2/2014
http://solmu.math.helsinki.fi
SISÄLTÄÄ MATEMATIIKKAA
Solmu 2/2014
ISSN-L 1458-8048
ISSN 1459-0395 (Painettu) ISSN 1458-8048 (Verkkolehti) Matematiikan ja tilastotieteen laitos PL 68 (Gustaf Hällströmin katu 2b) 00014 Helsingin yliopisto
http://solmu.math.helsinki.fi Päätoimittaja:
Marjatta Näätänen, dosentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Toimitussihteeri:
Juha Ruokolainen, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Sähköposti:
toimitus@solmu.math.helsinki.fi Toimittajat:
Pekka Alestalo, dosentti, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Sirkka-Liisa Eriksson, professori, Matematiikan laitos, Tampereen teknillinen yliopisto
Anne-Maria Ernvall-Hytönen, tutkijatohtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Aapo Halko, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto
Markku Halmetoja, lehtori, Mäntän lukio
Camilla Hollanti, apulaisprofessori, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu
Matti Lehtinen, dosentti, Helsingin yliopisto Heikki Pokela, tuntiopettaja, Tapiolan lukio
Antti Rasila, vanhempi yliopistonlehtori, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu
Mikko Sillanpää, professori, Matemaattisten tieteiden laitos ja Biologian laitos, Oulun yliopisto Samuli Siltanen, professori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto
Kimmo Vehkalahti, yliopistonlehtori, tilastotiede, Sosiaalitieteiden laitos, Helsingin yliopisto Tieteelliset asiantuntijat:
Heikki Apiola, dosentti, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Mika Koskenoja, yliopistonlehtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto
Liisa Näveri, FT, Opettajankoulutuslaitos, Helsingin yliopisto Graafinen avustaja:
Marjaana McBreen
Yliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkilöt:
Ari Koistinen, FM, ari.koistinen@metropolia.fi, Metropolia Ammattikorkeakoulu
Juha Lehrbäck, tutkijatohtori, juha.lehrback@jyu.fi, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Jyväskylän yliopisto Jorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fi, Sovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen
yliopisto
Jorma Merikoski, emeritusprofessori, jorma.merikoski@uta.fi, Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Matti Nuortio, tutkijatohtori, matti.nuortio@oulu.fi, Biocenter Oulu, Oulun yliopisto
Petri Rosendahl, assistentti, petri.rosendahl@utu.fi, Matematiikan laitos, Turun yliopisto
Antti Viholainen, tutkijatohtori, antti.viholainen@uef.fi, Fysiikan ja matematiikan laitos, Itä-Suomen yliopisto Numeroon 3/2014 tarkoitetut kirjoitukset pyydämme lähettämään 1.9.2014 mennessä. Numeron päätoimittaa Anne-Maria Ernvall-Hytönen.
Kiitämme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa.
Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin, jotka ovat sitä erikseen pyytäneet. Toivomme, että lehteä kopioidaan kouluissa kaikille halukkaille.
Sisällys
Pääkirjoitus: Matematiikka ja mielikuvat (Marjatta Näätänen) . . . 4
Matematiikan merkityksestä (Aatos Lahtinen) . . . 6
Minne katosi matematiikka? (Juha Haataja) . . . 9
Tieteidenvälinen kommunikaatio? (Camilla Hollanti) . . . 10
”Must tulee hoitaja, en mä tarvii matikkaa.” (Liisa Näveri) . . . 10
Tohtori rehtorina (Jarkko Rieppo). . . .12
Työllistyminen opetusalalle (Heikki Pokela) . . . 13
Matemaattiset tieteet 2025 (Marjatta Näätänen) . . . 15
Opettajalinjalta aktuaariksi (Piia Kolehmainen) . . . 16
Matematiikkaa soveltamassa (Lasse Holmström) . . . 18
Matemaatikko tuotekehittäjänä (Samuli Siltanen) . . . 19
Matemaatikko kryptografina (Kaisa Nyberg) . . . 20
Matematiikkaa tietokonepelien takana – pelikehittäjä Ari Silvennoisen haastattelu (Antti Rasila) . . . 21
Laskien pidemmälle molekyyligenetiikassakin (Olli Pietiläinen) . . . 23
Eläinjalostus: eläimiä, geenejä ja matemaattista tilastotiedettä (Ismo Strandén) . . . 24
Data-analyysin asiantuntijoille riittää kysyntää (Janne Liuttu) . . . 26
Brynolf Pedantziuksesta data-analyytikkoon (Antti Penttinen) . . . 28
Tilastotieteilijän uran alkuja (Mikhael Koufos ja Kimmo Vehkalahti) . . . 30
Matematiikka ja mielikuvat
Pääkirjoitus
Matematiikan alkeet ovat aina kuuluneet yleissivistyk- seen, matematiikan opiskelua on pidetty tärkeänä loo- gisen ajattelun harjoittamisena. Nykyisin monet kui- tenkin luulevat, että tietotekniikan kehitys on teh- nyt matematiikan tarpeettomaksi, ”koneethan laske- vat, enää ei itse tarvitse vaivata päätään”. Todelli- suus on kuitenkin täysin päinvastainen, konehan tekee vain sen, mikä siihen on ohjelmoitu. Ihmisaivoja on yhä kehitettävä. Vastaavasti kuin huippu-urheilijaksi tai muusikoksi ei tulla ilman pitkäaikaista harjoitte- lua, on ajattelussa yhä korkeammalle abstraktiotasolle nouseminen harjoittelun takana – googlaaminen ja ko- neet eivät tarjoa tähän oikotietä. Älylliset haasteet kui- tenkin riittävät innoittamaan ponnistelua, kuten Sol- mun matematiikkadiplomien tehtävät ovat osoittaneet.
Opettajat kertovat, että niitä lasketaan ”innoissaan”.
Tietotekniikka on lisännyt ja monipuolistanut mate- matiikan soveltamisen mahdollisuuksia, ”matematisoi- nut” monia aloja. Matemaattisen tiedon tarve ja sovel- taminen yhteiskunnassa ovat kasvaneet ja kasvavat ko- ko ajan, niinpä koko ajan kehittyvästä matematiikasta on tullut tieteellis-teknisen kulttuurin perusta.
Matematiikan jako ”sovellettuun” ja ”puhtaaseen” al- kaa sekin olla aikansa elänyt – sovellukset löytyvät usein vasta teorian kehittymisen jälkeen, väliajan pi- tuutta on vaikea ennustaa. Nyky-yhteiskunnan tek- nisten välineiden kehittämisessä on tarvittu matema- tiikkaa. Ongelmana onkin matematiikan ”näkymättö- myys” niissä. Oltaisiko lisäksi sekoitettu digitaalisten laitteiden kuluttajan rooli, eli pelkkä laitteen ostami- nen ja käyttäminen, aivan toista osaamistasoa vaa- tivaan uusien laitteiden ja sovellusten kehittämiseen eli kehittäjän asemaan? On turha kuvitella, että yh- teiskunta, jossa matematiikkaa ei ymmärretä arvostaa, voisi kehittää uusia teknisiä innovaatioita.
Matematiikassa menestyneet arvostavat ainetta, mutta he, joilla on takanaan huonoja henkilökohtaisia koke- muksia vaikkapa kouluajoilta, haluavat mitätöidä ma- tematiikan merkityksen. He jopa kehuskelevat sillä, et- teivät koskaan sitä ymmärtäneet ja ovat kuitenkin yh- teiskunnassa päässeet ylenemään. Kenties kuitenkin heidänkin yhteiskunnallinen panoksensa olisi ollut pa- rempi, jos päätöksiä olisi tehty perustuen suuruusluok- kien hahmottamiseen, puolueettomiin analyyseihin, eri vaihtoehtojen esittämiseen, tilastoihin. Nythän meille tarjotaan jos jonkinlaisia kauniita julistuksia: kestä- vä kaivosteollisuus, korkea osaamistaso, arktinen kes- tävä kehitys, kyberturvallisuuden uhkien hallinta, ra- vinteiden kierrätys; kaiken tämän ja paljon muun mal- limaaksi tai edelläkävijäksi tuleminen onnistuu meil- tä kuulemma tulevaisuudessa. Manipuloidaanko meitä mielikuvilla vai uskooko joku näihin kupliin; nykyto- dellisuus ja tulevaisuuden valinnat toimenpiteineen ei- vät ole yhdensuuntaisia julistusten mielikuvien kanssa.
Heikko luonnontieteellinen yleissivistys estää selkeiden kannanottojen teon ja perustellun keskustelun. Myös päättäjät ovat lobbareiden vietävissä.
Usko ”tieto”koneisiin on vahva. Ei aina ymmärretä, et- tä ohjelmoijan ja koneen käyttäjän tietotaito määrää koneen tuotoksen laadun, kone tietää vain sen, mitä sen sisälle on ohjelmoitu.
Matematiikka poikkeaa monista muista tieteistä va- pautensa vuoksi, siinä ei tarvitse rajoittua tutkimaan vain reaalimaailman ilmiöitä; oma luovuus ja eräänlai- nen kauneudentaju ovat usein tärkeä osa matematiikan tutkimusta. Ne ovat tärkeitä ongelmien paikallistami- sessa ja ratkaisemisessa ja teorian edelleen johtamises- sa. Matematiikka on monessa mielessä lähellä taiteen tekemistä ja samalla ehtymätön älyllisten haasteiden tarjoaja.
Matematiikassa kaikki väitteet todistetaan täsmällises- ti ja aukottomasti. Tällaiseen tulosten varmuuteen ei päästä muilla aloilla. Matematiikalle on ominaista työs- kentely abstraktien käsitteiden kanssa. Tästä taidosta on hyötyä myös matematiikan ulkopuolella. Matema- tiikka on yliopistollisena oppiaineena luonteeltaan itse- näinen, mutta se on myös välttämätön tukiaine monille muille tieteille.
Matemaattisen tiedon hankkiminen edellyttää keskit- tymiskykyä, pitkäjänteisyyttä ja kärsivällisyyttä. Ma- tematiikka on ns. kumuloituva aine, jossa uusien asioi- den ymmärtäminen perustuu aikaisempien asioiden ymmärtämiselle. Uudet käsitteet ja niillä operoiminen on sisäistettävä, alan aikaisemmat tulokset on opiskel- tava – tässä ei ole apua googlaamisesta, tietojen on ol- tava omien aivojen hallinnassa. Ulkoa osaamisesta ei ole apua, vaan on ymmärrettävä laajoja kokonaisuuk- sia, asioiden keskinäiset suhteet ja pystyttävä käyttä- mään niitä työkaluina eri tilanteissa. Kerran hyvin ym- märrettynä asia ei myöskään ole samalla tavalla muis- tin varassa kuin monissa muissa aineissa.
Matemaatikon työtehtävät
Matemaatikkojen työllisyystilanne näyttää hyvältä.
Matematiikkaa opetetaan peruskouluissa, lukioissa ja muissa oppilaitoksissa. Esimerkiksi kaikkiin toisen as- teen ammatillisiin opintoihin kuuluu matematiikan opiskelua. Matematiikan aineopettajan opintoihin kuu- luu matematiikan lisäksi pedagogiset opinnot. Toisek- si opetettavaksi aineeksi suositellaan fysiikkaa, kemiaa tai tietotekniikkaa, myös jokin muu aine voi tulla ky- seeseen. Opetusharjoittelu useammassa kuin yhdessä aineessa antaa pätevyyden opettaa näitä aineita ja on eduksi työmarkkinoilla. Ainakin pienemmillä paikka- kunnilla usein vielä yhdistetään mafyke (perusopetuk- sen yläluokilla) samalle opettajalle, mikä on pätevyy- den kannalta ongelmallista. Opettajankoulutus antaa muodollisen pätevyyden lisäksi paljon taitoja ja val- miuksia, joita arvostetaan esimerkiksi yritysmaailmas- sa.
Myös ammattikoulutuksessa ja ammattikorkeakouluta- soisissa ammateissa tarvitaan matematiikkaa, insinöö- rit (AMK), tradenomit, sairaanhoitajat (AMK) jne.
Niissä opetustuntimäärät on minimoitu, joten opiskeli- jan aikaisemmin saaman pohjan pitäisi olla hyvä. Myös näissä oppilaitoksissa tarvitaan matematiikan opetta- jia. Opetusalan lisäksi työpaikkoja löytyy tietoteknii- kan alan yrityksistä, jolloin luonnollinen sivuainevalin- ta on tietojenkäsittely. Työmahdollisuuksia parantaa
sopivan sovellustieteen opiskelu. Tietotekniikka-ala on selvästi opetustyötä herkempi suhdannevaihteluille.
Matemaatikkoja työllistyy myös erilaisiin tutkimuslai- toksiin, vakuutusyhtiöihin, pankkeihin ja teollisuuteen.
Matematiikan antamat valmiudet ovat hyödyllisiä lä- hes kaikkien alojen tutkimus- ja suunnittelutyössä. Täl- laiset tehtävät vaativat yleensä matemaattisen mallin- tamisen hyvää osaamista, tietoteknisiä valmiuksia ja jonkin sovellusalan tuntemusta. Tilastotiede on monis- sa tutkimustehtävissä hyödyllinen oppiaine.
Matemaatikon suuntautuminen työmarkkinoilla riip- puu myös valituista sivuaineista. Suositeltavia sivuai- neita ovat esimerkiksi tietojenkäsittely, tilastotiede, fysiikka, kemia, biokemia, signaalinkäsittely, kansan- taloustiede, laskenta- tai vakuutusala. Matematiikan opinnot ovat hyödyllisiä monen oppiaineen jatko- opinnoissa ja tutkimustyössä. Osa hyvin menestyneis- tä matematiikan opiskelijoista siirtyy maisterintutkin- non jälkeen joko matematiikan tai jonkin soveltavan tieteen jatko-opiskelijaksi tähtäimenään tutkijan ura.
Tässä erikoisnumerossa esitellään eräitä matematiik- kaa käyttäviä työtehtäviä.
Matematiikan merkityksestä ja opetuksesta lisää osoit- teessahttp://solmu.math.helsinki.fi
- Solmu erikoisnumero 3/1998-1999 Matematiikan tu- levaisuus, kuuluisien matemaatikkojen arvioita mate- maatikkojen työtehtävistä
- Solmu 3/1999-2000, kirjoituksia matemaatikkojen työtehtävistä
- Solmu 1/2005, pääkirjoituksena matemaatikkojen Pi- sa-kannanotto
- Solmu erikoisnumero 1/2005-2006 aiheena Pisa-tut- kimus, myös tiedosto Ranskan tilanteesta: matema- tiikan käytön räjähdysmäinen kasvu – matematiikan ja yhteiskunnan uudet yhteydet
- Solmu erikoisnumero 2/2005-2006 aiheena Pisa- tutkimus
- Solmu 3/2006, pääkirjoitus matemaatikkojen työteh- tävistä
- Matematiikkadiplomi VIII, ensimmäinen tehtävä kä- sittelee Pisa-tutkimusta
Marjatta Näätänen
Matematiikan merkityksestä
Aatos Lahtinen
professori emeritus, Helsingin yliopisto
Johdanto
Matematiikka on kautta aikojen kuulunut koulujen ja yliopistojen opetusohjelmaan. Jo 2400 vuotta sitten an- tiikin Kreikassa filosofi Platonin perustaman yliopiston edeltäjän Akademeian pääsyvaatimuksena oli geomet- rian osaaminen. Ei siis ihme, että Suomessakin mate- matiikka on pakollinen aine niin peruskoulussa kuin lu- kiossa jo ensimmäisestä luokasta alkaen. Tästä huoli- matta matematiikan merkitys ja tarpeellisuus jää usein epäselväksi. Ehkä oleellisimpana syynä tähän on ma- tematiikan kumulatiivinen luonne, jonka vuoksi kou- lussa ei pystytä opiskelemaan varsinaista matematiik- kaa, vaan ainoastaan eräiden matematiikan työkalujen käyttöä. Se, mitä matematiikka itse asiassa on, jää pi- mentoon. Samalla jää pimentoon yhteiskunnan kaikilla alueilla oleva suuri matematiikan tarve ja sen syyt.
Matematiikan olemuksesta
Matematiikan todellisen olemuksen ymmärtämistä vai- keuttaa se, että me emme voi nähdä emmekä kosketel- la sitä, sillä matematiikka on näkymätön ja aineeton.
Siitä huolimatta on mahdollista havainnollistaa, mitä matematiikka oikein on ja mitä se saa aikaan.
Oleellista on, että matematiikka on ikivanha tieteen- ala, joka on täysin itsenäinen. Se ei tarvitse mitään ulkopuolista tukea. Matematiikassa rakennetaan ja kä- sitellään abstrakteja systeemejä logiikan keinoin. Sys- teemeillä ei tarvitse olla mitään tekemistä todelli- suuden kanssa. Työkaluina rakennustyössä käytetään muun muassa koulumatematiikassa opiskeltuja asioita.
Työn vaiheet kirjataan muistiin erityisen matemaatti- sen kielen avulla. Tämän kielen tarkkuus ja ilmaisuky-
ky on saanut myös monien muiden tieteenalojen tutki- jat käyttämään sitä omissa tutkimuksissaan.
Matematiikkaa voi verrata valtavan kokoiseen moniker- roksiseen katedraaliin, joka kurottuu korkeaholvisine laivoineen, torneineen ja sivulaivoineen korkeammalle ja korkeammalle kohti taivasta. Vaikka katedraalia on rakennettu jo tuhansia vuosia, se on edelleen selvästi keskeneräinen. Kuitenkin katedraalin työmaalla on jat- kuvasti runsaasti rakentajia. World Directory of Mat- hematicians, joka pitää luetteloa työmaan miehitykses- tä, sisältää tällä hetkellä yli 50 000 nimeä. Tämä jouk- ko rakensi viime vuonnakin katedraaliin lisäkerroksia, torneja ja ulokkeita yli 50 000 tieteellisellä julkaisulla, joista jokainen sisältää uusia matemaattisia tuloksia.
Ei ole mitään merkkejä siitä, että rakentamisen tah- ti hiipuisi, pikemminkin päinvastoin. Tästä huolimatta katedraalin valmistuminen ei tunnu lainkaan lähesty- vän. Katedraalin rakennussuunnitelmassa kerrosten lu- kumäärää ei ole rajoitettu, joten matemaatikoilla riit- tänee työtä koko maapallon arvioidun eliniän eli aina- kin viisi miljardia vuotta.
Viime vuosina on puhuttu paljon rakentamisen huo- nosta laadusta. Vain parikymmentä vuotta vanhat ra- kennukset saattavat jo olla peruskorjauksen tarpeessa.
Matematiikan katedraali tekee tässä suhteessa poik- keuksen. Sen jokainen tiilikin kestää muuttumattoma- na ikuisuuden, sillä oikeaksi todistetut matematiikan tulokset pysyvät ikuisesti oikeina.
Matematiikan katedraalin rakentajien ei tarvitse kos- kaan korjata vanhaa, vaan he voivat huoletta rakentaa uusia tuloksia jo olemassa olevan matematiikan pääl- le. Tämä mahdollistaa matematiikan jatkuvan nousun yhä korkeammalle. Tämä matematiikan kumulatiivi- suus ei välttämättä ole ilouutinen aloittelevalle raken-
tajalle, sillä hänen on kiivettävä monet katedraalin ker- rokset ylöspäin, ennen kuin löytää kohdan, josta voi jatkaa rakentamista ylöspäin. Tosin suuret matemaati- kot ovat nousseet niin nopeasti huipulle, että heidän on täytynyt syntyä katedraalin yläkerroksissa alakertojen pohjapiirustus nyrkissään.
Matematiikan käsittämätön tehokkuus
Matematiikka on siis loogisia rakenteita käsittelevä abstrakti tiede, jota tutkitaan muiden tieteiden tapaan sen itsensä kehittämiseksi. Tällaisten todellisuudesta riippumattomien rakenteiden luominen ja tutkiminen on kiehtovaa luovaa työtä, joka tarjoaa myös esteettisiä elämyksiä. Nykyisen markkinatalouden aikana on kui- tenkin kysyttävä, mitä hyötyä on todellisuudesta riip- pumattomien rakenteiden tutkimisesta.
Kysymykseen on yllättävä, paradoksinen vastaus. Ni- menomaan matematiikan todellisuudesta riippumatto- muus tekee siitä käsittämättömän tehokkaan todelli- suuden kuvaajan, jota voidaan käyttää käytännön on- gelmien ratkaisuun lähes kaikilla elämänaloilla. Tämä matematiikan ainutlaatuinen soveltuvuus sekä teorian että käytännön tehtäviin tekee siitä tärkeän sekä muil- le tieteille että yhteiskunnalle ja antaa matematiikalle itseoikeutetun sijan koulujen opetusohjelmissa.
Matematiikan rakenteen todellisuudesta riippumatto- muuden etu on siinä, että matemaattista rakennetta voidaan käyttää kuvaamaan mitä tahansa ilmiötä, jon- ka perusominaisuuksiin juuri tämä rakenne sopii. Sillä, mikä ilmiö todellisuudessa on, ei ole rakenteen kannalta mitään merkitystä. Tarkastellaan paria yksinkertaista esimerkkiä.
Todellisuudesta riippumattomuus alkaa jo luvuista.
Luku ei riipu siitä, minkä lukumäärää se asetetaan ku- vaamaan. Luvulla 7 voidaan merkitä yhtä hyvin Ota- van tähtien lukumäärää kuin asuinrakennuksen kor- keutta metreissä.
Lukujen riippumattomuudesta seuraa edelleen lasku- toimitusten riippumattomuus kohteesta. Prosenttilas- kun kaavassa
b= 1 + p
100
a
on aivan samantekevää, onkoametrejä, kiloja, euroja, kappaleita tai mitä tahansa luvuilla kuvattavaa, kaava antaa ainapprosentin kasvun vaikutuksen mille tahan- sa prosenttiluvullep. Poplaulaja Robinin levymyynnin kasvu, hampurilaisaterian hinnannousu ja hiilidioksi- din lisääntyminen ilmakehässä, kaikki saadaan samalla tavalla kaavasta.
Lukiossa esitelty derivaatta on esimerkki vähän syväl- lisemmästä matematiikan työkalusta. Derivaatta mää- ritellään raja-arvona, joka liittää annettuun funktioon
f jokaisessa pisteessäxarvonf0(x). Määritelmä ei rii- pu siitä, onko funktiollaf ja pisteelläxjokin merkitys todellisuudessa vai ei. Tällä abstraktisti määritellyllä, todellisuudesta riippumattomalla derivaatalla on kui- tenkin runsaasti käytännön sovellutuksia.
Yleinen sovellutus on annetun systeemin pienimmän arvon määrittäminen. Jos derivoituva funktiof kuvaa tiettyä yhden muuttujan x systeemiä, löytyy systee- min pienin arvo derivaatanf0(x) nollakohtien joukosta (tai välin päätepisteistä, jos tarkasteluvälin päätepis- teet kuuluvat tarkastelujoukkoon). Se, millainen sys- teemi on ja millaista todellisuutta funktio f kuvaa, ei vaikuta tarkasteluun. Kyseessä voi yhtä hyvin olla pak- kausmateriaalin määrä kuin lämmityskustannukset.
Derivaatta antaa käytännön tietoa myös liikkuvasta ob- jektista, jonka kulkema matkastiedetään ajantfunk- tiona muodossa s = f(t). Jos funktio on derivoituva, antaa sen derivaattaf0(t) objektin nopeuden v(t) het- kellättäysin riippumatta siitä, onko kyseessä pikajuok- sija, leijona, auto, lentokone vai laavavirta eli riippu- matta siitä, mikä objekti todellisuudessa on. Itse asias- sa sama pätee kaikkiin systeemeihin, jotka muuttuvat jollain tavalla ajan mukana. Derivaatta antaa aina sys- teemin muutosnopeuden kokonaan siitä riippumatta, mitä systeemi todellisuudessa kuvaa.
Matematiikan sovellutuksissa ilmiön käyttäytymistä hallitaan matemaattisilla yhtälöillä, jotka on muodos- tettu sen tiedon varassa, mitä meillä ilmiöstä on. Yh- tälöt saattavat olla hyvinkin monimutkaisia ja niillä saattaa olla monenlaisia ratkaisuja. Oma ongelmansa on tulkita, mitä saadut matemaattiset ratkaisut ker- tovat ilmiöstä. Saattaa myös käydä niin, että joillekin ratkaisuille ei löydy konkreettista merkitystä. Tällai- sen ratkaisun ei kuitenkaan aina tarvitse olla sovelta- jalle hyödytön. Näennäisesti outo ratkaisu saattaakin joskus kertoa ilmiöstä ominaisuuksia, joita ei vielä ole löydetty. Esimerkiksi antimateria ja osa alkeishiukka- sista on löydetty juuri pohtimalla, mitä matemaattisen mallin outo ratkaisu yrittää kertoa meille.
Vaikka matematiikan rakenteet ovat todellisuudesta riippumattomia, niiden muodostaminen on saattanut saada innoituksensa todellisuudesta. Usein on käynyt niin, että kun todellisen maailman ilmiölle ei löydetä sopivaa matemaattista mallia, matemaatikot ovat in- nostuneet kehittämään sellaista uutta matematiikkaa, jolla ilmiö saataisiin hallintaan.
Matematiikan katedraali on soveltajalle varsinainen aarreaitta, jossa on lukemattomia käytännön tarpeisiin soveltuvia abstrakteja rakennelmia. Ongelmaksi jää, miten soveltaja löytää tästä paljoudesta juuri hänen tarvitsemansa rakenteet. Katedraalin rakenteet ovat todellisuudesta riippumattomia, eikä niissä ole tuote- selosteita, jotka kertoisivat mihin kaikkeen niitä voisi käyttää. Ei myöskään ole mitään takeita siitä, että um-
pimähkään valitulle matematiikan rakenteelle löytyisi tällä hetkellä käyttöä ihmisen todellisuudessa.
Punainen tarra
Warwickin yliopiston matematiikan professori Ian Stewart esitti kerran, että matematiikan merkitystä voitaisiin havainnollistaa kiinnittämällä kaikkeen ma- tematiikkaa hyödyntävään punainen tarra: ”SISÄL- TÄÄ MATEMATIIKKAA”. Stewart ryhtyi samalla lis- taamaan kiinnityskohteita.
Punaisen tarran saisi tietysti jokainen tietokone, jokai- nen tabletti ja jokainen puhelin. Tarra kiinnitettäisiin myös jokaiseen automaattihissiin, jokaiseen uudehkoon tai uuteen autoon, jokaiseen lentokoneeseen, jokaiseen sähköveturiin ja jokaiseen laivaan. Lisäksi tarra tuli- si jokaiseen CD-, DVD- ja BlueRay-soittimeen, jokai- seen televisioon ja jokaiseen erikoistehosteita sisältä- vään elokuvaan. Väistämättä tarran saisi Internet ja jo- kainen sitä käyttävä sovellus kuten Google, Facebook, YouTube, Twitter. Tarra liimattaisiin myös jokaiseen vaaligallupiin ja jopa jokaiseen kaupallisesti viljeltyyn vihannekseen, koska niiden jalostus on nojannut bio- matematiikkaan.
Punaisten tarrojen kiinnitys ei rajoittuisi vain esinei- siin. Tieteiden puolella punaisen tarran saisivat mel- kein kaikki luonnontieteiden tulokset samoin kuin useat muiden tieteiden tulokset, koska niiden kehittelyssä ja ilmaisussa on käytetty matematiikkaa.
Luetteloa voisi jatkaa, mutta jo esitetty osoittaa, et- tä punaiset tarrat peittäisivät lähes koko maailman.
Niinpä idean toteutus kaatuisi käytännössä rahan ja kiinnittäjien puutteeseen. Tarroittaminen on kuitenkin niin hyvä keino havainnollistaa matematiikan merkitys, että matemaattinen yhteisö voisi yrittää saada EU:n säätämään direktiivin, joka velvoittaisi kaikki matema- tiikkaa sisältävien laitteiden valmistajat kiinnittämään laitteisiinsa tuon punaisen tarran. On EU tehnyt paljon turhempiakin direktiivejä.
Matematiikan tekijät ja käyttäjät
Punaiset tarrat osoittavat, että matematiikka on yh- teiskunnalle välttämätöntä. Lisäksi matematiikka on monen tieteenalan oleellinen apuväline. Esimerkiksi fy- siikan kehitys olisi ollut mahdotonta ilman matema- tiikkaa. Samoin ihmiskunnan tulevaisuudelle elintärkeä ilmastonmuutoksen ennustaminen on täysin riippuvai- nen monimutkaisten matemaattisten mallien kyvystä kuvata ilmastoa.
Matematiikka ei kuitenkaan tee itse mitään, tarvitaan ihmisiä, jotka ymmärtävät matematiikkaa ja osaavat käyttää sitä. Matematiikan valtavan laajuuden vuoksi sen parissa työskentelevien on pakko erikoistua.
Tarvitaan ensinnäkin tieteentekijöitä, ns. puhtaita ma- temaatikkoja, jotka omalla luovalla työllään rakentavat matematiikan valtavaan katedraaliin uusia kerroksia ja torneja, joista näkee yhä kauemmaksi. Toiseksi tarvi- taan käytännön soveltajia, insinöörejä, maistereita ja tohtoreita, jotka kehittävät punaiseen tarraan oikeut- tavia, matematiikan avulla toimivia laitteita. Kolman- neksi tarvitaan oppaita, ns. soveltavia matemaatikko- ja, jotka tuntevat matematiikan katedraalia niin hy- vin, että osaavat löytää tosielämän ongelman parissa työskenteleville insinööreille, maistereille ja tohtoreille juuri sellaiset matematiikan rakenteet, joita ongelman ratkaisemiseen tarvitaan.
Matematiikan katedraalin suuruus ja punaisten tarro- jen paljous kertovat, että uuden matematiikan luojia, matematiikan käytännön soveltajia ja oppaita tarvi- taan paljon. Suomessakin tällaisten osaajien vuosittai- nen kysyntä ylittää tarjonnan eli ylioppilaskirjoituk- sissa pitkän matematiikan kokeen suorittajien määrän.
Matemaattispohjaisten alojen jatko-opiskelu on nimit- täin vaikeata ilman lukion pitkän matematiikan anta- maa pohjaa. Lukion aloittava opiskelija, joka haluaa katedraalin rakentajaksi, punaisen tarran käytön lisää- jäksi tai katedraalin oppaaksi, tekee siis viisaasti va- litessaan pitkän matematiikan. Valinta tuo mukanaan työntekoa, mutta myös elämyksiä. Ennenkaikkea valin- ta antaa mahdollisuuden osallistua paremman tulevai- suuden rakentamiseen.
Kokemuksia matematiikan hyödyntämisestä teollisuudessa
Lue myös Erkki Heikkolan ja Pasi Tarvaisen kirjoitus Kokemuksia matematiikan hyödyntämisestä teollisuudessa, joka julkaistiin lehdessä Solmu 1/2010,http://solmu.math.helsinki.fi/2010/1/numerola.pdf
”Matemaattiset ja laskennalliset menetelmät ovat keskeinen työkalu teollisuuden tutkimus- ja kehitystoimin- nassa, ja niiden merkitys on jatkuvassa kasvussa. Tietokoneiden laskentakapasiteetin ja ohjelmistotyökalujen kehitys on mahdollistanut aiempaa edistyneempien matemaattisten menetelmien ja algoritmien hyödyntämisen eri teollisuusalojen sovelluksissa. Matematiikan ja siihen perustuvan tietokonelaskennan menetelmiä ja teolli- sia/kaupallisia sovelluksia käsittelevä ala, teollisuusmatematiikka, alkaa olla jo vakiintunut käsite.”
Minne katosi matematiikka?
Juha Haataja1
Usein unohdetaan, että matematiikan osaaminen on kynnyskysymys yhteiskunnan toimintakyvylle. Tar- kemmin ajatellen matematiikkaa tarvitaan kaikkial- la. Tietokoneen toiminta perustuu matemaattisille pe- riaatteille prosessoritasolta käyttöliittymään. Tiedon siirto ja esimerkiksi videokuvien esittäminen perustu- vat matemaattisille algoritmeille. Ja tiedon salaukses- sa käytetään pitkälle kehitettyjä lukuteorian ja muiden tutkimusalueiden tuloksia, esimerkiksi elliptisten käy- rien teoriaa.
Kun koneeni ottaa yhteyttä langattomaan tukiase- maan, saavat Maxwellin yhtälöt ja Shannonin infor- maatioteoria homman pelaamaan. Ja kun haen tietoyh- teiskuntastrategian PDF-versiosta sanaa ’matematiik- ka’, käytän hyväkseni matematiikkaa.
Tietoyhteiskuntastrategiasta 2007–2015 puheen ollen voi mainita, että raportista löytyy yksi maininta ma- tematiikasta. Sitä saa etsimällä etsiä. Kyseisessä koh- dassa puhutaan Suomen menestyksestä OECD:n Pisa- tutkimuksessa.
Mutta miksi raportissa ei kerrota lukijalle, että ma- tematiikan osaaminen on kynnyskysymys tietoyhteis- kunnan toimintakyvylle? Vuonna 2003 Suomi sijoittui matematiikan osaamisessa toiseksi Pisa-tutkimuksessa, mutta vuonna 2012 olimme pudonneet 12. sijalle.
Tietoteknisten oivallusten kehittäminen vaatii mate- maattista ajattelukykyä. Matematiikka rakentaa sillan reaalimaailman ilmiöistä ja prosesseista tietokoneiden virtuaalimaailmaan.
Tieteellisessä tutkimuksessa ja yritysten tuotekehityk- sessä käytetään hyväksi laskennallista tiedettä, siis si- mulointia ja mallintamista, missä matematiikan avul- la kuvataan todellisuuden luonnetta. Tutkimus tarvit- see laskennallisen tieteen välineistöä kyetäkseen vastaa- maan haasteisiin.
Matematiikan osaamista tarvitaan kännyköiden, pape- rikoneiden ja lääkkeiden suunnittelussa. Nanotieteessä kuvataan atomit ja molekyylirakenteet matemaattisel- la formalismilla. Bioinformatiikassa matematiikka kyt- kee geenien symbolit ja niiden biologisen merkityksen toisiinsa. ICT-alan kuumat puheenaiheet kuten ’big da- ta’ ja ’kyberturvallisuus’ ponnistavat nekin matemaat- tisesta osaamisesta.
Usein kehutaan tietotekniikka-alan suuryritysten työl- listävästä vaikutuksesta, mutta ei puhuta pienistä oi- valluksista, jotka kyseenalaistavat isojen aseman. Kun vain matemaattista osaamista riittää, pitäisi Suomessa pärjätä tapahtuu maailmalla mitä tahansa.
Jos haluamme elää tietoyhteiskunnassa, tarvitsemme ihmisiä jotka kykenevät ymmärtämään maailmaa. Tä- tä ymmärrystä ei saavuteta ilman matematiikkaa.
Vankimielisairaalan ylilääkäri Hannu Lauerma kirjoit- taa teoksessaan ’Usko, toivo ja huijaus’ (Duodecim, 2006) seuraavasti: ”Kriittinen ajattelu edellyttää kykyä ymmärtää numeerisia käsittelytapoja ja niihin pohjaa- vaa todennäköisyyslaskentaa.”
Järjen (ja matematiikan) käyttöä pitäisi suosia tieto- yhteiskunnassa.
1Tekn. lis. Juha Haataja on tehnyt töitä yli neljännesvuosisadan tutkimuksen tietotekniikan parissa. Nykyisin hän työskentelee opetus- ja kulttuuriministeriössä vastuullaan muun muassa avoin tiede ja tutkimus. Kirjoitus on päivitetty vuonna 2007 ilmestyneestä kolumnista.
Tieteidenvälinen kommunikaatio?
Camilla Hollanti
matematiikan apulaisprofessori, Aalto-yliopisto
Olen viime vuosina tehnyt standardointiyhteistyötä monien suurten broadcasting-yritysten kanssa. Ainai- nen ongelma on yhteisen kielen puute eri alojen edus- tajien välillä. ”Matematiikan kieli” on, ainakin monien mielestä, vaikeampi oppia kuin muut ”kielet”. Niinpä matemaatikot olisivat tässä mielessä sopivin ryhmä ke- hittämään omia kommunikointitaitojaan. Ehkä tämä on yksi ongelmakohta, mihin matematiikan opetuk- sessa voisi yrittää etsiä ratkaisua. Esimerkiksi Aalto- yliopistossa kandiuudistuksen myötä eri koulujen op- pilaiden yhteistyönä tehtävä projektityö on mielestäni oiva avaus tähän suuntaan. Eri alojen välisiä kommuni- kointitaitoja edistää toki sivuaineiden opiskelukin, ja li- säksi vieraiden kielten, erityisesti englannin, osaaminen on luonnollisesti tärkeää. Perinteisempien vaihtoehto- jen lisäksi opiskelijavaihto, ihan vaikka kotimainenkin, eri alojen laitoksille maisteriopintojen aikana voisi olla
hyvä idea. Uskon, että olisin itse voinut hyötyä har- joittelujaksosta vaikkapa tietoliikennetekniikan laitok- sella, mutta kesäharjoittelupaikat annetaan usein au- tomaattisesti oman laitoksen opiskelijoille. Tällaiseen
”laitosvaihtoon” tarvittaisiin siis ihan oma fooruminsa tavanomaisten kesäharjoittelupaikkojen lisäksi. Mikäli harjoittelu tai opiskeluvaihto toisella laitoksella kiin- nostaa, kannattaa joka tapauksessa olla yhteydessä ko.
laitoksen professoreihin. Itse olen ottanut viime kesinä runsaasti insinööritieteiden opiskelijoita kesäharjoitte- luun, mutta he ovat itse aluksi olleet aktiivisia ja lä- hestyneet sähköpostitse. Viestin täytyy kuitenkin olla riittävän spesifinen, jotta juuri sinut huomataan ja vali- taan useiden pyrkijöiden joukosta. Lisäksi mukaan kan- nattaa aina liittää ainakin lyhyt ansioluettelo. Erityi- sesti ulkomailla oleskelu on meriitti myöhemmin töitä hakiessa, joten rohkeasti opiskelijavaihtoon!
”Must tulee hoitaja, en mä tarvii matikkaa.”
Liisa Näveri
FT, Helsingin yliopisto
Näin kuulen usein sanottavan. Kuitenkin jo eriasteisiin terveydenhuollon ammatteihin pyrittäessä törmää ma- tematiikan testeihin. Näissä testataan ammateissa tar- vittavia perusvalmiuksia, kuten peruslaskutoimituksia rationaalilukualueella ilman laskinta laskettaessa se- kä loogista päättelykykyä. Käsittelen tässä artikkelis- sa asioita, joita terveydenhuollon ammatissa tarvitaan
matematiikan sektorilta. Se auttaa ymmärtämään pe- ruskoulussa opittavien tietojen ja taitojen merkityksen terveydenhuollossa.
Matematiikan merkitys tulee sairaanhoidossa ja ter- veydenhuollossa lääkehoidon tarpeista. Siviilielämässä olemme tottuneet, että reseptissä lukee, kuinka monta tablettia tai kuinka monta millitraa tai tippaa otam-
me lääkeliuosta kerrallaan ja kuinka useasti vuorokau- dessa. Silloin ns. lääkelasku on jo laskettu. Sen sijaan terveydenhuollon eri yksiköissä määrätessään lääkettä lääkäri kirjaa potilaan tarvitseman vaikuttavan aineen määärän, ei tablettien kappalemäärää tai lääkeliuok- sien millilitramäärää. Tämä tarve tulee siitä, että eri lääkkeistä on erilaisia vahvuuksia, joten annokset mää- räytyvät sen mukaan, mitä vahvuutta lääkettä lääke- kaapissa on. Joskus käytetään myös eri valmistajan rin- nakkaistuotteita.
Terveydenhuollon ja sairaanhoidon eri yksiköissä lää- kehoitoon osallistuvat niin toisen asteen kuin ammat- tikorkeakoulun koulutuksenkin saaneet. Toisen asteen oppilaitoksista lähihoitaja-nimikkeellä valmistuvat toi- mivat hyvin erilaisilla aloilla. He suuntautuvat opis- kelun loppuvaiheissa työskentelemään lasten tai nuor- ten parissa, vammais- tai vanhusterveydenhuollossa tai ensihoidossa. Kaikille heille koulutukseen kuuluu kou- lutusohjelman mukaisten ns. lääkelaskujen suorittami- nen. Opiskeluvaiheessa lääkelaskut suoritetaan useaan kertaan niin perusopinnoissa kuin erikoistumisjaksoil- lakin.
Useilla työpaikoilla niin lähi- kuin sairaanhoitajatkin tenttivät lääkelaskut säännöllisin väliajoin saadakseen ja pitääkseen voimassa lääkeluvat. Tällöin jokainen huolehtii yksilövastuisesti omien potilaidensa lääkehoi- dosta. Ainoastaan iv-lääkkeet (laskimonsisäisesti an- nettavat lääkkeet) antaa sairaanhoitaja.
Annostelutehtävillä tarkoitetaan potilaalle annetta- van annoksen laskemista, kun lääkärin määräys ja lääkkeen vahvuus ovat tiedossa. Esimerkiksi Digoxin- sydänlääkkeestä on kolmea eri vahvuutta: Digoxin 0,25 mg tabletti, Digoxin semi 0,125 mg tabletti ja Digoxin mite 0,0625 mg tabletti. Kuinka monta Di- goxin 0,25 mg -tablettia annetaan, kun määräys on ol- lut 0,125 mg x 1? Määräyksen x 1 tarkoittaa, että lääke annetaan kerran vuorokaudessa. Tyypilliset virheelliset vastaukset tässä tehtävässä ovat kokemukseni mukaan olleet viisi ja kaksi Digoxin 0,25 mg -tablettia.
Nestemäisistä lääkkeistä esimerkkinä voisi mainita seu- raavan: lääkeliuoksen vahvuus on 5 mg/ml. Potilaal- le on määrätty 3 mg vaikuttavaa ainetta. Kuinka pal- jon lääkeliuosta annostellaan? Antovälineellä ja riittä- vän tarkalla asteikolla on myös merkityksensä. Annos annetaan per os (suun kautta).
Infuusioliuoksilla tarkoitetaan tiputuksessa annettavia liuoksia. Hoitohenkilökunnan tulee tarkkailla, ettei ti- putusnopeus ole liian suuri. Lähihoitaja voi esimer- kiksi laskea tippojen lukumäärän (3 tippaa = 3 gut- taa = 3 gtt) 15 sekunnissa. Siten tiputusnopeus on 12 gtt/min. Nyrkkisääntönä pidetään, että millilitrojen määrä tunnissa saadaan kertomalla 3:lla guttamäärä minuutissa. Siten hoitaja voi päätellä milloin infuusio- liuos loppuu. Mutta mistä nyrkkisääntö ’kolmella ker-
tominen’ tulee? Oikeellisuus on pääteltävissä, kun ot- taa vielä huomioon, että 20 gtt = 1 ml ko. olosuhteissa.
Nykyään pyritään kustannuksia säästämään pussitta- malla apteekissa tabletit jo valmiiksi farmaseuttien toi- mesta kunkin potilaan määräyksen mukaisesti. Jos po- tilaan lääkemääräykset ovat pitkäaikaisia ja pysyviä, jää hoitohenkilökunnalle pussittamisesta vain tarkis- tamisen vastuu. Terveydenhuollossa lopullinen vastuu lääkehoidosta on hänellä, joka sen toteuttaa, eli lähi- tai sairaanhoitajalla. Täysin pussijakeluun ei voida kui- tenkaan mennä, koska on Marevan-tyyppisiä lääkkeitä, joiden käytössä hoito edellyttää säännöllisin väliajoin tapahtuvaa laboratorioseurantaa. Näillä lääkkeillä an- nokset sovitetaan yksilöllisesti ja päiväannokset saat- tavat vaihdella.
Terveydenhuoltoalalle ammattikorkeakouluun pyrit- täessä on ohjelmia, joissa otetaan alkupistemäärää las- kettaessa mukaan aina matematiikan arvosana. Mate- matiikan sovellusalueet vaihtelevat koulutuslinjan mu- kaan; suuhygienistien koulutuksessa prosentteja käyte- tään liuoksien vahvuutena niin liuoksia valmistettaessa kuin laimennettaessakin. Bioanalyytikon työhön kuu- luvat näytteenotto, laboratoriotutkimukset sekä laa- dunhallinta. Kiinnostus luonnontieteisiin ja tekniik- kaan auttaa alaan kouluttautumisessa. Matematiikkaa ja luonnontieteitä käytetään sekä määrällisesti että si- sällöllisesti paljon.
Ensihoitajia koulutetaan sekä toisen asteen amma- tillisissa oppilaitoksissa että ammattikorkeakouluissa.
Jälkimmäisessä tutkintonimike on ensihoitaja (AMK).
Ensihoitaja on usein ensimmäisenä tapahtumapaikalla.
Hänen tulee tehdä potilaan hoitoa koskevia päätöksiä nopeastikin. Hän toteuttaa itsenäisesti ensihoitopoti- laan lääkehoidon. Elvytystilanteessa ensihoitajan tulee pärjätä ilman laskinta – eihän ole uskottavaa, jos ensi- hoitaja ilmestyy paikalle defibrillaattori toisessa kädes- sä ja laskin toisessa kädessä. Ensihoitaja pystyy päät- telemään annoskoot päässälaskuna.
Lääkärikoulutukseen pyrittäessä ja koulutusvaiheessa matematiikan, fysiikan ja kemian perustiedot ovat mer- kittävässä roolissa, koska elimistö toimii luonnonla- kien mukaisesti. Myös teknisten laitteiden toiminnan ja laboratoriotutkimuksien analysointimenetelmien ym- märtäminen helpottaa tulosten tulkintaa.
Olen edellä kuvaillut esimerkein hoitohenkilökunnan työssään toteuttamaa lääkehoitoa. Siviilivastuuta on myös lisätty. Diabeetikko lääkitsee itsensä ns. ’kynäl- lä’. Diabeteslääke, insuliini, valmistetaan nykyisin va- kiovahvuudeltaan 100 kansainvälistä yksikköä millilit- rassa, 100 IU/ml. Näin diabeetikko ei tarvitse lääkitse- miseensä millilitraruiskua, vaan hänellä on ’kynä’, jos- sa asteikko on yksikköinä. Esimerkiksi hänen tarvitse- mansa 10 yksikköä on helpompi annostella kuin milli- litraruiskun 0,1 ml.
Tässä kirjoituksessa on saatu kosketus terveydenhuol- toalan matematiikan erääseen osa-alueeseen, lääke- laskuihin. Opetushallituksen ohjeen mukaisesti laskut suoritetaan ilman laskinta. Halutaan myös, että laskija kykenee arvioimaan laskunsa suuruusluokan virheiden eliminoimiseksi. Annokset annostellaan lasketun mu- kaisesti, niitä ei pyöristetä, ettei annettaisi yliannok-
sia. Teknisiä apuvälineitä ei käytetä, jotta varmistetaan lääkkeiden oikea annostelu, vaikka laskin olisi kateissa tai rikki. Potilasturvallisuuden vuoksi jo tentissä tu- lee kaikkien laskujen olla oikein. Eihän voi ajatella, et- tä potilashuoneen neljästä potilaasta yksi voisi saada väärän määrän lääkettä.
Tohtori rehtorina
Jarkko Rieppo FT, dosentti, vt. rehtori
En aavistanut vuonna 1995, kun aloitin Joensuun yli- opistossa logiikan ja analyysin tutkijakoulussa jatko- opintoni, että tulen joskus työskentelemään lukion reh- torina. Sillä hetkellä, kun väittelin tohtoriksi vuonna 1998, olin tosin jo matematiikan ja tietotekniikan leh- torin virassa Joensuun yhteiskoulun lukiossa. Virkaani kuului myös apulaisrehtorin tehtävä ja pääsin tutus- tumaan rehtorin työnkuvaan hänen työparinaan. Vir- kaan valinnan mahdollisti opettajan pätevyys, jonka olin hankkinut jo maisteriopintojeni aikana.
Tehtäviini apulaisrehtorina kuului lukion työjärjestys- ten laatiminen, joka on varsin haastava optimointion- gelma. Kokemukseni mukaan lukioiden työjärjestyksiä laatimassa on pääsääntöisesti matemaattisten aineiden opettajia – matemaattinen taipumus ja koulutus so- veltuvatkin hyvin kyseiseen työhön, joka vaatii ana- lyyttisyyttä, pitkäjänteisyyttä, järjestelmällisyyttä ja luovuutta. Myös kovanahkaisuus on eduksi, ettei luhis- tuisi sidosryhmien toiveiden ja vaatimusten alle, mut- ta sitähän ei matemaatikon koulutuksesta saa. Sen si- jaan, kun kykenee perustelemaan ratkaisunsa loogisesti – koulutuksen jalostamalla kyvyllä – saa muilta luot- tamuksen.
Esimieheni eläkeikä alkoi lähestyä, ja hän vihjasi mi-
nulle, että minulla saattaisi olla mahdollisuuksia hä- nen seuraajakseen rehtorina ja hän pyysi minua hank- kimaan pätevyyden. Rehtorin tehtävän hoitaminen edellyttää opettajan pätevyyden lisäksi 15 opintovii- kon (25 opintopisteen) laajuista opetushallinnon tut- kintoa. Suoritin kyseiset opinnot avoimessa yliopis- tossa töiden ohessa vuoden aikana. Opintoihin kuu- lui mm. kunnallishallinnon ja opetushallinnon lain- säädäntöä. Yllättäen koin nämä lakiopinnot kiinnos- taviksi, ja huomasin, että matemaattinen tapa aja- tella helpotti näitä opintoja. Käsitteiden määrittelyt, syy-seuraussuhteiden kuvaukset tuntuivat luontevilta ja helpohkoilta soveltaa eri tilanteisiin. Ajattelinkin sil- loin, että jos minun olisi vielä pakko valita jokin muu koulutus kuin matemaatikon, niin lakiopinnot olisivat varteenotettava vaihtoehto.
Edellisen rehtorin eläköidyttyä siirryin hoitamaan reh- torin tehtäviä – matematiikan opettaminen jäi sivuroo- liin. Harkitsin kauan, otanko haasteen vastaan, sillä pi- dän kovasti opettajan työstä. Suostuin kuitenkin teh- tävään, sillä tiesin sen olevan väliaikainen siihen saak- ka, kunnes Joensuun kaupungissa yhdistetään lukioita.
Tuleva lukuvuosi on minulle kuudes ja viimeinen rehto- rin tehtävässä, kun lukiomme yhdistetään toisen lukion kanssa.
Pidin työjärjestysten suunnittelun edelleen omana teh- tävänäni ja sain sen seuraksi liudan muita hallinnollisia tehtäviä. Rehtorin työ on laaja-alaista ja hän on viime kädessä vastuussa kaikesta siitä, mitä koulussa tapah- tuu. Henkilöstöjohtaminen, talousjohtaminen, pedago- ginen johtaminen ja koulun edustaminen paikallisilla, kansallisilla ja kansainvälisillä foorumeilla on rehtorin työn arkipäivää sen lisäksi, että on läsnä opiskelijoiden ja opettajien arjessa. Koen saaneeni näihin tehtäviin hyvät valmiudet koulutukseni myötä, ja olen kiitolli- nen siitä, mitä olen tässä tehtävässä kokenut. Reilun vuoden kuluttua palaan takaisin hoitamaan lehtorin ja apulaisrehtorin tehtäviä.
Koko sen ajan, kun olen koulussa työskennellyt, olen
harrastanut matematiikan tutkimusta ja tuottanut kes- kimäärin yhden tutkimusartikkelin vuodessa ja osallis- tunut muutamiin kansainvälisiin konferensseihin. Kii- tos tästä mahdollisuudesta kuuluu Itä-Suomen yliopis- tolle, jonka resursseja olen saanut dosentin ominaisuu- dessa käyttää, ja jonka tutkimusryhmien toimintaan olen voinut osallistua. On kyllä myönnettävä, että alet- tuani hoitaa rehtorin tehtäviä, tutkimukseni ovat jää- neet vähemmälle, sillä työn vaativuus on suurempi ja työpäivät ovat yksinkertaisesti pitempiä ja lomat ly- hempiä. Matematiikan tutkimus on kuitenkin muka- naan vievä harrastus hyvien ystävien parissa, ja sitä en tule kokonaan hylkäämään niin kauan kuin siihen kykenen.
Työllistyminen opetusalalle
Heikki Pokela Tapiolan lukio
Tehtäväkentän laajuus
Opettajan yleinen toimenkuva on varsin laaja, esiope- tuksesta aikuiskasvatukseen, joten aiheen rajaamisek- si keskityn tässä lähinnä lukion opettajan ammatin tarkasteluun. Opetukselliset taidot ja aineosaaminen kumpikin jo yksinään riittävät artikkelin aiheeksi. Va- litsin tähän jälkimmäisen.
Työkokemus
Aalto-yliopiston matematiikan emerituslehtori Simo Kivelä on todennut, että opettajan tulisi kyetä avaa- maan oppilailleen näköaloja (Arkhimedes 3/2007).
Opettaja voi saavuttaa tällaisen kyvyn kokemuksella, jota on hankittu sekä opinnoista että mahdollisesti työ- kokemuksella varsinaisen opetusalan ulkopuolelta. Olen nähnyt vuosien mittaan muutamia ammattikorkeakou- lujen työpaikkailmoituksia, joissa haetaan matematii- kan opettajaa ja valinnassa arvostettaisiin kokemusta matematiikan ”teollisuussovelluksista”. Erääseen täl- laiseen tehtävään valitulla oli matematiikan jatkotut- kinnon lisäksi usean vuoden kokemus VTT:ltä, jossa hän oli tehnyt numeerista simulointia erilaisille teolli- suusprosesseille. Lisäksi hänen ansioluettelostaan löy- tyi opettajankokemusta noin kymmenen vuoden ver- ran eri oppilaitoksissa ja pedagogiset opinnot sekä ko- kemusta valtakunnallisten matematiikan kokeiden tar- kistamisesta. Työnantaja tiesi, mitä halutaan ja mitä ei – eli ei ketään suoraan koulun penkiltä kateederille, ainakaan vakituiseen työhön.
Lukion opettajalta harvemmin edellytetään kokemus- ta opetusalan ulkopuolelta, joten näköalojen avaami- sessa jo lähtökohta on usein huomattavasti kapeampi, mikä asettaa varsin paljon odotuksia ja ehkä liikojakin vaatimuksia opettajankoulutukseen. Ongelman poista- miseksi työnantaja parhaimmassa tapauksessa ohjaa opettajia erilaisiin täydennyskoulutuksiin.
Opetussuunnitelmat
Opettajaa ohjaa, sitoo ja suojaa opetussuunnitelma, ops. Oppikirjat auttavat jäsentämään kurssikokonai- suuden oppitunneiksi, mutta periaatteessa vastuu ja myös vapaus ovat opettajalla: hän saa halutessaan koostaa kurssinsa aikataulut ja sisältöjen yksityiskoh- tien keskinäiset painotukset vapaasti. Käytännössä to- della harva opettaja ryhtyy tähän, vaan luottaa oppi- kirjailijoiden laatimaan ajankäyttörunkoon. Opsin sito- vuus tarkoittaa lyhyesti ilmaistuna virkavastuuta, sil- lä opsista poikkeaminen on peruste tarkastella opetta- jan virkasuhdetta uudelleen. Useimmiten valtakunnal- linen ops on kuitenkin hyvin väljästi määritelty, joten lähinnä ongelmia saattaa esiintyä ison paikkakunnan kuntakohtaisten opsien soveltamisesta, sillä myös kou- lun ylläpitäjillä – yleensä kunnilla – on mahdollisuus kirjauttaa omia arvojaan paikalliseen opsiin ja vaatia opettajiaan sitoutumaan niihin.
Pienet kunnat ovat tähän mennessä muutamaa poik- keusta lukuunottamatta kopioineet suoraan opsin val- takunnallisen osuuden mitään juuri lisäämättä pa- kollisiin kursseihin. Sen sijaan pian alkavalla ops-
kierroksella on nähtävissä jo nyt voimistuvaa aktivi- teettia. Esimerkiksi jotkin seutukunnat laativat pai- kallisia opseja yhteistyöllä yli kuntarajojen ja järjes- tävät myös kuntalaisille ja oppilaiden vanhemmille ti- laisuuksia tulla kuulluksi. Myös aineenopettajien omat ainejärjestöt pyrkivät vaikuttamaan valtakunnallisen ja kuntakohtaisten opsien laadintaan. Edellisellä ops- kierroksella MAOL suunnitteli koulukohtaisten opetus- suunnitelmien runkoja, joita joillakin kouluilla otettiin käyttöön. Lopuksi on myös todettava, että ops suojaa opettajia. Silloin tällöin opettajan, kuten muidenkin virkamiesten, työstä tehdään valitus, joka voi koskea numeroarvostelua tai opetusta itseään. Tällöin tulki- taan mitäpä muutakaan kuin opsia, siis ensisijaisesti.
Uralla eteneminen ja kehittyminen – mitä se on opettajalle?
Joskus kuulee sanottavan, ettei opettajan ammatista etene mihinkään, paitsi ehkä rehtoriksi. Koulutoimen hallinnolliset tehtävät ovatkin monelle matematiikan opettajalle tuttuja. Usein aloitetaan koulun johtokun- nasta ja apulaisrehtorin tehtävistä – jos koulun atk- tukihenkilönä olemista ei lasketa –, jolloin työaikaa al- kaa kulua sellaiseen, jota voisi kutsua koulusihteerin ja hallinnollisen johdon välimaastoksi. Tällöin viimeis- tään pääsee tuntemaan koulutukseen liittyvien suurten tunteiden ja intressien ristipaineen. Joidenkin tie ete- nee rehtoriksi tai kunnan tai vaikkapa opetushallituk- sen työpaikkoihin. Toimenkuvan sisällöstä riippuu huo- mattavasti, paljonko itse matematiikassa tai sen opet- tamisessa kykenee kehittymään.
Eteneminen ja kehittyminen on joissain, vaikkakin har- vinaisemmissa tapauksissa mahdollista myös ilman laa- jamittaista paneutumista kouluhallintoon. Oppikirjo- jen laatiminen tapahtuu pitkälti lukion opettajien omin voimin, siis siten, että kunkin oppikirjasarjan tekijäryh- mässä heitä on yleensä alan yliopisto-opettajiin näh- den enemmistö. Kehittyminen oppikirjailijaksi on pit- kä prosessi varsinaisen opetustyön ohella, ja pääsy te- kijäryhmiin on jo sinänsä meriitti opettajalle. Edellä kuvattujen opsien laadintatyössä sekä valtakunnallises- ti että paikallisesti on mukana opettajia, joilla usein on kokemusta esimerkiksi oppikirjojen yms. vastaavien materiaalien tuottamisesta.
Valtakunnallisten matematiikkakilpailujen ja kokeiden laadinnassa ja tarkastusprosessissa korostuu vastuu, mutta toisaalta juuri niissä opettaja voi kehittää nä- kemystään matematiikan opetuksen kokonaiskuvasta maassamme. Vaikka ylioppilaskoetta välistä kritisoi- daan voimakkaastikin, on se säilyttänyt asemansa jo kolmella eri vuosisadalla. Yo-koe on paitsi kansallinen instituutio myös olennaisen tärkeä työväline opettajal- le. Sitä voisi tavallaan verrata merkitykseltään opsiin.
Opettajan ammatissa Suomessa halutaan korostaa au- tonomisuutta eli opettajalla on laajat oikeudet päät- tää työnsä yksityiskohdista. Opettajaan siis luotetaan.
Kääntöpuolena tulee vastuu omasta kehittymisestä ja ammattitaidon ylläpidosta. Opettajan toki kuuluu ker- rata aika ajoin sellaistakin (yliopisto)matematiikkaa, jota ei suoranaisesti koulussa opeteta. On tietenkin ym- märrettävää, että tämän mielekkyyttä ei aina jatku- vasti näe, joten suosittelisin uusille opettajille kerrata sellaisen materiaalin avulla, jonka voi katsoa kuuluvan lukioon. On nimittäin olemassa riittävän haasteellista materiaalia, joka avaa matematiikan rakenteiden ym- märrystä oppilaiden lisäksi opettajille. Tarkoitan ma- tematiikan kilpailu- ja olympiatehtäviä. Lukion opet- tajalle tutustuminen matematiikan yo-tehtävien yli sa- tavuotiseen aarrearkistoon on myös osa toimenkuvaa.
Voisi väittää, että tehtävien mukana välittyy eläväs- ti koululaitoksen historiaa, vaikka matematiikka itses- sään on periaatteessa ajatonta.
Työnhakuprosessi
Lukion matematiikan opettajan vakituisen toimen tai viran odottelussa tarvitaan kärsivällisyyttä, sillä alle viiden vuoden työkokemuksella esimerkiksi pääkaupun- kiseudulla ei välttämättä edes kutsuta työhaastatte- luihin. Muualla maassa tilanne vaihtelee suuresti; jos- kus jopa ilman pidempää työkokemusta voi tulla va- lituksi. Vielä kymmenisen vuotta sitten houkuteltiin nimenomaan matematiikan opiskelijoita valitsemaan opetusala juuri työllisyyden vuoksi, sillä suuret ikäluo- kat olivat pian jäämässä eläkkeelle. Nyt he ovat käy- tännössä kaikki eläkkeellä, heidän viroistaan on täytet- ty vain osa ja hokemat helposta työllistymisestä lienee lopetettu. Pääkaupunkiseudulla yhtä avointa lukioleh- torin paikkaa tavoittelee tyypillisesti yli viisikymmentä pätevää hakijaa. Useimmiten isoissa kaupungeissa työ- haastattelun hoitaa rehtori ja valintaehdotuksen ope- tuslautakunnalle tekee opetustoimenjohtaja, joka tus- kin on koskaan hakijoita nähnytkään. Koska rehtori on todennäköisesti jonkin muun kuin matematiikan opet- taja ja koska haastattelussa lienee kyseenalaista käyt- tää mukana (mahdollisesti tulevia) opettajakollegoita, haastattelu muodostuu pakostakin melko yleisen tason arvioinniksi, ja rehtori joutuu luottamaan saamiinsa papereihin ja haastattelun antamaan intuitioon. Usein työkokemus painaa vaakakupissa paljon, sillä muiden, toisista hakijoista erottuvien näyttöjen olemassaolo on melko harvinaista. Joskus tulee mieleen, onko uuden opettajan valikoituminen johonkin tiettyyn kouluun ar- papeliä. Toisaalta mahdollisuudet toteuttaa ammatti- aan ovat yhä melko samanlaisia miltei jokaisessa kou- lussa Suomessa, ja opetusalan työt tuskin ovat ns. ka- toavien työpaikkojen listalla missään tulevaisuusvisios- sa.
Yhtenä opettajan tärkeimpänä ominaisuutena pidän kykyä erottaa olennainen epäolennaisesta, ja sekin on kokemuksen myötä mahdollisesti karttuva taito. Sitä kohti pyrkiessä kannattaa mielestäni pitää huolta kah- desta asiasta, jotka ovat tietotaito ja tradition kunnioi- tus.
Matemaattiset tieteet 2025
Marjatta Näätänen dosentti, Helsingin yliopisto
USA:ssa on kansallisen tiedeakatemian (NSF) toimesta julkaistu raportti Matemaattiset tieteet 2025,http://
www.nap.edu/catalog.php?record_id=15269. Tässä on siitä lyhyt yhteenveto.
Aluksi todetaan, että maan matemaattisten tieteiden tilanne on erinomainen, merkittävää edistystä on ta- pahtunut sekä perusteoriassa että keskeisillä sovel- lusalueilla. Tällaisia ovat esimerkiksi monimutkaisten mallien epävarmuustekijöiden suuruuksien luokittelu, uusien mallintamis- ja analysointimenetelmien kehittä- minen monimutkaisille systeemeille kuten sosiaalisille verkoille ja tiedon louhinta massiivisista datapankeista biologiassa, tähtitieteessä, internetistä, käänteiset on- gelmat.
Yhä useammat tieteenalat, insinööritieteet, biologia, lääketiede, liike-elämä, korkeatasoinen muotoilu, ilmas- totutkimus, uudet materiaalit ja kansallinen puolus- tus ovat riippuvaisia monimutkaisista tietokonesimu- laatioista ja yhä kasvavien datamäärien analysoinnis- ta. Niinpä matemaattiset tieteet, matematiikka, tilas- totiede, tietojenkäsittely väistämättä näyttelevät yhä suurempaa osaa, nehän antavat peruskielen konesimu- laatioille ja datan analysoinnille.
Matemaattiset tieteet ovat yhä tärkeämpi perusta yh- teiskuntatieteille ja monille uusille teollisuudenaloille.
Kaikki tämä on ratkaisevaa taloudellisen kasvun, kil- pailukyvyn ja kansallisen turvallisuuden kannalta ja tulisi huomioida matemaattisten tieteiden resurssoin- nissa. Yliopistojen ja hallituksen tulisi tukea perustut- kimusta, jotta se voisi menestyä myös tulevaisuudessa.
Nämä sijoitukset eivät tuota heti suorissa sovelluksis- sa, vaan pitkällä aikavälillä tutkimuksen säilyttäessä elinvoimansa. Tästä teoreettisesta perustutkimuksesta saadaan tulevaisuuden innovaatioita ja sen laiminlyö- minen olisi perin lyhytnäköistä.
Matematiikan osaajille on nykyään kysyntää kaikkial- la maailmassa. Nyt kuitenkin muut maat ovat alkaneet aggressiivisesti houkutella takaisin omia, USA:ssa kou- lutettuja lahjakkuuksiaan. Tämä huolestuttaa USA:ssa ja siellä pyritäänkin tehostamaan sekä omien lahjak- kuuksien että muualta houkuteltujen saamista maa- han. Myös aliedustettujen ryhmien, kuten naisten ja etnisten vähemmistöjen saaminen alalle on edelleen on- gelmallista, vaikkakin edistystä onkin tapahtunut vii- meisten 10–20 vuoden aikana. Näiden ongelmien hoi- toon tarvitaan erityistä rahoitusta.
Vaikka matematiikan tutkimus onkin USA:ssa hyvin
korkealla tasolla, matemaattisten tieteiden merkitys koko kansakunnalle kasvaisi, jos nykyistä useammat matematiikan ja tilastotieteen osaajat olisivat oman alansa lisäksi laajasti perehtyneitä muidenkin alojen ongelmiin. Koska tiedot matemaattisten tieteiden yh- teyksistä muihin tieteenaloihin ovat hyödyksi tulevien matemaatikkopolvien koulutuksessa, tulisi luoda talou- delliset edellytykset matemaatikkojen ja muiden tie- teenalojen edustajien väliselle yhteistyölle.
Koska käytetyt matemaattiset menetelmät ovat nyky- ään keskeisiä monissa tutkimushankkeissa, pitäisi ot- taa enemmän matemaatikkoja mukaan jo heti alkuvai- heessa tieteidenvälisen tutkimuksen rahoitusta suunni- teltaessa, onnistumismahdollisuuksia arvioitaessa ja ra- hoituksesta päätettäessä.
Matemaattisten tieteiden päämääränä on selittää maa- ilmaa abstraktien struktuurien avulla sekä ymmärtää syvällisesti tällaisten struktuurien välillä vallitsevia yh- teyksiä. Ympäristömme tietyt piirteet vangitaan mal- lintamalla, minkä jälkeen päättelyn ja tieteellisen las- kennan avulla voidaan tehdä ennusteita. Tämä joh- taa usein vaiheittain tarkentuvaan prosessiin. Näin yhä useammat tutkimusalat ovat tulleet syvästi matemati- soiduiksi.
Englannissa tehtiin vastaava raportti v. 2010 ja siinä todettiin mm. että matemaattiset tieteet ovat tuloksil- laan antaneet merkittäviä panoksia koko yhteiskunnan hyvinvoinnille, mikä koskee niin puhdasta perus- kuin soveltavaakin tutkimusta, tilastotiedettä sovellutuksi- neen, samoin kuin operaatiotutkimusta, jossa teoria ja käytäntö limittyvät.
Raportti ei pidä oikeana jakoa ”puhtaaseen” ja ”sovel- lettuun” matematiikkaan, se on yhä keinotekoisempi.
Nykyisin on vaikea löytää matematiikan alaa, jolla ei olisi merkitystä sovellusten kannalta. Edelleen on teo- reemoja itseohjautuvasti johtavia, rohkeasti seikkaile- via matemaatikkoja ja niitä, jotka pääosin luovat ja ratkovat malleja – mutta molempia tarvitaan.
Laskennallisen simuloinnin kehittyminen ja tarjolla ole- van datamäärän eksponentiaalinen kasvu ovat kak- si keskeistä syytä matemaattisten tieteiden kasvavaan tarpeeseen, ja datan vaivaton liikkuminen internetin kautta vain vahvistaa tätä kehitystä. Useilla tieteen, tekniikan ja teollisuuden aloilla tutkimus- ja kehitys- työ perustuu matemaattisten mallien rakentamiseen se- kä simuloinnista ja mittaustuloksista saatavan valtavan datamäärän laskennalliseen analysointiin. Tämä kaikki
on luonteeltaan matemaattista, eikä eri tieteiden rajoja voi tässä tarkasti paaluttaa. Reuna-alueilla on erilai- sia toimijoita, kuten geotieteissä, yhteiskuntatieteissä ja bioinformatiikassa toimivia tilastotieteilijöitä, kryp- tografiaa tutkivia lukuteoreetikoita tai koneoppimista kehitteleviä analyysin tutkijoita.
Näyttää siltä, että USA:ssa matematiikan ohella jo- tain muutakin alaa, kuten esimerkiksi biologiaa tai in- sinööritieteitä, opiskelevien jatko-opiskelijoiden määrä on voimakkaasti kasvamassa. Tästä tulisi kerätä jär- jestelmällisesti tietoa ja huomioida tällaiset opiskelijat myös resurssien jaossa.
Matemaattisten tieteiden avautuminen yhä uusille alueille on hyvä suuntaus, jota tulisi resurssoida. Ra- portti toteaa, että vaikka matemaattisten tieteiden ra- hoitusta on viime vuosikymmeninä vahvasti lisätty, ei lisäys lainkaan vastaa näiden tieteiden kasvanutta mer- kitystä.
Matematiikan eri osat yhdistyvät entistä tiiviimmin, esimerkiksi todennäköisyys ja kombinatoriikka, joita ei aikaisemmin juuri käytetty yhdessä. Tämä merkitsee, että tutkijoiden on omaksuttava yhä suurempia tieto- määriä. Voi olla, että jo väitelleiden tutkijoiden jatko- koulutus tulee yhä tarpeellisemmaksi. USA:ssa on myös
perustettu instituutteja, joissa eri vaiheissa olevat ma- temaattisten tieteiden tutkijat voivat saada yhteyttä muiden alojen tutkijoihin tai teollisuuden edustajiin.
Raportissa ilmaistaan huoli matemaattisen tutkimuk- sen kirjoitettujen tulosten säilymisestä pitkien aikojen kuluessa tekniikan luodessa yhä uusia muotoja. Haas- teena mainitaan myös lahjakkaiden nuorten saaminen yhä kasvavan tarpeen tyydyttämiseksi.
Myös eri aloilta tulevat, matemaattista koulutusta tar- vitsevat opiskelijat asettavat omilla tarpeillaan mate- maattisten tieteiden laitokset tärkeään, mutta vaike- aan tehtävään. Matemaattisten tieteiden edustajien on otettava aktiivisesti osaa yhteiskunnalliseen keskuste- luun, luotava kurssisisällöt ja opiskelutavat, jotka vas- taavat tämänhetkistä tarvetta, sekä selvitettävä opis- kelijoille matemaattisten tieteiden nykyinen merkitys.
Raportissa suositellaan myös hallitukselle kansallisen ohjelman rahoittamista, jotta matemaattisesti erityisen lahjakkaille koululaisille tarjottaisiin mielenkiintoista ohjausta siinä toivossa, että he myöhemmin jatkaisi- vat opintoja matemaattisissa aineissa. Säästösyistä py- ritään myös antamaan opetusta verkkokursseilla. Tässä on matemaatikkojen itse oltava aktiivisia, jotta kurs- sien sisällön taso ei ole huonompi kuin tavanomaisten luentokurssien.
Opettajalinjalta aktuaariksi
Piia Kolehmainen
vastuullinen aktuaari, FM, SHV1
OP-Pohjola-ryhmä, OP-Henkivakuutus Oy
Kohta 9 vuotta on kulunut siitä, kun valmistuin Helsin- gin yliopistosta matematiikan ja tietotekniikan opetta- jaksi. Tällä hetkellä työskentelen OP-Pohjola-ryhmässä
henkivakuutusyhtiöiden vastuullisena aktuaarina. Mi- ten tässä näin pääsi käymään?
Valmistuin tosiaan matematiikan opettajalinjalta ke-
1Sosiaali- ja terveysministeriön hyväksymä vakuutusmatemaatikko (SHV-matemaatikko).
sällä 2005. Seuraavan lukuvuoden alusta aloitin ma- tematiikan ja tietotekniikan tuntiopettajan työt Hel- singin uudessa yhteiskoulussa. Aloin kuitenkin nopeas- ti kaivata enemmän haasteita matematiikan paris- sa ja loppuvuodesta hain matemaatikon paikkaa pie- nestä henkivakuutusyhtiöstä. Tammikuussa 2006 aloi- tinkin työt matemaatikkona Henkivakuutusosakeyh- tiö Retrossa, jossa työskentelin seuraavat kolmisen vuotta. Tuona aikana aloin myös lukea SHV-tenttei- hin tarkoituksenani valmistua jossain vaiheessa SHV- matemaatikoksi.
Pienessä yhtiössä matemaatikon tehtäväkenttä on var- sin laaja ja perustaidot oppii matemaatikon perushom- mien lisäksi melkein väkisin myös muun muassa kir- janpidosta ja ict-hommista sekä pääsee osallistumaan erilaisiin neuvotteluihin. Työkenttä on selvästi laajem- pi kuin isomman yhtiön johonkin tiettyyn alueeseen erikoistuneena matemaatikkona. Voisi sanoa, että pie- nessä yhtiössä matemaatikko on joka alan asiantuntija ja osaamiselle on hyvä tilaisuus luoda laaja perusta.
Kääntöpuolena tulee sitten se, että kun työtehtävät on kunnolla opittu, työt eivät hirveästi uudistu ja päivät alkavat sujua rutiinilla. Niinpä minäkin siirryin vuoden 2008 loppupuolella OP-Henkivakuutuksen leipiin aktu- aarin tehtäviin.
Vuonna 2009 sain SHV-tutkinnon suoritettua ja vuo- den 2013 alusta olen toiminut yhtiömme vastuullisena aktuaarina. Vakuutusyhtiölain mukaan SHV-tutkinto vaaditaan, jotta vastuullisen aktuaarin tehtäviä voi hoi- taa. SHV-tutkinto tai edes osa tenteistä kannattaa suo- rittaa, jos alalla aikoo työskennellä. Tentteihin osallis- tumiseen ei ole pohjatietovaatimuksia, vaan niitä voi suorittaa vaikka jo opintojen ohella, mutta suosittelen tenttien suorittamista vasta siinä vaiheessa, kun on jo vähän aikaa työskennellyt alalla. Näin tentteihin luke- misesta saa paljon enemmän irti ja kerättyä oppia pys- tyy hyödyntämään työelämässä, kun oppimaansa pys- tyy jatkuvasti peilaamaan omaan päivittäiseen työhön- sä. Samoin SHV-tutkintoon kuuluva lopputyö kannat- taa tehdä aiheesta, joka itseä kiinnostaa ja joka joten- kin liittyy omaan työhön, näin siitäkin saa enemmän hyötyä jatkoa ajatellen ja työn saa toki sujuvammin valmiiksikin, mikäli aihe on itselle tärkeä.
Isommassa yhtiössä matemaatikkoja tai matemaatik- kotaustaisia henkilöitä työskentelee varsin monenlaisis- sa tehtävissä asiantuntijoista johtoportaaseen. Aktuaa- ritoimessakin tehtäviä löytyy niin liiketoiminnan kans- sa työskenteleville matemaatikoille esimerkiksi tuoteke- hityksen ja hinnoittelun saralla kuin erilaisille mallinta- jille ja koodaustaitoisille ATK-matemaatikoille. Yksit- täisen aktuaarin tehtäväkenttä on usein enemmän eriy- tynyt kuin pienessä yhtiössä, mutta toki isossa yhtiössä avautuu mahdollisuuksia vaihtaa tehtäviä ajoittain ja sitä myöten kasvattaa osaamista eri liiketoiminnan ja laskennan osa-alueille.
Voisi sanoa, että vakuutusalalla matemaatikkotaustal- la vain taivas ja mielikuvitus ovat rajana, kun työuraa eteenpäin suunnittelee. Toki rekrytointitilanteessa on hyväksi, jos potentiaalisella työnantajalla on saman- suuntaiset ajatukset. Mutta matemaatikoita toimii jo pelkästään rahoitus- ja vakuutusalalla niin monenlai- sissa tehtävissä, että aika usein matemaatikon haaveet ja työnantajan ajatukset ovat kohdanneet.
Nykypäivän työelämässä korostuu vaatimuksena mie- lestäni vanha työhakemuksiin kirjoitettava kliseeltä kuulostava ”Tulen hyvin toimeen erilaisten ihmisten kanssa”. Se ei olekaan mitään sanahelinää vaan todelli- nen vaade, jos työnsä haluaa tehdä kunnolla ja urallaan edetä. Kaikkien työssä kohdattujen ihmisten kanssa ei toki tarvitse ystävystyä, mutta työt pitää pystyä hoi- tamaan. Työelämässä vastaan tulee väistämättä risti- riitatilanteita – jos joku väittää, että näin ei käy, hän valehtelee. Tällaisia tilanteita ei tarvitse vältellä, mut- ta asiat pitää pystyä ratkaisemaan yhteistyössä, ja ai- na olisi pidettävä mielessä, että asiat riitelevät, eivät ihmiset.
Työpaikalla kuluu päivistä ja vuosista niin suuri osa, että työstä pitää voida nauttia, mutta samalla pitää muistaa, että se on kuitenkin vain työtä. Minulla on ol- lut onni työskennellä vain mukavissa työpaikoissa, hy- vien esimiesten alaisena ja huipputyöporukoissa. Väi- tän kyllä, että tähän voi myös vaikuttaa paljon omalla asenteellaan. Oman kokemukseni ja omien työpaikko- jeni perusteella voisin todeta, että työelämässä tietty hulluus ja huonot vitsit eivät toki ole ehdoton vaati- mus, mutta niistä on kovasti apua.
Solmun matematiikkadiplomit
Peruskoululaisille tarkoitetut Solmun matematiikkadiplomit I–IX tehtävineen ovat tulostettavissa osoitteessa http://solmu.math.helsinki.fi/diplomi.html
Opettajalle lähetetään pyynnöstä vastaukset koulun sähköpostiin. Pyynnön voi lähettää osoitteella marjatta.naatanen(at)helsinki.fi
Matematiikkaa soveltamassa
Lasse Holmström
sovelletun matematiikan professori, Oulun yliopisto
Peruskoulutukseni on niin sanotussa puhtaassa mate- matiikassa, josta väittelin tohtoriksi vuonna 1980. Si- vuaineinani opiskelin laajasti fysiikkaa. Väittelyni jäl- keen tein noin neljä vuotta tutkimustyötä väitöskirjani aihepiirin tiimoilta, mutta sitten seurasi huima hyppy tuntemattomaan.
Elettiin tietotekniikan voimakkaan murroksen aikaa.
Tietokoneiden, erityisesti henkilökohtaisten työasemien saatavuus oli parantumassa dramaattisesti ja erilaiset automaatiojärjestelmät, robotiikka ynnä muut niin sa- notun korkean teknologian ihmeet olivat erittäin nä- kyvästi esillä tiedotusvälineissä. Tämähän oli myös se vuosikymmen, jolloin Nokia teki läpimurron matka- puhelinteknologiassa. Aloittelevana tutkijana halusin päästä tästä kaikesta jollakin tavalla osalliseksi ja ma- tematiikan osaamiseni tarjosikin siihen yllättäen oivan tilaisuuden, kun Teknillisessä korkeakoulussa toimiva tutkimusprojekti tarvitsi matemaatikkoa kehittämään kolmiulotteisen avaruuden pintojen tietokonepohjaisia esitys- ja visualisointimenetelmiä.
Seurasi reilun kolmen vuoden intensiivinen oppiaika tietotekniikassa ja matematiikan soveltamisessa, jon- ka huipentumana omiin matemaattisiin ideoihini pe- rustuvat koneiden osien tietokonemallit eräänä päivänä väikkyivät fotorealistisina kuvina työasemani kuvaput- kella. Käydessäni vuosia myöhemmin katsomassa sit- temmin klassikon asemaan nousseen James Cameronin scifi-spektaakkelin Terminator 2 tunsin nostalgista yl- peyttä siitä, että itse asiassa tiesin varsin tarkkaan mil- laisille matemaattisille ideoille filmin parhaat erikoise- fektit perustuivat. Sittemmin räjähdysmäisesti kasva- nut peliala on sekin ryhtynyt laajasti hyödyntämään matemaattiseen osaamiseen perustuvaa mallintamista ja visualisointia.
Matkani matematiikan soveltamisen parissa jatkui
myöhemmin Rolf Nevanlinna -instituutissa, jossa teh- täväni oli käynnistää keinotekoisten hermoverkkojen matemaattinen tutkimus. Pyrkimyksenä oli kehittää matemaattisia malleja, jotka joiltain osin osaisivat hah- mottaa maailmaa samoin kuin oikeat biologiset järjes- telmät. Opin, että lentokenttien turvaporteissa, alkeis- hiukkasten etsimisessä hiukkaskiihdyttimissä ja pro- teiinimolekyylien kolmiulotteisen rakenteen selvittämi- sessä voidaan käyttää samanlaisia matemaattisia me- netelmiä ja että käsinkirjoitettujen merkkien auto- maattista tunnistamista ja matkapuhelimen kuuluvuu- den parantamista voidaan ajatella saman ongelman eri ilmentyminä. Viimeisen 15 vuoden aikana olen ollut mukana mm. ilmastonmuutoksen tutkimuksessa ja pe- rehtynyt satelliiteilla tapahtuvaan kaukokartoitukseen ja kuvankäsittelyyn.
30 vuoden takainen toiveeni päästä mukaan kiehtoviin matemaattisten tieteiden sovelluksiin on toteutunut ja olen voinut aitiopaikalta seurata uusimman teknolo- gisen murroksen etenemistä. Pääsylipun tälle haasta- valle mutta upealle ajelulle on tarjonnut matemaat- tinen osaaminen. Toisinaan olen selvinnyt yliopiston peruskurssien tiedoilla, mutta useammin uudet kysy- mykset ovat kuitenkin vaatineet kokonaan uusien ma- tematiikan alojen opiskelua. Koska matematiikan so- veltamisessa on myös tärkeää tuntea sovelluskohteen taustaa, ei uuden oppiminen ole rajoittunut vain mate- matiikkaan. Työni kannalta ovat kyky omaksua uusia abstrakteja järjestelmiä ja taito asioiden teoreettiseen hahmottamiseen olleet käytännön laskutaidon ohella matematiikan opiskelun hyödyllisintä antia. Kun ma- nuaalit ja tekniset järjestelmät vanhenevat yhä no- peammin, tulee kyky täsmälliseen ajatteluun ja uusien ideoiden tehokkaaseen omaksumiseen aina vain tär- keämmäksi.
Matemaatikko tuotekehittäjänä
Samuli Siltanen
professori, Helsingin yliopisto
Teollisuusmatemaatikon yleisresepti: laita samaan ti- laan nykyaikainen tietokone, matematiikan mallinnus- voima ja luova mieli. Lisää sopiva sovellusala ja insinöö- ripitoinen työryhmä. Sekoita ja anna porista miedolla lämmöllä vuosi tai pari. Jakele uusi teknologia ympäri maailmaa.
Korkean teknologian tuotekehitys on laskennallisessa murroksessa. Digitaaliset sensorit tuottavat yhä suu- rempia määriä korkealaatuista mittausaineistoa, jon- ka tulkinnassa, jalostamisessa ja hyödyntämisessä voi käyttää matematiikkaa. Hankalia kokeita voidaan si- muloida virtuaalimaailmassa ja kalliita laitteita korva- ta laskennalla. Googlen PageRank-hakumenetelmä on hieno esimerkki matematiikan voimasta: siinä matriisin ominaisarvon laskentatehtävä mahdollistaa asiakkaita parhaiten palvelevan hakutuloksen tarjoamisen.
Olen itse päässyt osallistumaan matemaatikkona lää- ketieteellisen tekniikan tuotekehitykseen. Väiteltyäni Teknillisestä korkeakoulusta vuonna 1999 lähdin töi- hin Instrumentarium Imagingille, jossa oli juuri alka- nut kolmiulotteisen röntgenkuvauksen projekti. Perin- teisessä viipalekuvauksessa potilasta säteilytetään ai- ka tavalla, mutta palkinnoksi saadaan erittäin tarkka kuva hän sisuksistaan. Tällaisen kuvantamisen rinnalle Instrussa kaavailtiin yksinkertaisempia laitteita, jotka kykenisivät tuottamaan kolmiulotteista informaatiota potilaasta perustuen vain muutamaan röntgenkuvaan.
Osoittautui, että kolmiulotteisen rekonstruktion luo- minen näin vähistä mittauksista on vaikeaa ja et- tä nuo vaikeudet ovat luonteeltaan matemaattisia.
Kolmen TEKES-projektin puitteissa saimme kehi- tettyä tarvittavat uudet menetelmät, ja tuloksena syntyi säteilypihi kuvantamislaite hammaslääkäreil- le. Tarkempia tietoja on nähtävillä sivulla http://
www.siltanen-research.net/project_Xray.html.
Kehittämämme VT-laitteen etu on siinä, että ham- masklinikoilla jo oleva panoraamakuvauslaite muuttuu kolmiulotteiseksi tomografiakoneeksi pelkällä mate- maattisella ohjelmistopäivityksellä.
Vastaavanlaisia matemaattisia tuotekehitystehtäviä on tarjolla lukuisissa lääketieteellisen tekniikan yrityksis- sä, kuten Palodex Group, GE Healthcare Finland, Va- rian, Ajat ja Planmeca. Muita matematiikkaa voimak- kaasti hyödyntäviä firmoja ovat esimerkiksi tutkatek- niikkaa kehittävä Vaisala, älykkäitä hissiratkaisuja tar- joava Kone sekä puunjalostus- ja automaatioteollisuu- den laitteita valmistava Metso. Suomessa toimii mate- maattista konsultointia harjoittavia yrityksiäkin, muun muassa Numerola ja Kuava.
Mitä matemaatikon pitäisi osata menestyäkseen teol- lisuuden tuotekehittäjänä? Omista työhaastatteluista- ni muistan erityisesti kaksi kysymystä: ”Osaatko ohjel- moida?” ja ”Oletko työskennellyt kohinaisen datan pa- rissa?” Silloin kykenin vastaamaan sekä rehellisesti että myöntävästi ainoastaan ensimmäiseen kysymykseen, ja tämä puute maksoi minulle ainakin yhden työpaikan.
Sittemmin olen kerännyt lisää kokemusta työntekijän, työnantajan ja teollisuusmatematiikan professorin nä- kökulmasta. Kokemukseni pohjalta sanoisin näin: tie- tyt matematiikan osa-alueet on hyvä hallita, ohjelmoin- titaito on välttämätön, kohinaisen datan kanssa pitää hiukan pelailla ja kaikkein oleellisin on kuuntelu- ja yh- teistyökyky. Erittelen näitä alla tarkemmin.
Käytännön työssä tärkeimmät matematiikan alueet ovat lineaarialgebra, optimointi, Fourier-analyysi ja to- dennäköisyyslasku. Niistä jokaisesta olisi hyvä hallita jonkin verran teoriaa ja (aivan välttämättä) keskeiset laskennalliset tekniikat.
