1/2018
matematiikkalehtisolmu.fi
Sisällys
Pääkirjoitus: Retki epämukavuusalueelle ja sieltä pois (Anne-Maria Ernvall-Hytönen) . . . 3
Aarrearkkujen jakoa (Neea Palojärvi) . . . 5
Varmuudesta – Über Gewißheit (Jukka Liukkonen) . . . 7
Kirja-arvio: Pitkä matematiikka, toinen ja kolmas kurssi (Matti Lehtinen) . . . 10
Banachin tulitikkuongelma (Markku Halmetoja) . . . 13
Ymmärrystä etsimässä (Hannu Korhonen) . . . 16
Väliarvolause: Mikä ihme ja miksi ihmeessä? (Anne-Maria Ernvall-Hytönen) . . . 18
Kirja-arvio: Paras kiinalainen muki ja muita matemaattisia lastuja (Jorma Merikoski) . . . 21
Solmun ongelmapalsta . . . 23
Moniulotteisuuden ihmeitä: Shapiron syklinen epäyhtälö (Esa V. Vesalainen) . . . 26
Retki epämukavuusalueelle ja sieltä pois
Pääkirjoitus
Sain huhtikuussa kutsun puhumaan Finlandsvenska Fysik- och kemidagarna -tapahtumaan. Hämmästyin hiukan, kiitin kutsusta, lupasin tulla puhumaan ja vasta sen jälkeen ryhdyin miettimään mihin olenkaan suostunut. Tämä on minulle hyvin tyypillistä: vastaan ensin myöntävästi, sitten vasta mietin mistä onkaan kyse. Pikkuveljeni väittää, että minun pitäisi ehdollis- taa itseni sanomaan ”ei” ensimmäisenä refleksinä, eikä
”kyllä”. Omasta mielestäni tämä oma toimintamallini on oikein hyvä, koska sillä pääsee mukaan tekemään kaikkea hauskaa (ja sivutuotteena kalenterin täyteen).
Lisäksi ei koskaan ehdi hermoilla ja miettiä kaikkia riskiskenaarioita ennen suostumista. Senhän voi tehdä myöhemminkin.
Joka tapauksessa, suostuin innostuneena puhumaan.
Esitelmän lähestyessä aloin panikoida, tai vähintään- kin hermostua. En ole fyysikko. En kemisti. En edes suomenruotsalainen paitsi osalta sukujuuristani. Mi- ten ihmeessä siis sopisin joukkoon? Pystyisinkö sano- maan mitään mikä muita kiinnostaa? Kuinka pahas- ti voisin tuollaisessa tilanteessa sörssiä kielen kanssa?
Toinen ongelmani oli puhtaasti esitystekninen. Tunnen oloni kotoisaksi liitutaululla ja tussitaululla, mutta olen rehellisesti sanottuna aika kehno kalvoesityksen kans- sa. Etenen helposti liian nopeasti, enkä kalvoesitykses- sä pysty luontevasti kesken esityksen tekemään mitään muutoksia. Kuitenkin jos vaihtoehtoina ovat fläppitau- lu tai kalvot, voittavat kalvot koska tahansa.
Minulle onneksi kerrottiin ennen esitystä, että monet osallistujat ovat opettajia, joilla on myös matematiikka opetettavana aineena, joten kaavailemani kryptografia
ja lukuteoria menisivät luultavasti ihan oikeaan osoit- teeseen. Opettajien on kuitenkin hyvä kuulla erilaisia vastauksia oppilaiden uteluihin siitä, mitä matematii- kalla voi tehdä, ja onko siitä muka koskaan oikeasti jo- tain hyötyä. Kryptografia on hyvin kiitollinen vastaus- vaihtoehto siinäkin suhteessa, että on suhteellisen help- po osoittaa, miksi monet alkeelliset salausjärjestelmät ovat vähintään joko epäkäytännöllisiä tai turvattomia.
Lisäksi monet turvalliset menetelmät perustuvat suh- teellisen alkeelliseen matematiikkaan, jolloin niitä voi halutessaan yrittää selittää oppilaille.
Valmistelin esitelmän, jännitin hulluna viimeisen puoli tuntia ennen esitelmää, pidin esitelmän ja selvisin hen- gissä. Esitelmän aloittamisen jälkeen kaikki meni mu- kavasti. En juuri koskaan jännitä kuin siihen hetkeen asti, jolloin on sanottava ensimmäinen sana. Salin edes- sä olen kuitenkin ihan kotonani, vaikka minulla olisikin ne kalvot liitutaulun tai tussitaulun sijaan.
Jotain opinkin, tai oikeastaan jopa paljon. Jostain syys- tä tämän esitelmän pitämisen jälkeen aloin suhtautua paljon aiempaa rauhallisemmin joihinkin tuleviin esi- telmiin. Lisäksi tajusin, että kyllä kalvot ovat ihan to- dellinen vaihtoehto. Olen nähnyt muiden pitävän esitel- miä kalvojen kanssa ja hämmästellyt, miten luonteval- ta muut saavat sen näyttämään. Olen aiemmin pitänyt paljon kalvoesitelmiä, mutta jokin niissä tökki. Jatko- opintoaikoina ne tuntuivat turvalliselta vaihtoehdolta.
Kun vain valmistelee kalvot vaikka artikkelia vieressä pitäen, ja sitten seuraa kalvoja orjallisesti, ei voi tehdä kovin pahoja virheitä. En vain ole koskaan ollut hyvä seuraamaan mitään orjallisesti. Lisäksi ennen tätä esi-
telmää viimeisin pitämäni kalvoesitelmä oli täysi ka- tastrofi, joka oli jäänyt kolkuttelemaan muistiin. Olin tietenkin kuullut myös kaikki naljailut hengessä ”If you have no point, use Powerpoint”, mitä todennäköisesti ei ollut kovin tosissaan tarkoitettu. Tätä esitelmää val- mistellessani tajusin, että kalvoilla voin tehdä asioita, joita en yksinkertaisesti voi luontevasti tehdä taululla.
Voin ottaa pitkähkön kryptatun tekstin ja dekryptata sen sujuvasti, ideat ja välivaiheet näyttäen, mutta kir- joitustyön skipaten, jolloin esitys pysyy vielä sujuvana.
Sain tehtyä pikkuruisen laajennuksen omaan muka- vuusalueeseeni, joten en jatkossa karsi kalvoja vaih- toehtona pois vain siksi, että ne ovat kalvot. Toden- näköisesti jatkossakin puhun lähinnä taululla, sillä se on minulle kuitenkin yleensä paras menetelmä. Turha on korjata jotain, mikä ei ole rikki, mutta toimiva va- rajärjestelmä tuo turvallisuutta.
Anne-Maria Ernvall-Hytönen
Verkko-Solmun oppimateriaalit
Osoitteestamatematiikkalehtisolmu.fi/oppimateriaalit.htmllöytyvät oppimateriaalit:
Sata lukion matematiikan tehtävää (Markku Halmetoja) Suppeaa suhteellisuusteoriaa alusta alkaen (Lasse Pantsar)
Lukion matemaattisen analyysin mestarikurssi (Markku Halmetoja ja Jorma Merikoski)
Ensiaskeleet Einsteinin avaruusaikaan, osa 1: Kinematiikka: aika, paikka ja liike (Teuvo Laurinolli)
Ensiaskeleet Einsteinin avaruusaikaan, osa 2: Dynamiikka: liikelait, liikemäärä ja energia (Teuvo Laurinolli) Kilpailumatematiikan opas (Matti Lehtinen)
Geometrian perusteita (Matti Lehtinen) Geometria (K. Väisälä)
Lukualueiden laajentamisesta (Tuomas Korppi)
Jaksolliset desimaaliesitykset algebrallisesta näkökulmasta (Jaska Poranen ja Pentti Haukkanen) Algebra (Tauno Metsänkylä ja Marjatta Näätänen)
Algebra (K. Väisälä)
Matemaattista fysiikkaa lukiolaiselle 1: Mekaniikkaa (Markku Halmetoja ja Jorma Merikoski) Matemaattista fysiikkaa lukiolaiselle 2: Sähköoppia (Markku Halmetoja ja Jorma Merikoski) Lukuteorian helmiä lukiolaisille (Jukka Pihko)
Matematiikan peruskäsitteiden historia (Erkki Luoma-aho) Matematiikan historia (Matti Lehtinen)
Reaalianalyysiä englanniksi (William Trench)
Aarrearkkujen jakoa
Neea Palojärvi Åbo Akademi
Eräs tarina kertoo testamentista, jossa oli jätetty pe- rinnöksi aarrearkkuja melko erikoisella tavalla. Tarina kuuluu seuraavasti:
Vanha merimies kuoli ja jätti kolmelle lapselleen perin- nöksi 17 aarrearkkua. Testamentissa hän määräsi, et- tä vanhimman on saatava 13, keskimmäisen 12 ja nuo- rimman 19 aarrearkuista. Aarrearkkuja tai niiden sisäl- lä olevia aarteita ei saanut jakaa osittaisina, eikä aar- rearkkuja saanut myydä ja näin jakaa niistä saatavaa tuottoa. Aikansa jakoa pähkäiltyään merimiehen lapset päättivät käydä kysymässä isänsä vanhalta merimiesys- tävältä apua ongelman ratkaisuun. Ystävä kaivoi esiin oman aarrearkkunsa ja käski lisätä sen jakoon mukaan.
Pian lapset saivat aarrearkut jaettua – ja palauttivat isänsä ystävälle aarrearkun takaisin.
Mitä jaossa oikein tapahtui? Tarkastellaan tapahtumia aivan alusta lähtien. Merimiehen jättämän testamentin mukaan hänen lapsiensa olisi pitänyt saada
1
2·17 = 8,5, 1
3 ·17≈5,7 ja 1
9·17≈1,9 aarrearkkua. Toisaalta tällainen jako ei ole testamen- tin ehtojen mukaan mahdollinen, koska vain kokonaisia aarrearkkuja sai jakaa. Kun kuolleen merimiehen ystä- vä antoi jakoon mukaan yhden arkun lisää, meni jako tasan. Lapset nimittäin saivat
1
2 ·18 = 9, 1
3 ·18 = 6 ja 1
9 ·18 = 2 aarrearkkua. Koska 9 + 6 + 2 = 17, niin lapset pystyivät palauttamaan isänsä ystävälle aarrearkun takaisin.
Merimiehen testamentissa oli useampiakin kummalli- suuksia. Sen lisäksi, ettei hän jättänyt samankokoista perintöä jokaiselle lapselleen, hän jätti perinnön, jota ei voinut jakaa täysin sääntöjen mukaan. Lisäksi testa- mentti on osan aarrearkkujen suhteen hyvin salaperäi- nen, eikä kerro, mitä niille olisi tehtävä. Nimittäin
1 3+1
2 +1 9 =17
18 <1
eli kaikkia aarrearkkuja ei jaeta lainkaan – ainakaan merimiehen lapsille.
Milloin testamentin määräämä jako olisi ollut mahdollinen?
Mietitäänpä, millä aarrearkkujen määrällä testamen- tin määräämä jako olisi ollut mahdollinen. Selvästi, jos aarrearkkuja olisi alun perin ollut nolla, olisi jako voi- tu tehdä – kukin merimiehen lapsista olisi saanut nolla aarrearkkua. Kun aarrearkkujen määrä taas on positii- vinen, on sen oltava jaollinen kullakin luvuista 2, 3 ja 9.
Tarkastelemalla positiivisia kokonaislukuja havaitaan, että pienin positiivinen kokonaisluku, joka on jaollinen näillä kolmella luvulla, on 18. Täten myös kaikki luvut 18n, missän= 0,1,2, . . ., ovat jaollisia luvuilla 2, 3 ja 9. Toisaalta mikään kokonaisluku, joka on lukujen 18n ja 18(n+1) välissä, ei voi olla jaollinen kaikilla luvuista 2, 3 ja 9, koska silloin pienin positiivinen kokonaisluku, joka olisi näillä kolmella jaollinen, olisi pienempi kuin
18. Täten testamentin määräämä jako on mahdollinen täsmälleen silloin, kun aarrearkkuja on 18nkappaletta, missän= 0,1,2, . . .
Miten aarrearkut sitten jaetaan näissä tilanteissa? Tes- tamentin ehtojen mukaan lapset saavat
1
2 ·18n= 9n, 1
3·18n= 6n ja 1
9·18n= 2n aarrearkkua. Jakamatta jää
18n−9n−6n−2n=n aarrearkkua.
Merimiehen ystävä voi antaa useamman aarrearkun
Oletetaan, että merimiehen ystävällä olisi ollut mieli- valtaisen monta aarrearkkua, jotka hän olisi voinut an- taa jakoon mukaan, jos hän olisi tiennyt saavansa ne takaisin. Olkoon ystävän antamien aarrearkkujen lu- kumääräk. Edellisen luvun perusteella aarrearkut saa- daan jaettua testamentin ehtojen mukaan täsmälleen silloin, kun niitä on 18n, missän= 0,1,2, . . .Siis ennen kuin merimiehen ystävä antaa aarrearkkunsa mukaan jakoon, on aarrearkkuja 18n−k. Tehtävässä jaosta jää edellisen luvun perusteella n aarrearkkua jakamatta.
Koska merimiehen ystävä haluaa saada aarrearkkunsa takaisin, on jakamatta jääviä aarrearkkuja oltava vä- hintään niin paljon kuin hänen antamiaan. Siis on ol- tavan≥k.
Mietitään nyt, mitä ehto n ≥ k tarkoittaa alkuperäi- sen arkkujen määrän kannalta pienillä luvunnarvoilla.
Kunn= 0, niin lukukon myös nolla. Kunn= 1, niin k ≤ 1 elik = 0 tai 1. Siis tällöin aarrearkkuja on 17 tai 18 kappaletta alunperin. Voidaan kirjoittaa kaik- ki mahdolliset aarrearkkujen alkuperäiset määrät, kun n≤4:
0,17,18,34,35,36,51,52,53,54,68,69,70,71,72.
Vastaavalla tavalla voidaan kirjoittaa kaikki mahdol- liset arkkujen määrät, kun n ≤ 16. Tämän tarkempi pohdinta jätetään lukijalle.
Entäpä, mitä tapahtuu, kunn≥17? Tällöin merimie- hen ystävä voi antaa
0,1,2, . . . ,16 tai 17
aarrearkkua ja saada ne kaikki takaisin. Siis arkkujen lukumäärät
18n−17,18n−16,18n−15, . . . ,18n−1 ja 18n ovat mahdollisia, kunn ≥17. Toisaalta selvästi myös 18n−18 = 18(n−1) on mahdollinen. Täten kaikki aar- rearkkujen määrät 18n, missän≥16, ovat mahdollisia.
Siis kaikki aarrearkkujen määrät, jotka ovat vähintään 18·16 = 288 toteuttavat halutut ehdot.
Millaisilla osuuksilla jako olisi onnistu- nut?
Millaiset jako-osuudet merimiehen olisi pitänyt kirjata testamenttiin, jotta hänen lapsensa olisivat saaneet ko- konaisia aarrearkkuja perinnöksi? Aarrearkkuja oli 17 ja luku 17 ei ole jaollinen millään muilla positiivisil- la kokonaisluvuilla kuin luvuilla 1 ja 17. Täten kunkin lapsen saama osuus aarrearkuista olisi pitänyt olla 17n, missän= 0,1, . . . ,17. Lisäksi kaikki aarrearkut olisivat tulleet jaetuiksi, jos lapsien saamien osuuksien summa on 1. Tällaisia jakoja ovat esimerkiksi
0 17, 1
17, 16 17, 10
17, 2 17, 5
17 ja
6 17, 7
17, 4 17,
missä jako-osuudet ovat vanhimmasta nuorimpaan. Lu- kijan pohdittavaksi jätetään selvittää kaikki mahdolli- set jako-osuudet.
Varmuudesta – Über Gewißheit
Jukka Liukkonen Mat. yo. evp.
Vaikka rakastan hiljaisuutta, eräänä aamuna ryhdyin tuottamaan ääntä. Sain aikaan yksiviivaisen a:n, 440 Hz. Ohjelmoin Pythonilla sinifunktiona(t) = sin(2πf t) taajuudella f = 440, tallensin sen wav-tiedostoon ja soitin tiedoston Windows Media Playerilla. Yksiviivai- nen a alkoi lopulta kuulostaa liian yksiviivaiselta, joten päätin elävöittää äänimaisemaa laatimalla siniäänen, jonka taajuus laskeutuu lineaarisesti tasolta 1000 Hz tasolle 200 Hz neljän sekunnin aikana. Helppo homma, ajattelin. Ei muuta kuin laitan ajant juoksemaan nol- lasta neljään ja korvaan vakiotaajuudenf muuttuval- la taajuudella f(t) = 1000−200t. Ohjelmassa tuntui kuitenkin olevan jokin bugi: ääni kyllä alkuun madal- tui mukavasti, mutta lopussa se ikään kuin tuli katu- mapäälle ja alkoi kohota jälleen. Tihrusin silmäni ki- peiksi Python-koodia ja epäilin, etten ymmärrä Wa- veform Audio File -formaattia oikein, tai sitten Media Player on kelvoton mikkisoftatekele, josta ei ole työka- luksi korkeampiin matemaattisiin innovaatioprojektei- hin. En uhrannut ajatustakaan sille mahdollisuudelle, että käyttämässäni kaavassa sin 2πf(t)t
tai taajuu- den lausekkeessaf(t) = 1000−200t olisi jotakin vial- la. Ohjelman helpoin palikka, tottakai se oli kunnossa.
Olin asiasta varma!
Askarreltuani jonkin aikaa Maslow’n tarvehierarkian alatasoilla, epä-älyllisten toimintojen parissa, epäilyk- sen siemen alkoi vaivihkaa itää vasemman korvani oi- kealla puolella. Onko kaava sittenkään oikein? Ym- märsin vihdoin kyseenalaistaa matemaattisen mallin,
pakon edessä ymmärsin luopua itsestäänselvyydestä.
Päässäni pyöri erilaisia pälkähdyksiä: taajuus vaatii aikaa toteutuakseen, derivoituva käyrä näyttää mik- roskoopilla katsottuna suoralta viivalta, ja niin edel- leen. Lopulta tartuin kynään ja johdin uuden mal- lin funktion f(t)t differentiaalia käyttäen. Kuinka ol- lakaan, uusi kaava toimi. Varmasti! Näin sen, kuulin sen. Laskelmat näyttivät kuitenkin turhan monimut- kaisilta. Päätin turvautua fysikaaliseen mielikuvaan ja nopeuden1käsitteeseen. Sinikäyrähän syntyy siten, et- tä piste kiertää tasaisella vauhdillaω yksikköympyrän kehää pitkin vastapäivään eli positiiviseen kiertosuun- taan. Kuljettua matkaa s(t) mitataan hetkestä t = 0 lähtien, jolloin liikkuva piste on kiinteän pisteen (1,0) kohdalla. Katso kuvaa.
(1,0) sin(2πf t)
cos(2πf t) s(t)
1Nopeus on vektorisuure. Nopeusvektorin itseisarvoa kutsutaan vauhdiksi.
Yksikköympyrällä kulman suuruus ja kaaren pituus ovat sama asia: s(t) = 2πf t. Vakiokerroin f on taa- juus. Se ilmoittaa, kuinka monta kierrosta piste kul- kee aikayksikössä. Negatiivinen taajuus tarkoittaa kier- toa myötäpäivään, negatiiviseen kiertosuuntaan. Pis- teen tasaista vauhtia ja sen kulkemaa matkaa ympyrän kehällä sitovat toisiinsa yhtälöt
ω= ds(t)
dt = 2πf, s(t) =ωt.
Jos vakion f paikalla on ajan mukana muuttuva ker- roinf(t), pisteen kulkema matka on äskeistä vastaten s(t) = 2πf(t)t. Piste saattaa vaihtaa kulkusuuntaansa useampaankin kertaan. Siksi on paikallaan täsmentää, että kuljettu matka tarkoittaa “nettomatkaa”: jos pis- te on aikavälillä [0, t] kulkenut ensin 5 yksikköä positii- viseen suuntaan, sen jälkeen 3 yksikköä negatiiviseen suuntaan ja lopuksi 0.5 yksikköä positiiviseen suun- taan, nettomatkallas(t) on arvo 5−3+0.5 = 2.5. Myö- täpäiväiset reissunpätkät “menevät huviverona valtiol- le”.
Kovien kokemusten jälkeen voin jälkiviisaana todeta, että muuttuvan kertoimenf(t) kutsuminen taajuudek- si on vähintään harhaanjohtavaa, ellei suorastaan vir- heellistä. Pisteen hetkellinen vauhti hetkelläton nimit- täin
ω(t) =ds(t) dt = d
dt
2πf(t)t
= 2π f0(t)t+f(t) . Jos jokin toinen piste kulkisi tällä vakiovauhdilla koko ajan, sen paikka ajanτ funktiona olisi
s(τ) =ω(t)τ = 2π f0(t)t+f(t)
τ= 2πϕ(t)τ.
Tässä tasaisessa kiertoliikkeessä taajuutena onϕ(t) = f0(t)t+f(t). Uusi aikamuuttujaτotettiin käyttöön sen takia, että aikatikään kuin pysäytettiin vakioksi. Ker- rointaϕ(t) voidaan pitää kiertoliikkeens(t) = 2πf(t)t ja samalla siniaallonx(t) = sin 2πf(t)t
hetkellisenä taajuutena(engl.instantaneous frequency).
Taajuusfunktiotaϕ(t) vastaava kerroinfunktiof(t) löy- detään integroimalla:
d dt
f(t)t
=f0(t)t+f(t) =ϕ(t) ⇔ f(t)t=
Z t 0
ϕ(τ) dτ+C t6=0⇔
f(t) =1 t
t
Z
0
ϕ(τ) dτ+C t .
Alin yhtälö on turha siinä mielessä, että aallon x(t) lausekkeessa f(t) ei esiinny yksinään vaan tulonf(t)t tekijänä. IntegroimisvakioC vaikuttaa ainoastaan aal- lon vaiheeseen. Yksinkertaisuuden vuoksi f oletetaan
rajoitetuksi funktioksi origon ympäristössä. Silloin in- tegroimisvakionC arvon tulee olla nolla. Siis
f(t) = 1 t
t
Z
0
ϕ(τ) dτ, t6= 0.
Kiteytys. Taajuusfunktio ϕ(t) edustaa sävelkulkua, joka halutaan saada aikaan. Tavoite toteutuu kerroin- funktiolla f(t). Ääniaaltox(t) = sin 2πf(t)t
soi kor- vissa juuri halutulla tavalla. N
Tarvittaessa ääni soinnutetaan moniääniseksi summaa- malla siihen muita ääniaaltoja vaikkapa Pythagoraan intervalleja käyttäen. Vilkaise myös Heikki Apiolan ar- tikkelia Solmussa 1/2007.
Varmuus,
sehän on vain tunne, kupla, joka puhkeaa törmätessään totuuteen.
Esimerkki 1. Taajuudelleϕ(t) =at+bon f(t) =1
t Z
(at+b) dt= 1 t
1
2at2+bt
=1 2at+b.
Täten 1000 hertsin lineaarinen madaltaminen 200 hert- siin 4 sekunnissa pitää tehdä lausekkeenf(t) = 1000− 200t sijaan lausekkeellaf(t) = 1000−100t. N Esimerkki 2. Taajuudelleϕ(t) =ucos(2πgt) +von
f(t) =1 t
t
Z
0
ucos(2πgτ) +v
dτ= usin(2πgt) 2πgt +v
=usinc(2πgt) +v .
Tietoliikenneinsinöörien hyvin tuntema sinc-funktio määritellään asettamalla
sinc(α) =sin(α)
α , α6= 0, sinc(0) = 1.
Yhä harvemmin kuultua poliisiauton hälytysääntä muistuttava uikutus saadaan aikaan asettamalla g = 1.1,u= 1000 jav= 0. N
Seuraavaan kuvaan on piirretty taajuusmoduloidun si- niaallonx(t) = sin 2πf(t)t
kuvaajia. Ylinnä (1) f(t) =at+b, ϕ(t) = 2at+b,
a=−60, b= 70, keskellä
(2) f(t) = 12at+b, ϕ(t) =at+b, a=−60, b= 70,
ja alinna
(3) f(t) =usinc(2πgt) +v, ϕ(t) =ucos(2πgt) +v,
g= 4, u= 30, v= 55.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0
Ylin käyrä selittää sen, miksi madaltunut ääni ensim- mäisessä yrityksessäni alkoi kohota uudelleen. Käytän- nön kokeiluissa on hyvä muistaa, että ihmisen kuu- loalue on suunnilleen 20 Hz – 20 kHz. Esimerkeissä taajuudet on asetettu mataliksi kuvien selkeyden ta- kia. Kuuntelutaajuudet ovat mieluusti korkeampia, el- lei käytössä satu olemaan kunnollisia subwoofereita, kerrostalonaapurien riemastuttajia. Volyymin tulee ol- la tarpeeksi suuri. Se saadaan aikaan kertomalla aal- to x(t) = sin 2πf(t)t
sopivalla luvulla. Itse käytin kertoimena Pythonin 16-bittisen kokonaisluvun maksi- miarvoa 32767, siis 32767·sin 2πf(t)t
. Wave-moduli (komento import wave) tarjoaa rajapinnan, jolla voi- daan lukea ja kirjoittaa wav-tiedostoja. Halutessasi to- teuttaa äänen tuottamisen fiksummin lyö hakukonee- seen PythonInMusic. Alle on listattu edelliset käyrät piirtävä Python-koodi.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt a, b = -60, 70
u, v, g = 30, 55, 4
n = 1000 T = []
A0, A1, A2 = [], [], []
for i in range(1,n+1):
t = float(i)/n # Aikaväli ]0,1]
T.append(t) f0 = a*t+b f1 = a*t/2+b
f2 = u*np.sin(2*np.pi*g*t)/(2*np.pi*g*t)+v A0.append(np.sin(2*np.pi*f0*t))
A1.append(np.sin(2*np.pi*f1*t)) A2.append(np.sin(2*np.pi*f2*t)) fig, (ax0, ax1, ax2) = plt.subplots(3, 1) ax0.plot(T,A0,’k’)
ax1.plot(T,A1,’b’) ax2.plot(T,A2,’r’) plt.show()
fig.savefig("aalto.pdf")
Antti Rasilan artikkelit Solmun numeroissa 1/2004 ja 2/2004 johdattelevat lukijan mutkattomasti Pythonin kiemuroihin.
Harjoitustehtäviä
1. Näytä derivoimalla, että kohdissa (1)–(3) pätee f0(t)t+f(t) =ϕ(t).
2. Jos sallitaan sellaisetkin funktiot f, jotka eivät ole rajoitettuja origon ympäristössä, artikkelissa kuva- tulla tavalla on mahdollista tuottaa esimerkiksi ko- siniaalto x(t) = cos(2πt). Määritä sopivat ϕ(t) ja f(t) tälle kosiniaallolle.
3. Halutaan tuottaa ääniaalto, jonka taajuus on aluk- si 440 Hz, ja joka laskeutuu pehmeästi kohti oktaa- via alempaa rajataajuutta 220 Hz. Muokkaa taa- juusfunktionϕ(t) lauseke kaavasta 1/(1 +t2) laitta- malla siihen sopivat numeeriset parametrit sopiviin kohtiin. Määritä f(t).
4. Ohjelmoi kanttiaalto taajuudeltaan 5 Hz.
5. Ohjelmoi sahanteräaalto , jonka taajuus nou- see sekunnin aikana 5 Hz:stä 50 Hz:iin.
Kirja-arvio: Pitkä matematiikka, toinen ja kolmas kurssi
Matti Lehtinen
Markus Hähkiöniemi, Satu Juhala, Petri Juutinen, Sa- ri Louhikallio-Fomin, Erkki Luoma-Aho, Terhi Raitti- la jaTommi Tikka : Juuri. Polynomifunktiot ja - yhtälöt.165 s. Otava 2016. Hinta syyskuussa 2017 eri verkkokaupoissa 21,10–26,40 euroa. Paavo Heiskanen, Päivi Kaakinen, Pertti Lehtinen, Jukka Lehtonen, Mi- ka Leikas jaJorma Tahvanainen:Tekijä. Pitkä ma- tematiikka 2. 124 s. Sanoma Pro 2016. Hinta syys- kuussa 2017 eri verkkokaupoissa 20,40–25,55 euroa.
Markus Hähkiöniemi, Satu Juhala, Petri Juutinen, Sa- ri Louhikallio-Fomin, Erkki Luoma-Aho, Terhi Raitti- la jaTommi Tikka : Juuri. Geometria. 201 s. Ota- va 2016. Hinta syyskuussa 2017 eri verkkokaupoissa 21,10–26,40 euroa.Paavo Heiskanen, Päivi Kaakinen, Pertti Lehtinen, Jukka Lehtonen, Mika Leikas jaJor- ma Tahvanainen: Tekijä. Pitkä matematiikka 3.
192 s. Sanoma Pro 2016. Hinta syyskuussa 2017 eri verkkokaupoissa 20,40–25,55 euroa.
Tämä kirjoitus on jatkoa Solmussa 3/2017 julkaistuun lukion uuden opetussuunnitelman mukaisen pitkän ja lyhyen oppimäärän yhteisen kurssin oppikirjojen esitte- lyyn ja samalla päivitystä kymmenkunta vuotta sitten kirjoittamiini, myös Solmussa julkaistuihin oppikirja- esittelyihin. Kohteena ovat nyt lukion pitkän matema- tiikan toisen ja kolmannen kurssin oppikirjat. Tarjolla on kaksi vaihtoehtoa, Otavan Juuri ja Sanoma Pron Tekijä.
Kirjasarjojen yleisiä ominaisuuksia on esitelty kirjoi- tussarjan edellisessä osassa.Tekijäon lakannut erotte- lemasta harjoitustehtäviään perus- ja syventäviin teh- täviin. Eri osioihin liittyvät nyt tehtäväsarjat I ja II.
Molemmissa kirjasarjoissa on laskentotehtäviin katta- vat ratkaisuosastot. Hiukan ihmetyttää, että Juuri ei kerro yhdenkään perustelua tai todistusta kysyvän teh- tävän ratkaisua. Voisi ajatella, että erityisesti tällaisen tehtävän kohdalla oppilas kaipaisi tukea ratkaisuyri- tykselleen. – Juuri toisaalta antaa useisiin tehtäviin, myös todistamisiin, ratkaisuvihjeitä erillisessä osastos- sa.
Toisen asteen polynomi
Matematiikan pitkän oppimäärän ensimmäinen varsi- nainen pakollinen kurssi on MAA2, Polynomifunk- tiot ja -yhtälöt. Sen valokeila on aika kapea: toisen asteen polynomia pääasiassa katsellaan. Opetussuun- nitelman mukaisista viidestä tavoitteesta silmään pis- tää keskimmäinen, joka kertoo, että opiskelija ”osaa
ratkaista korkeamman asteen polynomiyhtälöitä, jotka voidaan ratkaista ilman polynomien jakolaskua”. Tämä tarkoittanee, että polynominP(x) jakaminen tekijöihin nollakohdanx0 avulla muodossa P(x) = (x−x0)Q(x) suljetaan pois silloin, kun polynomin Q muodostami- nen edellyttäisi ”jakokulmassa jakoa”. (Tekijässä on kuitenkin pari harjoitustehtävää, joissa on polynome- ja jakoviivan molemmilla puolilla.)
Kirjasarjojen ensimmäisistä osista, pitkän ja lyhyen matematiikan yhteiskurssia varten kirjoitetuista, Sano- ma Pron tuote oli huomattavasti kilpailijaa paksum- pi. Toisessa kurssissa asetelma on kääntynyt:Juuri on selvästi Tekijää pulleampi ja raskaampi. Numeroitu- jen harjoitustehtävien määrässäTekijä kuitenkin voit- taa: siinä on 351 tehtävää,Juuressaon 309. Tekemistä riittää. Valtaosa harjoitustehtävistä on ”laskutehtäviä”.
Juuressa on 13 ja Tekijässä 19 tehtävää, joiden aina- kin jonkin osan tehtävänantoon sisältyy perustelun tai osoituksen pyyntö.
Opetussuunnitelma paaluttaa melko yksiselitteisesti kurssin sisällön, eivätkä oppikirjatkaan juuri lähde soo- loilemaan. Eroja silti löytyy. Tekijä määrittelee ensin käsitteenmonomija ilmoittaa sitten, että polynomi on monomien summa. Juuri puolestaan pitää polynomia muuttujasta ja vakioista yhteen-, vähennys- ja kertolas- kuilla muodostettuna lausekkeena. Intuitiivisesti näyt- tää selvältä, että käsitteet ovat samat, mutta Juuren sinänsä hyvä määritelmä olisi varmaan kaivannut aina- kin maininnan siitä, että tällainen lauseke on aina sie- vennettävissä polynomin standardimuotoon, semmin- kin kun kohta kerrotaan, että polynomin aste on muut- tujan korkein eksponentti.
Juuri omistaa kokonaisen luvun ensimmäisen asteen polynomille, kunTekijäpuolestaan lähtee liikkeelle po- lynomeilla laskemisesta ja päätyy esittämään jostain syystä muistikaavan nimen saaneet tulojen (a+b)2, (a+b)3 ja (a+b)(a−b) auki kirjoittamiset. Ehkä- pä tahallaan on jätetty pois samaan nippuun yleensä yhdistetty (a−b)2. Juuri säästää nämä toisen asteen polynomia, tulon nollasääntöä ja neliöjuurta esittele- vän toisen lukunsa loppuun. Kumpikaan kirja ei esitä binomienan−bn jaa2n+1+b2n+1tekijöihin jaon hyö- dyllisiä ”muistikaavoja”, ei myöskään useamman kuin kahden yhteenlaskettavan summan neliön lauseketta.
– Sitä, että polynomin aste voisi olla nollakin, ei kum- pikaan kirja ota huomioon.
Kumpikin kirja määrittelee neliöjuuren √
a sanomal- la sen olevan se ei-negatiivinen luku, jonka toinen po- tenssi on a. Tässä olisi ihan mukava esittää kysymys neliöjuuren yksikäsitteisyydestä, ja perustella vastaus.
Neliöjuuren, samoin kuin Tekijän toisessa luvussaan esittelemien korkeampien juurten kohdalla olisi odotta- nut jonkinlaista juuren numeerisen arvon määrittämi- sen esittelyä. Kirjojen esimerkeissä on usein niitä poik- keustapauksia, joissa juuri on kokonaisluku. Laskulait-
teet antavat likiarvoja, mutta utelias nuori voi ihme- tellä, miten ne osaavat. –Tekijäkyllä kertoo harjoitus- tehtävässä jo ammoin tunnetun likimääräiskaavan
√
A≈a+ r 2a,
missä a on suurin kokonaisluku, jolle a2 ≤ A ja r = A−a2.
Kumpikin kirja pitää itsestään selvänä, että toisen as- teen funktion kuvaaja on symmetrinen. Tätä ominai- suutta käytetään hyväksi etenkin määritettäessä funk- tion ääriarvoa. Symmetrisyyttä ei kirjoissa mitenkään perustella. Yksinkertaisella laskulla voitaisiin toki näh- dä, että
ax2+bx+c=a
−x−b a
2 +b
−x− b a
+c ja perustella symmetria.
Toisen asteen polynomin teorian ydin on toisen as- teen yhtälön ratkaisukaava. Tekijä antaa ratkaisukaa- van sellaisenaan, perusteluitta ja valaisematta edes sii- hen sisältyvän±-merkin tarkoitusta. Kolmen sivun jäl- keen esitetään kuitenkin kaavan johto normaalilla ne- liöksi täydentämisen menetelmällä. Juuri esittää kaa- van todistettavana lauseena ja antaa todistukseksi sa- man johdon. (Kun kaava on jo annettu, sen todistus voisi perustua myös siihen, että ratkaisukaavan mukai- nen luku toteuttaa yhtälön.)
”Toisen asteen epäyhtälön” käsittely nojautuu kum- massakin kirjassa funktion kuvaajaan. Kun kummas- takin kirjasta löytyy myös toisen asteen polynomin te- kijöihin jako polynomin nollakohtien avulla, f(x) = a(x−x1)(x−x2), olisi epäyhtälön ratkaisu voitu esit- tää täsmällisestikin ja todeta sitten yhteys kuvaajaan.
– Tekijöihin jako perustellaan kummassakin kirjassa.
Tekijänojautuu ratkaisukaavaan ja sen perusteella joh- dettaviin Vièten kaavoihin, vaikkei niitä nimeltä mai- nitakaan.Juurentodistus perustuu tekijän x−x1 pa- kottamiseen esiin. Valitettavasti Juuri ei kuitenkaan käsittele kaksoisjuuren tapausta.
Niitä näitä geometriasta
Pitkän matematiikan kolmas kurssi on nimeltäänGeo- metria. Opetussuunnitelma määrittelee neljä keskeistä sisältöä: ”kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus”,
”sini- ja kosinilause”, ”ympyrän, sen osien ja siihen liit- tyvien suorien geometria” sekä ”kuvioihin ja kappalei- siin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tila- vuuksien laskeminen”.
Kilpailevat sarjat ovat tuottaneet kolmoskurssiin liki- main yhtä laajat teokset. Myös numeroitujen harjoi- tustehtävien määrä on jokseenkin sama. Asioiden jaot-
telussakaan ei ole suurta eroa: Juuri sijoittaa yhden- muotoisuuden tasogeometrian peruskäsitteitä esittele- vään lukuun, mutta Tekijä omistaa yhdenmuotoisuu- delle oman lukunsa.
Geometria oli vielä tämän kirjoittajan muistin aikana se koulumatematiikan osa-alue, jossa teorian johdon- mukainen rakentaminen oli nähtävissä. Olihan takana Eukleideen Alkeiden deduktiivisen järjestelmän vuosi- satainen valta-asema yhtenä eurooppalaisen sivistyk- sen vastaansanomattomista kulmakivistä. Tästä mate- matiikan olennaisuudesta oppilas sai ainakin hiukan tietoa. Monet matematiikanopetuksen uudistusaallot ovat olleet vastareaktioita Eukleideelle. Mutta vuo- den 2016 opetussuunnitelmassakin kerrotaan yhä yhte- nä tavoitteena olevan sen, että opiskelija ”harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geomet- rista tietoa käsitteleviä lauseita”.
Miten tämä toteutuu oppikirjoissa?Juurenensimmäi- nen lauseeksi otsikoitu tulos on ”Kolmion kulmien sum- ma on 180◦.” Lause todistetaan, toki, vetoamalla yh- densuuntaisiin suoriin, samankohtaisiin kulmiin ja ris- tikulmien yhtäsuuruuteen. Lukija voi aiheellisesti ky- syä, ovatko perusteluiksi esitettävät asiat sen todem- pia kuin ”todistettava”. VastaavastiTekijätodistaa en- simmäiseksi lauseen ristikulmien yhtäsuuruudesta, pe- rustellen sen tavalla, joka edellyttää kulman mittalu- vun olemassaoloa. Tekijä esittää lauseen, jonka sisäl- tö on yhdensuuntaisaksiooma, kuitenkaan puhumatta mitään todistuksesta.
Juuri tukeutuu kilpailijaansa enemmän kirjan ulko- puoliseen aineistoon, internetistä ladattaviin Geogebra- sovelmiin. Niitä käytetään perustelemaan erinäisiä tosi- asioita, mm. kolmion pinta-alan kaavaa. Animaatio pe-
rusteleekin hauskasti teräväkulmaisen kolmion pinta- alan, mutta kun kolmion muuttaa tylppäkulmaiseksi, animaation mahdollisuus poistuu, ja tilalle tulee al- gebrallinen päättely. Johdonmukaista oppirakennelmaa ei kumpikaan kirja esitä. Jotakin todistetaan, jotkin asiat ohitetaan maininnalla todistuksen sivuuttamises- ta, jotkin luvataan todistaa myöhemmissä kursseissa.
Opetussuunnitelma ei tunne käsitettä yhtenevyys, jo- ka kuitenkin on yhdenmuotoisuutta perustavanlaatui- sempi. Molemmat oppikirjat ovat kuitenkin upottaneet kolmioiden yhtenevyyden yhdenmuotoisuuden sisään.
Juuri jättää pois ”epätäydellisen” yhtenevyyslauseen
”ssk”. Harjoitustehtävässä 189 esitetään virheellinen to- distus tasakylkisen kolmion kantakulmien yhtäsuuruu- delle ja kehotetaan oppilasta korjaamaan se. Tämä ei esitetyssä tilanteessa onnistune ilman ssk:ta.
Opetussuunnitelman sisältökohta ”sini- ja kosinilause”
vaatii trigonometristen funktioiden määrittelyn myös tylpille kulmille, ja niin on siirryttävä suorakulmaisen kolmion ulkopuolelle. Tässä kirjat menettelevät eri ta- voin.Juuri ottaa käyttöön yksikköympyrän ylempään puolitasoon sijoittuvan puolikkaan (toki 30 sivua aikai- semmin kuin käsite ”ympyrä” määritellään) ja määrit- telee kosinin ja sinin ympyrän pisteen koordinaattien avulla. Yli oikokulman ei kuitenkaan mennä, vaikka kaikenkokoiset kulmat on aikaisemmin määritelty.Te- kijäpuolestaan esittää kolmion alan lausekkeen kahden sivun pituuksien ja sivujen välisen kulman sinin tulo- na ja saa tylpän kulman sinin vaatimalla pinta-alan lausekkeelle invarianssin. Tylpän kulman kosini onTe- kijässäilmoitusasia.
Pitkän matematiikan oppikirjojen kirjoittajia ei käy kateeksi. Opetussuunnitelman raamit tekevät kunnol- lisen matematiikan oppikirjan kirjoittamisen varmasti haasteelliseksi. Miten itse toimisin? Ainakin yrittäisin olla rehellinen: kertoa mikä on todistus, mikä uskotte- lu. Ja yrittäisin välittää tiedon siitä, että matematiikka ei ole luonnontiede. Vaikka havainnot voivat sille suun- taa näyttää, ne eivät mitään ratkaise. Ehkei valtaosa ihmiskunnasta tätä tietoa tarvitse, mutta ne suomalai- set, joille oikean matematiikan tapaamisesta olisi hyö- tyä ja iloa, olisivat varmaan juuri pitkän matematiikan oppikirjojen lukijoita.
Tämä kirja-arvio vastaa kirjoittajan, mutta ei välttä- mättä toimituskunnan näkemyksiä.
Banachin tulitikkuongelma
Markku Halmetoja
Ylen Teema-kanava esitti hiljattain puolalaisen Ak- son Studion valmistaman 13-osaisen draamadokumen- tin kuuluisan näyttelijän ja filmituottajan Eugeniusz Bodon (1899–1943) elämästä. Vähintään yhtä mie- lenkiintoisen elokuvan AS voisi tehdä matemaatikko Stefan Banachin (1892–1945) työstä ja elämänvaiheis- ta. Sekä Bodon että Banachin tuotteliain kausi ajoit- tui maailmansotien välisille vuosille, molemmat olivat poikkeuksellisia persoonallisuuksia ja kummankin elä- män loppuvaiheet olivat varsin traagisia. Bodon lyhyt elämäkerta löytyy osoitteesta [1]. Seuraavassa enem- män Banachista viitteisiin [2]–[6] perustuen.
Banach syntyi Krakowassa vuonna 1892 köyhään per- heeseen ja joutui jo nuorena huolehtimaan elannostaan ja koulutuksestaan. Hän aloitti akateemiset opinton- sa Krakowan teknillisessä korkeakoulussa, mutta tutus- tuttuaan hauskan sattuman kautta matematiikan pro- fessori Hugo Steinhausiin (1887–1972) hän siirtyi Kra- kowan yliopistoon opiskelemaan matematiikkaa. Stein- haus oli nimittäin iltakävelyllään kuullut kahden nuo- rukaisen keskustelevan Lebesguen mitasta, minkä on täytynyt tuntua professorista perin merkilliseltä. Le- besguen mitta- ja integraaliteoria oli tuohon aikaan, eh- kä vieläkin, tutkijatasoista matematiikkaa, mistä nuo- rilla miehillä ei olisi luullut olevan hajuakaan. Stein- haus oli liittynyt nuorukaisten, Banachin ja Otto Ni- kodymin (1887–1974) keskusteluun, mikä johti Banac- hin matemaattisen uran alkamiseen. Steinhausin ohjaa- mana hän julkaisi väitöskirjansa vuonna 1922. Samana vuonna hänestä tuli Lwówin yliopiston ylimääräinen matematiikan professori.
Banachin väitöskirja on tieteellisesti erittäin merkittä- vä. Hän loi siinä abstrakteja vektoriavaruuksia koske- van teorian, johon jokainen yliopistossa matematiikan syventäviä opintoja harrastava saa nykyisin tutustua.
Tietynlaisia vektoriavaruuksia kutsutaan hänen mu- kaansa Banachin avaruuksiksi. Väitöskirjan tekemistä pidetään yleensä tutkijan henkilökohtaisen tieteellisen uran alkuna, mutta Banachin väitöskirjan on katsottu olleen kokonaan uuden matematiikan alan, funktionaa- lianalyysin, alku.
Banachin työskentelytavat olivat poikkeukselliset. Sen sijaan, että hän olisi istunut yliopistolla työhuonees- saan pohdiskelemassa, hän vietti aikaa kahviloissa, joi- den hälyssä hän pystyi täysin keskittymään tieteelliseen työhönsä, ohjaamaan opiskelijoitaan ja käymään mate- maattisia väittelyjä muiden matemaatikoiden kanssa.
Lwówin Skottilaisesta Kahvilasta (puolaksi Kawiarnia Szkocka; nimi ei viittaa Skotlantiin) tuli Banachin an- siosta matemaatikoiden kantapaikka. Ensin alkuun Ba- nach piirteli teoreemoitaan pöytäliinoihin ja huoneka- luihin, mutta kun kahvilan henkilökunta lopulta kyl- lästyi tähän, hankittiin iso vihko, joka tuotiin pöytään heti, kun Banach tai muita matemaatikoita ilmaantui paikalle. Vihko, Skottilainen Kirja, täyttyi vähitellen matemaattisista tehtävistä, joita toisinaan julistettiin kilpatehtäviksi. Ratkaisuista jaettiin palkintoja, jotka vaihtelivat kysymyksen vaativuuden mukaan kupillises- ta kahvia brandypulloon. Eräät probleemat olivat niin syvällisiä, että niitä on selvitetty vasta vuosikymme- niä niiden kirjaamisen jälkeen. Vuonna 1935 Stanisłav Mazur (1905–1981) muotoili kirjaan tehtävän n:o 153 ja
lupasi sen ratkaisijalle palkinnoksi elävän hanhen. Ky- seessä oli erittäin vaikea ongelma ja ratkaisusta luvat- tu palkintokin oli tavanomaista mittavampi. Kysymys ratkesi vasta vuonna 1972. Mazur oli itse tilaisuudes- sa luovuttamaan ratkaisijalle, ruotsalaiselle Per Enflol- le (1944–), palkinnoksi lupaamansa linnun. Tapahtuma televisioitiin Puolassa. Enflolla ei ollut mahdollisuutta kuljettaa hanhiparkaa elävänä Ruotsiin, joten se kat- sottiin parhaaksi syödä luovutusta seuranneessa ilta- juhlassa.
Skottilainen kirja säilyi yli sota-ajan. Se sisältää kaikki- aan 193 matemaattista ongelmaa. Viimeinen niistä on Hugo Steinhausin hieman ennen Puolan itäosan sak- salaismiehitystä muotoilema, lukiolaisellekin ymmär- rettävä todennäköisyyslaskennan tehtävä. Aiheen sii- hen antoi Banachin taukoamaton tupakointi ja tehtä- vää kutsutaankinBanachin tulitikkuongelmaksi. Alku- peräinen sanamuoto on kirjoittajalle tuntematon, mut- ta eri lähteiden perusteella tuntuisi järkevältä muotoilla se seuraavasti:
Taskussasi on kaksi tikkuaskia, joissa kummassakin on ntikkua. Tulta tarvitessasi otat sattumanvaraisesti toi- sen askeista, käytät tikun ja palautat askin taskuun.
Kuinka monta tikkua todennäköisesti on jäljellä, kun käytät toisesta askista viimeisen tikun?
Todennäköinen määrä on kätevintä ajatella jäljellä ole- vien tikkujen lukumäärän odotusarvoksi. Olkoon siis satunnaismuuttuja X =jäljellä olevien tikkujen luku- määrä, kun toisen askin viimeinen tikku tulee käytetyk- si. Aluksi on muodostettavaX:n todennäköisyysjakau- ma eli määritettävä P({X=k}), missäk= 1,2, . . . , n, ja laskettava sitten summa
n
X
k=1
k·P({X =k}) =µn.
Nimetään askitA:ksi jaB:ksi. Tapaus, jossaA-askissa on jäljelläktikkua jaB-askissa yksi tikku, voi toteutua monella tavalla. Eräs mahdollinen valinnoista muodos- tuva jono näyttää seuraavalta:
A, B, B, A, B, B, . . . , B, A, B, B, A
| {z }
2n−k−1 kpl
.
Jonossa on siisn−kkappalettaA-valintaa jan−1 kap- palettaB-valintaa, yhteensä 2n−k−1 valintaa. Näitä jonoja on
2n−k−1 n−1
kappaletta ja tällaisen jonon todennäköisyys 2n−k−1
n−1 1
2
n−k1 2
n−1
=
2n−k−1 n−1
1 2
2n−k−1
.
Tapahtuman{X =k}kannalta on samantekevää kum- pi askeista tyhjenee, joten
P({X =k}) = 2·
2n−k−1 n−1
1 2
2n−k−1
·1 2
=
2n−k−1 n−1
1 2
2n−k−1
, missäk= 1,2, . . . , n.
Odotusarvon µn=
n
X
k=1
k·
2n−k−1 n−1
1 2
2n−k−1
laskeminen onnistunee parhaiten hieman epähavainnol- lista aputulosta käyttäen. Merkitään
u(n, k) = P({X=k}) =
2n−k−1 n−1
1 2
2n−k−1
, kun k = 1,2, . . . , n ja u(n, n+ 1) = 0. Jakauman to- dennäköisyyksien summa on 1, joten
n
X
k=1
u(n, k) = 1 ja
n
X
k=1
u(n, k+ 1) = 1−u(n,1).
Lasketaan aluksi (n−k)u(n, k)
= (n−k)
2n−k−1 n−1
1 2
2n−k−1
= (n−k) (2n−k−1)!
(n−k)!(n−1)!
1 2
2n−k−1
=(2n−k−1) 2
2n−(k+ 1)−1
! n−(k+ 1)
!(n−1)!
1 2
2n−(k+1)−1
=
n−k+ 1 2
2n−(k+ 1)−1 n−1
1 2
2n−(k+1)−1
=n·u(n, k+ 1)−12(k+ 1)·u(n, k+ 1).
Siis kaikillak= 1,2, . . . , n
n·u(n, k)−k·u(n, k) =n·u(n, k+1)−12(k+1)·u(n, k+1).
Laskemalla yhteen nämä yhtälöt saadaan n−µn=n(1−u(n,1))−12(µn−u(n,1)), mistä seuraa
µn = (2n−1)u(n,1) = (2n−1)
2n−2 n−1
1 2
2n−2
.
Aktiivinen lukija halunnee pohtia aiheeseen liittyen muutamaa kysymystä. Ehkäpä joku innostuu selvittä- mään niitä tulevissa Solmuissa.
i) WolframAlphalla ([7]) lasketut
µ10= 3,52, µ20= 5,01, µ50= 7,96, µ100= 11,27 viittaavat siihen, että jono (µn) on aidosti kasvava.
Osoita, että näin todella on.
j) Tuntuu selvältä, ettäµn → ∞, kunn → ∞. Tutki oletusta Stirlingin kaavan
n!≈n e
n√ 2πn avulla.
k) Jakauman todennäköisyyksien summa on 1:
n
X
k=1
2n−k−1 n−1
1 2
2n−k−1
= 1. (1)
Tämä summa tulisi voida näyttää toteen myös toden- näköisyyksiin viittaamatta. Alkuun pääsemiseksi osoi- ta, että (1) voidaan yhtäpitävästi kirjoittaa muotoon
m
X
p=0
m+p m
1 2
p
= 2m. (2)
Summa (2) on huomattavasti mukavampi pyöriteltävä kuin summa (1). Osoita siis, että (2) pätee.
Lopuksi vielä hieman historiaa. Toisen maailmansodan alkajaisiksi Puola jaettiin kahteen osaan. Neuvostoliit- to miehitti maan itäosan, johon myös Lwów kuului, ja Natsi-Saksa miehitti maan länsiosan. Vuonna 1939 alkaneesta venäläismiehityksestä huolimatta Banachin kahvilatyöskentely jatkui kesään 1941 asti, jolloin Sak- san armeija valtasi Lwówin. Kolme päivää valtauksen jälkeen natsit teloittivat yliopiston juutalaissyntyiset opettajat. Yliopiston toiminta halvaantui suurelta osin.
Kuitenkin professori Stefan Weiglin (1883–1957) johta- ma mikrobiologian laitos sai jatkaa toimintaansa, sillä
Weigl pyrki kehittämään seerumia vaatetäiden levittä- mää pilkkukuumetta vastaan. Täit ja niiden levittä- mät taudit olivat suuri riesa rintamajoukoille. Banach ja monet muutkin professorit ja älymystön edustajat pelastuivat Weiglin ansiosta, sillä hän värväsi heidät täiden kasvatusalustoiksi. Nettisivulla [6] kerrotaan yk- sityiskohtaisesti, minkälaisella järjestelyllä täit saatiin imemään ruokkijoidensa verta. Siellä on muutakin tie- toa miehitysjaksojen aikaisista hirveyksistä. Kun Neu- vostoliiton joukot työnsivät saksalaiset pois Lwówista vuonna 1944, Banach palasi yliopistoon käynnistämään matematiikan laitosta, mutta kuoli vuotta myöhemmin keuhkosyöpään. Alussa mainittu Bodo puolestaan kuoli nälkään venäläisellä vankileirillä vuonna 1943. Lwówin venäläismiehitys jatkui Neuvostoliiton hajoamiseen as- ti. Nykyisin kaupunki kuuluu Ukrainan läntiseen osaan ja sen ukrainankielinen nimi on Lviv. Skottilainen Kah- vila on restauroitu ja sen nähtävyytenä on kopio Skot- tilaisesta Kirjasta.
Viitteet
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Eugeniusz_
Bodo
[2] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/
~history/Biographies/Banach.html
[3] Klaus Vala, Pisteen neliöimisestä, Art House 1990.
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Scottish_
Book
[5] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/
~history/HistTopics/Scottish_Book.html#s5 [6] http://www.lwow.home.pl/Weigl/in-memoriam.
html
[7] http://www.wolframalpha.com/
Ymmärrystä etsimässä
Hannu Korhonen
”Koulumatematiikka on näyttäytynyt minulle työlää- nä ja yksinäisenä puurtamisena sekä harvemmin myös käytännöllisenä tekemisenä. Epävarmuuden, sääntö- jen ja rutiininomaisten työskentelytapojen vallitessa en koskaan kokenut ymmärtäväni syvällisesti tärkeitä ma- temaattisia käsitteitä tai niiden merkityksiä.”
Näin kuvaa Tytti Nissilä suhdettaan matematiikkaan.
Uusille urille hänen ajatuksensa ohjautuivat vasta opis- kelijana, kun hän osallistui Matematiikan osaaminen lentoon -koulutukseen. Siellä hänelle valkeni, että ma- tematiikkaa voi oppia ymmärtäen. Tämä herätti kiin- nostuksen matematiikkaan ja matematiikan oppimi- seen. Se taas johti Matematiikan ja luonnontieteiden opetuksen tutkimuksen seuran palkitsemaan vuoden graduun.
Opinnäytetyön henkeä kuvaa jo sen nimen alkuosa ”Ei oo sillee aateltu ku lisätään vaan nollia perään eikä siir- retä pilkkua”. Se on suora lainaus tutkimukseen osal- listuneen opettajan antamasta opetustapansa kuvauk- sesta. Matematiikkaa opetetaan useimmiten oppikirjan viitoittamalla tavalla ja opitaankin Nissilän mukaan usein vain pinnallisesti ymmärtämättä todellista käyt- tötarkoitusta ja käsitteellistä perustaa.
Erityisinä kompastuskivinä ovat kymmenjärjestelmä ja mittaaminen. Niitä ei hallita peruskoulun ylemmillä luokilla, ammattioppilaitoksissa eikä ammattikorkea- kouluissa. Osaamattomuuden juuret juontavat kuiten- kin alaluokille. Tutkimuksessaan Nissilä selvitti, mitä olisi tehtävä ja miten olisi toimittava, jotta oppiminen olisi todellista ja johtaisi pysyviin tuloksiin.
Tytti Nissilä Matematiikan osaaminen lentoon -kurs- silla. Tytti istuu miljoonakuution sisällä ja pitää kädes- sään tuhatkuutiota ja ykköskuutiota. Kuvan on ottanut Hannele Ikäheimo.
Oppimisen perustana on lukujen ja laskutoimitusten havainnollistaminen. Yksi keskeisistä havainnollistajis- ta on kymmenjärjestelmävälineistö. Tutkimuksessa sel- vitettiin kuudesluokkalaisten osaamista ja opettajien kokemuksia sekä niistä muodostuvia merkityksiä. Vas- ta tämä toisiaan täydentävien aineistojen tulkinta aut- toi tekijää ymmärtämään oppimiseen liittyviä hanka- luuksia.
Palkitsemisen perusteluissa työtä kuvataan kaikilta osin korkealaatuiseksi kokonaisuudeksi. ”Tutkimus on taustoitettu, suunniteltu ja toteutettu perusteellisuut- ta ja itsenäistä teoreettista ajattelukykyä osoittavalla tavalla. Käytetyt menetelmät ja niiden suhde teoriaan on kuvattu erinomaisen selkeästi.”
Tulokset tekijä tiivistää niin, että matematiikan oppi-
minen voi ja sen pitää pohjautua kokemukseen ja ym- märtämiseen. Mekaanisten oppikirjatehtävien tekemi- nen ja ulkoa opettelu eivät tuo riittävää käsitteellis- tä ymmärrystä. Myös opettajat pitää saada tietoisiksi konkreettisten oppimisvälineiden ja omakohtaisten ko- kemusten merkityksestä.
Tarvitaan uudenlaista pedagogiikkaa, aktiivista yh- teistyötä matematiikan oppitunneille ja matematiikan opiskelun kiinnostavuuden lisäämistä. Tutkimuksensa lopuksi tekijä lainaa yhden haastatellun opettajan ko- kemusta: ”Nyt nähdään mihin tällainen oppikirjojen si- vujen täyttäminen johtaa. Kun saan uuden 5. luokan, aloitan opetuksen ihan toisella tavalla.”
Linkki Nissilän graduun on osoitteessa http://urn.
fi/URN:NBN:fi:oulu-201706022387
Laaja-alainen projektiosaaminen matematiikan opetuksessa
Matematiikkadiplomi-sivulla
http://matematiikkalehtisolmu.fi/diplomi.html
on tulostettavissa matematiikkadiplomien tehtävistä kerättyjä tehtäväpaketteja, joita voi käyttää laaja-alaisen osaamisen opetuksessa. Käytettävissä on 10 tehtäväpakettia:
Maapallo Suomen historia Terveys ja ravinto Talous
Todennäköisyys
Matematiikka ja taide (2 tasoa) Mittaaminen (2 tasoa)
Koodauksen (tai ohjelmoinnin) pohjustus
Alaluokille sopivia tehtäviä on kolmen viimeisen aiheen paketeissa.
Opettajille lähetetään pyynnöstä vastaukset koulun sähköpostiin. Pyynnön voi lähettää osoitteeseen
juha piste ruokolainen at yahoo piste com
Väliarvolause: Mikä ihme ja miksi ihmeessä?
Anne-Maria Ernvall-Hytönen Åbo Akademi
Väliarvolauseelle on useita erilaisia muotoilutapoja.
Oletetaan, että funktiof(x) on derivoituva ja että se- kä funktio itse että sen derivaatta ovat jatkuvia välillä [a, b], jossaajab ovat reaalilukuja jaa < b. Tällöin
f(b)−f(a) =f0(ξ)(b−a), jollainξ∈]a, b[, elia < ξ < b.
Tämä herättää luonnollisestikin ainakin kaksi kysy- mystä:
1. Onko tämä muka oikeasti tosi?
2. Jos oletetaan, että lause on tosi, niin onko tämä mu- ka oikeasti hyödyllinen tulos?
Nähtyäni lauseen ensimmäistä kertaa uskoin mel- ko nopeasti ensimmäisen kysymyksen vastauksen ole- van myönteinen, mutta toisen kysymyksen vastauk- sen myönteiseksi uskominen vei huomattavan paljon kauemmin. Tavoitteena on nyt ensin perustella, miksi lauseeseen on järkevä uskoa, ja sitten antaa esimerkke- jä, jotka toivottavasti valottavat sen käyttöä. Analyy- sin kurssillani syksyllä 2016 markkinoin lauseen todella hyödyllisenä työkaluna, jota itse käytän useita kertoja viikossa. Jokin syy tähän on oltava.
Lauseen perustelu
En kutsu tätä todistukseksi, koska tämä perustelu si- sältää hieman enemmän käsien heiluttelua kuin kun-
nollisen todistuksen olisi syytä sisältää, ja matemaat- tista täsmällisyyttä tämä ei ole nähnytkään, mutta tällä menettelytavalla toivottavasti saavutetaan tietty luettavuus ja intuitiivisuus.
Funktio f on jatkuvasti derivoituva. Voidaan siis kir- joittaa
f(b)−f(a) = Z b
a
f0(t)dt,
koska funktio f(t) on funktionf0(t) integraalifunktio.
Integraalia taas on järkevä arvioida (b−a) min
a≤t≤bf0(t)≤ Z b
a
f0(t)dt≤(b−a) max
a≤t≤bf0(t), eli integroitavan funktion arvo on jokin luku väliltä [mina≤t≤bf0(t),maxa≤t≤bf0(t)]. Funktion derivaatta, eli f0(t) on jatkuva, joten tarvittavan arvon on olta- va jokin derivaatan arvo jossakin pisteessä ξ ∈ [a, b].
Tästä voidaan itse asiassa sulkea päätepisteet pois, eli x∈]a, b[. Tätä arvoa voidaan merkitäf0(ξ).
Usein tarvitaan vain ylärajoja ja alarajoja, joita yllä olevassa perustelussakin käytettiin.
Neliöjuurten erotus
Toisinaan on hyödyllistä arvioida mitä on esimerkiksi
√x+ 1−√ x,
kun x ≥ 1. Tämän voi tehdä useammallakin tavalla, ensinnäkin ihan karkeasti laventamalla:
√x+ 1−√ x= (√
x+ 1−√ x)(√
x+ 1 +√
√ x)
x+ 1 +√ x
= 1
√x+ 1 +√ x, ja tätä viimeistä muotoa voidaan arvioida
1 2√
x+ 1 ≤ 1
√x+ 1 +√ x≤ 1
2√ x.
Tässä kuitenkin hyödynnettiin sitä, että neliöjuuri la- ventuu nätisti. Väliarvolauseen kanssa ei tästä tarvitse välittää, vaan lausekkeen voi käsitellä helposti laventa- matta
√x+ 1−√ x=
Z x+1 x
dt 2√ t.
Integraalia voi jälleen arvioida ylös- ja alaspäin, sillä integrointivälin pituus on 1:
1 2√
x+ 1 ≤ Z x+1
x
dt 2√
t ≤ 1 2√
x.
Jos lausekkeelle haluaa karkean arvion, voi jatkaa ar- viointia esimerkiksi näin:
1 2√
x+ 1 ≥ 1 2√
2x,
kun x≥1, jolloin epäyhtälön molemmille puolille saa termin, joka on muotoa ”vakio kertaa √1x”. Näin ollen voi arvioida
√x+ 1 2√
2x ≤√
x+ 1≤√ x+ 1
2√ x.
Tämän avulla pystyy myös esimerkiksi lausekkeelle
1 2√
x+1 johtamaan melko tarkan arvion.
Yleiset neliöjuurierotukset
Luonnollisestikin voidaan myös tarkastella erotusta
√x+y−√
x, missä 0< y≤x:
√x+y−√ x=
Z x+y x
1 2√
tdt= y 2√
ξ,
missäξon jokin piste välillä ]x, x+y[. Koskax+y≤2x, voidaan jälleen arvioida
y 2√
2x≤√
x+y−√ x≤ y
2√ x,
eli lokaalisti pisteen xympäristössä neliöjuuri kasvaa suurin piirtein lineaarisesti, kertoimenaan karkeasti ot- taen 2√1x, sillä kun y on pieni, on termi 2√yx+y hyvin lähellä lukua 2√1x.
Tässä esimerkissä ei voitettu mitään siihen verrattu- na, että olisi vain lavennettu. Kaikki lausekkeet eivät kuitenkaan toimi yhtä nätisti. Tarkastellaan nyt paria muuta esimerkkiä.
Hankalampien juurilausekkeiden erotus
Tarkastellaan erotusta (x+ 1)5/4−x5/4, missä x on ykköstä suurempi:
(x+ 1)5/4−x5/4= Z x+1
x
5 4t1/4dt, joten
5
4x1/4≤(x+ 1)5/4−x5/4≤ 5
4(x+ 1)1/4. Tämän lausekkeen käsittely laventamalla olisi työlästä:
(x+ 1)5/4−x5/4=(x+ 1)5/2−x5/2 (x+ 1)5/4+x5/4
= (x+ 1)5−x5
((x+ 1)5/4+x5/4)(x5/2+ (x+ 1)5/2)
= 5x4+ 10x3+ 10x2+ 5x+ 1 ((x+ 1)5/4+x5/4)(x5/2+ (x+ 1)5/2). Nimittäjän voisi käsitellä helposti ylös- ja alaspäin ar- vioiden kuten edelläkin. Osoittaja puolestaan ei näytä niin yhteistyöhaluiselta. Senkin kyllä voi arvioida:
5x4≤5x4+ 10x3+ 10x2+ 5x+ 1≤5(x+ 1)4, eli lauseke on käsiteltävissä, mutta huomattavasti työ- läämmin kuin edellä. Epätoivoiseksi homma menisi, jos jotenkin järkevästi lavennettavissa olevien termien si- jaan päivää ilahduttaisikin vaikkapa lausekkeen
(x+ 1)π−xπ arviointi.
Logaritmi
Tarkastellaan erotusta
ln(x+ 1)−ln(x),
kun x≥1. Tätä voisi tarkastella kehittämällä erotuk- sen
ln(x+ 1)−ln(x) = ln
1 + 1 x
ns.Taylorin sarjaksitaiTaylorin polynomiksija arvioi- malla sitä. Toinen tapa on väliarvolauseen avulla:
ln(x+ 1)−ln(x) = Z x+1
x
dt t , joten
1
x+ 1 ≤ln(x+ 1)−ln(x)≤ 1 x.
Lauseen käytöstä
Väliarvolause on differentiaali- ja integraalilaskennan välttämättömiä perustuloksia, joka tarvitaan teorian rakentamiseen. Lisäksi sillä on paljon sovelluksia mui- hin matematiikan osa-alueisiin. Yllä olevat esimerkit voi tietenkin luokitella vain söpöiksi esimerkeiksi, mut- ta käytännössä tällaiset arviot ovat tärkeitä useissa to- distuksissa esimerkiksi lukuteoriassa. Vaikkapa todis- tettaessa Liouvillen lukuaP∞
n=110−n! transkendentti- seksi koostuu todistus kahdesta osasta: siitä, että to- distetaan, että tätä lukua voi approksimoida todella hyvin rationaaliluvuilla, ja toisaalta siitä, että todiste- taan, että algebrallisia lukuja ei voi approksimoida ko- vin hyvin rationaaliluvuilla (sopivasti mitattuna). Tä- män jälkimmäisen asian todistamisessa käytetään vä- liarvolausetta (todistuksen yksityiskohtia voi ihmetellä esimerkiksi Solmussa 2014 (3) olleesta kirjoituksesta- ni1).
Tehtäviä
1. Osoita, että
sin(α+β)−sin(α)≤β
(kulmat ajatellaan radiaaneissa eikä asteissa, eli täy- si ympyrä vastaa kulmaa 2π, suora kulma onπ/2 ja niin edelleen).
2. Arvioi erotusta
ln(x+y)−lnx, kun 0< y≤x.
3. Olkoon f(x) reaaliluvuilla määritelty reaalilukuar- voja saava jatkuvasti derivoituva funktio. Onko mahdollista, että f(x) on kokonaisluku, kun x on kokonaisluku, ja f0(x) ei ole kokonaisluku koskaan, kunxei ole kokonaisluku?
1Rationaalisia, irrationaalisia, algebrallisia ja transkendenttisiä otuksia, https://matematiikkalehtisolmu.fi/2014/3/
irrationaalisuus_pohjassa.pdf
Kirja-arvio: Paras kiinalainen muki ja muita matemaattisia lastuja
Jorma Merikoski
Matti Lehtinen: Matematiikkaa ja matematii- kasta. Lastuja. Eukleides-kirjat, 2017. 178 sivua.
Kirjan hinta verkkokaupoissa 17,80–18,10 euroa, kus- tantajalta ostettuna 15 euroa.
Nykylukija ei ehkä tiedä, mitä ”lastu” tarkoittaa täs- sä yhteydessä. Onkohan kannessa painovirhe? Koska
matematiikka on laskemista, sanan ”lastuja” tilalla pi- täisi kai olla ”laskuja”. Esipuheesta selviää, ettei pi- dä. Kirjoittaja on koonnut ”joukon eri foorumeilla, enimmin matematiikkalehti Solmussa julkaistuja ma- tematiikkaa eri kulmista lähestyviä kirjoituksia”. Hän jatkaa myöhemmin: ”Tällaisia vaihtelevanaiheisia jut- tuja saattaisi kutsua esseiksi tai pakinoiksi. Kumpi- kaan nimitys ei kuitenkaan tunnu oikealta. Juhani Aho kirjoitti vuonna 1891 sattuvasti: . . . ”
Jos lukija on ”seksiaddikti”, niin esipuheen viittaus Ii- da Rauman kirjaan innostaa häntä jatkamaan lukemis- ta siinä toivossa, että löytäisi lisää ”seksiä”. Toive to- teutuu vasta viimeisessä lastussaParinmuodostuksesta ja matematiikasta (ellei Jonnan avio-ongelmia, ks. al., katsota kuuluvan tähän alaan). Siinä esitetään algo- ritmi, jolla tietty määrä poikia ja sama määrä tyttö- jä voidaan järjestää pareiksi niin, ettei synny yhtään sellaista paria, jonka kumpikin osapuoli pitäisi jotakin muuta kumppania parempana. Yhtään kaavaa ei tar- vita, joten taas kerran osoittautuu, että matematiikka on paljon muutakin kuin laskemista.
Matematiikan opiskelusta käytävässä keskustelussa, jonka ikuisuusaiheita ovat motivaatio ja hyödyllisyys, lastu Paras kiinalainen muki on suoranainen täys- osuma. Kiinassa ns. kulttuurivallankumouksen aikana erään yliopiston opettaja sai passiiviset opiskelijat in- nostumaan matematiikasta kertomalla, että sen avulla voidaan suunnitella sellaisia peltimukeja, joihin kuluu mahdollisimman vähän rautaa, ja näin säästynyt rau-
ta voidaan käyttää tärkeämpiin vallankumouksellisiin tarkoituksiin. Mutta vaikka opiskelijat innostuivat, oli- kohan tämä sittenkään hyvä suunnitelma?
Esipuheen mukaan kirja on tarkoitettu lukijalle, jo- ka on ”kaavoja ja päättelyjä pelkäämätön, matematii- kasta kiinnostunut, muttei kuitenkaan matemaatikko”, mutta minä laajentaisin tiettyjen lastujen kohderyh- mää. Nimittäin kaavoja ja päättelyjä pelkäävänkin tai matematiikasta kiinnostumattomankin pitäisi mieles- täni tietää esimerkiksi suomalaisen matematiikan his- toriasta lastujenSuomi matematiikan maailmankartal- la ja Jo silloin sisällön verran. Matemaatikonkin kan- nattaa ainakin selailla tätä kirjaa, sillä siitä löytyy hä- nelle uuttakin detaljitietoa, ja jos ei satu löytymään, niin on mukava kertailla tuttuja asioita hyvin kirjoitet- tuina.
Lastu Vaikeita, jopa mahdottomia yhtälöitä antaa sa- noisinko ”laajemman käsityksen yhtälöistä ja pienim- mästä yhteisestä nimittäjästä”. Joku Jonna kytkee nä- mä palikat yhteen: ”Ihan samat ongelmat kuin edel- lisessä avioliitossani. Eipä ole monta yhteistä nimittä- jää tässä yhtälössäni”. Muuan ”voittamisvalmentaja”
on puolestaan keksinyt ”yhtälön win + win (+ win)”
kuvatessaan ”todellisen voittamisen olemusta”. Lukija oppii myös ”venäläisen yhtälön” ja ”mahdottoman yh- tälön, kun joulupukki ei usko joulupukkiin” sekä monta muutakin riemastuttavaa yhtälöä, joten ainakin tässä lastussa on ”uutta tietoa” yllin kyllin.
Matematiikkaa ja matematiikastaon erityisen suositel- tavaa luettavaa matematiikkaa harrastavalle lukiolai- selle. Takakannen mukaan se ”ei ole oppikirja, mutta voi siitä yhtä ja toista oppiakin”. Monet lastut täyden- tävät lukion pitkän matematiikan oppimäärää ja jotkin paikkaavat sen suoranaisia puutteita. Kompleksiluvut pitäisi ehdottomasti palauttaa lukion opetussuunnitel- maan, joten lastu Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuis- tasopii (ilman algebran peruslauseen todistusta) hyvin tämän alan erikoiskurssin materiaaliksi tai itseopiske- luun. Vielä paremmin se olisi sopinut parilla kuviol- la havainnollistettuna. Kuvioita olisi saanut olla enem- män muuallakin.
On kiinnostavaa verrata toisiinsa Matti Lehtisen kir- jassaan esittämää algebran peruslauseen todistusta ja Tuomas Hytösen Solmussa esittämää todistusta1. Ne lukiolaiset, joille kompleksiluvut ovat tuttuja ja jotka
”haluavat kokeilla rajojaan luetun ymmärtämisessä”, voisivat tehdä niin. Mitä yhtäläisyyksiä näissä todis- tuksissa on? Mitä eroja niissä on ja miksi?
Suuret kustantajat huolehtivat siitä, että koulukirja- markkinoilla riittää tarjontaa, mutta vähälevikkinen kirjallisuus näyttää yhä enemmän jäävän pienkustan- tajien varaan. Siksi Matti Lehtisen perustama pienkus- tantamo on suomenkielisen matemaattisen kirjallisuu- den kannalta tärkeä, ja Matematiikkaa ja matematii- kasta on hyvä alku sen toiminnalle.
1Algebran peruslause lukiolaisille, Solmu 3/2011,https://matematiikkalehtisolmu.fi/2011/3/algebran_peruslause.pdf
Solmun ongelmapalsta
Tällä kertaa ratkaisut keskittyvät numerossa 2017/2 ol- leisiin tehtäviin. Numerosta 2017/1 löytyy vielä joku- nen ratkaisematon tehtävä, numeron 2017/3 tehtäviin kaivataan vielä paljon ratkaisuja.
Numeron 2018/2 pulmapalstan materiaalit (tehtäväeh- dotukset ja ratkaisut) toivotaan maaliskuun 2018 lop- puun mennessä osoitteeseen aernvall@abo.fi.
Tehtävät
Tehtävä 1. (Ehdottanut Alli Huovinen) Luvut 1, 2, 3 ja 4 voidaan järjestää kahdella tavalla siten, että jo- nossa peräkkäiset luvut eivät ole vierekkäin eli jonot 2,4,1,3 ja 3,1,4,2.
Muodostetaan näistä toistamalla uusi jono 3, 1, 4, 2, 4, 1, 3, 1, 4, 2, 4, 1, 3, 1, 4, 2, 4, 1, 3, 1, 4, 2,. . . Osoita, että jokaiselle kokonaisluvulle n yllä olevasta jonosta löytyy peräkkäiset luvut siten, että n on näiden luku- jen summa.
Esimerkiksi 12 = 1 + 4 + 2 + 4 + 1 ja 1,4,2,4,1 löytyy tuosta jonosta.
Tehtävä 2. (Ehdottanut Esa Vesalainen)Pieni palik- ka on 1×1×1-kuution muotoinen, jaiso palikka on samanmuotoinen kuin 2×2×2-kuutio, jonka jostakin nurkasta on lohkaistu pois 1×1×1-kuution muotoinen pala:
Voiko yhden pienen palikan ja 585 isoa palikkaa pakata 16×16×16-kuution muotoiseen laatikoon?
Tehtävä 3.(Ehdottanut Matti Sinisalo) Heronin kaa- van mukaan kolmion ala on
pp(p−a)(p−b)(p−c),
kun a, bjacovat kolmion sivut jap= a+b+c2 .
1. Osoita, että kolmion ala voidaan myös kirjoittaa muodossa
1 4
q
S22−2S4,
kun S2=a2+b2+c2 jaS4=a4+b4+c4.
2. Osoita, että jos jännenelikulmion sivut ovata, b, c, ja d ja merkitään S2 = a2+b2 +c2+d2, S4 = a4+b4+c4+d4jaT =abcd, niin jännenelikulmion ala voidaan ilmaista muodossa
1 4
q
S22−2S4+ 8T .
Tehtävä 4. (Ehdottanut Edward Krogius) Määritä, missä suhteessa jananABja neliön sivun leikkauspiste P leikkaa jananAB.
