Matematiikkalehti 1/2006 http://solmu.math.helsinki.fl/

1/2006

http://solmu.math.helsinki.fi/

Solmu 1/2006

ISSN 1458-8048 (Verkkolehti) ISSN 1459-0395 (Painettu)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos PL 68 (Gustaf H¨allstr¨omin katu 2b) 00014 Helsingin yliopisto

http://solmu.math.helsinki.fi/

P¨a¨atoimittaja:

Matti Lehtinen, dosentti, Maanpuolustuskorkeakoulu Toimitussihteerit:

Mika Koskenoja, tohtoriassistentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Antti Rasila, tutkija, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu

S¨ahk¨opostitoimitus@solmu.math.helsinki.fi Toimituskunta:

Pekka Alestalo, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Heikki Apiola, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Aapo Halko, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Ari Koistinen, FM, Helsingin ammattikorkeakoulu Stadia

Marjatta N¨a¨at¨anen, dosentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Tommi Sottinen, yliopistonlehtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Graafinen avustajaMarjaana Beddard

Yliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkil¨ot:

Virpi Kauko, yliopistonopettaja, virpik@maths.jyu.fi Jyv¨askyl¨an Avoin yliopisto

Jorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fi

Sovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen yliopisto Jorma Merikoski, professori, jorma.merikoski@uta.fi

Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos, Tampereen yliopisto Kalle Ranto, assistentti, kalle.ranto@utu.fi

Matematiikan laitos, Turun yliopisto Tiina Rintala, opiskelija, tirintal@paju.oulu.fi

Oulun yliopisto

Timo Tossavainen, lehtori, timo.tossavainen@joensuu.fi Savonlinnan opettajankoulutuslaitos, Joensuun yliopisto

Numeroon 2/2006 tarkoitetut kirjoitukset pyyd¨amme l¨ahett¨am¨a¨an huhtikuun 2006 loppuun menness¨a.

Kiit¨amme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa sek¨a Suomen Kulttuurirahastoa (sanakirja- projekti).

Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin, jotka ovat sit¨a erikseen pyyt¨aneet. Toivomme, ett¨a lehte¨a kopioidaan kouluissa kaikille halukkaille.

Kansi: Kattokoristekuvio Alhambrasta, Persiasta.

Sis¨ allys

P¨a¨akirjoitus: Sudoku ja matematiikka (Matti Lehtinen). . . 4

Toimitussihteerin palsta: Symbolista matematiikkaa Maximalla (Antti Rasila) . . . 5

Lukujonon raja-arvo (Markku Halmetoja) . . . 6

Parempaan ymm¨art¨amiseen opetusohjelmien avulla (Heikki Miettinen) . . . 9

Neli¨ojuuri autiolla saarella (Matti Lehtinen) . . . 11

Normaalijakauman kertym¨afunktiosta (Pekka Alestalo) . . . 14

Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista (Matti Lehtinen) . . . 17

Tuomaksen teht¨avi¨a (Tuomas Korppi). . . 23

Matematiikan Suomen mestaruus ratkaistiin . . . 25

Sudoku ja matematiikka

Viime kuukausina sanomalehtien lukijat eiv¨at ole voi- neet v¨altty¨a huomaamasta ilmi¨ot¨a nimelt¨a sudoku. Joulun kirjamarkkinoillekin oli ehtinyt varmaan kym- menkunta sudokuaiheista kirjaa. Tavallisimmassa muo- dossaan sudoku on 81 ruudun yhdeks¨aksi yhdeks¨an- ruutuiseksi neli¨oksi jaettu kuvio, johon ratkaisija pyr- kii sijoittamaan numeroita yhdest¨a yhdeks¨a¨an niin, et- t¨a kaikki numerot esiintyv¨at tasan kerran joka vaaka- ja pystyrivill¨a ja lis¨aksi jokaisessa rajatussa pikkune- li¨oss¨a. Kuvioon on teht¨av¨an laatija sijoittanut yleens¨a kolmattakymment¨a valmista numeroa, tavallisesti jol- lakin tavalla symmetrisille paikoille.

Sudokukirjallisuus pyrkii korostamaan sit¨a, ett¨a nu- meerisesta ulkoasustaan huolimatta sudoku ei ole mate- maattinen ongelma, vaan ¨alykkyysteht¨av¨a. T¨am¨a ei ole aivan totta. En tarkoita nyt sit¨a, ett¨a sudokun historial- linen tausta johtaa er¨a¨aseen kaikkien aikojen merkit- t¨avimp¨a¨an matemaatikkoon, 1700-luvulla el¨aneeseen sveitsil¨aiseen matematiikan suurmieheenLeonhard Eu- leriin, jonka j¨aljilt¨a matematiikkaan on syntynyt k¨asi- telatinalainen neli¨o, josta sudokukin on erikoistapaus.

Tarkoitan sit¨a, ett¨a sudokun ratkaisuprosessi on usein malliesimerkki yhdest¨a matematiikan keskeisimm¨ast¨a ty¨okalusta,ep¨asuorasta todistuksesta. Jos sijoitan tuo- hon ruutuun numeron 2, niin joudun laittamaan noihin ruutuihin 7 ja 9, mutta se ei ole mahdollista, koska. . . , siis minun onkin laitettava ruutuun numero 4 . . . T¨all¨a tapaahan sudokun ratkaisussa tavallisesti edet¨a¨an.

Juuri n¨ain tekee matemaatikkokin, monesti. Halutes-

saan varmistua siit¨a, ett¨a alkulukujen m¨a¨ar¨a on ¨a¨are- t¨on, h¨an ajattelee, mit¨a seuraisi siit¨a, ett¨a niit¨a olisi- kin vain jokin ¨a¨arellinen m¨a¨ar¨a, esimerkiksi a, b, . . . , x. Silloin ab· · ·x+ 1 olisi luku, jolla olisi jokin muu alkutekij¨a kuin kaikiksi alkuluvuiksi oletetuta, b, . . . , x, eiv¨atk¨a n¨am¨a a, b, . . . , x siis olisikaan kaikki al- kuluvut. Ristiriita osoittaa, ett¨a matemaatikon teke- m¨a oletus oli v¨altt¨am¨att¨a v¨a¨arin, joten sen vastakoh- ta on totuus. Viime vuosisadalla el¨anyt englantilainen matemaatikko G. F. Hardy vertasi tunnetussa pikku kirjasessaanMatemaatikon apologia (suomeksi julkais- sut Terra Cognita vuonna 1997) matemaatikkoa ˇsakin- pelaajaan: ˇshakinpelaajan kannattaa joskus uhrata so- tilas tai upseeri paremman peliaseman saavuttamisek- si. Matemaatikko menee pitemm¨alle: h¨an tarjoaa ik¨a¨an kuin koko pelins¨a pois, mutta voittaakin sen takaisin, kun p¨a¨attelyketju johtaa ristiriitaan.

Matematiikka on vaikeasti m¨a¨aritelt¨av¨a ja rajattava ih- misen henkisen toiminnan alue. Sen kovaa ydint¨a on kuitenkin todistaminen, varman totuuden hankkimi- nen. Matematiikan opetuksessa ovat nyky¨a¨an monesti esill¨a matematiikan muut puolet: laskeminen, havain- nollistaminen, ymm¨art¨aminen. Sudokujen suosio osoit- taa, ett¨a ei p¨a¨atteleminen ja todistaminen niin vieras- ta ihmisille ole, kuin mit¨a usein n¨aytet¨a¨an pelk¨a¨av¨an.

Matematiikka koko rikkaudessaan on valtavasti mielen- kiintoisempi kentt¨a harjoittaa loogista p¨a¨attely¨a kuin kiinnostavat, mutta lopulta yhdentekev¨at ajanvieteteh- t¨av¨at.

Matti Lehtinen

P¨ a¨ akirjoitus

Symbolista matematiikkaa Maximalla

Symbolisen laskennan ohjelmistot, joista suosituimpia ovat Maple, Mathcad, Mathematica ja MuPAD, kuu- luvat nyky¨a¨an matemaatikon perusty¨okaluihin. Monet perinteisen koulumatematiikkan laskuharjoitukset, ku- ten derivointi- ja integrointiteht¨av¨at, ratkeavat n¨aill¨a ohjelmistoilla helposti.

Vaikka tietokoneen k¨aytt¨otaito ei korvaa asioiden ym- m¨art¨amist¨a, on mielest¨ani selv¨a¨a, ett¨a symbolisen las- kennan ohjelmistot ovat jo nyt suuresti muuttaneet ma- tematiikan tekemist¨a. T¨am¨an muutoksen pit¨aisi vai- kuttaa matematiikan opetukseen, mutta t¨all¨a hetkel- l¨a symbolisen matematiikan ohjelmistoja k¨aytt¨av¨at yleens¨a vain matematiikan ammattilaiset.

K¨aytt¨o¨a harrastajien ja kouluopetuksen osalta rajoit- taa ohjelmistojen korkea hinta. Maxima on vapaa avoi- men l¨ahdekoodin symbolisen laskennan ohjelmisto. Se tukee Linux, MacOS X ja MS Windows -k¨aytt¨oj¨arjes- telmi¨a. Itse ohjelmiston lis¨aksi kannattaa ladata my¨os graafinen wxMaxima-k¨aytt¨oliittym¨a.

Maxima perustuu MIT:ss¨a vuosina 1968–1982 kehitel- tyyn Macsyma-j¨arjestelm¨a¨an. MIT luovutti l¨ahdekoo- din 1982 Yhdysvaltain energiaministeri¨olle (Depart- ment of Energy), joka jatkoi ohjelmiston kehittely¨a ni- mell¨a DOE Macsyma. DOE Macsyman l¨ahdekoodia yl- l¨apiti professori William F. Schelter Texasin yliopistos- ta.

Vuonna 1998 Schelter sai oikeuden julkaista DOE Mac-

syman l¨ahdekoodin suositun GNU GPL -lisenssin ehto- jen mukaisesti, ja 2000 ohjelmiston vapaan version ni- mi muutettiin Maximaksi. Schelterin kuoleman j¨alkeen vuodesta 2001 ohjelmiston kehitys on jatkunut avoimen l¨ahdekoodin projektina.

Maximan lis¨aksi on olemassa my¨os MIT:n alkupe- r¨aiseen l¨ahdekoodiin perustuva kaupallinen ohjelmisto Macsyma, jolla oli 1980-luvulla 70 % markkinaosuus symbolisen laskennan ohjelmistoissa, mutta joka sit- temmin on j¨a¨anyt tunnetumpien Maplen ja Mathema- tican varjoon. Ohjelmiston kaupallisesta versiosta on viimeksi tullut uusia versioita 90-luvun puolella.

Useimpia k¨aytt¨otarkoituksia varten Maxima on riitt¨a- v¨a nykyisell¨a¨ankin, ja oletan siirtymisen avoimen l¨ah- dekoodin malliin tulevaisuudessa nopeuttavan kehitys- t¨a. Maxima t¨aytt¨a¨a merkitt¨av¨an puutteen vapaiden oh- jelmistojen tarjonnassa ja antaa harrastajille mahdol- lisuuden tutustua symbolisen laskennan mahdollisuuk- siin. Verkko-opetuksesta kiinnostuneiden kannattaa tu- tustua my¨os Maxima-pohjaiseen matematiikan verkko- opetusymp¨arist¨o¨on STACK.

Linkkej¨ a

Maximan kotisivu:http://maxima.sourceforge.net/

wxMaxima:http://wxmaxima.sourceforge.net/

STACK:http://www.stack.bham.ac.uk/

Antti Rasila

Toimitussihteerin palsta

Lukujonon raja-arvo

Markku Halmetoja M¨ant¨an lukio

Lukujonon raja-arvo on matemaattisen analyysin t¨ar- keimpi¨a k¨asitteit¨a, sill¨a sen avulla voidaan m¨a¨aritel- l¨a suurin osa analyysin muista k¨asitteist¨a. Raja-arvon m¨a¨aritelm¨an avulla on my¨os helpointa oppia analyysin keskeisimm¨an ty¨ov¨alineen, ε-tekniikan, k¨aytt¨o. Raja- arvon tarkka m¨a¨aritelm¨a ja siihen liittyv¨a ε-tekniikka eiv¨at ole koskaan kuuluneet lukion oppim¨a¨ar¨a¨an, mut- ta kokemus on osoittanut, ett¨a matematiikasta todella kiinnostuneella lukiolaisella ei ole mit¨a¨an ik¨a¨an liitty- v¨a¨a kehityspsykologista estett¨a niiden omaksumiseen.

T¨am¨a kirjoitelma pyrkii t¨aydent¨am¨a¨an lukioissa k¨ay- tettyj¨a oppimateriaaleja mainituilta osin ja n¨ain joh- dattamaan asiasta kiinnostuneen lukijan matemaatti- sen analyysin perusteiden syvemp¨a¨an ymm¨art¨amiseen.

M¨a¨arittelemme raja-arvon aluksi havainnollisesti ja tarkennamme m¨a¨aritelm¨a¨a asteittain, kunnes saamme sen matemaattisesti moitteettomaksi. Havainnollistam- meε-tekniikkaa muutamalla esimerkill¨a ja lopuksi an- namme sarjan harjoitusteht¨avi¨a, joiden huolellinen suo- rittaminen varmistaa asian ymm¨art¨amisen.

Lukujono(an) suppenee kohti raja-arvoa a, jos jonon termit an l¨ahestyv¨at rajattomasti lukua a eli tulevat mielivaltaisen l¨ahelle lukua a, kun n kasvaa rajatto- masti.

Mit¨a tarkoitetaan rajattomalla l¨ahestymisell¨a eli mie- livaltaisen l¨ahelle tulemisella ja luvun n rajattomalla

kasvamisella? Merkitsemme niit¨a nuolilla an → a ja n → ∞, mutta merkint¨atapa ei ole vastaus kysymyk- seen. Koska lukujenajaan v¨alinen et¨aisyys on niiden erotuksen itseisarvo¯¯a−an

¯¯, voimme joka tapauksessa sanoa, ett¨a

an→ajos ja vain jos¯¯a−an

¯¯→0, kunn→ ∞. Sek¨a rajaton l¨ahestyminen ett¨a kasvaminen ovat ku- vailevia k¨asitteit¨a, jotka eiv¨at sellaisenaan kelpaa ma- temaattiseen m¨a¨aritelm¨a¨an. Ne on voitava m¨a¨aritel- l¨a yksinomaan reaalilukujen ominaisuuksia k¨aytt¨aen.

Tarkastelemme aluksin:n kasvamista. Kuinka suureksi sen pit¨a¨a tulla, jotta raja-arvo saavutettaisiin? V¨altt¨a- m¨att¨a mik¨a¨an ¨a¨arellinen arvo ei riit¨a, sill¨a esimerkiksi jonon (an),an = 1/n, termit l¨ahestyv¨at nollaan:n kas- vaessa, mutta raja-arvoa 0 ei saavuteta mill¨a¨ann:n ar- volla. Lukunon siis valittavasuuremmaksi kuin mik¨a tahansa ennalta asetettu ¨a¨arellinen rajakohtaN ∈Z⁺. T¨at¨a merkitsemme lyhyesti n → ∞ ja sanomme n:n l¨ahestyv¨an ¨a¨aret¨ont¨a.

Et¨aisyys¯¯a−an¯¯onn:st¨a riippuva ei-negatiivinen reaa- liluku. Jos sevoidaann:¨a¨a kasvattamalla tehd¨a pienem- m¨aksi kuin mik¨a tahansa ennalta valittu positiivinen reaaliluku, niin sanomme sen tulevan mielivaltaisen l¨a- helle nollaa. N¨ain my¨os rajaton nollaa l¨ahestyminen tu- lee m¨a¨aritellyksi reaalilukujen ominaisuuksien avulla ja voimme nyt muotoilla raja-arvon tarkan m¨a¨aritelm¨an.

Teemme sen aluksiErnst Lindel¨ofin(1870−1946) mai- nion teoksen ”Johdatus korkeampaan analyysiin”, [2], teksti¨a my¨ot¨aillen.

Lukujonolla (an) sanotaan olevan luku araja-arvona, eli lukujonon sanotaan suppenevan kohti raja-arvoaa, jos jokaista positiivilukuaε kohden, valittakoon t¨am¨a miten pieni hyv¨ans¨a, aina voidaan m¨a¨ar¨at¨a sellainen kokonaislukuNε, ett¨a

¯¯a−an

¯¯< ε niin pian kuin n > Nε.

Edelleen Lindel¨ofi¨a lainaten:N¨am¨a ep¨ayht¨al¨ot sis¨alt¨a- v¨at sen, ett¨a kaikki jonon (an) luvut, joille n > Nε, joutuvat v¨alille]a−ε, a+ε[. Jos valitaan pienempi ε, niin lukuaNεt¨aytyy yleens¨a suurentaa, jotta t¨am¨a eh- to olisi t¨aytetty.

Lindel¨ofin ”Johdatuksen”, samoin kuin h¨anen muitakin teoksiaan, saattaa l¨oyt¨a¨a suurimpien kaupunkien kir- jastoista ja hyv¨all¨a onnella my¨os antikvariaateista. Se on yksi merkitt¨avimmist¨a Suomessa ilmestyneist¨a ma- tematiikan oppikirjoista, sill¨a sen avulla suomalaisen matematiikan maailmanmaineeseen kohottaneet funk- tioteoreetikot opiskelivat analyysin alkeet 1900-luvun alkupuolella. Rolf Nevanlinna (1895−1980) on sano- nut teoksen vaikuttaneen ratkaisevasti h¨anen urava- lintaansa. H¨an oli harkinnut klassisten kielten opiske- lua, mutta ylioppilaskes¨an¨a luettu ”Johdatus” her¨atti h¨aness¨a peruuttamattoman kiinnostuksen matematiik- kaan. My¨os akateemikkoOlli Lehto [1] on kertonut lu- keneensa teoksen ylioppilaskes¨an¨a¨an samoin seurauk- sin.

Vanhahtavasta kieliasustaan huolimatta Lindel¨ofin an- tama m¨a¨aritelm¨a on viel¨akin pedagogisesti ylitt¨am¨a- t¨on, sill¨a se on matemaattisesti tarkka ja samalla siin¨a selitet¨a¨an asia ytimekk¨a¨asti. Samaan tarkkuuteen ja se- litt¨avyyteen pyrit¨a¨an teoksessa [3], jossa annettu raja- arvon m¨a¨aritelm¨a on oikeastaan vain Lindel¨ofin m¨a¨ari- telm¨an k¨a¨ann¨os nykysuomeksi.

Lukujono (an) suppenee kohti raja-arvoaa, jos jokaista positiivista lukuaε vastaa sellainen positiivinen koko- naislukunε, ett¨a

¯¯a−an¯¯< ε aina,kun n≥nε.

Kunε >0on kiinnitetty, olipa se kuinka pieni tahansa, t¨aytyy siis l¨oyty¨a t¨allainen (tavallisesti ε:sta riippuva) lukunε.

Luentomaisessa esityksess¨a, jossa selitykset voidaan tehd¨a suullisesti, m¨a¨aritelm¨a on tapana tiivist¨a¨a logii- kan k¨asitteit¨a hy¨odynt¨aen. N¨ain saadaan itse asiassa kielimuurit ylitt¨av¨a raja-arvon m¨a¨aritelm¨a.

Lukujonon(an)raja-arvo ona, jos

∀ε∈R⁺: ∃nε∈Z+: n > nε⇒¯¯a−an

¯¯< ε.

M¨a¨aritelm¨an avulla emme voi laskea annetun jonon raja-arvoa. Sen avulla voimme ainoastaan todistaa, et- t¨a annettu luku joko on tai ei ole annetun jonon raja- arvo. Esimerkit selvent¨av¨at asiaa.

Esim. 1. Todistamme, ett¨a liman = 2, kun an = (2n+ 1)/(n−1).

Olkoonεmielivaltaisesti valittu positiivinen luku. T¨al- l¨oin

¯¯2−an

¯¯=¯¯¯2−2n+ 1 n−1

¯¯

¯= 3 n−1 < ε,

josn >1 + 3/ε. Jos siis kokonaislukunε on v¨ahint¨a¨an yht¨asuuri kuin reaaliluku 1 + 3/ε ja n suurempi kuin nε, niin ¯¯2−an

¯¯< ε olipa positiivinenε kuinka pieni tahansa. Siisan →2, kunn→ ∞.

Esim. 2. Osoitamme, ett¨a liman 6= 2, kun an = (3n−1)/(n−1).

Tutkimalla erotusta ¯¯2−an

¯¯n¨aemme, ett¨a

¯¯2−an¯¯=¯¯¯2−3n−1 n−1

¯¯

¯= n+ 1 n−1 >1, kunn≥2, joten ep¨ayht¨al¨o¯¯2−an

¯¯< εei voi toteutua jos esimerkiksi 0< ε <1. T¨aten liman 6= 2.

Se, ett¨a (esimerkiss¨a 1) reaalilukua 1 + 3/ε suurempia kokonaislukuja on olemassa, seuraa reaalilukujen pe- rusominaisuuksista, joihin emme puutu t¨ass¨a yhteydes- s¨a. Kiinnostunut lukija voi perehty¨a reaalilukujen ak- siomaattiseen esitykseen, samoin kuin jatkuvan funk- tion ominaisuuksien todistamiseen, teoksen [3] avulla.

Siin¨a selvitet¨a¨an my¨osε-todistusten laatiminen eritt¨ain yksityiskohtaisesti.

M¨a¨aritelm¨an avulla voimme todistaa my¨os jonoja kos- kevia yleisi¨a lauseita.

Esim. 3. Jos (an) ja (bn) ovat suppenevia jonoja, niin my¨os niiden termien summista muodostuva jono (an+bn) on suppeneva ja

lim (an+bn) = liman+ limbn.

Todistus.Olkoot liman =a, limbn=bjaεmielivaltai- sesti valittu positiivinen reaaliluku. Raja-arvon m¨a¨ari- telm¨an perusteella on olemassa kokonaisluvutn1 jan2

siten, ett¨a|a−an|< ε/2, josn > n1, ja|b−bn|< ε/2, josn > n2. Jos nytn >max (n1, n2), niin kolmioep¨ayh- t¨al¨o¨a soveltaen saamme

¯¯(a+b)−(an+bn)¯¯=¯¯(a−an) + (b−bn)¯¯

≤¯¯a−an

¯¯+¯¯b−bn

¯¯< ε/2 +ε/2 =ε,

mist¨a v¨ait¨os seuraa.

Voisimme valita luvut n1 ja n2 my¨os siten, ett¨a

|a−an|< ε, josn > n1, ja|b−bn|< ε, josn > n2. T¨al- l¨oin, josn > max (n1, n2), niin saamme kolmioep¨ayh- t¨al¨on avulla

¯¯(a+b)−(an+bn)¯¯=¯¯(a−an) + (b−bn)¯¯

≤¯¯a−an

¯¯+¯¯b−bn

¯¯< ε+ε= 2ε, mist¨a v¨ait¨os my¨os seuraa, sill¨a 2ε on yht¨alailla mieli- valtainen positiivinen reaaliluku kuinε.

Harjoitusteht¨ avi¨ a

1.

Osoita, ett¨a esimerkiss¨a n:o 2 annetun jonon raja- arvo on 3.

2.

Olkooncreaalinen vakio ja (an) suppeneva jono.

Osoita, ett¨a

lim (c an) =c liman.

3.

Jono (an) onrajoitettu, jos on olemassaM ∈R⁺ siten, ett¨a kaikillan:n arvoilla on¯¯a_n¯¯≤M. Osoi- ta, ett¨a suppenevat jonot ovat rajoitettuja.

4.

Osoita: Jos liman = a ja limbn = b, niin lim (anbn) =ab.

5.

Osoita: Jos liman=aja liman=b, niina=b.

6.

Osoita: Jonon (an) raja-arvo on ajos ja vain jos jokaisen v¨alin

]a−ε, a+ε[ (ε∈R⁺)

ulkopuolella on korkeintaan ¨a¨arellinen m¨a¨ar¨a jo- non termej¨a.

7.

Muotoile pelk¨ast¨a¨an reaalilukujen ominaisuuk- siin tukeutuva m¨a¨aritelm¨a sille, ett¨a liman=∞.

Kirjallisuutta

1.

Olli Lehto: Korkeat maailmat, Rolf Nevanlinnan el¨am¨a, Otava 2001.

2.

Ernst Lindel¨of: Johdatus korkeampaan ana- lyysiin, 5. painoksen muuttamaton lis¨apainos, WSOY 1967.

3.

Jorma Merikoski, Markku Halmetoja, Timo Tos- savainen: Johdatus matemaattisen analyysin teo- riaan, WSOY 2004.

Parempaan ymm¨ art¨ amiseen opetusohjelmien avulla

Heikki Miettinen

Linnanpellon koulu, Kuopio heikki.miettinen@kuopio.fi

Oppimisen avainsanoja ovat ymm¨art¨aminen, muista- minen ja soveltaminen. Ymm¨art¨aminen auttaa muista- maan, ymm¨art¨aminen ja muistaminen edelleen sovelta- maan. Kokemukset soveltamisesta puolestaan edist¨av¨at ymm¨art¨amist¨a ja muistamista. Ihminen oppii sit¨a mit¨a tekee automaattisesti ilman tarvetta tietoiseen p¨a¨att¨a- miseen, ett¨a t¨am¨a minun on opittava ja muistettava.

Mit¨a aktiivisemmin, useammin ja useammasta n¨ak¨o- kulmasta asiaa prosessoi, sen parempaa oppimista syn- tyy. T¨am¨a kaikki on vanhaa kokemusviisautta.

Suunnitellessani opetusohjelmistoa lineaarisen funk- tion opettamiseen (FRUITS, TAXI ja 5-TIE, kts.

http://www.edu.kuopio.fi/hemi/), jouduin aluksi pohtimaan, mit¨a sis¨altyy siihen, ett¨a henkil¨o ymm¨ar- t¨a¨a lineaarisen riippuvuuden olemusta ja mallintamis- ta. Mit¨a ylip¨a¨at¨a¨an tarkoitamme ymm¨art¨amisell¨a? Mi- t¨a tarkoittaa, jos joku ymm¨art¨a¨a derivaatan tai tenso- rin k¨asitteen? Onko meill¨a ymm¨art¨amisen teoriaa? Ym- m¨art¨amiseen liittyy varmastikin tieto siit¨a, mist¨a ja mi- ten jokin asia seuraa (t¨ast¨a seuraa, ett¨a). Ymm¨art¨ami- seen liittyy my¨os tieto aiheeseen liittyvien asioiden suh- teista. Esimerkiksi miten sinifunktio liittyy ympyr¨a¨an tai aaltoliikkeeseen. Ymm¨art¨amisen k¨asitett¨a voitaisiin

l¨ahesty¨a toistakin kautta siten, ett¨a henkil¨on ajateltai- siin ymm¨art¨av¨an asiaa, mik¨ali h¨an kykenee vastaamaan asiantuntijan asettamiin monipuolisiin kysymyksiin.

Edell¨a mainittujen ohjelmien kohderyhm¨a, peruskou- lun yl¨aluokkalaiset, ottavat vasta ensi askeleita il- mi¨oiden matemaattisessa mallintamisessa. Muuttujat, muuttujien arvot ja muuttujalausekkeet eiv¨at ole viel¨a juurikaan olleet esill¨a. T¨ast¨a syyst¨a mallintamisproses- si on ankkuroitava tukevasti nuorelle ymm¨arrett¨aviin konkreettisiin tapahtumiin kuten hintoihin, taksimak- suihin jne. Olen pit¨anyt v¨altt¨am¨att¨om¨an¨a l¨aht¨okohta- na, ett¨a oppija itse laskee useita hintoja p¨a¨ass¨a tai las- kimella, jotta voisi kokea saman kaavamaisen laskuta- van toistuvan. T¨am¨a sitten antaa aiheen ottaa kulle- kin muuttuvalle suureelle edustajaksi kirjaimen ja n¨ain p¨a¨ast¨a¨an muodostamaan hintafunktiolle kirjainlauseke.

Sen j¨alkeen on edetty k¨asittelem¨a¨an muuttujien arvoja, laskulauseketta ja graafista kuvaajaa – niinp¨ain ja n¨ain- p¨ain – jotta n¨aiden v¨aliset yhteydet ja suhteet avautu- vat. T¨am¨a vankasti uskoen, ett¨a aiheen kimpussa vie- tetty laatuaika tuottaa oppijalle relevantteja ajatusra- kenteita.

Ohjelmia on ajateltu k¨aytett¨av¨aksi ensisijaisesti siten,

ett¨a luokka tulee sopivalla oppitunnilla tietokoneluok- kaan ja oppilaat ty¨oskentelev¨at pareittain tai yksin toi- veensa mukaan. Ohjelmien k¨ayt¨oss¨a opettajan on hyv¨a korostaa, ett¨a kyseess¨a ei ole l¨apiselailuohjelma, vaan ett¨a eteneminen vaatii kaiken aikaa pient¨a ajatuspon- nistelua, mik¨a on tarpeen oppimisen kannalta. Tilanne- riippuvaiset ja eritasoiset ohjeet auttavat eteenp¨ain, jos oma ajatus ei aina osu. Opettajakin on l¨ahell¨a avuksi suurimpiin h¨atiin. Nopeammin etenev¨at ehtiv¨at aihee- seen syvemm¨alle.

Ohjelmien tarkoitus ei ole korvata luokkaopetusta vaan t¨aydent¨a¨a ja monipuolistaa sit¨a prosesseilla, jotka pe- rinteisess¨a luokkaopetuksessa eiv¨at ole mahdollisia.

K¨aytt¨okokemukset oppilaiden kanssa ovat osoittaneet, ett¨a ty¨oskentely ohjelmien parissa on hyvin intensiivis- t¨a koko oppitunnin ajan. Koska eteenp¨ain ei p¨a¨ase el- lei itse selvit¨a asioita, perinteisess¨a luokkaopetuksessa helposti tapahtuvaa ”ohivirtausilmi¨ot¨a” ei p¨a¨ase synty- m¨a¨an.

Negatiivinen v¨aite, ett¨a tietokoneilla ei olisi juuri mi- t¨a¨an annettavaa matematiikan opetukselle tuntuu ko-

vin omituiselta. Niinp¨a on hyv¨a l¨ahte¨a p¨ainvastaises- ta ajatuksesta, ett¨a tietokoneilla on paljon merkityst¨a tulevaisuuden opetusv¨alineen¨a. Laitteistolliset ja ohjel- mistolliset edellytykset laadukkaiden opetusohjelmien tuottamiseen ovat olleet jo ainakin puolentoista vuo- sikymmenen ajan hyv¨at. Siit¨a huolimatta alan kehi- tys on ollut vaatimatonta verrattuna esimerkiksi pe- lialan kehitykseen. Ajatus, ett¨a opetusohjelmatuotan- to etenisi markkinavoimapohjaisesti on mielest¨ani v¨a¨a- r¨a. Ovathan markkinat Suomessa pienet ja opetusoh- jelmien laatiminen aikaa viev¨a¨a ja ty¨ol¨ast¨a. Heitt¨aisin- kin t¨ass¨a asiassa viehett¨a korkeakoulujen suuntaan, jot- ka aivan hyvin voisivat laajentaa toimenkuvaansa tuo- tekehittelyyn liittyv¨a¨an organisointiin ja oppimistutki- mukseen. Korkeakoulujen oman palkatun v¨aen lis¨aksi uskoisin apua l¨oytyv¨an sek¨a opiskelijoista ett¨a jo toi- messa olevista opettajista. N¨ain j¨arjestettyn¨a opetus- ohjelmia voisi hioa aina vain paremmin toimiviksi, kun mukaan tulisi pedagoginen tutkimus. Johtavana PISA- maana meid¨an ei pit¨aisi j¨a¨ad¨a v¨a¨ant¨am¨a¨an k¨a¨ann¨oksi¨a muun maailman opetusohjelmista, vaan astua asiassa eturiviin. Tekij¨oit¨a tarvitaan!

Neli¨ ojuuri autiolla saarella

Matti Lehtinen

Maanpuolustuskorkeakoulu

N¨app¨aill¨a¨an luku laskimeen, painetaan √

-n¨app¨aint¨a.

Kirjoitetaan tietokoneohjelmaan komento SQRT. Jos kalenteria k¨a¨annet¨a¨an 40 vuotta taaksep¨ain, ollaan ti- lanteessa, jossa luku laskuviivaimen yl¨aasteikolta ja katsotaan hiusviivan avulla samalla kohdalla oleva alemman asteikon luku tai etsit¨a¨an taulukosta luvun logaritmi, jaetaan se kahdella ja katsotaan saatua neli¨o- juuren logaritmia vastaava luku, mantissa. Positiivisen luvunaneli¨ojuuren numeerinen m¨a¨aritys on tekniikan avulla yksinkertaista.

Ent¨a jos apuv¨alineit¨a ei olisi? Jos olisimme haaksirik- koutuneet autiolle saarelle, laskimemme olisi t¨arvelty- nyt suolaisessa merivedess¨a ja – esimerkiksi Pythago- raan lausetta matkan mittaamiseen k¨aytt¨a¨aksemme – joutuisimme m¨a¨aritt¨am¨a¨an neli¨ojuuria? Aina voi ko- keilla. 14² = 196 ja 15² = 225. Siis √

200 = 14, . . .. Edelleen 14,1² = 14² + 0,2 ·14 + 0,1² = 198,81 ja 14,2² = 14²+ 0,4·14 + 0,2² > 196 + 0,4·10 = 200.

Siis √

200 = 14,1· · · jne. Newtonin likiarvomenettely on toimiva. Funktionf(x) positiivinen nollakohta l¨oy- tyy jostain umpim¨ahk¨aisest¨a l¨aht¨oarvosta x0 alkavan ja palautuskaavan

xn+1 =xn− f(xn) f⁰(xn)

m¨a¨arittelem¨an lukujonon (xn) raja-arvona. Kun funk- tioksi asetetaanf(x) =x²−a, palautuskaava saa muo- don

xn+1=1 2

µ xn+ a

xn

¶ .

Huonostikin onnistuneen alkuarvauksen j¨alkeen algo- ritmi l¨oyt¨a¨a oikeaan melko harvojen askelien j¨alkeen.

Apuneuvoton saattaa kuitenkin tuskailla jakolaskujen kanssa: jakajissa voi olla paljon numeroita.

Vanhoissa, ennen elektroniikan l¨apimurtoaikoja kirjoi- tetuissa ja nykyisi¨a peruskoulun yl¨aluokkia vastannut- ta keskikoulua varten tarkoitetuissa oppikirjoissa esi- tell¨a¨an aivan yksinkertaiseen perusalgebraan nojautu- va neli¨ojuurenottoalgoritmi. Pienoisgallup kertoi, ett¨a useimmat hiukan matematiikkaan suuntautuneetkaan aikuiset eiv¨at sit¨a en¨a¨a tunne. Koulun oppikirjoissa si- t¨a ei en¨a¨a ole. Algoritmi ei edelleenk¨a¨an ole vailla mie- lenkiintoa, vaikkei neli¨ojuuren m¨a¨aritt¨aminen vain ky- n¨all¨a ja paperilla en¨a¨a yleens¨a ole tarpeen. Katselem- me nyt t¨at¨a algoritmia sek¨a kymmenj¨arjestelm¨an ett¨a bin¨a¨arilukujen maailmassa. J¨alkimm¨aiseen se n¨aytt¨a¨a sopivan erityisen hyvin.

Neli¨ ojuuri kymmenj¨ arjestelm¨ ass¨ a

Algoritmin perusidea tulee esiin, jos mietimme, miten l¨oyd¨amme suurimman kokonaisluvun, jonka neli¨o on positiivista kokonaislukua a pienempi. Matemaattisin merkinn¨oin haemme lukua b√ac eli luvun a, juurret- tavan, neli¨ojuuren kokonaisosaa. Koska muistamme ul- koa kertotaulun, osaamme suoraan m¨a¨aritt¨a¨a t¨am¨an

luvun aina, kuna on pienempi kuin 100 eli kun a on enint¨a¨an kaksinumeroinen luku. Oletetaan sitten, ett¨a 100 ≤ a < 10000, toisin sanoen ett¨a a on kolmi- tai nelinumeroinen. Silloin 10≤√a <100. Lukub√acon siis kaksinumeroinen. Voimme kirjoittaaa= 100b+c, miss¨ab jac ovat kaksinumeroisia, ja b√ac= 10x+y, miss¨a 1≤x≤9 ja 0≤y≤9. Nyt

(10x+y)²=b√

ac²≤(√ a)²=a eli

100x²+ 20xy+y²≤100b+c.

Teht¨av¨aksi tulee etsi¨a mahdollisimman suuret x ja y, joilla edellinen ep¨ayht¨al¨o toteutuu. Koska c < 100 ja 100(x+ 1)²>100x²+ 100, mahdollisimman suurixon mahdollisimman suuri ehdon 100x² ≤100b eli x² ≤b toteuttava luku. Kun nytb on enint¨a¨an kaksinumeroi- nen, x:n m¨a¨arityksen ratkaisee kertotaulu. J¨aljelle j¨a¨a etsi¨a ep¨ayht¨al¨olle

20xy+y²≤100(b−x²) +c

mahdollisimman suurta ratkaisua y. Ep¨ayht¨al¨on voi kirjoittaa muotoon

y(20x+y)≤100(b−x²) +c.

Mit¨a oikeastaan etsit¨a¨an? Etsit¨a¨an numeroay, joka lii- tett¨aisiin viimeiseksi numeroksi lukuun, jonka yksi tai kaksi ensimm¨aist¨a numeroa ovat muodostuneet siten, ett¨a yksinumeroinen lukuxon kerrottu kahdella, niin ett¨a kun luku kerrottaisiin viimeisell¨a numerollaan, tu- los ei ylitt¨aisi kiinte¨at¨a enint¨a¨an kolminumeroista lu- kua 100(b−x²) +c, joka puolestaan on muodostunut niin, ett¨a a:n ensimm¨aisest¨a tai ensimm¨aisist¨a nume- roista on v¨ahennettyx²ja erotuksen per¨a¨an on kirjoi- tettu kahdeksi viimeiseksi numeroksic. Etsittyyl¨oytyy katsomalla tai tarvittaessa hiukan kokeilemalla.

Selvennet¨a¨an t¨at¨a esimerkill¨a. Lasketaan luvun√ 1234 kokonaisosa. T¨ass¨a tapauksessab= 12 jac= 34. Suu- rin x, jolle x² ≤ 12, on kertotaulun mukaan 3. Luku 100(b−x²) on nyt 100(12−9) = 300 ja 100(b−x²)+c= 334. Luku 20x= 10(x+x) = 60. Haemme suurimman kymment¨a pienemm¨an kokonaisluvuny, jolley·(60 + y)≤334. Ei ole vaikea n¨ahd¨a, ett¨a 6 on liian suuriy:ksi, mutta 5 kelpaa. Suurin kokonaisluku 10x+y, jonka ne- li¨o on pienempi kuin 1234, on siis 35. Kun suoritetaan v¨ahennyslasku 334−6·65 = 334−325 = 9, saadaan luku, joka on sama kuin 1234−35²= 1234−1125.

Itse asiassa puhuminen nelinumeroisesta luvusta on ep¨aolennaista. Jos tied¨amme positiivisen kokonaislu- vun luvun b neli¨ojuuren kokonaisosan, siis luvun x1, jolle p¨atee

x²₁≤b < b+ 1≤(x1+ 1)²,

l¨oyd¨amme aina luvun 100b+c, miss¨a 0 ≤c ≤99 ne- li¨ojuuren kokonaisosan edell¨a kuvatulla tavalla. Etsim- me lukua muodossa 10x+y, miss¨a 0 ≤ y ≤ 9. Lu- kujen x ja y tulee olla mahdollisimma suuria ehdon

(10x+y)²≤100b+ctoteuttavia positiivisia kokonais- lukuja. Tied¨amme, ett¨a (10x1)² ≤100b ≤100b+c ja (10(x1+1))²≥100(b+1) = 100b+100>100b+c. Mah- dollisimman suurixon siis jo tiet¨am¨amme x1. Luvun ypuolestaan on t¨aytett¨av¨a ehto (10x1+y)²≤100b+c eli 20x1y+y²≤100(b−x²₁) +celi

y(20x1+y)≤100(b−x²₁) +c.

20x1 on nollaan p¨a¨attyv¨a kokonaisluku. Teht¨av¨aksi j¨a¨a etsi¨a sille uusi viimeinen numero y niin, ett¨a tu- lo y(20x1 +y) j¨a¨a pienemm¨aksi kuin tunnettu luku 100(b−x²₁)+c. Kun se on l¨oydetty, niin luvun√

100b+c kokonaisosa on 10x1+y. Luvun 100b+c ja sen neli¨o- juuren kokonaisosan neli¨on erotus on 100b+c−(10x1+ y)² = 100(b−x²₁) +c−y(20x1+y). T¨am¨a luku syn- tyy kymmenj¨arjestelm¨ass¨a jo tunnetusta luvustab−x²₁ niin, ett¨a lausekkeenb−x²₁per¨a¨an kirjoitetaanc:n nu- merot ja t¨ast¨a luvusta v¨ahennet¨a¨an juuri m¨a¨aritetty y(20x1+y). Nyt olemme tilanteessa, jossa voimme jat- kaa, esimerkiksi luvun 10000b+ 100c+d neli¨ojuuren kokonaisosaan.

Katsotaan asiaa lukuesimerkin avulla. Lasketaan luvun

√123456 kokonaisosa. Nyt b = 12, c = 34 ja d = 56.

Aikaisemman perusteella 35 on luvun√

1234 kokonais- osa. Siisx= 3 jay = 5. Edelleen aikaisemman perus- teella 100b+c−(10x+y)² = 1234−35²= 9. Lis¨aksi 20x+ 2y= 60 + 10 = 70. Luvunztulee olla suurin eh- donz(10·70+z)<10²·9+d= 956 eliz(700+z)<956 toteuttava kokonaisluku. Selv¨asti on oltavaz= 1. Ne- li¨ojuuren√

123456 kokonaisosa on siis 351.

Koska √

10²ⁿa= 10ⁿ√aja√

10⁻²ⁿa= 10⁻ⁿ√a, ei sil- l¨a, ett¨a edell¨a on puhuttu kokonaisluvuista, tai muo- toa 100b+c, 0≤c≤99, olevista luvuista, ole merki- tyst¨a: desimaalipilkkua voidaan aina siirt¨a¨a juurretta- vassa 2npaikkaa, kun sit¨a samalla siirret¨a¨an juuressa npaikkaa, samaan suuntaan kummassakin tapaukses- sa. Olennaista on, ett¨a kun juurrettavan kokonaisosassa on 2n−1 tai 2nnumeroa, juuren kokonaisosassa onn numeroa. Juuren ensimm¨aiseen numeroon vaikuttavat vain juurrettavan suurin tai kaksi suurinta numeroa, sen mukaan, onko juurrettavan kokonaisosassa pariton vai parillinen m¨a¨ar¨a numeroita. Kun neli¨ojuurta on ra- kennettu k:n numeron verran, otetaan juurrettavasta tarkasteluun seuraavat kaksi numeroa oikealta (eli siir- ryt¨a¨an luvustablukuun 100b+c), ja menetell¨a¨an, niin kuin edell¨a kuvattiin. Prosessia voi jatkaa mielivaltai- sen pitk¨a¨an. Neli¨ojuuret ovatkin yleens¨a jaksottomia p¨a¨attym¨att¨omi¨a desimaalilukuja.

Neli¨ojuurenottoalgoritmin laskutemput voi j¨arjest¨a¨a hiukan samassa hengess¨a kuin jakokulmassa jakami- sen. Er¨as tapa, Kalle V¨ais¨al¨an Algebran oppi- ja esi- merkkikirjan ensimm¨aisest¨a osasta lainattu, on esitetty

laskukaaviossa 1. Siin¨a lasketaan luvun√

123456 alali- kiarvo kahden desimaalin tarkkuudella. Juurrettavas- ta tarvitaan silloin nelj¨a desimaalia, joten kirjoitam- me sen muotoon 123456,0000. Kun juurrettavan k¨asi- tell¨a¨an ik¨a¨an kuin kaksi numeroa kerrallaan, on mukava erottaa juurrettavan numerot pystyviivoin kahden ryh- miin. Yksi erotteluviiva on desimaalipilkun kohdalla.

1 2|3 4|56,00|00|

−9 3 3 4

−3 2 5 9 56

−7 01 2 55 00

−2 10 69 44 31 00

−42 15 96 2 15 04

351,36 +3

65 + 5 701

+ 1

702 3

+ 3

702 66

+ 6

702 72 Laskukaavio 1.

Algoritmin joka askeleen kohdalla on tarpeen tiet¨a¨a luku 20x1, miss¨a x1 on jo k¨asitellyn luvun osan ne- li¨ojuuren kokonaisosa. Kun etsit¨a¨an neli¨ojuureen seu- raavaa numeroa, edell¨a y:ll¨a merkitty¨a, niin seuraa- va kaksinkertainen neli¨ojuuren kokonaisosan arvo, siis 2(10x1+y) saadaan lis¨a¨am¨all¨a 20x1:een 2y. Kaavios- sa t¨am¨a toteutetaan kirjoittamalla tunnetun 2x1:n pe- r¨a¨an y, jolloin saadaan 20x1+y:n desimaaliesitys, ja laskemalla – allekkain – t¨am¨an luvun kanssa yhteeny.

Toisaalta tarvitaan jo k¨asitellyn luvun osan ja sen ne- li¨ojuuren kokonaisosan erotus. Kuten edell¨a osoitettiin, se on 100(b−x²₁)+c−y(20x1+y). Kunb−x²₁on jo tun- nettu, saadaan uusi erotus kymmenj¨arjestelm¨ass¨a kir- joittamalla (b−x²₁):n numeroiden per¨a¨anc:n numerot ja v¨ahent¨am¨all¨a t¨ast¨a luvusta kertolaskuny(20x1+y) tulos.

Laskukaavion mukaan√

123456≈351,36. Menettely¨a voi jatkaa miten pitk¨a¨an tahansa. Seuraavan desimaa- lin y ehto olisi y(702720 +y) ≤ 2150400. T¨ast¨a saa- taisiiny = 3. Tarkastamalla kaavion numeroita edell¨a esitetyn selostuksen mukaisesti huomaa logiikan melko pian.

Lukija kokeilkoon m¨a¨aritt¨a¨a desimaaleja lukuihin √

√π ja laskekoon puhelinnumeronsa neli¨ojuuren! Sit-2, ten voikin ryhty¨a iteroimaan algoritmia. Ensimm¨ainen haaste olisi vaikkapa √⁴

2.

Neli¨ ojuuri bin¨ a¨ arij¨ arjestelm¨ ass¨ a

Kun siirryt¨a¨an lukujen esityksess¨a kymmenj¨arjestel- m¨ast¨a kaksij¨arjestelm¨a¨an, kertotaulun yksinkertaisuus tekee algoritmistamme olennaisesti helpomman. Posi- tiivinen kokonaisluku, jonka bin¨a¨ariesitys on enint¨a¨an

kaksinumeroinen, on enint¨a¨an 11 eli kymmenj¨arjestel- m¨an 3. Enint¨a¨an kaksinumeroisen bin¨a¨ariluvun neli¨o- juuren kokonaisosan bin¨a¨ariesitys on siis aina 1. Jokai- nen positiivinen kokonaisluku a voidaan esitt¨a¨a muo- dossa 4b+c, miss¨a 0 ≤ c ≤ 3. T¨ass¨a 4b on ainakin kahteen nollaan p¨a¨attyv¨a bin¨a¨ariluku ja con enint¨a¨an kaksinumeroinen bin¨a¨ariluku. Jos tied¨amme luvun√

b kokonaisosan x, niin luvun a neli¨ojuuren kokonaisosa on 2x+y, miss¨a y = 0 tai y = 1. Luku y m¨a¨ar¨ay- tyy ehdosta (2x+y)² ≤4b+c. Se sievenee muotoon y(2x+y) ≤ 4(b−x²) +c. Luvun y valinta on nyt helppo: jos 2x+ 1 > 4(b −x²) +c, niin y = 0, jos 2x+ 1≤4(b−x²) +c,y= 1. Kun luvusta 4(b−x²) +c v¨ahennet¨a¨any(2x+y), j¨a¨a 4b+c−4x²−2xy−y²eli 4b+c−(2x+y)². Tied¨amme nyt aikaisemmasta kah- della bin¨a¨arinumerolla pidennetyn kokonaisluvun neli¨o- juuren kokonaisosan bin¨a¨ariesityksen ja samalla luvun ja kokonaisosan neli¨on erotuksen. T¨all¨a tavoin neli¨o- juuri saadaan rakennetuksi yksinkertaisesti bitti ker- rallaan.

Havainnollistetaan asiaa laskemalla luvun √

1234 ko- konaisosan bin¨a¨ariesitys. T¨at¨a varten tarvitsemme lu- vun 1234 bin¨a¨ariesityksen. Koska 1234 = 1024 + 210 = 1024 + 128 + 82 = 1024 + 128 + 64 + 18 = 1024 + 128 + 64 + 16 + 2, esitys on 10011010010. J¨arjestet¨a¨an lasku- kaaviossa 2 juuren kehittyminen samalla tavalla kuin kuin edell¨a kymmenj¨arjestelm¨aa k¨aytett¨aess¨a tehtiin.

J¨atet¨a¨an yhteen- ja v¨ahennyslaskujen merkit yksinker- taisuuden vuoksi pois. Lukija havaitsee, ett¨a vasem- manpuoleisen taulun toimitukset ovat v¨ahennyksi¨a, oi- keanpuoleisen lis¨ayksi¨a. Havainnollisuuden vuoksi ryh- mitell¨a¨an juurrettavan numerot j¨alleen pareihin pysty- viivoin.

1|00|11|01|00|10 1

0 00 0 0 11

0 11 01

0 11 01 00 10 00 01

1 00 11 10 1 00 01 01 10 01

100011 1 100

0 1000

0 10000

0 100001

1 1000101

1 1000110 Laskukaavio 2.

Bin¨a¨arilukujen neli¨ojuurialgoritmi on varsin yksinker- taisesti ohjelmoitavissa tietokoneelle. En tied¨a, k¨ayte- t¨a¨ank¨o algoritmia t¨allaisenaan. Se, ett¨a halvimmissa- kin nelilaskimissa on yleens¨a neli¨ojuuritoiminto panee uskomaan, ett¨a niin tapahtuu.

Autiolle saarelle itsens¨a kuvitteleva lukija voi seuraa- vaksi ryhty¨a omin p¨ain aikansa kuluksi selvittelem¨a¨an neli¨ojuurialgoritmia muissa lukuj¨arjestelmiss¨a. Ja mi- ten sujuisi kuutiojuuren ottaminen?

Normaalijakauman kertym¨ afunktiosta

Pekka Alestalo

Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu

Normaalijakauma

Normaalijakauma on t¨arkein jatkuva jakauma ja sit¨a k¨asitell¨a¨an my¨os lukion matematiikassa. Jos jakauman odotusarvo on µja keskihajonta σ, niin kertym¨afunk- tion lauseke on

√1 2πσ

Zx

−∞

e^{−(t−µ)2/2σ2} dt.

K¨ayt¨ann¨oss¨a riitt¨a¨a tarkastella normitettua jakaumaa, jonka odotusarvo on 0 ja keskihajonta 1. Normitetun normaalijakauman kertym¨afunktio on siis

Φ(x) = 1

√2π Zx

−∞

e^−t2/2 dt.

Yksi luonnollinen kysymys j¨a¨a kuitenkin kunnolla rat- kaisematta, vaikka sen vastaus toki kirjoissa mainitaan:

Mist¨a tulee kaavassa oleva kerroin? Tunnetusti kerty- m¨afunktion ominaisuuksiin kuuluu ehto

xlim→∞Φ(x) = 1, eli 1

√2π Z∞

−∞

e^−t2/2dt= 1, (1) ja kerroin 1/√

2π on tietysti valittu t¨am¨an vaatimuk- sen perusteella. Sen sijaan eksponentissa oleva kerroin

1/2 tarvitaan, jotta keskihajonta olisi 1, mutta t¨a- m¨a j¨a¨ak¨o¨on lukijan tutkittavaksi. Vaikka kertym¨afunk- tion Φ(x) lauseketta ei voida ilmaista alkeisfunktioiden avulla (todistus on pitk¨a ja hankala), on kuitenkin yl- l¨att¨aen mahdollista – ja viel¨a lukiokurssin pohjalta – osoittaa ehdon (1) toteutuminen.

Integraalin laskeminen

Yll¨a mainittu integraali voidaan laskea melko helpos- ti seuraavan idean perusteella. Lasketaan er¨a¨an kol- miulotteisen kappaleen tilavuus kahdella eri tavalla:

ensiksi viipaloimalla kappale yhdensuuntaisilla tasoil- la ja integroimalla n¨aiden poikkileikkausten pinta-alaa, ja toisaalta k¨aytt¨am¨all¨a py¨or¨ahdyskappaleen tilavuu- den lauseketta (joka vastaa viipalointia eri suunnassa!).

Koska tulosten t¨aytyy olla samat, saamme yll¨att¨aen laskettua tutkittavana olevan integraalin.

Aloitetaan pienell¨a sievennyksell¨a, joka perustuu m¨a¨a- r¨atyn integraalin muuttujanvaihtokaavaan. Tehd¨a¨an muuttujanvaihto t=√

2u, jolloin dt=√

2du, ja teh- t¨av¨aksi j¨a¨a osoittaa, ett¨a

I= Z∞

−∞

e^−u2 du=√

π. (2)

(Jos muuttujanvaihto ei ole lukijalle tuttu, h¨an voinee k¨ayd¨a alla olevat laskut l¨api k¨aytt¨am¨all¨a alkuper¨aist¨a muotoa.)

Kappale, jonka tilavuutta seuraavassa tutkitaan, sijait- see xyz-avaruudessa pinnan z = e^−x2−y2 ja xy-tason v¨aliss¨a, eli se voidaan m¨a¨aritell¨a muodossa

{(x, y, z)|0≤z≤e^−x2−y2, x∈R, y∈R}. Kyseess¨a ei ole rajoitettu kappale, mik¨a liittyy siihen, ett¨a laskettava integraalikin on ep¨aoleellinen, ts. in- tegroimisrajoina ovat ±∞. Tilavuutta ja kyseist¨a in- tegraalia pit¨aisi t¨am¨an vuoksi tarkastella sopivan ra- japrosessin avulla, mutta sivuutan t¨am¨an pienen on- gelman, jonka korjaaminen vaatii ainoastaan ”teknist¨a n¨apertely¨a”.

–3 –2 –1 0 1 2 3

x –3

–2 –1

0 1

2 3 y

0 0.5 1

Ensimm¨ ainen tapa

Aloitetaan tilavuuden laskeminen viipaloimalla kappale pystysuorilla tasoilla y =y0, x, z ∈R. Vastaava poik- kileikkaus on yhtenev¨axy-tason alueen

{(x, y)∈R²|x∈R,0≤y≤e^−x2−y02} kanssa, joten poikkileikkauksen pinta-ala on muotoa

A(y0) = Z∞

−∞

e^−x2−y20 dx

(k¨aytet¨a¨an tavallista funktion kuvaajan rajoittaman pinta-alan kaavaa). Koska e^−x2−y02 = e^−x2e^−y02 eik¨a lauseke e^−y02 riipu integroimismuuttujasta x, saadaan edelleen

A(y0) =e^−y02 Z∞

−∞

e^−x2 dx=e^−y20I.

Kappaleen tilavuus saadaan integroimalla poikkileik- kausten pinta-aloja muuttujany0 suunnassa, joten tu- loksena on

V = Z∞

−∞

e^−y20I dy0=I Z∞

−∞

e^−y02 dy0=I², sill¨a integroimismuuttujan nimell¨a ei ole v¨ali¨a ja inte- graalin arvoI on pelkk¨a luku!

Toinen tapa

Seuraavaksi tilavuus lasketaan viipaloimalla kappale xy-tason suuntaisilla tasoilla. Poikkileikkaukset ovat ympyr¨oit¨a, sill¨a arvoilla 0 < z < 1 yht¨al¨ost¨a z = e^−x2−y2 ratkeaa x² +y² = −lnz > 0, joten voim- me k¨aytt¨a¨a py¨or¨ahdyskappaleen tilavuuden lauseket- ta. Tarkasteltava kappale syntyy, kun xz-tason k¨ayr¨a z = e^−x2, x ≥ 0, py¨or¨aht¨a¨a z-akselin ymp¨ari. K¨ay- r¨an yht¨al¨ost¨a t¨aytyy siis ensin ratkaistaxmuuttujanz avulla lausuttuna:

z=e^−x2 ⇐⇒lnz=−x²⇐⇒x=√

−lnz;

huomaa, ett¨a x ≥ 0 ⇐⇒ 0 < z ≤ 1, joten lnz ≤ 0.

Py¨or¨ahdyskappaleen tilavuudeksi saadaan n¨ain ollen V =π

Z1

0

(√

−lnz)² dz=−π Z1

0

lnz dz.

T¨am¨akin on ep¨aoleellinen integraali, joten lasketaan vaihteeksi huolellisesti. Funktion lnz integraalifunktio onzlnz−z, mik¨a voidaan tarkistaa derivoimalla. Jos a >0, niin saadaan

Z1

a

lnz dz = 1·ln 1−1−(alna−a) =−1−a−alna.

Kun a → 0+, tulee raja-arvoksi −1, sill¨a alna → 0 (voidaan esim. sijoittaa a =e^−t, jolloin a→ 0+ ⇐⇒

t→ ∞, ja tunnetustialna=−te^−t→0, kunt→ ∞).

Tilavuudeksi saadaan siis V = π, joten t¨aytyy olla I²=π, ja kaava (2) seuraa.

Kolmas tapa

Vaikka peli on jo selv¨a, lasketaan kysytty tilavuus vie- l¨a kolmannella tavalla. T¨am¨akin menetelm¨a perustuu siihen, ett¨a kyseess¨a on py¨or¨ahdyskappale. Nyt kuiten- kin ajatellaan kappaleen muodostuvan sellaisista sylin- tereist¨a, joiden akseli onz-akselilla, ja sylinterin s¨ateen ollessar≥0 on sen korkeus puolestaane^−r2. Sijoitta- mallar=p

x²+y² n¨ahd¨a¨an, ett¨a n¨aist¨a sylintereist¨a muodostuu sama kappale kuin aikaisemmissa kohdissa.

T¨allaisenr-s¨ateisen sylinterin pinta-ala on piiri·korkeus = 2πre^−r2,

ja kappaleen tilavuus saadaan t¨all¨a kertaa kokoamal- la sylintereiden pinta-alat yhteen muuttujanrsuhteen.

Tuloksena on integraali V =π

Z∞

0

2re^−r2 dr.

Tarvittava integraalifunktio on yksinkertaisesti−e^−r2, joten sijoituksesta saadaan uudelleen

V =π(− lim

R→∞e^−R2+e⁰) =π.

Pohdiskelua

Ajatelkaamme laskun tulosta viel¨a uudelleen: saimme siis laskettua er¨a¨an integraalin arvon, vaikka itse in- tegraalifunktiosta ei ollut mit¨a¨an tietoa. Lis¨aksi tulos oli suhteellisen yksinkertainen, eli√

π. Vaikka asia voi tuntua hieman kummalliselta, useita ep¨aoleellisia inte- graaleja voidaan laskea ilman tietoa integraalifunktios- ta. T¨allaisia esimerkkej¨a ovat mm.

Z∞

0

sinx

x dx= π 2 ja

Z∞

0

sin(x²)dx=

√π 2√

2. J¨alkimm¨ainen integraali on siin¨a mieless¨a erityisen mie- lenkiintoinen, ett¨a integroitavalle funktiolle sin(x²) ei

p¨ade limx→∞sin(x²) = 0, mutta ep¨aoleellinen inte- graali on kuitenkin suppeneva! En malta viel¨a lopuksi olla huomauttamatta, ett¨a kun t¨ah¨an tehd¨a¨an muut- tujanvaihto x = e^t, saadaan suppeneva ep¨aoleellinen integraali

Z∞

−∞

e^tsin(e^2t)dt=

√π 2√

2,

miss¨a integroitava funktio heilahtelee hyvin voimak- kaasti muuttujant kasvaessa.

–150 –100 –50 0 50 100 150

1 2 3 4 5

t

Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista

Matti Lehtinen

Maanpuolustuskorkeakoulu

Kompleksiluvut ovat poistumassa lukion matematii- kan opetussunnitelmista. Ne ovat kuitenkin keskeinen osa matematiikan perusty¨okalustoa. T¨ass¨a artikkelis- sa kootaan tiiviiseen muotoon perustiedot kompleksi- luvuista, johdatellaan er¨aiden kompleksisten funktioi- den pariin, esitell¨a¨an muutama kompleksilukujen geo- metrinen sovellus, analyyttisen geometrian perusobjek- tien ja geometristen peruskuvausten kompleksilukuver- siot ja lopuksi hahmotellaan algebran peruslauseen to- distus. T¨am¨a lause on implisiittisesti mukana, kun esi- merkiksi polynomien jaollisuutta tarkastellaan, mutta sen todistamista on pidetty liian haastellisena koulu- matematiikkaan.

Artikkelin lopussa on muutama teht¨av¨a. Niiden ratkai- sut esitet¨a¨an seuraavassa Solmun numerossa. Kirjoit- tajaa on paikoin inspiroinut Marian Dinc˘an ja Marcel Chiri¸t˘an teos Numere Complexe ˆın Matematica de Liceu (Bukarest 1996).

Perusteoriaa ja geometriaa

Kompleksilukujen algebraa

1. Lukuparien joukossa R² = {(x, y)|x ∈ R, y ∈ R}

m¨a¨aritell¨a¨an

(x, y) + (x⁰, y⁰) = (x+x⁰, y+y⁰), (x, y)(x⁰, y⁰) = (xx⁰−yy⁰, xy⁰+x⁰y).

N¨ain R²:sta tulee algebrallinen kunta C, jossa yhteen- laskun neutraalialkio on (0,0), alkion (x, y) vasta-alkio on (−x,−y); kertolaskun neutraalialkio on (1,0) ja al- kion (x, y)6= (0,0) k¨a¨anteisalkio on

µ x

x²+y², −y x²+y²

¶ . C:n alkiot ovatkompleksilukuja.

2. Kuvausf : R → C, f(x) = (x,0), on laskutoimi- tukset s¨ailytt¨av¨a bijektio. N¨ain ollenR⁰=f(R) on re- aalilukujen joukon kanssa isomorfinen C:n osajoukko.

Merkit¨a¨an (x,0) =xja samastetaanR⁰ jaR. T¨atenC onR:n laajennus.

3. Koska (0,1)(y,0) = (0, y), on (x, y) = (x,0) + (0, 1)(y,0) =x+ (0,1)y. Merkit¨a¨an (0, 1) =i. Silloin (x, y) =x+yi.

Josz=x+yi, merkit¨a¨an x= Rez,y= Imz.

Kertolaskun m¨a¨aritelm¨an mukaan i² = (0,1)(0,1) = (−1,0) = −1. Kompleksilukujen kertolasku voi- daan suorittaa reaalilukujen laskutoimituksin lis¨ayksel- l¨ai² =−1. Kompleksilukuai sanotaan imaginaariyk- sik¨oksi.

4. Kompleksiluvunz=x+yiliittoluku elikonjugaatti onz=x−yi. Liittoluvun muodostus noudattaa s¨a¨an- t¨oj¨az1+z2=z1+z2, z1z2 =z1z2. Luvunz=x+yi itseisarvo elimoduli on reaaliluku|z|=p

x²+y². P¨a- tee|z|²=zz, josta seuraa mm.

|z1z2|=|z1||z2| ja z⁻¹= z

|z|².

Kompleksilukujen geometrinen esitys

5. Koska (joukkoina)R² ja Covat samat, kompleksi- lukuz= (x, y) =x+iyvoidaan samastaa tason koor- dinaattipisteenP = (x, y) tai origon O t¨ah¨an koordi- naattipisteeseen yhdist¨av¨an vektorin−−→OP =x−→i +y−→j kanssa. Kompleksilukujen yhteenlaskua vastaa vekto- rien yhteenlasku ja kertolaskua, jossa toinen tulon te- kij¨a on reaaliluku, vektorin kertominen reaaliluvulla.

Joukko R on t¨ass¨a mallissa x-akseli. Selv¨asti |−−→OP| =

|z|.

6. Positiivisen x-akselin ja vektorin −−→OP v¨alinen x- akselista positiiviseen kiertosuuntaan mitattu kulma on kompleksiluvunz argumentti argz. Koskax= Rez=

|z|cos(argz) jay= Imz=|z|sin(argz), on z = |z|(cos(argz) +isin(argz))

= |z|(cos(argz+ 2nπ) +isin(argz+ 2nπ)).

N¨ahd¨a¨an heti, ett¨a arg(z) = 2π −argz = −argz (mod 2π).

7. Jos z1 =|z1|(cost1+isint1) ja z2 = |z2|(cost2+ isint2), niin

z1z2 = |z1||z2|(cost1cost2−sint1sint2

+i(cost1sint2+ sint1cost2))

= |z1||z2|(cos(t1+t2) +isin(t1+t2)) T¨ast¨a seuraa|z1z2|=|z1||z2|ja arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) (mod 2π). Tulos yleistyy induktiolla tuloon, jossa on mielivaltainen m¨a¨ar¨a tekij¨oit¨a. T¨ast¨a seuraa erityisesti, ett¨a jos z = r(cost +isint), niin zⁿ = rⁿ(cosnt+isinnt), kun n ∈ N (de Moivren kaava).

Osam¨a¨ar¨alle saadaan

¯¯

¯¯z1

z2

¯¯

¯¯= |z1|

|z2|, arg µz1

z2

¶

= argz1−argz2 (mod 2π).

Kompleksiset juuret sek¨ a eksponentti- ja logaritmifunktio

8. Jos √ⁿa on luku, jolle (√ⁿa)ⁿ = z, ja jos a = r(cost+isint) niin jokainen luvuista

√n

r µ

cost+ 2kπ

n +isint+ 2kπ n

¶

, (1)

k= 0,1, . . . , n−1, voi olla √ⁿ

a. Luvut (1) ovat yht¨al¨on zⁿ=aratkaisut.

Esimerkkej¨a.√³

1 on joko 1, cos2π

3 +isin2π 3 =−1

2+ i

√3

2 tai cos4π

3 +isin4π 3 = −1

2 −i

√3 2 . √

i on joko cosπ

4 +isinπ 4 = 1

2

√2 + i 2

√2 tai cos5π

4 + sin5π 4 =

−1 2

√2− i 2

√2.

9. Koska e^it =

X∞ k=0

(it)^k

k! = 1−t² 2!+t⁴

4!−

· · ·+i(t−t³ 3!+t⁵

5!− · · ·)

= cost+isint,

voidaan kirjoittaaz =r(cost+isint) =re^it (Eulerin kaava).

10. Edellisen perusteella e^z = e^x+iy = e^xe^iy = e^x(cosy+isiny). Siis|e^z|=e^x=e^Rezja arge^z=y= Imz. (Voidaan osoittaa, ett¨a sarjan avulla m¨a¨aritelty kompleksinen eksponenttifunktio toteuttaa samat las- kus¨a¨ann¨ot kuin reaalinen eksponenttifunktiokin.) Ol- koon w = |w|(cosφ+isinφ) mielivaltainen komplek- siluku. Yht¨al¨o e^z = w merkitsee, ett¨a e^x = |w| eli x = ln|w| ja y = argw (mod 2π). Kompleksiluvun wlogaritmilla logwon siten ¨a¨arett¨om¨an monta arvoa:

logw = ln|w|+iargw+ 2nπi. Arvoista yksi on ai- na valittavissa niin, ett¨a sen imaginaariosa on v¨alill¨a [0,2π[. Ne logaritmin ominaisuudet, jotka ovat seuraus- ta eksponenttifunktion laskus¨a¨ann¨oist¨a, periytyv¨at sel- laisinaan kompleksisille logaritmeille. Siten mm.

log(w1w2) = logw1+ logw2.

Esimerkkej¨a. Koska arg(−1) = π, log(−1) = iπ+ 2nπi. log(ei) = 1 +iπ

2 + 2nπi.

11. Yleinen potenssi z^w m¨a¨aritell¨a¨an nyt lukuna e^wlogz. Potenssilla on yleens¨a ¨a¨arett¨om¨an monta eri arvoa.

Esimerkki.iⁱ =e^ilogi =e^i(iπ2+2nπ) =e^{−π2−2nπ}. Lu- vun iⁱ likiarvoja ovat siten esim. 0,00000000135 (n = 3), 0,20788 (n= 0) ja 17093171649 (n=−4).

Kompleksitason geometriaa

12. Jos z = x+ yi on kompleksitason piste, niin z = x−yi on z:n symmetriapiste x-akselin suhteen,

−z=−x−yionz:n symmetriapiste origon suhteen ja

−z=−x+yionz:n symmetriapistey-akselin suhteen.

13. Jos z1 ja z2 ovat kompleksitason pisteit¨a, niin z on samalla suoralla kuinz1jaz2, jos ja vain jos jollain reaaliluvullakon

z−z2

z−z1

=k eli

z=z2−kz1

1−k . (2)

Josk <0,zon pisteidenz1jaz2v¨aliss¨a, jos 0< k <1, z2onz:n jaz1:n v¨aliss¨a, ja jos 1< k,z1onz:n jaz2:n v¨aliss¨a. Yht¨al¨on (2) kanssa yht¨apit¨avi¨a samalla suoral- la olemisen ehtoja ovat

z=pz1+qz2, p, q∈R, p+q= 1 ja

az+bz1+cz2= 0, a, b, c∈R, a+b+c= 0, a²+b²+c²6= 0.

Esimerkki. Janan [z1, z2] keskipisteess¨a k = −1, jo- ten keskipiste onzM =z1+z2

2 . Josz3on kolmas piste, kolmion, jonka k¨arjet ovatz1,z2 jaz3 painopiste on se piste, jossa jana [z3, zM] jakautuu suhteessa 2 : 1; t¨am¨a piste on (k=−1

2)

zG=

zM +1 2z3

1 +1 2

= 1

2(z1+z2+z3) 3 2

= 1

3(z1+z2+z3).

14. Pisteet z1, z2, z3 ja z4 ovat samalla ympyr¨al- l¨a, jos ja vain jos joko argz4−z1

z2−z1

= argz4−z3

z2−z3

tai argz4−z1

z2−z1

+ argz2−z3

z4−z3

= π. T¨am¨a merkitsee, ett¨a kaksoissuhde

z4−z1

z2−z1 ·z2−z3

z4−z3

=z4−z1

z2−z1

: z4−z3

z2−z3

on reaalinen. Jos suhde on reaalinen, pisteetz1,z2,z3

ja z4 ovat samalla ympyr¨all¨a tai samalla suoralla. Jos pisteet eiv¨at ole samalla suoralla ja kaksoissuhde on ne- gatiivinen, nelikulmioz1z2z3z4on kupera ja sen ymp¨ari voidaan piirt¨a¨a ympyr¨a.

15.Olkoonz1z2. . . zn kupera positiivisesti suunnistet- tu monikulmio kompleksitasossa. Merkit¨a¨anzn+1=z1. Osoitetaan, ett¨a monikulmion pinta-ala on

S= 1 2Im

à _n X

k=1

zk+1zk

! .

T¨am¨a n¨ahd¨a¨an seuraavasti: Ensinn¨akin jokaiselle kompleksiluvullezon

z Xn

k=1

zk+z Xn

k=1

zk+1=z Xn

k=1

zk+z Xn

k=1

zk+1,

joten edellisen yht¨al¨on lauseke on aina reaalinen. T¨ast¨a seuraa

Im à _n

X

k=1

(zk+1+z)(zk+z)

!

= Im à _n

X

k=1

zk+1zk

! + Im

à z

Xn

k=1

zk+z Xn

k=1

zk+1

!

+ Im(n|z|²) = Im à _n

X

k=1

zk+1zk

! .

Koska pinta-alaksi v¨aitetyn summan arvo ei muutu,kun jokaiseen zk:hon lis¨at¨a¨an z, voidaan monikulmio siir- t¨a¨a niin, ett¨a origo on sen sis¨apuolella. Jos nyt zk = rk(costk+isintk), on Im(zk+1zk) =rk+1rksin(tk+1− tk) eli kaksi kertaa sen kolmion ala, jonka k¨arjet ovatO, zkjazk+1. Koska koko monikulmion ala saadaan laske- malla yhteen kaikkien kolmioiden Ozkzk+1 alat, v¨aite seuraa.

16. Samoin suunnistetut kolmiotA1A2A3 ja B1B2B3

ovat yhdenmuotoiset, jos (esim.) A1A2

A1A3

= B1B2

B1B3

ja ∠A2A1A3=∠B1B2B3. Jos pistett¨a Ai (Bi) vastaa kompleksiluku ai (bi), niin yhdenmuotoisuusehdoista edellinen sanoo, ett¨a kompleksiluvuilla a2−a1

a3−a1

ja b2−b1

b3−b1

on sama moduli, j¨alkimm¨ainen, ett¨a niill¨a on sama argumentti. Yhden- muotoisuus vallitsee siis, jos (ja elleiv¨at kolmiot surkas- tu, vain jos)

a2−a1

a3−a1

= b2−b1

b3−b1

. (3)

Jos kolmiot ovat vastakkaisesti suunnistetut, saadaan pari samoin suunnistettuja kolmioita peilaamalla toi- nen kolmiox-akselin yli. Yhdenmuotoisuusehto on t¨as- s¨a tapauksessa

a2−a1

a3−a1

= b2−b1

b3−b1

.

Yht¨al¨o (3) voidaan kirjoittaa symmetriseen muotoon det

¯¯

¯¯

¯¯

1 1 1

a1 a2 a3

b1 b2 b3

¯¯

¯¯

¯¯= 0.

[Oletamme kolmirivisten determinanttien perusominai- suudet tunnetuiksi; ne eiv¨at riipu siit¨a, ovatko determi- nantin alkiot reaalisia vai kompleksisia.]

17. Jos kolmio A1A2A3 on yhdenmuotoinen kolmion A2A3A1 kanssa, se on tasasivuinen. Edellisin merkin- n¨oin t¨am¨a toteutuu, kun

det

¯¯

¯¯

¯¯

1 1 1

a1 a2 a3

a2 a3 a1

¯¯

¯¯

¯¯= 0.

Edellinen yht¨al¨o on yht¨apit¨av¨a yht¨al¨ona²₁+a²₂+a²₃= a1a2+a2a3+a3a1 kanssa ja edelleen yht¨al¨on

(a1−a2)²+ (a2−a3)²+ (a3−a1)²= 0 kanssa.

Analyyttisen geometrian yht¨ al¨ oiden kompleksimuotoja

18.Yht¨al¨oparit

z=x+iy, z=x−iy ja

x= 1

2(z+z), y= 1

2i(z−z) =−i 2(z−z) ovat yht¨apit¨av¨at. T¨at¨a tietoa hyv¨aksi k¨aytt¨aen relaa- tiotf(x, y) = 0 voidaan muuntaa relaatioiksiφ(z, z) = 0.

19.Suoran yht¨al¨o ax+by+c= 0 muuntuu muotoon a

2(z+z)−bi

2(z−z)+c=1

2((a−bi)z+(a+ib)z)+c= 0 eli

αz+αz+c= 0, (4)

miss¨acon reaaliluku. Jos suora kulkee pisteenz0kaut- ta, on oltavac=−αz0−αz0. Suoran yht¨al¨o on siis

α(z−z0) +α(z−z0) = 0.

Josz,z1jaz2eiv¨at ole samalla suoralla, ne muodosta- vat kolmion, joka ei ole (suoraan) yhdenmuotoinen sen kolmion kanssa, jonka k¨arjet ovatz,z1jaz2. Edell¨a kol- mioiden yhdenmuotoisuudesta tehty tarkastelu merkit- see, ett¨a pisteet ovat samalla suoralla, jos ja vain jos

det

¯¯

¯¯

¯¯

1 1 1

z z1 z2

z z1 z2

¯¯

¯¯

¯¯= 0.

20.Suoranαz+αz+c= 0 eli (α+α)x+i(α−α)y+c= 0 kulmakerroin on

k=− α+α

i(α−α)=iα+α

α−α. (5)

Jos suoran ja xakselin v¨alinen kulma on φ, niin k = tanφ= sinφ

cosφ. Yht¨al¨ost¨a (5) voidaan ratkaista

−α

α= cosφ+isinφ cosφ−isinφ = e^iφ

e^−iφ =e^2φi, ja edelleen

φ= i 2log

µ

−α α

¶ .

Kahden eri suoranαz+αz+a= 0 jaβz+βz+b= 0 v¨aliseksi kulmaksi saadaan

φ1−φ2= i 2log

µ

−α α

¶

−i 2log

µ

−β β

¶

= i 2log

µαβ αβ

¶ .

T¨ast¨a saadaan suorien yhdensuuntaisuudelle ehtoαβ= αβ eli

α α−β

β = 0 ja kohtisuoruudelleαβ=−αβ eli

α α+β

β = 0.

Ehto toteutuu esim. josβ=iα.

21. Pisteen z0 kautta kulkevan ja suoraa (4) vastaan kohtisuoran suoran yht¨al¨oksi saadaan edellisest¨a

α(z−z0)−α(z−z0) = 0.

Yht¨al¨oparista

½ αz−αz =αz0−αz0, αz+αz =−c

saadaan pisteen z0 kohtisuoraksi projektioksi suoralla (4)

z1=αz0−αz0−c

2α .

Pisteenz0 et¨aisyys suorasta (4) on

|z0−z1|=

¯¯

¯¯2αz0−αz0+αz0+c 2α

¯¯

¯¯=|αz0+αz0+c| 2|α| .