatteli, että jos kolmio jaetaan sivun suuntai- siksi kapeiksi kaistaleiksi, niin jokainen tällainen tasa- painottuu keskipisteensä kohdalla. Mutta tästä seuraa, että koko kolmio on tasapainossa, kun se tuetaan pitkin keskijanaa. Sama pätee jokaiselle kolmelle keskijanalle, joten kolmion painopisteen on oltava keskijanojen leik- kauspiste.
Johannes Kepler (1571–1630) muistetaan planeettojen liikkeitä hallitsevista Keplerin laeista, joiden pohjalle Newton myöhemmin rakensi gravitaatioteoriansa. Yh- den lakinsa Kepler muotoili pinta-alan avulla: hän esit- ti, että auringosta planeettaan piirretty säde pyyhkäi- see aina samassa ajassa saman pinta-alan. Näin ollen planeetta liikkuu nopeammin ollessaan lähellä aurinkoa ja hitaammin ollessaan kauempana.
Erikoista on, että Kepler teki lakiaan johtaessaan kaksi toisensa kumoavaa virhettä niin, että lopputulos on oi- kein. Kepler ajatteli, että jos planeetta kulkiessaan ra- dallaan pisteestäP pisteeseenQkäyttää ajant, ja jos kaari P:stä Q:hun jaetaan lyhyisiin osakaariin, joiden pituus on ∆siniin, että osakaaren ∆sikohdalla planee- tan etäisyys auringosta onri, ja jos planeetan nopeus osakaaren ∆si kohdalla on vi ja se käyttää osakaaren yli kulkemiseen ajan ∆ti, niin
t=X
∆ti=X∆si
vi
.
Nyt Kepler otaksui lisäksi, erheellisesti, että planeetan nopeus on kääntäen verrannollinen sen etäisyyteen au- ringosta elivi= k
ri
. Siis t= 1
k
Xri∆si.
Keplerin toinen erehdys oli pitää kolmiota, jonka yksi kärki on aurinko ja toiset kaksi osakaaren ∆si pääte- pisteet, tasakylkisenä ja olettaa sen pinta-alaksi1
2ri∆si
Kun auringosta planeettaan piirretty säde pyyhkii ajas- sa t suunnilleen kolmioiden yhteen lasketun alan A, Keplerin kaksi virhettä yhdessä johtivat tulokseen t=
2
kA, eli aika ja ala ovat verrannollisia.
