Matematiikkalehti 1/2005 http://solmu.math.helsinki.fl/

1/2005

http://solmu.math.helsinki.fi/

Solmu 1/2005

ISSN 1458-8048 (Verkkolehti) ISSN 1459-0395 (Painettu)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos PL 68 (Gustaf H¨allstr¨omin katu 2b) 00014 Helsingin yliopisto

http://solmu.math.helsinki.fi/

P¨a¨atoimittaja

Pekka Alestalo, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Toimitussihteerit

Mika Koskenoja, tohtoriassistentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Antti Rasila, tutkija, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto

S¨ahk¨opostitoimitus@solmu.math.helsinki.fi Toimituskunta:

Heikki Apiola, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Ari Koistinen, FM, Helsingin ammattikorkeakoulu Stadia

Matti Lehtinen, dosentti, Maanpuolustuskorkeakoulu

Marjatta N¨a¨at¨anen, dosentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Tommi Sottinen, yliopistonlehtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Graafinen avustajaMarjaana Beddard

Yliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkil¨ot:

Virpi Kauko, assistentti, virpik@maths.jyu.fi

Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Jyv¨askyl¨an yliopisto Jorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fi

Sovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen yliopisto Jorma Merikoski, professori, jorma.merikoski@uta.fi

Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos, Tampereen yliopisto Kalle Ranto, assistentti, kalle.ranto@utu.fi

Matematiikan laitos, Turun yliopisto Tiina Rintala, opiskelija, tirintal@paju.oulu.fi

Oulun yliopisto

Timo Tossavainen, lehtori, timo.tossavainen@joensuu.fi Savonlinnan opettajankoulutuslaitos, Joensuun yliopisto

Numeroon 2/2005 tarkoitetut kirjoitukset pyyd¨amme l¨ahett¨am¨a¨an huhtikuun 2005 loppuun menness¨a.

Kiit¨amme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa sek¨a Suomen Kulttuurirahastoa.

Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin, jotka ovat sit¨a erikseen pyyt¨aneet. Solmun Internet-sivuilta saatava paperiversio on mahdollista tulostaa omalla kirjoittimella. Toivomme, ett¨a lehti ei j¨a¨a vain opettajien luettavaksi, vaan sit¨a kopioidaan kaikille halukkaille.

Sis¨ allys

PISA-tutkimus vain osatotuus suomalaisten matematiikan taidoista. . . 4

Surffailua ketunh¨ant¨a kainalossa . . . 6

Potenssien vaihdannaisuudesta ja liit¨ann¨aisyydest¨a . . . 7

Taikasummat ja -tulot . . . 12

Sisarusongelma – paradoksi ehdollisesta todenn¨ak¨oisyydest¨a . . . 14

Trigonometriset funktiot . . . 16

Kahvikupista kirurgiaan – matematiikan sovelluksia tutkimassa. . . 19

Solmun 2/2004 teht¨avien ratkaisut . . . 23

Niukan esittely . . . 26

PISA-tutkimus vain osatotuus

suomalaisten matematiikan taidoista

PISA-tutkimuksen tulokset

(http://www.jyu.fi/ktl/pisa/) ovat her¨att¨aneet tyytyv¨aisyytt¨a ja ylpeytt¨a Suomessa. On uutisoitu, et- t¨a meill¨a peruskoulun viimeisen luokan oppilaat ovat matematiikan huippuosaajia.

Kuitenkin yliopistojen ja ammattikorkeakoulujen ma- tematiikan opettajat ovat huolissaan, sill¨a uusien opis- kelijoiden matematiikan taidot ovat heikentyneet dra- maattisesti. Kaksi esimerkki¨a t¨ast¨a: 1. Laajassa TIMSS 1999 -tutkimuksessa suomalaiset koululaiset menestyi- v¨at algebrassa ja geometriassa keskim¨a¨ar¨aist¨a huonom- min. 2. Jotta reputtajien m¨a¨ar¨a ylioppilaskokeessa ei nousisi kohtuuttoman suureksi, on viime aikoina ko- keen hyv¨aksymisraja jouduttu asettamaan h¨alytt¨av¨an alas, jopa 6 pistett¨a 60:st¨a on riitt¨anyt.

Selityksen¨a t¨ah¨an ristiriitaan on, ett¨a PISA-tutkimuk- sessa mitattiin arkiel¨am¨an matematiikan taitoja, l¨ahin- n¨a er¨a¨anlaista matemaattista lukutaitoa. T¨am¨a sano- taan raportissakin selv¨asti; tutkimuksessa arvioiduista taidoista k¨aytet¨a¨an englanninkielist¨a nimityst¨a ”mat- hematical literacy”. Sellainen matematiikka, mit¨a tar- vitaan esimerkiksi lukio- ja ammattiopinnoissa, ei ollut mukana. Arkiel¨am¨an taidot ovat varmasti arvokkaita, mutta eiv¨at riitt¨avi¨a.

Tutkimuksen 85 teht¨av¨ast¨a on julkaistu parikymmen- t¨a. (HS 14.12.2005 julkaisi 9 teht¨av¨a¨a.) Teht¨av¨at ovat yksinkertaisia numeerisia laskuja, pikku ongelmia tai

p¨a¨attelyit¨a, tilastollisten graafisten esitysten tarkaste- lua, tilanteiden arviointia, joissa on oleellista luetun tekstin ymm¨art¨aminen. Algebrasta tai geometriasta ei ole oikeastaan mit¨a¨an. Teht¨av¨at ovat kuitenkin tutki- muksen tavoitteiden mukaisia: arkiel¨am¨an taitoja on ollut tarkoituskin tutkia.

PISA-tutkimuksessa j¨a¨a siten t¨aysin avoimeksi, miten hyvin osataan esimerkiksi laskea murtoluvuilla, ratkais- ta yksinkertaisia yht¨al¨oit¨a, tehd¨a varsinaisia geometri- sia p¨a¨attelyit¨a, laskea kappaleiden tilavuuksia, k¨asitell¨a algebran lausekkeita. Algebra on kuitenkin matematii- kassa peruskoulun j¨alkeisten opintojen kannalta keskei- sin yksitt¨ainen osa-alue.

Peruskoulussa pit¨aisi oppia matematiikan perusasiat, joiden varaan voidaan my¨ohemmin rakentaa lis¨a¨a. Las- kimien k¨aytt¨ok¨a¨an ei muuta tilannetta: vaikka las- kin laskisikin murtoluvuilla, my¨os k¨asin laskeminen on osattava, koska se on algebrallisten lausekkeiden k¨asit- telyn pohja. Jatko-opiskelu tulee mahdottomaksi ellei perusta ole kunnossa.

Yksi syy lis¨a¨antyv¨a¨an huonoon osaamiseen ylioppilas- kokeessa ja korkeakouluopintojen alussa onkin ilmei- sesti jo peruskoulussa saadun pohjan heikkous. Uusia vaikeampia asioita ei kyet¨a omaksumaan, koska huo- mattava energia menee viel¨a lukiossa peruskoulutason asioiden pohdiskeluun. Kierre jatkuu jatko-opinnoissa:

lukion asioita ei hallita ja eteenp¨ain meno vaikeutuu.

PISA-tutkimus tuo hy¨odyllist¨a tietoa arkiel¨am¨ass¨a tar- peellisesta matemaattisesta lukutaidosta ja yksinker- taisten ongelmien ratkaisukyvyst¨a. T¨allainen taito ei vain riit¨a yh¨a voimakkaammin matematiikkaa hy¨odyn- t¨av¨ass¨a maailmassa. Kunnollista matemaattista poh- jaa tarvitaan etenkin teknillisill¨a ja luonnontieteellisill¨a

aloilla, biologia mukaanluettuna. PISA-tutkimus ker- too hyvin v¨ah¨an t¨ast¨a pohjasta, joka tulisi luoda jo peruskoulussa. Sen vuoksi olisi ehdottoman tarpeellis- ta, ett¨a jatkossa Suomi osallistuisi my¨os niihin kansain- v¨alisiin arviointeihin, joissa arvioidaan jatko-opintojen kannalta keskeisten matematiikan taitojen hallintaa.

Kari Astala, matematiikan professori, Suomen matemaattisen yhdistyksen puheenjohtaja Simo K. Kivel¨a, matematiikan yliopistonlehtori, Teknillinen korkeakoulu

Pekka Koskela, matematiikan professori, Jyv¨askyl¨an yliopisto Olli Martio, matematiikan professori, Helsingin yliopisto

Marjatta N¨a¨at¨anen, dosentti, Suomen matemaattisen yhdistyksen varapuheenjohtaja Ky¨osti Tarvainen, matematiikan yliopettaja, Helsingin ammattikorkeakoulu Stadia ja 201 yliopistojen, korkeakoulujen ja ammattikorkeakoulujen matematiikan opettajaa

P¨ a¨ akirjoitus

Surffailua ketunh¨ ant¨ a kainalossa

Vapaita avoimen l¨ahdekoodin ohjelmistoja kehitt¨av¨a Mozilla-s¨a¨ati¨o julkaisi viime vuoden lopulla 1.0 ver- sion Firefox-selaimesta. Ohjelmasta on kirjoitettu leh- diss¨a paljon. Matemaatikoille merkitt¨av¨a piirre on si- s¨a¨anrakennettu tuki matemaattisten kaavojen ja sym- bolien MathML-esityskielelle. T¨ast¨a on hy¨oty¨a esimer- kiksi Solmun numerossa 2/2004 esitellyn matematiikan verkkosanakirjan k¨ayt¨oss¨a.

Avoimen l¨ahdekoodin kehitysmallille Firefox on huo- mattava aluevaltaus. Aikaisemmin on totuttu ajattele- maan, ett¨a koska avoimen l¨ahdekoodiston ohjelmisto- jen k¨aytt¨aj¨at ovat samalla my¨os kehitt¨aji¨a, tuloksena syntyy ainoastaan kokeneille k¨aytt¨ajille soveltuvia oh- jelmistoja. Perusk¨aytt¨aj¨at eiv¨at osaa tehd¨a ohjelmiin haluamiaan muutoksia ja asiantuntijoiden tarpeet ovat erilaiset. Firefox-selaimen helppok¨aytt¨oisyys ja menes- tys perusk¨aytt¨ajien parissa osoittavat t¨am¨an k¨asityksen v¨a¨ar¨aksi.

T¨arke¨a selitys Firefoxin suosioon on ollut sen maine turvallisena selaimena. Menestyst¨a on varmasti osal- taan auttanut markkinajohtaja Internet Explorerin tietoturva-aukkojen saama kriittinen julkisuus. Tut- kimusten mukaan erilaisia haittaohjelmia on 80 pro- sentissa maailman Windows-tietokoneista. Haittaohjel- mien t¨arkein levi¨amiskanava ovat verkkosivut ja Inter-

net Explorerin aukot, joista monet liittyv¨at ActiveX- teknologiaan. Vaihtoehtoselaimet, kuten Firefox ja Opera, eiv¨at tue ActiveX:¨a¨a. T¨am¨an kirjoituksen kir- joittamishetkell¨a Firefoxistakin on jo ehditty julkaista versio 1.0.1, jossa korjataan tietoturvaan liittyvi¨a, vaik- kakin k¨ayt¨ann¨on merkitykselt¨a¨an melko v¨ah¨aisi¨a puut- teita.

Onkin turha odottaa ohjelmia, joissa ei ole tietotur- vaan vaikuttavia bugeja. Qmailin tapaiset suhteellisen yksinkertaiset ja l¨ahes vainoharhaisesti tietoturvaa sil- m¨all¨a pit¨aen kirjoitetut sovellukset sek¨a jotkut, alun- pit¨aen 1960-luvulla ohjelmoidut keskustietokonekoodit p¨a¨asev¨at ehk¨a kaikkein l¨ahimm¨aksi t¨at¨a l¨ahes mahdo- tonta saavutusta.

Mik¨a¨an verkkoselain ei tule t¨ah¨an ylt¨am¨a¨an n¨ak¨opiiris- s¨a olevassa tulevaisuudessa. Kysymys on eritt¨ain mo- nimutkaisesta ohjelmistosta, jota joudutaan jatkuvasti mukauttamaan muuttuviin standardeihin. Lis¨aksi verk- koselain on suorassa yhteydess¨a sek¨a potentiaalisia vir- hetilanteita aiheuttavaan k¨aytt¨aj¨a¨an ett¨a vihamieliseen ulkomaailmaan, ja siksi tietoturvan kannalta ajateltuna vaarallisempaa sovellusta on vaikea kuvitella. Verkkose- laimen pit¨aminen erill¨a¨an k¨aytt¨oj¨arjestelm¨ast¨a ja muis- ta suorittimen muistiavaruudessa ajettavista sovelluk- sista parantaa jo itsess¨a¨an ratkaisevasti tilannetta.

Antti Rasila

Toimitussihteerin palsta

Potenssien vaihdannaisuudesta ja liit¨ ann¨ aisyydest¨ a

Lajos L´oczi

E¨otv¨os Lor´and -yliopisto, Unkari

Yhteen- ja kertolasku noudattavat molemmat vaihdan- talakia

a+b=b+ajaa·b=b·a ja liit¨ant¨alakia

(a+b) +c=a+ (b+c) ja (a·b)·c=a·(b·c) kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c. Potenssiin korotus ei kuitenkaan ole vaihdannainen eik¨a liit¨ann¨ainen, sill¨a yleens¨a

a^b6=b^a jaa^(bc)6= (a^b)^c.

T¨ast¨a huolimatta yht¨asuuruus saattaa olla voimassa tietyiss¨a tapauksissa. Tarkoituksemme on l¨oyt¨a¨a kaik- ki positiiviset reaalilukuparit (x, y) ja kolmikot (x, y, z), jotka t¨aytt¨av¨at ehdot

(1) x^y =y^x

ja vastaavasti

(2) x^(yz)= (x^y)^z.

Tutkimme n¨aiden yht¨al¨oiden rationaaliluku- ja reaali- lukuratkaisuja.

Vaihdannaisuus

Aluksi haluamme l¨oyt¨a¨a positiivisen reaalilukuratkai- sun tapaukseen (1). (Rajoitumme vain positiivisiin rat- kaisuihin, sill¨a potenssiin korotukset eiv¨at ole yleisesti m¨a¨ariteltyj¨a negatiivisille reaaliluvuille. My¨osk¨a¨an ti- lanne, jossa muuttujat ovat nollia, ei kiinnosta meit¨a.) Yritet¨a¨an aluksi arvata joitain ratkaisuja. L¨oyd¨amme pian ratkaisun x= 2 ja y = 4 (tai p¨ainvastoin). Kos- ka (1):ll¨a ei n¨ayt¨a olevan muita positiivisia kokonaislu- kuratkaisuja, kokeilemme joitain neli¨o- ja kuutiojuuria.

Jos olemme onnekkaita, keksimme ratkaisunx=√ 3 ja y= 3√

3 , sill¨a (3√

3)^√3= (√

3³)^√3=√ 3³

√3

. Asian ydin on, ett¨a 3√

3 voidaan kirjoittaa my¨os√ 3³. Jos tutkimme asiaa edelleen, osumme pariinx=√³

4 ja y= 4·√³

4, joka on ratkaisu, sill¨a (4·√³

4)^√34= (√³

4⁴)^√34=√³ 4^4·

√3

4.

T¨all¨a kertaa yht¨asuuruus 4·√³ 4 = √³

4⁴ on avainase- massa. Havaitsemme, ett¨a olennaisesti kaikissa esimer- keiss¨a vallitsee tilanne y =vx ja vx=x^v. L¨ahdemme etenem¨a¨an t¨ast¨a seikasta.

Uuden muuttujan k¨ aytt¨ o¨ onotto

Esit¨amme y:n muodossay = vx, miss¨a v on reaalilu- kumuuttuja, eli asetammev= ^y_x >0. Silloin (1) tulee muotoon

(vx)^x=y^x=x^y=x^vx= (x^v)^x.

T¨ass¨a jokainen termi on positiivinen, joten jos koro- tamme yht¨al¨oketjun oikean- ja vasemmanpuoleisim- man osan potenssiin _x¹, saamme ratkaisuna relaation vx=x^v. Kertomalla_x¹:ll¨a saammev=x^v−1. Josv6= 1, eli x 6= y, niin korottamalla potenssiin _v−¹₁ saamme x=v^v−11. Vastaavastiy:lle saadaan

y=vx=v·v^v−11 =v^v−11+1=v^v−v1 =x^v. Josv= 1, niinx=y.

Muuttujallexsaatu muoto esiintyy my¨ohemmin useita kertoja, joten asetammeh(v) =v^v−11. Funktionhm¨a¨a- rittelyalue on positiivisten reaalilukujen joukko, josta on poistettu 1, ja sen arvojoukko on positiivisten reaa- lilukujen osajoukko.

Meill¨a on nyt mahdolliset ratkaisut, jotka ovat itse asiassa ratkaisut yht¨al¨olle (1): josv= 1 jaxon mieli- valtainen positiivinen reaaliluku, niiny=xon selv¨asti triviaali ratkaisu. Josv6= 1, niinx=h(v) jay=v·h(v) ovat ei-triviaalit ratkaisut, sill¨a kuten juuri havaitsim- me,y=vx=x^v jay^x= (x^v)^x=x^vx=x^y.

Ensimm¨aisen tuloksen saatiin asettamalla kaikki posi- tiiviset reaaliratkaisut (x, y) yht¨al¨ollex^y =y^xmuotoon (x, x) ja (h(v), v·h(v)) (x >0,v >0,v6= 1).

Funktiolla h on mielenkiintoisia ominaisuuksia. Jos v > 0 ja v 6= 1, niin h(v) on arvo, joka kerrottuna v:ll¨a tai korotettuna potenssiinvtuottaa saman tulok- sen:v·h(v) =h(v)^v, kuten olemme todistaneet. Toinen funktionaaliyht¨al¨o, jonkahtoteuttaa, onv·h(v) =h(¹_v) tai yht¨apit¨av¨astih(v) = ¹_v·h(¹_v), kuten on helposti tar- kistettavissa.

T¨ast¨a seuraa esimerkiksi, ett¨a ei-triviaalit ratkaisut voi- daan kirjoittaa my¨os muotoon (h(v), h(¹_v)). N¨ain ollen ratkaisu (x, y) on muunnettavissa ratkaisuksi (y, x) si- joituksellav7→ ¹v.

Funktiohei ole m¨a¨aritelty arvollev= 1. Voidaan kui- tenkin osoittaa, ett¨a se on aidosti v¨ahenev¨a ja

v→1limh(v) =e

(miss¨ae= 2,71828. . . on luonnollisen logaritmin kan- taluku).

Kuva 1.h(v) =v^v−11.

Hieman analyysi¨ a

Nyt haluaisimme saada (1):n ratkaisuista kuvan. Tri- viaaliratkaisut (y = x, kun x, y > 0) muodostavat xy-tason ensimm¨aisen nelj¨anneksen puolittajan. Ei- triviaaliratkaisut eiv¨at kuitenkaan ole tavallista muo- toa y = f(x), koska y:t¨a ei ole ilmaistu suoraan x:n avulla, vaan sek¨axett¨ay ovat molemmat parametrin v funktioita. V¨ahint¨a¨ankin n¨ahd¨a¨an, ett¨a jokaistah:n arvojoukkoon kuuluvaax:¨a¨a kohti on olemassa t¨asm¨al- leen yksi sellainen y, y 6= x, siten ett¨ax^y = y^x. T¨a- m¨a merkitsee funktion f : x7→ y olemassaoloa. T¨at¨a funktiota k¨aytt¨aen ei-triviaalit ratkaisut voidaan kir- joittaa muotoon (x, f(x)): josh⁻¹merkitseeh:n k¨a¨an- teisfunktiota (joka on olemassa aidon monotonisuuden takia), niinx=h(v) merkitsee, ett¨av=h⁻¹(x) ja t¨a- ten (h(v), v·h(v)) = (x, h⁻¹(x)·x) on se mit¨a vaadim- me (kunf(x) =x·h⁻¹(x)). T¨am¨a k¨asittely ei kuiten- kaan anna lis¨ainformaatiota, koska v:n ratkaiseminen lausekkeestax=h(v) – funktionh⁻¹ m¨a¨aritt¨aminen – ei n¨ayt¨a mahdolliselta alkeisfunktiota k¨aytt¨aen.

Tutkimme nyt funktioiden h(v) jav·h(v) k¨aytt¨ayty- mist¨a parametriesityksess¨a, josta pystymme luonnos- telemaan ei-triviaaliratkaisujen kuvaajan. Esitt¨am¨all¨a t¨am¨a k¨ayr¨a yhdess¨a triviaaliratkaisujen k¨ayr¨an kanssa samassa koordinaatistossa saamme yht¨al¨on (1) t¨aydel- lisen positiivisen reaalilukuratkaisun.

Tarvitsemme funktion raja-arvon ja derivaatan k¨asit- teit¨a (yhdess¨a joidenkin tunnettujen raja-arvojen kans- sa), joten n¨am¨a todistukset j¨atet¨a¨an tekem¨att¨a tai ai- noastaan luonnostellaan. Hieman yksinkertaistaaksem- me – ja n¨ahd¨aksemme muutamia muita mukavia re- laatioita – otamme j¨alleen k¨aytt¨o¨on uuden muuttujan:

parametrisoimme uudelleen koordinaattifunktiomme.

Merkitk¨o¨onu h(v):n eksponenttia eli olkoon u= _v−¹₁. Silloinv= 1+¹_u. T¨at¨a uutta muuttujaa k¨aytt¨aen saam- me kaksi funktiotamme muotoon

h(v) = µ

1 + 1 u

¶u

jav·h(v) = µ

1 + 1 u

¶u+1

.

Kutsutaan n¨ait¨a uusia funktioita vastaavasti g1(u):ksi jag2(u):ksi. On helppo n¨ahd¨a, ett¨ag1:n jag2:n kuvaa- jat ovat toistensa peilikuvia suoranx=−¹2 suhteenxy- tasossa, koska x-akselin pisteen ukuva t¨ass¨a peilauk- sessa on (−u−1) ja sijoitusu7→(−u−1) muuttaag1:n g2:ksi, koskag1(−u−1) =g2(u) jag2(−u−1) =g1(u).

Riitt¨a¨a siis, kun tutkitaan funktiota g1. Vastaavan funktion g2 ominaisuudet ovat t¨am¨an j¨alkeen helpos- ti johdettavissa. Koska v k¨ay l¨api positiiviset reaalilu- vut, lukuun ottamatta lukua 1, on helppo n¨ahd¨a, et- t¨a sijoituksen j¨alkeen u k¨ay l¨api v¨alin R\[−1,0]. T¨a- m¨a on siisg1:n m¨a¨arittelyalue. Funktiong1 k¨aytt¨ayty- minen m¨a¨arittelyalueen p¨a¨atepisteiss¨a saadaan k¨aytt¨a- m¨all¨a seuraavia tunnettuja raja-arvoja: lim

u→+∞g1(u) = e alhaalta ja lim

u→0+g1(u) = 1 ylh¨a¨alt¨a, koska sijoitus ω = _u¹ muuttaa sen raja-arvoksi lim

ω→+∞

√ω

ω+ 1. Edel- leen lim

u→−1−g1(u) = +∞, koska kantaluku l¨ahestyy nol- laa yl¨apuolelta, kun eksponentti l¨ahestyy lukua−1. Lo- pulta lim

u→−∞g1(u) =e yl¨apuolelta. T¨am¨an n¨akee, kun tekee sijoituksenω =−u. Funktiog1 on jatkuva m¨a¨a- rittelyalueellaan. Voidaan todistaa, etta se on aidosti kasvava v¨aleill¨a (−∞,−1) ja (0,+∞). Sen kuvaaja on esitetty kuvassa 2.

Kuva 2.g1(u) =¡ 1 + ¹_u¢^u

.

Nyt olemme valmiit piirt¨am¨a¨an ei-triviaalit ratkaisut parametrisoinnilla (g1(u), g2(u)), u∈ R\[−1,0]. Ne on esitetty kuvassa 3. Luonnollisesti t¨am¨a on yht¨apit¨a- v¨a¨a alkuper¨aisen parametrisoinnin (h(v), v·h(v)), (v >

0, v 6= 1) kanssa. Kun u kasvaa −∞:sta −1:een, pis- teet (g1(u), g2(u)) m¨a¨aritt¨av¨at alemman oikeanpuolei- sen kaaren kuvaajassa, koska ensimm¨ainen koordinaat- ti kasvaa e:st¨a +∞:¨a¨an, toisen v¨ahetess¨a aidosti e:st¨a 1:een. K¨a¨ant¨aen, kun u kasvaa 0:sta +∞:¨a¨an, pis- teet (g1(u), g2(u)) kuvaavat ylemm¨an vasemman osan kaaresta, koska ensimm¨ainen koordinaatti kasvaa 1:st¨a e:hen ja toinen koordinaatti v¨ahenee +∞:st¨ae:hen. 45^◦ kulmassa oleva suora, kuten jo tied¨amme, tulee triviaa- leista ratkaisuista. T¨aten kuva 3 sis¨alt¨a¨a kaikki positii- viset parit (x, y), joissa vastaavat potenssit ovat vaih- dannaisia. Ratkaisujen symmetrisyys ilmenee kuvaajan

symmetrisyydess¨a suhteessa suoraan y =x. Triviaalit ja ei-triviaalit ratkaisut kohtaavat pisteess¨a (e, e).

Kuva 3.

Joitakin yksinkertaisia seurauksia

Edell¨a tehty analyysi tarkoittaa esimerkiksi, ettei po- tenssi ole vaihdannainen, jos kantaluku ja eksponent- ti ovat eri lukuja ja suuruudeltaan alle 1, koska ei- triviaalitapauksessag1:n jag2:n molempien arvot ovat

> 1. Samoin jos x, y > e ja x 6= y, niin yht¨al¨oll¨a x^y = y^x ei ole ratkaisuja. Lis¨aksi parametriesityksen korvaus lausekkeessax^y tuottaa lausekkeen

h(v)^v·h(v)=v^v

v v−1 v−1 .

Voidaan todistaa, ett¨a t¨am¨an funktion arvojoukko on v¨ali (e^e,+∞), mik¨a merkitsee esimerkiksi, ett¨a josx^y<

e^ejax6=y, niinx^y 6=y^x.

Kokonais- ja rationaalilukuratkaisut

Positiivisen reaalilukuratkaisun j¨alkeen siirryt¨a¨an tar- kastelemaan yht¨al¨on x^y = y^x niit¨a ratkaisuja, jotka ovat kokonais- tai rationaalilukuja. On olemassa tri- viaaliratkaisuja – jokaisella kokonais- tai rationaalilu- vulla x, kun x > 0 ja y = x ovat sopivasti valittuja – ja ei-triviaaliratkaisuja. Kokonaislukuratkaisut voi- daan p¨a¨atell¨a k¨aytt¨am¨all¨a kuvan 3 kuvaajaa: ylempi haara sis¨alt¨a¨a ainoastaan kokonaislukukoordinaattisen pisteen (x, y) = (2,4), koska ensimm¨ainen koordinaat- ti t¨aytt¨a¨a ehdon 1 < x < e, kun taas tiedosta e <3 seuraax= 2 (ja vastaavastiy= 4). Symmetriasta joh- tuen ainoa kokonaislukkukoordinaattinen piste alem- malla haaralla on (4,2). N¨am¨a ovat (1):n kokonaisluku- ratkaisut.

Jotta saataisiin rationaalisia ratkaisuja, niin paramet- rin v arvot on m¨a¨ar¨att¨av¨a sellaisiksi, ett¨a molemmat parin (h(v), v·h(v)) j¨asenist¨a ovat positiivisia ratio- naalilukuja. Jos h(v) ja v·h(v) ovat rationaalilukuja,

niin my¨os v:n on oltava rationaaliluku, koska h(v) on positiivinen. Voimmekin oletettaa, ett¨a v = ^p_q, miss¨a p ja q ovat yhteistekij¨att¨omi¨a positiivisia kokonaislu- kuja. Ep¨atriviaaleja ratkaisuja etsitt¨aess¨a t¨aytyy olla v 6= 1 ja p 6= q. Jos sijoitetaan v 7→ v¹, niin vain x ja y vaihtuvat kesken¨a¨an, joten on tarpeellista tutkia vain tapaustav > 1 (tai yht¨apit¨av¨asti p > q). T¨am¨a tarkoittaa kuvan 3 kuvaajan ylemm¨an vasemman haa- ran tutkimista. Olkoonp > q >1. Sijoittamalla ^p_q =v saadaan

h(v) = (p q)^p−qq.

Kun m=p−q, niin m >1 on kokonaisluku. Osoite- taan ensin, ett¨a jos m > 1, niin h(^p_q) = ^mq

p^q q^q ei voi olla rationaaliluku. Koska p:ll¨a ja q:lla ei ole yhteisi¨a tekij¨oit¨a, niin murtoluku ^p_q^qq on sievennetyss¨a muodos- sa. T¨allaisen murtoluvunm:s juuri voi olla rationaali- nen vain, jos sek¨a osoittaja ett¨a nimitt¨aj¨a ovatm:nsi¨a potensseja.

Olkoon ^mpr

s= ^a_b, miss¨ar, sjaa, bovat kesken¨a¨an jaot- tomia lukuja (voidaan olettaa, ett¨ar, s, a, b >0). T¨al- l¨oin on voimassa^r_s= ^a_b^mm ja edelleena^mjab^movat kes- ken¨a¨an jaottomia. Koska supistettu muoto rationaali- luvuista on yksik¨asitteinen (osoittaja ja nimitt¨aj¨a ovat positiivisia), p¨a¨attelemme, ett¨ar jas ovatm. potens- seja.

N¨ain ollen – kun tehd¨a¨an vastaoletus, ett¨ah(^p_q) on ra- tionaalinen – on voimassa p^q = a^m ja q^q = b^m. Nyt q:lla ja m:ll¨a ei ole yhteisi¨a tekij¨oit¨a, koskap=q+m ja p:n ja m:n suurin yhteinen tekij¨a on 1, mist¨a seu- raa, ett¨a p ja q ovat m:nsi¨a potensseja. Lopuksi ote- taan mielivaltainen lukup:n alkulukuhajotelmasta. Jos sen eksponenttia merkit¨a¨ank:lla, niin sen eksponentti p:n hajotelmassa onp^q=k·q, joka on jaollinenm:ll¨a.

Koska m:n jaq:n suurin yhteinen tekij¨a on 1, huoma- taan, ett¨a k on jaollinen m:ll¨a, ja siksi p on m:s po- tenssi. Samalla tavalla osoitetaan, ett¨a my¨os qon m:s potenssi.

Nyt yht¨asuuruusm=p−qei voi olla voimassa, koska kahdenm:nnen eri potenssin erotus on suurempi kuin m. Jos nimitt¨aint1> t2>0 ovat kokonaislukuja, niin t^m₁ −t^m₂ = (t1−t2)(t^m₁⁻¹+t^m₁⁻²t2+...+t1t^m₂⁻²+t^m₂⁻¹), ja oikea puoli on suurempi kuin (t1−t2)·m·t^m₂⁻¹, joka on v¨ahint¨a¨an yht¨a suuri kuinm.

Olemme siis osoittaneet, ett¨a josm =p−q > 1, niin h(^p_q) on irrationaalinen.

Tapauksessa m = 1 (ts. p = q+ 1) h(v) = (^q+1_q )^q on selv¨asti rationaalinen. T¨all¨oinv·h(v) = (^g+1_q )^q+1. K¨aytt¨am¨all¨aq:n sijastan:¨a¨a saadaan rationaaliratkaisu

x= (1 + 1

n)ⁿ jay= (1 + 1 n)ⁿ⁺¹,

tai p¨ainvastoin, kokonaisluvuillan≥1. (Josn= 1, niin kaava antaa jo l¨oydetyn kokonaislukuratkaisunx= 2 ja y= 4.) N¨ain ollen n¨am¨a ratkaisut ovat ne k¨ayr¨an (kuva 3) pisteet, joissa molemmat koordinaatit ovat rationaa- lilukuja.

Kyseiset jonot x = (1 + _n¹)ⁿ ja y = (1 + _n¹)ⁿ⁺¹ ovat t¨arkeit¨a reaalianalyysiss¨a, koska ne l¨ahestyv¨at lukuae, kunn→+∞: t¨am¨a vakio m¨a¨aritell¨a¨an yleens¨a n¨aiden jonojen raja-arvona. Olemme n¨aytt¨aneet toteen niiden er¨a¨an toisen mielenkiintoisen ominaisuuden, nimitt¨ain sen, ett¨a niiden toisiaan vastaavat termit ovat ainoat (positiiviset ja erisuuret) rationaaliluvut, joille potens- sitx^y jay^x ovat vaihdannaisia.

Toisenlainen l¨ ahestymistapa

Lopuksi esitet¨a¨an toisenlainen l¨ahestymistapa, jolla saadaan tietoa yht¨al¨onx^y=y^x ratkaisuista. Jos koro- tetaan yht¨al¨on molemmat puolet potenssiin _xy¹ (x, y >

0), saadaan x^1x = y^1y, mik¨a edellytt¨a¨a saman funk- tion (ei v¨altt¨am¨att¨a eri muuttujien) kahden arvon yh- t¨asuuruutta: alkuper¨ainen yht¨al¨o on yht¨apit¨av¨a yht¨a- l¨onf(x) =f(y) kanssa, kun f(t) =t^1t,t >0.

Saamme triviaaliratkaisun, kun x=y. Kysymys kuu- luukin, voiko yht¨al¨o p¨ate¨a, kun x6=y? Analyysi¨a jat- kamalla osoitetaan (k¨aytt¨am¨all¨a raja-arvoa ja funk- tion monotonisuutta), ett¨a funktio f on v¨alill¨a (0,1) bijektio ja kuvaa v¨alit (1, e) ja (e,∞) v¨alille (1, e^1e).

(Fuktio on aidosti kasvava v¨alill¨a (1, e) ja aidosti v¨a- henev¨a v¨alill¨a (e,∞).) Funktion f jatkuvuuden avul- la voidaan osoittaa, ett¨a alkuper¨aisell¨a yht¨al¨oll¨a on ei- triviaaliratkaisuja: jokaista 1 < x < e kohti on ole- massa t¨asm¨alleen yksi y (e < y < +∞) siten, ett¨a f(x) = f(y), ja k¨a¨ant¨aen jokaista e < x <+∞ kohti on olemassa t¨asm¨alleen yksi y (1 < y < e) siten, ett¨a f(x) =f(y), katso kuva 4. Josx∈(0,1] taix=e, vain y=xantaa tuloksen f(x) =f(y).

Yhteenvetona, jos x ∈ (0,1] tai x = e, niin on ole- massa yksik¨asitteinen y, kun taas jos x ∈ (1, e) tai x ∈ (e,+∞), niin on olemassa kaksi y:t¨a siten, ett¨a x^y =y^x. T¨all¨a l¨ahestymistavalla saadaan selville hel- posti ratkaisujen m¨a¨ar¨a, mutta ei itse ratkaisuja.

Kuva 4.f(t) =t^1t.

Liit¨ ann¨ aisyys

Tarkoituksena on m¨a¨aritt¨a¨a kaikki ne positiiviset luvut x, y, z, joille on voimassa

(x^y)^z=x^(yz).

Yht¨al¨on vasen puoli on selv¨asti sama kuin x^yz. Jos x 6= 1, niin saadaan yz = y^z. T¨am¨an yht¨al¨on saim- me juuri vaihdannaisessa tapauksessa. Jos z = 1, niin jokainen positiivineny on ratkaisu, muulloiny=h(z).

T¨am¨an vuoksi saamme ratkaisuiksi kaikki positiiviset luvut x, y, z, joiden potenssit t¨aytt¨av¨at seuraavat eh- dot (katso kuva 5):

(1, y, z), miss¨ay, z >0, (x, y,1), miss¨ax, y >0, x6= 1,

(x, h(z), z), miss¨ax, z >0, x6= 1, z6= 1.

Kuva 5.

Kokonais- ja rationaalilukuratkaisut

Vaihdannaisen tapauksen tutkimisesta saatiin tulok- sena rationaaliratkaisut. L¨ahtem¨all¨a reaalilukuratkai- suista p¨a¨adyt¨a¨an siihen tulokseen, ett¨a positiiviset ra- tionaalilukupotenssit ovat liit¨ann¨aisi¨a, jos kolmikko (x, y, z) kuuluu johonkin seuraavista luokista:

(1, y, z), miss¨ay, z >0 ovat rationaalilukuja,

(x, y,1), miss¨ax, y >0, ovat rationaalilukuja, x6= 1, µ

x, µ

1 + 1 n

¶ⁿ ,n+ 1

n

¶

, miss¨a 0< x6= 1 on rationaaliluku ja npositiivinen kokonaisluku, Ã

x, µ

1 + 1 n

¶n+1

, n n+ 1

!

, miss¨a 0< x6= 1

on rationaaliluku ja non positiivinen kokonaisluku.

Kaksi ensimm¨aist¨a tapausta ovat triviaaleja. Kaksi j¨al- kimm¨aist¨a johtuvat ratkaisuista (x, h(z), z), koska vaih- dannaisessa tapauksessa on koottu yhteen kaikki ratio- naaliluvutv, joilla h(v) on my¨os rationaaliluku. (Kor- vaa v nyt z:lla.) Silloin havaitsemme, ett¨a jos v = ^p_q, kunp > q≥1 jap, qovat kokonaislukuja, niinh(v) on rationaalinen, jos ja vain josp=q+ 1, mik¨a johtaa kol- manteen tapaukseen (kun korvataanq n:ll¨a ja sallitaan my¨os, ett¨a q = 1). Lopuksi, jos j¨alleen v = ^p_q, mutta t¨all¨a kertaa p > q ≥ 1, niin vaihdannaisen tapauksen todistus on oikea, kun vaihdetaanpja q kesken¨a¨an ja saadaan ainoaksi mahdollisuudeksiq=p+ 1. T¨am¨a on kuvattu nelj¨annell¨a rivill¨a. (Tapausp=qon jo k¨asitel- ty yll¨a, koska t¨ass¨az6= 1.)

Samoin kuin kokonaislukuratkaisuissa kolmas rivi yl- h¨a¨alt¨a antaa kokonaislukuratkaisuja vain, jos n = 1, mutta viimeinen rivi ei koskaan, joten yht¨al¨on (2) po- sitiiviset kokonaislukuratkaisut ovat seuraavassa:

(1, y, z), miss¨ay, z >0 ovat kokonaislukuja, (x, y,1), miss¨ax, y >0 ovat kokonaislukuja, x6= 1, (x,2,2), miss¨ax >1 on kokonaisluku.

L¨ahde:K¨oMaL,http://www.komal.hu.

Artikkelin k¨a¨ant¨amiseen ja Solmussa julkaisuun on saatu lupa sek¨a lehdelt¨a ett¨a artikkelin kirjoittajalta.

K¨a¨ann¨os ja ladonta:Anneli KetolajaAnja Koistinen

Taikasummat ja -tulot

Monien tuntemalla taikaneli¨oll¨a

8 1 6

3 5 7

4 9 2

on ominaisuus, ett¨a kun kolme lukua sen jokaisella kol- mella rivill¨a tai jokaisessa kolmessa sarakkeessa tai kah- della l¨avist¨aj¨all¨a lasketaan yhteen, niin summaksi tulee sama luku 15. T¨at¨a lukua kutsutaan neli¨ontaikasum- maksi.

V¨ahemm¨an tunnettua on, ett¨a jos jokaisella rivill¨a ole- vat kolme lukua kerrotaan kesken¨a¨an ja n¨ain saadut kolme tuloa lasketaan yhteen,

8·1·6 + 3·5·7 + 4·9·2 = 225,

saadaan sama summa kuin kertomalla kaikissa sarak- keissa olevat kolme lukua kesken¨a¨an ja laskemalla n¨ain saadut kolme tuloa yhteen:

8·3·4 + 1·5·9 + 6·7·2 = 225.

T¨at¨a lukua kutsutaan neli¨ontaikatuloksi.

Seuraavaksi kerrotaan rivin luvut pareittain kesken¨a¨an joka rivill¨a ja lasketaan ne yhteen,

(8·1+1·6+6·8)+(3·5+5·7+7·3)+(4·9+9·2+2·4) = 195.

Sitten tehd¨a¨an sama sarakkeittain,

(8·3+3·4+4·8)+(1·5+5·9+9·1)+(6·7+7·2+2·6) = 195.

Tulokset ovat j¨alleen samat! T¨at¨a lukua kutsutaan ne- li¨onpareittain lasketuksi taikatuloksi.

Muut 3×3 -taikaneli¨ot, joissa esiintyv¨at luvut yhdest¨a yhdeks¨a¨an, ovat vain yll¨a olevan taikaneli¨on peilikuvia tai siit¨a kierrolla saatuja, kuten

8 3 4 4 9 2 2 7 6

1 5 9 tai 3 5 7 tai 9 5 1

6 7 2 8 1 6 4 3 8

Kaikissa n¨aiss¨a esimerkeiss¨a olevat taikasummat, taika- tulot ja pareittain lasketut taikatulot ovat samat kuin ensimm¨aisess¨a taikaneli¨oss¨a. Taikaneli¨oit¨a voi kuiten- kin muodostaa my¨os k¨aytt¨am¨all¨a muitakin yhdeks¨an- lukuisia lukujoukkoja. Alla on kolme esimerkki¨a.

9 2 7 4 5 9 6 5 13

TAIKANELI ¨O: 4 6 8 11 6 1 15 8 1

5 10 3 3 7 8 3 11 10

Taikasumma: 18 18 24

Taikatulo: 468 414 840

Pareittain laskettu taikatulo: 294 285 489

L¨oyd¨atk¨o muita 3×3 -taikaneli¨oit¨a?

Edell¨a olevia esimerkkej¨a voi tietenkin kiert¨a¨a tai pei- lata tai neli¨on luvut voi kertoa jollain vakiolla. Uudet neli¨ot ovat edelleen taikaneli¨oit¨a, eik¨a ole vaikea huo- mata, ett¨a saaduilla taikaneli¨oill¨a on edelleen taikatu- lon ja pareittain lasketun taikatulon ominaisuudet.

Mink¨a tahansa taikaneli¨on lukuihin voi my¨os lis¨at¨a sa- man vakion ja tuloksena on selv¨asti uusi taikaneli¨o.

T¨ass¨a tapauksessa ei ole aivan ilmiselv¨a¨a, ett¨a uudel- la neli¨oll¨a on edelleen taikatulon ja pareittain lasketun taikatulon ominaisuudet.

Yrit¨a tehd¨a oma taikaneli¨o laittamalla muutama luku neli¨o¨on ja lis¨a¨am¨all¨a loput luvut siten, ett¨a rivit, sarak- keet ja l¨avist¨aj¨at summautuvat samaan lukuun. Joka kerta, kun onnistut tekem¨a¨an taikaneli¨on, sinun kan- nattaa tarkistaa, ett¨a taikatulon ja pareittain lasketun taikatulon ominaisuudet toimivat my¨os.

Kun olet onnistunut tekem¨a¨an muutaman lis¨aesimer- kin, saatat huomata, ett¨a taikasumma on aina kolme kertaa taikaneli¨on keskimm¨ainen luku. Erityisesti n¨ayt- t¨a¨a silt¨a, ett¨a taikasumma on aina kolmen monikerta.

Selvitet¨a¨an seuraavaksi j¨arjestelm¨allinen tapa l¨oyt¨a¨a kaikki 3×3 -taikaneli¨ot.

Olkoon keskimm¨ainen lukux, ja olkoon jokaisen rivin, sarakkeen tai l¨avist¨aj¨an taikasummaR.

* * *

* x *

* * *

Laske keskimm¨ainen sarake, keskimm¨ainen rivi ja mo- lemmat l¨avist¨aj¨at yhteen saaden n¨ain 4R.

\ | /

— x —

/ | \

T¨am¨a summa sis¨alt¨a¨a keskimm¨aisen luvun 4 kertaa ja kaikki muut luvut kerran, joten sen t¨aytyy summau- tua kaikkien lukujen summaan 3R yhteenlaskettuna 3 kertaa keskimm¨ainen luku. Siis

4R= 3R+ 3x, josta saadaan

R= 3x.

T¨am¨a kertoo my¨os sen, ett¨a kaikkien lukujen summa neli¨oss¨a on 9x.

Nyt voit tehd¨a omat taikaneli¨osi. Valitset vain keskim- m¨aisen luvun ja kaksi lukua muualle neli¨o¨on, jonka j¨al- keen t¨ayt¨at koko taikaneli¨on siten, ett¨a jokainen rivi summautuu samaan lukuun kuin 3 kertaa keskimm¨ai- nen numero.

Esimerkiksi, jos luku keskell¨a on 7, rivin summan t¨ay- tyy olla 21, eli luvuista

8 * 10

* 7 *

* * *

saadaan taikaneli¨o

8 3 10

9 7 5

4 11 6

Jos ”kulmiksi” valitaanx+ajax+b, siis x+a * x+b

* x *

* * *

niin t¨all¨oin taikaneli¨o on

x+a x−a−b x+b x−a+b x x+a−b

x−b x+a+b x−a

Ainoastaan perusalgebraa k¨aytt¨aen on mahdollista tar- kistaa, ett¨a yleinen 3×3 -taikaneli¨o t¨ayt¨a¨a taikatulon ja parittain lasketun taikatulon ominaisuudet. T¨am¨an toteaminen j¨a¨a kiinnostuneen lukijan omaksi harjoituk- seksi.

Mit¨a tapahtuu 5×5 -taikaneli¨oss¨a? Kokeile alla olevaa esimerkki¨a.

10 18 1 14 22

11 24 7 20 3

17 5 13 21 9

23 6 19 2 15

4 12 25 8 16

Mit¨a havaitset?

L¨ahde:NRICH, University of Cambridge,http://nrich.maths.org/. K¨a¨ann¨os ja ladonta:Kalle Siljander

Sisarusongelma – paradoksi ehdollisesta todenn¨ ak¨ oisyydest¨ a

Saara Lehto ja Tommi Sottinen

Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto

Todenn¨ak¨oisyyslaskenta on t¨aynn¨a erilaisia paradok- seilta tuntuvia ongelmia. Monet niist¨a liittyv¨at ehdolli- seen todenn¨ak¨oisyyteen. Paradoksi syntyy, jos kysymys tai annetut tiedot ymm¨arret¨a¨an v¨a¨arin. Tutkimme t¨as- s¨a yht¨a t¨allaista ongelmaa.

Sisarusongelma: Aidill¨a on kaksi lasta, joista toi-¨ nen on tytt¨o. Mik¨a on todenn¨ak¨oisyys, ett¨a toinen on poika?

Oletamme, ett¨a tyt¨ot ja pojat syntyv¨at toisistaan riip- pumatta samalla todenn¨ak¨oisyydell¨a 1/2.

V¨a¨ar¨a vastaus: 1/2.

Virheellinen ratkaisu perustuu seuraavaan p¨a¨attelyyn.

Aidill¨a on tytt¨o. Seuraava lapsi on joko poika tai tytt¨o.¨ Todenn¨ak¨oisyys, ett¨a se on poika on 1/2.

On totta, ett¨a pojan syntym¨atodenn¨ak¨oisyys on 1/2, mutta kysyt¨a¨ank¨o ongelmassa t¨at¨a?

Oikea vastaus: 2/3.

Mietit¨a¨an tilannetta huolellisemmin. Perheess¨a on kak- si lasta. Jos ¨aiti luettelee lapset ik¨aj¨arjestyksess¨a, mah- dollisuuksia ovat:

1. tytt¨o–tytt¨o,

2. tytt¨o–poika, 3. poika–tytt¨o, 4. poika–poika.

Periaatteessa kaikki n¨am¨a vaihtoehdot ovat yht¨a to- denn¨ak¨oisi¨a. Koska tied¨amme, ett¨a perhess¨a on tytt¨o, on vaihtoehto 4 kuitenkin mahdoton. Vaihtoehdot 1–

3 ovat sen sijaan edelleen yht¨a todenn¨ak¨oisi¨a. N¨aist¨a vaihtoehdoista kahdessa on poika. Siten todenn¨ak¨oi- syys, ett¨a perheess¨a on poika on 2/3.

Ongelman systemaattinen mallinnus

Miten sitten todenn¨ak¨oisyyslaskennan ongelmia tulisi ratkoa? T¨ass¨a esitetyt ratkaisut lienev¨at molemmat en- si silm¨ayksell¨a uskottavia. Ne ovat kuitenkin vain t¨a- h¨an erikoistapaukseen sopivia. Esit¨ammekin seuraavas- sa systemaattisemman tavan oikean ratkaisun l¨oyt¨ami- seen.

Unohdetaan aluksi varsinaisen kysymyksen pohtiminen ja tarkastellaan rauhassa teht¨av¨an tilannetta.

(a) ¨Aidill¨a on kaksi lasta. Mahdollisia tapahtumia ovat siis j¨arjestetyt paritTT,TP,PTjaPP, miss¨a T= tytt¨o jaP= poika.

(b) Toinen lapsista on tytt¨o. Mahdollisia pareja ovat siisTT,TPjaPT. Sanotaan, ett¨a tapahtuma

TT tai TP tai PT = ei PP on sattunut.

(c) Kysytty tapahtuma ”toinen lapsista on poika” on puolestaan

TP tai PT tai PP = ei TT.

(d) Koska tyt¨ot ja pojat syntyv¨at toisistaan riippu- mattomasti samalla todenn¨ak¨oisyydell¨a 1/2, on jokaisen j¨arjestetyn tytt¨o/poika-parin todenn¨a- k¨oisyys sama 1/4.

Ongelmassa kysyt¨a¨an, mik¨a on todenn¨ak¨oisyys, ett¨a toinen lapsista on poika, kun tiedet¨a¨an, ett¨a toinen lap- sista on tytt¨o. Eli mik¨a on todenn¨ak¨oisyys, ett¨a tapah- tuma ”TPtaiPTtaiPP” sattuu ehdolla, ett¨a tapahtu- ma ”TT tai TP tai PT” on sattunut. Kyseess¨a on siis ehdollinen todenn¨ak¨oisyys ja se merkit¨a¨an

P(TP tai PT tai PP|TT tai TP tai PT)

=P(ei TT|ei PP).

T¨ass¨a siis P tarkoittaa todenn¨ak¨oisyytt¨a ja merkin | voi lukea ”ehdolla”.

Nyt teht¨av¨a on oikein muotoiltu. J¨aljell¨a on en¨a¨a vastauksen laskeminen. Ehdollisen todenn¨ak¨oisyyden m¨a¨aritelm¨an nojalla

P(ei TT|ei PP) = P³

(ei TT)ja(ei PP)´ P³

ei PP´ . Alakerta on helppo laskea. Nimitt¨ain

P(ei PP) = 1−P(PP)

= 1−1 4

= 3

4.

Yl¨akerran laskemiseksi huomaamme, ett¨a (ei TT)ja(ei PP) = TP tai PT.

Siisp¨a P³

(ei TT)ja(ei PP)´

= P³

TP tai PT´

= P(TP) +P(PT)

= 1

4+1 4

= 1

2. Olemme siis saaneet vastauksen

P(ei TT|ei PP) = 1/2 3/4 = 2

3.

Ratkaisussa olennaista oli oivaltaa, ett¨a teht¨av¨anannon

”toinen lapsista” voi olla yht¨a hyvin lapsista nuorempi kuin vanhempikin. V¨a¨ar¨a vastaus ei ottanut t¨at¨a huo- mioon vaan vastasi eri kysymykseen

P(2. lapsi on poika|1. lapsi on tytt¨o)

= P(TP tai PP|TP tai TT).

Lopuksi j¨at¨amme lukijalle ratkaistavaksi seuraavan kol- men lapsen sisarusongelman.

Ongelma: Aidill¨a on 3 lasta, joista yksi on tytt¨o. Mik¨a¨ on todenn¨ak¨oisyys, ett¨a ¨aidill¨a on poika?

Oikea vastaus on 6/7. Virheajattelulla saataisiin tulos 3/4. Lis¨a¨a todenn¨ak¨oisyyslaskentaankin liittyvi¨a para- dokseja l¨oytyy esimerkiksi netist¨a osoitteista

• home1.gte.net/deleyd/random/

probprdx.html

• mathforum.org/dr.math/faq/

faq.classic.problems.html

• www.math.hmc.edu/funfacts/

• www.cut-the-knot.org/

probability.shtml

Trigonometriset funktiot

Pekka Alestalo

Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu

Johdanto

Trigonometriset funktiot m¨a¨aritell¨a¨an lukiokursseissa joko kolmioiden sivujen pituuksien suhteina tai hie- man yleisemmin yksikk¨oympyr¨an avulla. M¨a¨aritelm¨a on havainnollinen, mutta siihen liittyy yksi vakava puu- te: Miten lasketaan esimerkisi sin(50^◦) kymmenen de- simaalin tarkkuudella, niin kuin se monista laskimista saadaan?

Karkea likiarvo saadaan tietysti astemittaa ja viivotin- ta k¨aytt¨am¨all¨a. Toinen mahdollisuus on laskea esimer- kiksi puolikkaan kulman kaavoja toistuvasti k¨aytt¨am¨al- l¨a sin(π/2ⁿ) ja cos(π/2ⁿ) suurilla nja sen j¨alkeen yh- teenlaskukaavojen avulla muita likiarvoja.

Mutta eik¨o funktion arvon pit¨aisi olla tarkasti lasket- tavissa pelk¨ast¨a¨an m¨a¨aritelm¨an avulla? T¨am¨an kirjoi- tuksen tarkoituksena on johtaa sinille ja kosinille sellai- set m¨a¨aritelm¨at, jotka toteuttavat my¨os t¨am¨an ehdon.

P¨a¨attelyn seuraamiseen tarvitaan alkeellisia tietoja in- tegraalilaskennasta ja lukujonon raja-arvosta. Lis¨aksi k¨ayt¨amme summamerkint¨a¨a

Xm

k=0

ak =a0+a1+· · ·+am.

Huomattakoon, ett¨a jonosta voidaan valita parillisia ja

parittomia indeksej¨a vastaavat summat muodossa Xn

k=0

a2k = a0+a2+· · ·+a2n, Xn

k=0

a2k+1 = a1+a3+· · ·+a2n+1.

L¨ahdet¨a¨an liikkeelle seuraavista trigonometristen funk- tioiden ominaisuuksista:

• sinxja cosxon m¨a¨aritelty kaikillax∈R

• cos 0 = 1

• sin(−x) = −sinx ja cos(−x) = cosx kaikilla x∈R

• D(sinx) = cosx ja D(cosx) = −sinx kaikilla x∈R

T¨ass¨a muuttuja x on pelkk¨a reaaliluku, mutta hel- poin tapa ominaisuuksien perustelemiseksi on tulkita se radiaaneissa annetuksi kulman arvoksi ja sijoittaa piste (cosx,sinx) origokeskiselle 1-s¨ateiselle ympyr¨al- le. Kaikki muut sinin ja kosinin ominaisuudet seuraa- vat n¨aist¨a nelj¨ast¨a kohdasta, ja itse asiassa kolman- nessa kohdassa riitt¨a¨a vain ensimm¨ainen yht¨al¨o, koska

toinen seuraa siit¨a yhdess¨a derivaattoja koskevien eh- tojen kanssa. Jos unohdamme kaiken muun, niin jak- sollisuuteen tarvitaan viel¨a lis¨avaatimuksena jokin yh- teys lukuun π, esimerkiksi muodossa sinπ = 0 tai cos(π/2) = 0, mutta n¨ait¨a emme tarvitse t¨ass¨a tari- nassa.

Likiarvojen laskeminen

Johdamme seuraavaksi menetelm¨an trigonometristen funktioiden arvojen laskemiseksi mill¨a tahansa tark- kuudella. K¨ayt¨amme yll¨a mainittuja ominaisuuksia suuntaviittoina.

Sijoittamalla x = 0 kaavaan sin(−x) = −sinx n¨ah- d¨a¨an, ett¨a sin 0 = 0. Lis¨aksi

D(sin²x+ cos²x) = 2 sinxcosx−2 cosxsinx= 0, joten sin²x+ cos²xon vakio. Sijoittamallax= 0 n¨ah- d¨a¨an, ett¨a t¨am¨an vakion arvo on 1, joten p¨a¨adyimme tuttuun kaavaan

sin²x+ cos²x= 1 kaikillax∈R.

T¨am¨an perusteella −1≤sinx≤1 ja −1 ≤cosx≤1 kaikillax∈R.

Osoittautuu, ett¨a sinille ja kosinille saadaan yh¨a tarkempia approksimaatioita integroimalla toistuvasti ep¨ayht¨al¨o¨a cosx≤1. Oletetaan aluksi, ett¨ax≥0. Kir- joitetaan muuttujan paikalletja integroidaan ep¨ayht¨a- l¨on molemmat puolet muuttujantsuhteen v¨alill¨a [0, x]:

cost≤1 =⇒ Zx

0

cost dt≤ Zx

0

1dt⇐⇒sinx≤x;

muista, ett¨a ep¨ayht¨al¨on suunta s¨ailyy integroinnissa, vaikka funktiot eiv¨at olisikaan positiivisia. Seuraavas- sa vaiheessa sijoitetaan tulokseen taas muuttuja t ja integroidaan v¨alill¨a [0, x]:

sint≤t=⇒ Zx

0

sint dt≤ Zx

0

t dt=⇒1−cosx≤ 1 2x². Jatketaan samalla periaatteella nelj¨a kertaa, jolloin saadaan seuraavat ep¨ayht¨al¨ot:

x−sinx ≤ 1 2·3x³

−1 +1

2x²+ cosx ≤ 1 2·3·4x⁴

−x+ 1

2·3x³+ sinx ≤ 1 5!x⁵ 1−1

2x²+ 1

4!x⁴−cosx ≤ 1 6!x⁶

Kokoamalla n¨am¨a tulokset yhteen saadaan arviot 1− 1

2!x²+ 1 4!x⁴− 1

6!x⁶≤ cosx ≤1− 1 2!x²+ 1

4!x⁴, x− 1

3!x³≤ sinx ≤x− 1 3!x³+ 1

5!x⁵, kunx≥0. Kosinin parillisuuden (cos(−x) = cosx) no- jalla ylemm¨at ep¨ayht¨al¨ot ovat voimassa kaikillax∈R, mutta sinin parittomuuden (sin(−x) =−sinx) vuoksi alempien ep¨ayht¨al¨oiden suunta vaihtuu arvoilla x <0.

Kaikillax∈Ron kuitenkin voimassa

¯¯

¯¯cosx−(1− 1 2!x²+ 1

4!x⁴)

¯¯

¯¯ ≤ 1 6!x⁶,

¯¯

¯¯sinx−(x− 1 3!x³)

¯¯

¯¯ ≤ 1 5!|x|⁵. Jatkamalla integroimista p¨a¨ast¨a¨an yh¨a tarkempiin ap- proksimaatioihin ja yleisesti

¯¯

¯¯

¯cosx− Xn

k=0

(−1)^k (2k)!x^2k

¯¯

¯¯

¯ ≤ 1

(2n+ 2)!x²ⁿ⁺²,

¯¯

¯¯

¯sinx− Xn

k=0

(−1)^k (2k+ 1)!x^2k+1

¯¯

¯¯

¯ ≤ 1

(2n+ 3)!|x|²ⁿ⁺³ kaikilla x ∈ R. Summalausekkeiden muodon keksimi- nen saattaa tuntua ensi silm¨ayksell¨a vaikealta, mutta siihen ei ole muuta apua kuin kokeilu. Auki kirjoitet- tuna

Xn

k=0

(−1)^k

(2k)!x^2k = (−1)⁰

(2·0)!x^2·0+ (−1)¹ (2·1)!x^2·1 +(−1)²

(2·2)!x^2·2+· · ·+(−1)ⁿ (2n)!x²ⁿ

= 1−1 2x²+ 1

4!x⁴− · · ·+(−1)ⁿ (2n)!x²ⁿ, joka antaa t¨asm¨alleen oikeaa muotoa olevan polyno- min. T¨asm¨allisyytt¨a kaipaavat lukijat voivat todistaa ep¨ayht¨al¨ot oikeiksi k¨aytt¨am¨all¨a matemaattista induk- tiota.

Osoitetaan seuraavaksi, ett¨a oikean puolen yl¨arajat l¨a- hestyv¨at nollaa jokaisella kiinte¨all¨ax, kunn→ ∞. Kos- ka lausekkeet ovat hyvin samankaltaiset, tutkitaan vain kosinia. Merkit¨a¨an siisan =x²ⁿ⁺²/(2n+ 2)! ja osoite- taan, ett¨a limn→∞an= 0. Tarkastellaan jonon kahden per¨akk¨aisen termin suhdetta:

an+1

an

= x^2(n+1)+2/(2(n+ 1) + 2)!

x²ⁿ⁺²/(2n+ 2)!

= (2n+ 2)!x²ⁿ⁺⁴ (2n+ 4)!x²ⁿ⁺²

= x²

(2n+ 4)(2n+ 3) < x² 4n²,

sill¨a (2n+4)! = (2n+4)(2n+3)·(2n+2)!. T¨ast¨a seuraa, ett¨a an+1/an <1/2, kunhan vain n > |x|/√

2. Toisin

sanoen, t¨am¨an kiinte¨an rajan j¨alkeen jonon seuraava termi on aina alle puolet edellisest¨a. Koska jonon ter- mit ovat positiivisia, ne l¨ahestyv¨at t¨am¨an vuoksi nollaa.

Vastaava p¨a¨attely sini-funktion tapauksessa j¨a¨a lukijan harjoitusteht¨av¨aksi.

On viel¨a syyt¨a korostaa sit¨a, ett¨a n¨am¨a ep¨ayht¨al¨ot seu- raavat alussa mainituista yksinkertaisista ominaisuuk- sista: mit¨a¨an muita trigonometriaa koskevia tietoja ei ole p¨a¨attelyss¨a k¨aytetty.

Lasketaan viel¨a esimerkkin¨a alussa mainittu sin(50^◦) niin tarkasti, ett¨a likiarvon virhe on alle 10⁻¹⁰. Radi- aaneissa mitattuna t¨aytyy siis laskea sin(50π/180) = sin(5π/18), joten muuttujan paikalle sijoitetaan x = 5π/18 ≈ 0,8726646262. Vaadittu tarkkuus saavute- taan, jos

x²ⁿ⁺³

(2n+ 3)! <10⁻¹⁰.

Kokeilemalla erin:n arvoja todetaan, ett¨a riitt¨a¨a valita n= 5, jolloin vaadittu approksimaatio on

sin(50^◦) ≈ X5

k=0

(−1)^k (2k+ 1)!x^2k+1

= x−x³ 3! +x⁵

5! +x⁷ 7! +x⁹

9! +x¹¹ 11!

≈ 0,7660444431,

jossa todellakin kaikki desimaalit ovat oikein (v¨alivai- heissa esiintyv¨at luvut kutenπt¨aytyy laskea riitt¨av¨an tarkasti!).

Ent¨ a varsinainen m¨ a¨ aritelm¨ a?

Johdimme yll¨a menetelm¨an sinin ja kosinin likiarvo- jen laskemiseen. Menetelm¨ast¨a saadaan helposti my¨os tarkat m¨a¨aritelm¨at sille, mit¨a sini ja kosini oikeastaan

ovat. Koska approksimaatioiden virhe l¨ahestyy nollaa, voimme yksinkertaisesti sanoa, ett¨a

cosx = lim

n→∞

Xn

k=0

(−1)^k (2k)!x^2k

= X∞ k=0

(−1)^k (2k)!x^2k

= 1− 1 2!x²+ 1

4!x⁴− 1

6!x⁶+. . . , sinx = lim

n→∞

Xn

k=0

(−1)^k (2k+ 1)!x^2k+1

= X∞ k=0

(−1)^k (2k+ 1)!x^2k+1

= x− 1 3!x³+ 1

5!x⁵−. . . ,

kaikilla x ∈ R. Merkint¨a, jossa summan yl¨arajana on

¨a¨aret¨on, tarkoittaa sarjakehitelm¨a¨a. Sarjakehitelm¨an voi tulkita algoritmiksi, jolla funktion likiarvo voidaan laskea mielivaltaisen tarkasti, kunhan vain sarjan alus- ta otetaan riitt¨av¨an monta (mutta kuitenkin ¨a¨arellinen m¨a¨ar¨a!) termi¨a mukaan.

Voisimme nyt johtaa kaikki aikaisemmat ominaisuudet n¨aist¨a m¨a¨aritelmist¨a l¨ahtien. T¨all¨oin tulee vastaan joi- takin uusia ongelmia, joista suurin on kysymys siit¨a, saako sarjakehitelmi¨a derivoida termeitt¨ain, eli voiko derivaatan vied¨a ongelmitta ¨a¨arett¨om¨an summan si- s¨alle. T¨am¨a j¨a¨ak¨o¨on jo kirjoitukseni ulkopuolelle, mut- ta kehotan lukijaa derivoimaan sinin sarjakehitelm¨an termi kerrallaan summamerkinn¨an sis¨all¨a ja tutkimaan lopputulosta!

Lopuksi kehotan lukijaa palauttamaan mieleens¨a Sol- mussa 3/2003 ilmestyneen Markku Halmetojan hieman lennokkaamman kirjoituksen samasta aihepiirist¨a.

Kahvikupista kirurgiaan –

matematiikan sovelluksia tutkimassa

Matti Lassas Professori

Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu

Tehd¨a¨ank¨o tutkimusta puhtaan totuuden tavoittelun vai sen tuottaman hy¨odyn takia? Vastaukset t¨ah¨an ky- symykseen ovat vaihdelleet ajan kuluessa. Kun Suomen yliopistoj¨arjestelm¨a perustettiin, olivat koulutukselli- set hy¨otyn¨ak¨okohdat t¨arkeimpi¨a. Esimerkiksi perustet- taessa Turun Akatemiaan ensimm¨aist¨a matematiikan professuuria ei itsen¨aisen tutkimuksen tekemist¨a roh- kaistu. P¨ainvastoin oli tarkkaan m¨a¨ar¨atty, kenen oppe- ja oli noudatettava, sill¨a kaikki itse keksityt tai muu- ten uudet ajatukset katsottiin vanhoja tietoja halven- taviksi. My¨ohemmin yliopistot omaksuivat humboldti- laisen sivistysyliopistoihanteen ja yliopistot k¨asitettiin sivistyslaitoksiksi, joiden teht¨aviin kuuluu perustutki- muksen edist¨aminen. T¨am¨a n¨akyy Suomen matema- tiikan historiassa puhtaan matematiikan voittokulkuna ja merkitt¨avien koulukuntien syntymisen¨a. Viime vuo- sisadan aikana yliopistot ovat kasvaneet huomattavan suuriksi tutkimus- ja koulutuslaitoksiksi ja kasvaneen koon my¨ot¨a yliopistojen teht¨av¨at ovat laajentuneet. Si- vistyksen kotina toimimisen lis¨aksi yliopistoilta edelly- tet¨a¨an kasvavaa yhteiskuntaa hy¨odytt¨av¨a¨a toimintaa.

Suomen matemaattisessa kent¨ass¨a t¨am¨a on korostanut sovelletun matematiikan roolia.

Hy¨otyn¨ak¨okulmasta tiedett¨a tarkastellen voidaankin provosoivasti kysy¨a: ”Mihin Suomi yleens¨a tarvitsee

perustutkimusta, l¨oytyv¨ath¨an kaikki tutkimuksen tu- lokset nyky¨a¨an internetist¨a?” T¨am¨ankaltainen suhtau- tuminen tietoon sivuuttaa tieteen t¨arke¨an sosiaalisen komponentin: Yhteiskunta ei voi hy¨odynt¨a¨a uusimpia tutkimustuloksia ilman tutkimusyhteis¨o¨a, joka aktiivi- sesti harjoittaa tutkimusta. Samalla tavoin kuin kirjas- tolaitos on hy¨odyt¨on ilman kirjojen lukijoita, ei uusin tutkimustieto voi olla k¨aytett¨aviss¨a ilman ihmisi¨a, jot- ka aktiivisesti sit¨a k¨aytt¨av¨at.

Tarkastellaan seuraavaksi, kuinka matemaattinen tut- kimus auttaa yhteiskuntaa, jossa el¨amme, sek¨a ihmis- kuntaa yleens¨a. Siis – kuinka tutkimuksen tulokset siir- tyv¨at yhteiskunnan voimavaroiksi? T¨ah¨an liittyy l¨ahei- sesti kysymys siit¨a, pit¨aisik¨o meid¨an tutkia matema- tiikkaa sovelluksista l¨ahtien vai pyrki¨a ennemmin ke- hitt¨am¨a¨an abstraktia teoriaa, jolle saattaa my¨ohemmin l¨oyty¨a t¨all¨a hetkell¨a tuntemattomia sovelluksia. Ennen n¨aiden kysymysten k¨asittely¨a, tarkastelemme ensin ly- hyesti mit¨a matematiikka on.

Matematiikkaa on usein verrattu kieleen, ja Galileo Ga- lilei onkin sanonut: Luonnon lait on kirjoitettu mate- matiikan kielell¨a. T¨ass¨a vertauksessa on my¨os se osuva piirre, ett¨a kielen avulla kykenemme tekem¨a¨an oival- luksia, jotka ilman kielt¨a olisivat saavuttamattomissa.

Joskus matemaattinen kuvaus luonnon ilmi¨oist¨a on oi-

keampi kuin kuvauksen tekij¨a on aavistanutkaan. Esi- merkiksi James Clerk Maxwell johti 1800-luvulla s¨ah- k¨omagnetismia koskevan teoriansa todistaakseen eet- terin olemassaolon. T¨ass¨a yhteydess¨a eetterill¨a tarkoi- tettiin oletettua v¨aliainetta, joka t¨aytt¨aisi kaiken ava- ruuden ja jonka liikett¨a valo olisi. Tutkimuksissaan Maxwell havaitsi valoa koskevien matemaattisten las- kelmien johtavan aaltoliikkeen malliin, ja olettaen, ett¨a aallot voivat edet¨a vain v¨aliaineessa, Maxwell veti sen johtop¨a¨at¨oksen, ett¨a eetteriksi kutsutun v¨aliaineen oli- si oltava olemassa. My¨ohemmin suhteellisuusteoria ku- mosi t¨am¨an tulkinnan, mutta tiedeyhteis¨o on yh¨a va- kuuttunut siit¨a, ett¨a Maxwellin valon aaltoliikkemalli on oikea, vaikkei mit¨a¨an eetterin kaltaista v¨aliainetta olekaan. T¨am¨a esimerkki osoittaa, kuinka matematii- kan kieli mahdollistaa oikean ja kauniin mallin l¨oyt¨a- misen, jopa huolimatta tulosten v¨a¨ar¨ast¨a tulkinnasta.

Esteettisyyden tavoittelu tutkimuksessa voi paljastaa todellisuuden olemusta yll¨att¨av¨an tehokkaasti. Er¨as 1900-luvun merkitt¨avist¨a matemaatikoista, Alfred N.

Whitehead totesikin:Usein olemme l¨ahimp¨an¨a k¨ayt¨an- t¨o¨a ollessamme teoreettisimmillamme. Valoittaaksem- me t¨at¨a yll¨att¨av¨alt¨a kuulostavaa lausetta tarkastelem- me seuraavassa esimerkkej¨a t¨am¨anhetkisest¨a tutkimuk- sesta.

Kuva 1: Valon heijastus kahvikupissa. Kahvikupissa esiintyy kaustikki, eli k¨ayr¨a, jota valons¨ateet sivuavat.

Tarkastellaan valon v¨alkett¨a kahvikupissa (Kuva 1).

Kupissa esiintyy kaarien rajaama valoalue. Heijastu- miskuvio voidaan selitt¨a¨a tarkastelemalla sit¨a, miten yhdensuuntaiset valons¨ateet heijastuvat puoliympyr¨as- t¨a. Havaitaan, ett¨a heijastumiskuviot syntyv¨at samaan tapaan kuin suurennuslasissa – valo keskittyy pienelle alueelle, ik¨a¨ankuin polttopisteeksi. Koska kahvikuppi ei toimi virheett¨om¨an¨a suurennuslasina, valo ei keski- ty yhteen pisteseen, vaan pinnalle. T¨at¨a kirkasta pin- taa, jota valons¨ateet sivuavat tangentiaalisesti kutsu- taan kaustikiksi. Matemaatikkoja on kiinnostanut n¨ai- den polttopintojen muoto, ja modernissa geometriassa onkin kyetty luokittelemaan kaikki mahdolliset poltto- pinnat, jotka valo voi synnytt¨a¨a. T¨allainen luokittelu- tulos, joka tunnetaan Rene Thomin luokittelulausee- na, on tyypillinen esimerkki kauniista tuloksesta. Ent¨a, kuinka t¨allaist¨a tulosta voidaan sitten soveltaa?

Kuva 2. Ultra¨a¨aniterapiassa ¨a¨aniaallot fokusoituvat ja tuottavat l¨amp¨o¨a. Vasemmalla: Skemaattinen kuva Richard Wolf -yhtym¨an ultra¨a¨aniaaltojen fokusoijasta.

Oikealla: Kuopion yliopiston inversioryhm¨an simulaa- tioita fokusoituvan aallon amplitudista.

L¨a¨aketieteellisi¨a soveluksia kaustikkien luokittelul- le l¨oytyy muun muuassa kehitteill¨a olevasta hoito- muodosta, niin kutsutusta verett¨om¨ast¨a kirurgiasta.

T¨ass¨a esimerkiksi Kuopion yliopiston inversioryhm¨as- s¨a tutkitussa tekniikassa potilasta pyrit¨a¨an kirurgisesti leikkaamaan korkeataajuisen ¨a¨anen, ultra¨a¨anen avulla.

(Kuva 2)

Potilaan sis¨a¨an muodostetaan alue, jossa ¨a¨anen voi- makkuuus on eritt¨ain iso. Voitaisiin sanoa, ett¨a kudok- sen sis¨a¨an muodostetaan ¨a¨anest¨a aineeton ultra¨a¨ani- veitsi, joka kykenee leikkaamaan kudosta. Tarkemmin sanottuna potilaaseen suunnataan ¨a¨aniaaltoja siten, et- t¨a aaltojen energia keskittyy pienelle alueelle. Voimak- kaat ¨a¨anet tuottavat l¨amp¨o¨a, joka tappaa valitun koh- dealueen solut. T¨am¨a mahdollistaisi esimerkiksi aivo- kasvainten hoidon ilman, ett¨a instrumentteja tarvitsee ty¨ont¨a¨a potilaan p¨a¨an sis¨a¨an.

T¨allainen hoitomuoto yleistyess¨a¨an saisi varmasti ny- kyisen kirurgian vaikuttamaan yht¨a historialliselta kuin milt¨a kallojen poraaminen meist¨a nyky¨a¨an vai- kuttaa. Kuten ¨asken Maxwellin valoteoriaa k¨asitelt¨aes- s¨a todettiin, valo ja aaltoliike noudattavat samaa ma- temaattista mallia. Siisp¨a tulos, joka luokittelee kaikki mahdolliset valon polttopintakuviot, luokittelee samal- la kaikki mahdolliset pinnat, joille ¨a¨aniaalto voi kes- kitty¨a. Kuvainnollisesti puhuen polttopintojen luokit- telutulos kertoo kaikkien mahdollisten ultra¨a¨aniveisten muodon eli kaikki ne instrumentit, jotka leikkaavalla l¨a¨ak¨arill¨a voi olla k¨ayt¨oss¨a¨an.

Jotta potilaan p¨a¨an sis¨a¨an voitaisiin ¨a¨anell¨a muodos- taa ultra¨a¨aniveitsi, on tietenkin t¨arke¨a¨a tiet¨a¨a tarkasti potilaan p¨a¨an rakenne. Muutenhan ¨a¨aniveitsi voitaisiin muodostaa v¨a¨ar¨a¨an paikkaan, ja sen k¨aytt¨aminen voisi olla kohtalokasta potilaalle. Kohtaamme siis kuvanta- misongelman: ¨A¨anen nopeuden vaihtelut p¨a¨an sis¨all¨a pit¨aisi selvitt¨a¨a ulkopuolelta teht¨avin mittauksin.

Kuvantamisteht¨av¨a on tyypillinen esimerkki k¨a¨antei- sest¨a eli inversio-ongelmasta, jotka ovat my¨os Suomessa aktiivisen tutkimuksen kohteina. T¨am¨an alueen mate- matiikassa teht¨av¨an¨a on muodostaa kuvia annetun

kappaleen, esimerkisi potilaan p¨a¨an, sis¨aisest¨a raken- teesta luotaamalla sit¨a ulkopuolelta erilaisilla aalloilla, s¨ateilyll¨a tai l¨amm¨oll¨a. Matemaattisesti muotoiltuna inversio-ongelmilla tarkoitetaan esimerkiksi seuraavan kaltaisia ongelmia: Annettua tyyppi¨a olevan osittaisdif- ferentiaaliyht¨al¨on tuntemattomat kerroinfunktiot halu- taan m¨a¨aritt¨a¨a, kun yht¨al¨on ratkaisujen arvot alueen reunalla tai jotkin niihin liittyv¨at tunnusluvut tunne- taan. My¨os alue, jossa kerroinfunktiot halutaan selvit- t¨a¨a voi olla tuntematon. T¨allaiset ongelmat palautuvat usein geometrisiin ongelmiin, joissa tuntematon monis- to halutaan selvitt¨a¨a moniston reunalla teht¨avist¨a mit- tauksista.

Palatkaamme kuitenkin monistojen yleisist¨a inversio- ongelmista takaisin konkreettiseen l¨a¨aketieteelliseen kuvantamiseen, erityisesti ¨a¨aniaaltojen avulla. Yll¨at- t¨aen edelliset ultra¨a¨anikirurgissa k¨aytetyt menetelm¨at l¨oyt¨av¨at sovelluksia my¨os kuvantamisessa. Aaltojen fokusoiminen kappaleen sis¨all¨a on osoittautunut teo- reettisesti hyvin tehokkaaksi ty¨okaluksi rakenteiden luotaamisessa. Mittauksista on matemaattista analyy- sin avulla mahdollista p¨a¨atell¨a, fokusoituuko vaikkapa p¨a¨an ulkopuolelta l¨ahetetty aalto yhteen pisteeseen vai ei.

T¨am¨anhetkisen teoreettisen tutkimuksen mukaan fo- kusointipisteist¨a voidaan muodostaa kolmiulotteinen kartta p¨a¨an rakenteesta. Tulevaisuuden tutkimus yh- teisty¨oss¨a fyysikoiden ja insin¨o¨oritieteiden edustajien kanssa tulee toivottavasti osoittamaan n¨aiden menetel- mien olevan tehokkaita my¨os k¨ayt¨ann¨oss¨a entist¨a tar- kemman ultra¨a¨anikuvauksen kehitt¨amisess¨a.

Edelliset esimerkit havainnollistavat sit¨a, kuinka ma- tematiikan k¨aytt¨o voi kytke¨a yhteen eri aloja. Edelli- nen kahvikupissa esiintyvien polttopintojen luokittelu, joka varmasti tehtiin tavoittelematta yhteiskunnallis- ta hy¨oty¨a, on k¨aytt¨okelpoinen my¨os verett¨om¨an kirur- gian ja l¨a¨aketieteellisen kuvantamisen kehitt¨amisess¨a.

Usein pyrkimys todistaa mahdollisimman kauniita tu- loksia johtaa tehokkaisiin ajatuksiin, jotka sovelluksis- sa osoittavat voimansa aivan kuten Alfred Whitehead totesikin.

N¨aiden esimerkkien valossa voimmekin nyt palata ky- symykseen matematiikan ja sovellusten suhteesta. Mi- t¨a¨an ristiriitaa hy¨odyllisten sovellusten tavoittelun ja puhtaan totuuden mets¨astyksen v¨alill¨a ei v¨altt¨am¨att¨a ole, vaan kysymys on pikemminkin tutkimusty¨on kah- desta eri puolesta. Ensinn¨akin luovan ajattelun ja mie- likuvituksen lennon synnytt¨ami¨a puhtaan matematii- kan tuloksia voidaan soveltaa yll¨att¨avill¨a aloilla, kun- han tutkimuksen yhteydet k¨ayt¨ant¨o¨on havaitaan. Toi- saalta matematiikka on edistynyt huomattavia askelia tutkiessaan muiden tieteiden her¨att¨ami¨a kysymyksi¨a.

On kuitenkin todettava, ett¨a toimiminen yht¨aaikaa mo- nien sovellusalojen ja puhtaan matematiikan parissa on vaikeaa yksitt¨aiselle tutkijalle. Onneksi laaja-alaisuus,

joka voi olla mahdotonta yksil¨olle, on mahdollista ryh- m¨alle. Kehitys onkin kulkemassa suuntaan, jossa mate- maatikot toimivat yh¨a enemm¨an ryhmiss¨a. T¨am¨a n¨a- kyy julkaisukulttuurissa: Aiemmin tutkimuksia julkais- tiin yleens¨a yksin, nyt yh¨a enemm¨an ryhmiss¨a. T¨am¨a tutkimustoiminnan kasvava ryhm¨atoiminta tulee var- masti nopeuttamaan ja lis¨a¨am¨a¨an tutkimusty¨on vai- kutusta sovelluksissa. Tutkimusryhmien j¨asenet voivat toimia linkkein¨a ketjuissa, jotka kytkev¨at teoreettisen tutkimuksen k¨ayt¨ann¨on ongelmiin. Koska t¨allaisess¨a ketjuissa tutkimuksen virikkeet syntyv¨at sek¨a sovelluk- sista ett¨a abstraktista teoriasta, havaitsemme, ett¨a tu- levaisuuden sovellusorientoituneissa matematiikan tut- kimusryhmiss¨a on tilaa ja jopa v¨altt¨am¨at¨ont¨a tarvetta sek¨a soveltajille ett¨a puhtaan matematiikan tutkijoil- le. Voimme siis n¨ahd¨akseni parhaiten hy¨odytt¨a¨a yhteis- kuntaa tutkimuksellamme muodostamalla laaja-alaisia ja tehokkaasti kommunikoivia ryhmi¨a.

Koska yliopistojen opetuksen tulee perustua tutki- mukselle, voidaan edellisten tutkimusta koskevien ky- symysten valossa tarkastella matematiikan opetuksen merkityst¨a nykyisille ja tuleville opiskelijoille, erityi- sesti Teknillisess¨a korkeakoulussa. Suoraan kysyttyn¨a:

Mihin opiskelijamme tarvitsevat matematiikkaa? Har- va kyseenalaistaa korkeakoulussa opiskelevien tulevien diplomi-insin¨o¨orien tarvetta vieraiden kielten osaami- seen – kuinka he voisivat kommunikoida ilman niiden osaamista? Samoin voimme kysy¨a: Kuinka opiskelijam- me voisivat lukea luonnon kielt¨a ilman matematiikan tuntemusta? Tarjoamalla kasaantuvaa tietoa, joka ei ajan kuluessa muutu, annamme opiskelijoille pohjan, jolle rakentaa koko el¨am¨ans¨a mittaisen tekniikan opis- kelun ja kehitt¨amisen.

On selv¨asti havaittavissa, ett¨a tulevaisuuden diplomi- insin¨o¨orit tarvitsevat yh¨a enemm¨an matematiikkaa, sil- l¨a monet tekniikan alat ovat voimakkaasti matematisoi- tumassa. Esimerkkin¨a t¨allaisesta alasta on r¨ontgento- mografia, jolla digitaaliset mittauslaitteet ovat kehitty- neet aikaisemmin r¨ontgenkuvauksessa k¨aytettyjen fil- mien veroisiksi (Kuva 3). Nyt insin¨o¨orit saavat k¨ayt- t¨o¨ons¨a numeromuotoista dataa filmikuvien sijasta. T¨a- m¨a on merkitt¨av¨a muutos, sill¨a filmikuvia ei tieten- k¨a¨an voinut k¨asitell¨a matemaattisesti kuten digitaali- sia eli numerosarjoina esitettyj¨a kuvia. T¨am¨an muu- toksen aikana filmitekniikkaan erikoistuneet insin¨o¨orit

¨akisti totesivat olevansa alalla, jolla numeeriset mene- telm¨at ovat merkitt¨av¨a osa valmistettavasta tuotteesta.

Onneksi teknillisten korkeakoulujen koulutus oli anta- nut heille matemaattiset valmiudet t¨all¨a muuttuneella alueella ty¨oskentelyyn. Tarve uusien algoritmien kehit- t¨amiseen sai heid¨at aloittamaan yhteisty¨on matemaa- tikkojen kanssa, ja t¨am¨an uuden alan ongelmat ovat osoittautuneet eritt¨ain kiintoisiksi my¨os meille mate- maatikoille. Vastaavanlaista laskentamenetelmien mer- kityksen kasvua on odotettavissa my¨os useilla muilla tekniikan aloilla, ja t¨ah¨an muutokseen opiskelijoidem- me on oltava valmiina.

Yhteenvetona matematiikan merkityksest¨a voi todeta, ett¨a tietoa, joka ei muutu, voidaan jatkuvasti k¨ayt- t¨a¨a uudelleen yh¨a uusin tavoin. My¨os matematiikka ammentaa sovellusten kanssa tapahtuvasta vuorovai- kutuksesta uusia kysymyksi¨a, jotka voivat muuttaa ko- ko tieteenalaa. Toivoakseni voimme Teknillisess¨a kor- keakoulussa luoda matematiikan ja muiden tieteiden kohtaamisareenan, jossa kaikki, fukseista professorei- hin, osallistuvat tieteiden vuorovaikutukseen.

Kuva 3: R¨ontgenkuvausta Instrumentarium Imaging -yhti¨oss¨a, jossa filmit (vasemmalla) korvataan digitaa- lisilla sensoreilla (oikealla).

L¨ ahteet:

[1] M.V. Berry: Waves and Thom’s theorem. Advan.

Phys. 25:1-26. 1976.

[2] C. Boyer: Tieteiden kuningatar. Osa 2: matematii- kan historia, Art House, 1994

[3] I. Ekeland: Ennakoimattoman matematiikka. Art House, 2001.

[4] J. Gravesen: Catastrophe theory and caustics. SIAM Rev. 25 (1983), no. 2, 239–247.

[5] J. Grossman and P. Ion: On a portion of the well- known collaboration graph (1995). Congressus Nume- rantium108 (1995) 129–131.

[6] M. Klinge, R. Knapas, A. Leikola, J. Str¨omberg:

Helsingin yliopisto 1640-1990. 1. osa : Kuninkaallinen Turun akatemia 1640-1808, Otava, 1987.

[7] Y. Kurylev, M. Lassas, E. Somersalo: Focusing wa- ves in elctromagnetic inverse problems. Proceedings of Inverse problems and spectral theory, Ed. H. Isozaki, Contemporary Mathematics348 (2004) 11–22.

[8] J. Laari: Sivistysyliopisto – huomioita fraasin mie- lekkyydest¨a, Genesis-lehti 1/1998.

[9] M. Leinonen: Matematiikka vanhassa Turun akate- miassa. Arkhimedes N:o 2. 1952.

[10] M. Malinen, T. Huttunen and J. P. Kaipio: Ther- mal dose optimization method for ultrasound surgery, Physics in Medicine and Biology48:745-762, 2003.

[11] Tataru, Daniel The X_θ^s spaces and unique conti- nuation for solutions to the semilinear wave equation.

Comm. Partial Differential Equations21 (1996), no. 5- 6, 841–887

Artikkeli perustuu kirjoittajan virkaanastujaisesitem¨a¨an Teknillisess¨a korkeakoulussa 14.9.2004. Artikkeli on jul- kaistu Arkhimedes-lehden numerossa 5/2004, ja se julkaistaan Solmussa kirjoittajansa luvalla.