Matematiikkalehti 2/2006 http://solmu.math.helsinki.fl/

2/2006

http://solmu.math.helsinki.fi/

Solmu 2/2006

ISSN 1458-8048 (Verkkolehti) ISSN 1459-0395 (Painettu)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos PL 68 (Gustaf H¨allstr¨omin katu 2b) 00014 Helsingin yliopisto

http://solmu.math.helsinki.fi/

P¨a¨atoimittaja:

Matti Lehtinen, dosentti, Maanpuolustuskorkeakoulu Toimitussihteerit:

Mika Koskenoja, tohtoriassistentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Antti Rasila, tutkija, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu

S¨ahk¨opostitoimitus@solmu.math.helsinki.fi Toimituskunta:

Pekka Alestalo, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Heikki Apiola, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Aapo Halko, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Ari Koistinen, FM, Helsingin ammattikorkeakoulu Stadia

Marjatta N¨a¨at¨anen, dosentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Tommi Sottinen, yliopistonlehtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Graafinen avustajaMarjaana Beddard

Yliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkil¨ot:

Virpi Kauko, yliopistonopettaja, virpik@maths.jyu.fi Jyv¨askyl¨an Avoin yliopisto

Jorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fi

Sovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen yliopisto Jorma Merikoski, professori, jorma.merikoski@uta.fi

Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos, Tampereen yliopisto Kalle Ranto, assistentti, kalle.ranto@utu.fi

Matematiikan laitos, Turun yliopisto

Matti Nuortio, opiskelija, mnuortio@paju.oulu.fi Matemaattisten tieteiden laitos, Oulun yliopisto Timo Tossavainen, lehtori, timo.tossavainen@joensuu.fi

Savonlinnan opettajankoulutuslaitos, Joensuun yliopisto

Numeroon 3/2006 tarkoitetut kirjoitukset pyyd¨amme l¨ahett¨am¨a¨an syyskuun 2006 loppuun menness¨a.

Kiit¨amme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa.

Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin, jotka ovat sit¨a erikseen pyyt¨aneet. Toivomme, ett¨a lehte¨a kopioidaan kouluissa kaikille halukkaille.

Sis¨ allys

P¨a¨akirjoitus:

Oppikirjojakin voisi arvioida – ja er¨a¨an muinaismuiston pelastaa (Matti Lehtinen) . . . 4

Toimitussihteerin palsta: Luovat yhteis¨ot (Antti Rasila) . . . 6

Johtosuora ja polttopiste: toisen asteen k¨ayr¨at (Petteri Harjulehto) . . . 7

Suklaa, kauneus ja matematiikka (Tuomas Korppi) . . . 11

Moniarvoiset kompleksifunktiot ja laskentaohjelmat (Simo Kivel¨a) . . . 14

Painopiste (Markku Halmetoja) . . . 16

Matematiikkaa kaikille (Matti Lehtinen). . . 19

Matematiikkaa viisivuotiaan opastuksella (Juha Haataja). . . 21

Nelj¨a lukion oppikirjaa (Matti Lehtinen) . . . 23

Solmun teht¨avi¨a (Pekka Alestalo) . . . 28

Kilpailumatematiikkaa (Matti Lehtinen). . . 29

Oppikirjojakin voisi arvioida – ja er¨ a¨ an muinaismuiston pelastaa

Monenlaisia asioita arvioidaan ja vertaillaan julkisesti.

Tekniikan Maailma testaa autoja ja autokorjaamoja, Tietokone tulostimia ja digikameroita, Kuluttaja p¨o- lynimureita, p¨aiv¨a- ja aikakauslehdet taiden¨ayttelyj¨a, konsertteja ja kirjoja. On kuitenkin t¨arkeit¨a kirjoja, joista ei juuri miss¨a¨an mit¨a¨an kirjoiteta. Koulukirjat.

Yleissivist¨av¨an koulun tarpeisiin julkaistaan jatkuvasti suurin painoksin eri aineiden oppikirjoja. Kirjojen kus- tantajat tekev¨at niit¨a tunnetuiksi mm. opettajille tar- koitetuissa esittelytilaisuuksissa, joissa viesti¨a vied¨a¨an perille usein my¨os hyvien tarjoilujen kera. Ja opet- tajien yksityiset keskustelut tuntuvat aika usein liik- kuvan oppimateriaalien ymp¨arill¨a. Viidakkorumpu vie tietoa. Mutta onko kukaan n¨ahnyt esimerkiksi mate- matiikankirjan arvostelua lehdess¨a? T¨am¨an kirjoitta- ja on, 1940-luvun Matemaattisten aineiden aikakaus- kirjoissa. Mutta nykyajan matematiikan ”ammattileh- dist¨a”, Dimensiosta ja Arkhimedeksesta kirjaesittely- j¨a hakee turhaan, samoin Opettajien ammattij¨arjest¨on v¨arikk¨a¨ast¨a viikkolehdest¨a Opettajasta. Ei oppikirjoja Helsingin Sanomatkaan arvostele. Oppikirjoja ei en¨a¨a arvostele my¨osk¨a¨an Opetushallitus, jonka hyv¨aksymis- merkint¨a oli taannoin kirjan v¨altt¨am¨at¨on laatutae.

Miksi on n¨ain? Ilke¨amielinen tarkkailija saattaa aja- tella kustantajien mainontaa. Voisivatko mahdollises- ti kriittiset kommentit loukata ja ehk¨a pys¨aytt¨a¨a mai- nosrahan kulun? Tuskin sent¨a¨an. Kustantajat ovat yli- p¨a¨ans¨a tottuneet tuotteittensa kriittiseen tarkasteluun

ja pit¨av¨at varmaan lehtikirjoittelua omaakin markki- nointia tukevana. Yhden kirjoitushaluttomuuden syyn aistii, kun katselee oppikirjojen kansia. Kirjoilla on te- kij¨oit¨a helposti puoli tusinaa tai enemm¨an, joten mah- dollinen arvostelija saattaa joutua punnitsemaan tutta- van tai ainakin tuttavantuttavan ty¨oh¨on puuttumista.

Sellainen saattaa tuntua ep¨amieluisalta. Ja kun oppi- kirja on er¨a¨anlainen opetuksen auktoriteetti oppilaisiin p¨ain, saattaisi kriittinen kommentti synnytt¨a¨a ep¨amiel- lytt¨av¨a¨a keskustelua luokassa tai aina kriittisemmiksi tulevien oppilaiden vanhempien parissa. Tai ehk¨a op- pikirjoja ei kukaan pid¨a sill¨a tavoin kiinnostavina, ett¨a ajattelisi jonkun muun lukevan niiden esittelyj¨a.

Solmu aikoo nyt joka tapauksessa avata keskustelua oppikirjoista julkaisemalla ensimm¨aisen oppikirjaesit- telyns¨a. Kohteeksi on valittu lukion pitk¨an matematii- kan kirjasarjat, joilla voi arvella olevan merkityst¨a ai- ka suurelle osalle mahdollisia lukijoitamme. Arvostelija ei ole kaikkitiet¨av¨a tuomari, vaan h¨an esitt¨a¨a henki- l¨okohtaisia mielipiteit¨a¨an, joihin voi yhty¨a tai olla yh- tym¨att¨a. Omia mielipiteit¨a¨an voi tuoda esiin vaikkapa Solmun keskustelupalstan kautta. Toivomme my¨os, et- t¨a p¨a¨anavauksemme saisi muutkin tahot, ennen muu- ta oppikirjojen avulla ty¨ot¨a¨an tekev¨at, siis opettajat ja oppilaat, kirjoittamaan. Avoimen keskustelun luulisi lopulta koituvan kaikkien oppikirjan parissa toimivien, niin tekij¨oiden kuin k¨aytt¨ajienkin eduksi. Solmun pals- tat ovat avoinna!

P¨ a¨ akirjoitus

∗ ∗ ∗

Varttuneempien kansalaisten tavatessa nousee aina sil- loin t¨all¨oin muisteluksen kohteeksi laskutikku. Siihen suhtaudutaan nostalgisen huvittuneesti: ajatella, kun ei ollut laskimia, niin kaikilla oli laskutikku ja sill¨a oi- keasti laskettiin kaikenlaista.

K¨avin talvella Helsingin messukeskuksessa Educa- messuilla, opetusalan kaupallisessa suurtapahtumassa.

Monet n¨ayttelyosastot pullistelivat erilaisia v¨arikk¨ait¨a, kekseli¨ait¨a ja kalliitakin matematiikan opetuksen kon- kreettisia apuv¨alineit¨a. Ajatelkaapa, jos joku sattuisi nyt keksim¨a¨an laskutikun. Yksinkertaisen laitteen, jos- ta suoraan ja havainnollisesti voi lukea niin neli¨ot, kuu- tiot, neli¨ojuuret, kuutiojuuret, k¨a¨anteisluvut ja trigo- nometristen funktioiden arvot ja jolla sananmukaises- ti k¨aden k¨a¨anteess¨a voi kertoa ja jakaa mielivaltaisen

monta kertaa tai ratkaista ei vain yksitt¨aist¨a vaan kaik- ki verrantoyht¨al¨ot ja siis esimerkiksi kaikki sinilauseel- la ratkeavat kolmiot, ja jonka k¨aytt¨o kehitt¨a¨a suuruus- luokan ymm¨art¨amist¨a ja interpolaation tajua ja antaa konkretian logaritmik¨asitteelle. N¨ain monipuolisen lait- teen keksij¨ast¨a tulisi varmaan rikas, sill¨a kaikki koulut haluaisivat varustaa oppilaansa niill¨a. No, laskutikku keksitiin 1600-luvulla ja se kuoli 1960-luvun lopussa, kun taskulaskin teki sen tarpeettomaksi. Mutta lasku- tikun hylk¨a¨amisess¨a meni lapsi pesuveden mukana.

Jos vanhempienne tai isovanhempienne kaapin k¨at- k¨oist¨a viel¨a l¨oytyy laskutikku, niin pelastakaa se heti omaan k¨aytt¨o¨onne. Tutkikaa, miten se toimii, leikki- k¨a¨a sill¨a ja ottakaa se hy¨otyk¨aytt¨o¨on. Teht¨aviss¨a, joi- hin laskutikku soveltuu, se on melkein aina nopeampi kuin s¨ahk¨oiset korvikkeensa, ja usein paljon hauskempi ja opettavampi!

Matti Lehtinen

P¨ a¨ akirjoitus

Luovat yhteis¨ ot

Jokainen verkkojulkaisemisen tai verkko-oppimateriaa- lien kanssa tekemisiss¨a ollut on todenn¨ak¨oisesti jossain vaiheessa t¨orm¨annyt k¨asitteeseen Creative Commons eli CC. Se on voittoa tuottamaton organisaatio, jonka tarkoituksena on edist¨a¨a erilaisten materiaalien verkos- sa tapahtuvaa julkaisemista ja k¨aytt¨o¨onottoa. Creati- ve Commons julkaisee lisenssej¨a, joiden avulla jokai- nen verkkomateriaalin tuottaja voi helposti m¨a¨aritt¨a¨a materiaalinsa k¨aytt¨o¨on liittyv¨at oikeudet ja rajoituk- set ilman tarvetta lakimiehen apuun. Oikeuksien m¨a¨a- ritt¨aminen on v¨altt¨am¨at¨ont¨a, jotta materiaalia voisi k¨aytt¨a¨a, monistaa ja muokata laillisesti. Tekij¨anoikeus- laki antaa tekij¨alle yksinoikeuden esimerkiksi materi- aalissa olevien kirjoitusvirheiden korjaamiseen, ja siksi tarve muokkaamiseen syntyy materiaalia yll¨apidett¨aes- s¨a. Toinen oppimateriaalin osalta tyypillinen tilanne syntyy, jos materiaalia joudutaan siirt¨am¨a¨an teknisesti vanhentuneesta formaatista tai mediasta (esimerkiksi VHS-kasetilta) uudenaikaisempaan. Oikeuksien hank- kiminen j¨alkik¨ateen saattaa olla hyvin hankalaa, koska kaikkia tekij¨oit¨a ei ehk¨a pysyt¨a tavoittamaan. Paljon k¨aytt¨okelpoista materiaalia menetet¨a¨an, koska t¨allai- siin asioihin ei ole kiinnitetty tarpeeksi huomiota ma- teriaalia tuotettaessa.

Creative Commons -lisenssit, joita on t¨all¨a hetkell¨a 11 erilaista, ovat muodostumassa standardiksi verkossa ta- pahtuvassa ei-kaupallisessa julkaisemisessa. Kantavana filosofiana on, ett¨a jokainen tekij¨an materiaaliinsa an- tama oikeus on loppuk¨aytt¨aj¨an etu, ja siksi on parem- pi antaa v¨ah¨an oikeuksia kuin olla antamatta mit¨a¨an.

Tyypillisi¨a rajoittavia lisenssiehtoja ovat esimerkiksi:

tekij¨an nimi mainittava, ei kaupalliseen k¨aytt¨o¨on, ei muokkausta (k¨aytt¨o ja kopioiminen sallittu), sama li- senssi muokatuille teoksille (nk. copyleft-lisenssi).

Standardoitujen lisenssien k¨aytt¨amisest¨a saadaan esi- merkiksi seuraavia etuja:

1. Lisenssiteksti on jo valmiiksi lakimiesten kirjoit- tamaa ja tarkastamaa, eik¨a t¨ah¨an tarvitse en¨a¨a k¨aytt¨a¨a aikaa.

2. Materiaalien k¨aytt¨aj¨at ja tuottajat tuntevat val- miiksi lisenssien ehdot ja voivat luottaa niihin tarvitsematta perehty¨a jokaisen sopimuksen yk- sityiskohtiin.

3. Ristiriitaisten lisenssien k¨aytt¨amisest¨a johtuvat ongelmat erilaisten materiaalien yhdist¨amisess¨a v¨ahenev¨at.

4. Lisenssi on saatavissa useilla eri kielill¨a, ja se on havaittu yhteensopivaksi erilaisten kansallis- ten lains¨a¨ad¨ant¨ojen ja kansainv¨alisten sopimus- ten kanssa.

Creative Commons toimii my¨os yhteisty¨oss¨a erilaisten hakukoneiden kanssa mahdollistaakseen lisenssiehtojen mukaisten materiaalien etsimisen. Lis¨atietoa Creati- ve Commonsin tavoitteista ja julkaisemista lisensseist¨a l¨oytyy verkkosivulta:http://creativecommons.fi/.

Antti Rasila

Toimitussihteerin palsta

Johtosuora ja polttopiste: toisen asteen k¨ ayr¨ at

Petteri Harjulehto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto

Johdanto

Toisen asteen k¨ayriksi sanotaan kaikkia niit¨a tason k¨ay- ri¨a, jotka ovat muotoa

ax²+by²+cxy+dx+ey+f = 0.

T¨ass¨aa, b, c, d, ejafovat reaalilukuja. T¨ass¨a kirjoituk- sessa paneudumme paraabeliin, ellipsiin ja hyperbeliin.

Yl¨osp¨ain aukeavan paraabelin, jonka huippu on origos- sa, yht¨al¨o on

y=ax², miss¨aa >0.

Origokeskisen ellipsin yht¨al¨o on

ax²+by²= 1, miss¨aa, b >0, ja origokeskisen hyperbelin yht¨al¨o on

ax²−by²=±1, miss¨aa, b >0.

Osoitamme, ett¨a paraabeli, ellipsi ja hyperbeli ovat hy- vin samankaltaisia k¨ayri¨a ja niille voidaan antaa yh- teinen geometrinen m¨a¨aritelm¨a. Valitsemamme m¨a¨ari- telm¨a perustuu annettuun suoraan,pisteeseen ja reaali- seen vakioon. T¨am¨a ei ole ainut geometrinen m¨a¨aritel- m¨a, vaan esimerkiksi ellipsi ja hyperbeli voidaan m¨a¨a- ritell¨a my¨os kahden polttopisteens¨a avulla.

Olkootlannettu tason suora jaP annettu tason piste, joka ei ole suorallal. Olkoonepositiivinen vakio. Tut- kimme niiden pisteiden uraa, joiden et¨aisyys pisteest¨a P on vakioekertaa et¨aisyys suorastal. Uraan kuuluvat siis kaikki pisteetQ, jotka toteuttavat yht¨al¨on

dist(Q, P) =edist(Q, l). (1) T¨ass¨a dist tarkoittaa kahden pisteen tai pisteen ja suo- ran v¨alist¨a (euklidista) et¨aisyytt¨a. Suoraa l sanotaan johtosuoraksi, pistett¨a P polttopisteeksi ja vakiota e eksentrisyydeksi. Jos 0 < e < 1, sanomme, ett¨a ura on ellipsi, jos e= 1, niin paraabeli, ja jos e >1, niin hyperbeli. Lis¨atietoja valitsemastamme m¨a¨aritelm¨ast¨a l¨oytyy kirjasta

D. A. Brannan, M. F. Esplen ja J. J. Gray:Geometry, Cambridge University Press, 1998.

Paraabeli

Tutkimme aluksi tapausta e = 1. Olkoon a > 0, la

suoray =−ajaPa piste (0, a). Etsimme pisteit¨a, jot- ka ovat yht¨a kaukana johtosuorasta ja polttopisteest¨a.

Pisteen Q = (x, y) et¨aisyyteen suorasta la ei vaiku- ta lainkaanx-koordinaatti, joten saamme et¨aisyydeksi

|y+a|. Pisteiden QjaPa v¨aliseksi et¨aisyydeksi saam- me tutulla kaavalla p

(x−0)²+ (y−a)². Yht¨al¨o (1) muuntuu siis muotoon

p(x−0)²+ (y−a)²=|y+a|.

Korottamalla molemmat puolet toiseen potenssiin saamme

x²+y²−2ay+a²=y²+ 2ay+a², ja edelleen

x²= 4ay eliy= x² 4a.

Kyseess¨a on siis tuttu yl¨osp¨ain aukeava paraabeli, jon- ka huippu on origossa. Kuvaan 1 on piirretty tapaus a= 1 sek¨a johtosuora ja polttopiste.

2

1.5

3 -2

0.5

0

1 2

0 1

-1 -1 -3

-0.5

Kuva 1.Paraabeli.

Vastaavasti saamme alasp¨ain aukeavan paraabelin va- litsemalla y = a ja (0,−a). Valinnoilla x = −a ja (a,0) sek¨a x = a ja (−a,0) saamme muotoa x = ^y_4a² jax=−^y4a² olevat paraabelit.

Paraabelin muotoon vaikuttaa vain johtosuoran ja polt- topisteen v¨alinen et¨aisyys. N¨ain esimerkiksi Kuvan 1 paraabeli on yhtenev¨a kaikkien niiden paraabeli kanssa joiden johtosuora ony=−1 ja polttopiste on muotoa (r,1), miss¨aron reaaliluku. N¨aiden kaikkien paraabe- lien huipput sijaitsevatx-akselilla.

Valitsemalla suoran, joka ei ole kummankaan koordi- naattiakselin kanssa yhdensuuntainen, saamme ”vinos- sa” olevan paraabelin. Olkoon esimerkiksi y = x+ 1 johtosuora ja (−2,2) polttopiste. T¨all¨oin pisteen Q= (x, y) et¨aisyys johtosuorasta on

|1·x+ (−1)·y+ 1| p1²+ (−1)²

ja pisteen Q et¨aisyys polttopisteest¨a on p(x+ 2)²+ (y−2)². Yht¨al¨o (1) muuntuu siis muo- toon

p(x+ 2)²+ (y−2)²= |x−y+ 1| p1²+ (−1)².

Korottamalla molemmat puolet toiseen potenssiin ja muokkaamalla saatua tulostaa saamme

x²+y²+ 2xy+ 6x−6y+ 15 = 0.

T¨am¨an paraabelin kuvaaja, yhdess¨a johtosuoran ja polttopisteen kanssa, on esitetty Kuvassa 2.

1 5

4

0 3

-4 -1

0

-1 2

1

-3

-5 -2

Kuva 2.Paraabeli.

Ellipsi

Tutkimme sitten tapausta 0 < e < 1. Olkoona > 0.

Valitsemme johtosuoraksi x = a/e² ja polttopisteeksi (a,0). T¨all¨oin yht¨al¨o (1) muuntuu muotoon

p(x−a)²+ (y−0)²=e¯¯¯x− a e²

¯¯

¯.

Korottamalla molemmat puolet toiseen potenssiin ja muokkaamalla saatua lauseketta saamme

e²

a²x²+ e²

a²(1−e²)y²= 1. (2) Kyseess¨a on origokeskeinen ellipsi. Valitsemalla johto- suoraksix=−a/e² ja polttopisteeksi (−a,0) saamme saman ellipsin.

Valitsemme sitten johtosuoraksiy=a/e² ja polttopis- teeksi (0, a). T¨all¨oin saamme

e²

a²y²+ e²

a²(1−e²)x²= 1. (3)

Kuvassa 3 on esitetty ellipsien (2) kuvaajat tavallisella viivalla ja ellipsien (3) kuvaajat katkoviivalla arvoilla e = ³₅ ja e = ²₅ sek¨a a = 1. Saman eksentrisyyden omaavat ellipsit ovat samanmuotoisia, mutta ne ovat toisiinsa n¨ahden 90 asteen kulmassa.

6

4

2

2

-2 0

-6

-4 6

0 -2 -6

-4

4

Kuva 3.Origokeskeisi¨a ellipsej¨a.

Miten eksentrisyys vaikuttaa ellipsin muotoon? Kiinni- t¨amme johtosuoran ja polttopisteen, esimerkiksix= 3 ja (1,0). T¨all¨oin saamme ellipsit

(1−e²)x²+y²+ (6e²−2)x+ 1−9e²= 0.

Kuvassa 4 on esitetty johtosuora, polttopiste sek¨a el- lipsit eksentrisyyden arvoilla ²₅ (sisimm¨ainen), ¹₂ (kes- kimm¨ainen) ja ³₅ (ulommainen).

3

3 2

2 1

0

1

-1

-2 0

-3 -1 -2 -3

Kuva 4.Ellipsej¨a eksentrisyyden eri arvoilla.

K¨aytt¨am¨amme m¨a¨aritelm¨a ei suoraan anna mahdolli- suutta m¨a¨aritell¨a ympyr¨a¨a. Ympyr¨a voidaan kuitenkin tulkita ellipsin¨a, jonka johtosuora on ¨a¨arett¨omyydes- s¨a. Kiinnit¨amme polttopisteeksi origon ja johtosuorak- six=^a_e,a >0. T¨all¨oin saamme ellipsit

(1−e²)x²+y²+ 2eax=a².

Kun e → 0, niin johtosuora et¨aisyys origosta kasvaa rajatta, ja saamme

x²+y²=a²,

joka on origokeskinen a s¨ateinen ympyr¨a. Kuvassa 5 on esitetty ellipsit eksentrisyyden arvoilla ¹₂, ¹₃, ¹₅, ¹₈ ja

1

100, kuna= 1.

2

2 1

1 0

-1 0

-2 -1

-2

Kuva 5.Ellipsej¨a, kun johtosuora l¨ahestyy ¨a¨aret¨ont¨a.

Hyperbeli

Viimeiseksi tutkimme tapausta e > 1 eli hyperbeli¨a.

Valitsemme saman johtosuoran ja polttopisteen kuin orikokeskisen ellipsin tapauksessa elix=a/e²ja (a,0), a >0. T¨all¨oin yht¨al¨o (1) muuntuu muotoon

p(x−a)²+ (y−0)²=e¯¯¯x− a e²

¯¯

¯. Saamme t¨am¨an muokattua muotoon

e²

a²x²− e²

a²(e²−1)y²= 1.

Kyseess¨a on origokeskinen hyperbeli. Valitsemalla joh- tosuoraksix=−a/e² ja polttopisteeksi (−a,0) saam- me saman hyperbelin. Kuvassa 6 on ensiksi mainittu hyperbeli, johtosuora ja polttopiste, kune= 2 jaa= 1.

1.5

1.5 1

1 0.5

0

0.5

-0.5

-1 0

-1.5 -0.5 -1 -1.5

Kuva 6.Hyperbeli.

Piirr¨amme lopuksi samaan kuvaan paraabelin, ellipsin ja hyperbelin. T¨at¨a varten kiinnit¨amme johtosuorak- si x = 3 ja polttopisteeksi origon. T¨all¨oin yht¨al¨o (1) muuntuu muotoon

px²+y²=e|x−3|,

mist¨a saamme

(1−e²)x²+y²+ 6e²x−9e²= 0.

Kuvasta 7 on esitetty kuvaajat eksentrisyyden arvoilla

1

2,1,2, sek¨a johtosuora ja polttopiste.

6

8 4

6 2

0

4

-2

-4

2

-6 0 -2 -4

Kuva 7.Paraabeli, ellipsi ja hyperbeli.

Suklaa, kauneus ja matematiikka

Tuomas Korppi

Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto

Ratkaisun l¨oyt¨aminen matemaattiseen probleemaan ei ole useinkaan helppoa. T¨ass¨a tekstiss¨a kuvailen ajatus- prosessin, jonka jouduin k¨aym¨a¨an l¨api saadakseni rat- kaistua Tommi Sottisen minulle esitt¨am¨an kysymyksen.

Oletetaan, ett¨a meill¨a on k×l = n palan suklaalevy, joka pit¨aisi pilkkoa yhden palan kokoisiksi osiksi. K¨ay- t¨amme seuraavaa menetelm¨a¨a:

Katkaisemme levyn palojen v¨alist¨a (suoraviivaista) ja- koviivaa pitkin, ja saamme kaksi osaa. Sen j¨alkeen valit- semme jonkun osan, ja katkaisemme sen palojen v¨alist¨a jakoviivaa pitkin. Toistamme t¨at¨a osan valitsemista ja sen halkaisemista, kunnes suklaa on t¨aysin pilkottu.

Yll¨aesitetty pilkkomissysteemi j¨att¨a¨a kuitenkin pilkko- jalle valinnanvaraa. H¨an voi esimerkiksi aloittaa hal- kaisemalla levyn joko pitkitt¨ais- tai poikittaissuunnas- sa. H¨an voi my¨os halkaista levyn keskelt¨a tai katkaista pelk¨ast¨a¨an yhden rivin levyn p¨a¨ast¨a. Pilkkoja on lais- ka, ja niinp¨a h¨an haluaisi saada levyn yhden palan ko- koisiin osiin mahdollisimman v¨ah¨all¨a ty¨oll¨a. Kuinkahan h¨anen kannattaisi k¨aytt¨a¨a pilkkomissysteemin j¨att¨am¨a valinnanvara?

Kysymys: Kuinka pilkkomiskohdat kan- nattaisi valita, ett¨a suklaalevy saataisiin

yhden palan kokoisiksi osiksi mahdollisim- man v¨ahill¨a pilkkomisilla? Kuinka monta pilkkomista t¨all¨oin tarvitaan?

Tietokoneohjelmoinnin matemaattisessa tarkastelussa t¨orm¨at¨a¨an usein yll¨aesitetyn kysymyksen kaltaisiin probleemoihin. Tietokone pit¨aisi saada ratkaisemaan haluttu ongelma mahdollisimman v¨ahill¨a laskenta- askeleilla, ja usein k¨ay niin, ett¨a ensiksi mieleen tuleva tapa ei ole nopein mahdollinen.

Tarkastellaan esimerkiksi listaa, jossa on nlukua suu- ruusj¨arjestyksess¨a, ja tietokone pit¨aisi ohjelmoida vas- taamaan kysymykseen ”onko luku k listassa?” Voim- me esimerkiksi kirjoittaa ohjelman, joka k¨ay listan l¨api alusta loppuun, ja jokaisen listan alkion kohdalla tar- kastaa, onko kyseinen listan alkio k. Ohjelma toimii, mutta se joutuu tekem¨a¨an pahimmillaannaskelta, yh- den jokaista listan alkiota kohti.

Parempi tapa ratkaista ongelma onkin seuraava: Tar- kastellaan ensin listan keskimm¨aist¨a alkiota¹. Jos se on k, on ongelma ratkaistu. Jos se on suurempi kuink, tar- kastellaan jatkossa pelk¨ast¨a¨an listan alkupuolta. Jos se on pienempi kuink, tarkastellaan jatkossa pelk¨ast¨a¨an listan loppupuolta. Seuraavaksi otetaan edell¨a valittu listan puolikas, ja sen keskimm¨ainen alkio. Jos se on k, on ongelma ratkaistu. Jos se on suurempi kuin k,

1Jos listassa on pariton m¨a¨ar¨a alkioita, on listassa yksik¨asitteinen keskimm¨ainen alkio. Mik¨ali listassa on parillinen m¨a¨ar¨a alkioita, valitaan jompi kumpi kahdesta keskimm¨aisest¨a alkiosta. Menetelm¨an toimivuuden kannalta on yhdentekev¨a¨a, kumpi valitaan.

tarkastellaan jatkossa pelk¨ast¨a¨an valitun listanpuolik- kaan alkupuolta. Jos se on pienempi kuink, tarkastel- laan jatkossa pelk¨ast¨a¨an valitun listanpuolikkaan lop- pupuolta. Toistetaan sama valitulle listan nelj¨asosalle, sitten kahdeksasosalle, ja niin edelleen, kunneskon l¨oy- tynyt, tai valittu listan osa on huvennut tyhjiin (jolloin k ei ole listassa). T¨all¨a menetelm¨all¨a vaaditaan enim- mill¨a¨an noin log2n laskenta-askelta: Jos listan pituus on esimerkiksi 65536 alkiota, askeleita on enimmill¨a¨an vain 16, eli systeemi on huomattavan nopea.

Suklaalevy¨a voidaan puolitella hiukan samaan tapaan kuin taulukkoa yll¨a, joten matemaattisesti koulittu henkil¨o muodostaa l¨ahes alitajuisesti seuraavan konjek- tuurin:

Hyv¨all¨a taktiikalla vaadittu pilkkomisten m¨a¨ar¨a on jotakuinkin log2n.

Havaitaan my¨os, ett¨a saman kokoisia, mutta eri muo- toisia levyj¨a voidaan pilkkoa eri tavalla. 4×1-levyst¨a voidaan ottaa yksi pala erilleen, mutta 2×2-levyst¨a t¨aytyy lohkaista kaksi palaa kerralla. Niinp¨a muodos- tamme seuraavan konjektuurin:

Suklaalevyn muoto eli ”geometria” vaikut- taa vaadittujen lohkomisten m¨a¨ar¨a¨an.

T¨am¨a on t¨aysin normaali menetelm¨a probleemoja rat- kaistessa: Ensin arvataan v¨aitt¨ami¨a, ja sitten yritet¨a¨an todistaa ne. T¨ass¨a tapauksessa sankarimme ei kuiten- kaan keksi, kuinka n¨ait¨a konjektuureja voisi l¨ahte¨a to- distamaan.

Kun lennokkaat ideat eiv¨at toimi, on aika palata maan tasalle. Otamme siis pieni¨a levyj¨a, ja tapaus tapauksel- ta katsomme l¨api, kuinka monta pilkkomista ne vaati- vat. Tarkoituksena on n¨ahd¨a, josko levyn koon/muodon ja vaaditun pilkkomisten m¨a¨ar¨an v¨alille l¨oytyisi jokin yhteys.

• 1×1-levy? Se on jo valmiiksi yhden palan kokoi- nen. Siis 0 pilkkomista.

• 2×1-levy? Sen voi pilkkoa vain yhdell¨a tavalla.

Siis 1 pilkkominen.

• 2×2-levy? Ainoa tapa on pilkkoa ensin kahdeksi 2×1-levyksi, jotka pilkotaan sitten yhden palan kokoisiksi. Siis 3 pilkkomista.

• 4×1-levy? Nyt voidaan pilkkoa kahdella taval- la. Ensimm¨ainen vaihtoehto on pilkkoa ensin kah- deksi 2×1-levyksi, jolloin tilanne on sama kuin edellisess¨a tapauksessa. Toinen vaihtoehto on ir- roittaa ensin yksi pala, sitten yksi pala lis¨a¨a, ja lopuksi halkaista 2×1-levy kahtia. Siis 3 pilkko- mista kummallakin tavalla.

• 3×2-levy? Edelleen kaksi tapaa pilkkoa. Joko en- sin kahdeksi 3×1-levyksi, jotka paloiksi, tai ensin kolmeksi 2×1-levyksi, jotka paloiksi. Molemmilla tavoilla 5 pilkkomista.

Kaikissa yll¨amainituissa tilanteissa k¨avi niin, ett¨anpa- lan levyn paloittelu vaatin−1 pilkkomista riippumat- ta levyn geometriasta tai valitusta pilkkomistaktiikas- ta. T¨ass¨a vaiheessa heit¨ammekin edelliset konjektuurit romukoppaan, ja yrit¨amme todistaa uutta konjektuu- ria:

Kaikilla luonnollisilla luvuilla np¨atee, ett¨a n palan levyn paloittelu vaatii n−1 pilk- komista riippumatta levyn geometriasta tai valitusta pilkkomistaktiikasta.

Todistettaessa v¨aitt¨ami¨a kaikille luonnollisille luvuille kannattaa k¨aytt¨a¨a induktiota:

• n= 1:1×1-levyn paloitteluun tarvitaan 0 pilk- komista. Siis v¨aite p¨atee t¨ass¨a tapauksessa.

• n >1 mielivaltainen, v¨aite p¨atee kaikille luvuille m, jotka ovat pienempi¨a kuin n:n palan kokoi- nen levy pilkotaan ensin kahteen osaan (1 pilk- kominen!), kooltaan m, m⁰. Sitten m ja m⁰ pa- lan kokoiset osat pilkotaan yhden palan kokoi- siksi. T¨am¨a vaatii m−1 ja m⁰ −1 pilkkomis- ta induktio-oletuksen nojalla (ja on riippuma- ton pilkkomistaktiikasta). Yhteens¨a siis tehd¨a¨an (m−1) + (m⁰ −1) + 1 = m+m⁰−1 = n−1 pilkkomista. Induktio valmis.

Nyt olemme todistaneet konjektuurimme. Induktioto- distuksissa on yleens¨a yksi ik¨av¨a piirre. Ne kertovat meille, ett¨a v¨aite p¨atee, mutta ne eiv¨at kerro meille, miksi se p¨atee. L¨oytyisik¨oh¨an konjektuurillemme toi- nen todistus, joka auttaisi meit¨a hahmottamaan tilan- teen paremmin?

npalan kokoisen levyn paloitteleminen vaatiin−1 pilk- komista. Olisikohan prosessin vaiheilla jokin sellainen ominaisuus, joka kasvaa pilkkomisen my¨ot¨a? Siis niin, ett¨a alussa tuo ominaisuus olisi yksi, yhden pilkkomi- sen j¨alkeen kaksi, kahden pilkkomisen j¨alkeen kolme ja niin edelleen, ja kokonaan paloitellulla levyll¨an?

T¨ass¨a vaiheessa ratkaisija ly¨o otsaansa. T¨allainen omi- naisuus on tietysti olemassa, nimitt¨ain suklaapalasten m¨a¨ar¨a!

Niinp¨a saamme konjektuurillemme seuraavan todistuk- sen:

Alussa suklaa on yhdess¨a kl¨ontiss¨a, ja ha- luttua lopputilaa luonnehtii se, ett¨a suklaa on n osassa. Jokainen pilkkominen kasvat- taa osien m¨a¨ar¨a¨a yhdell¨a (riippumatta va- litusta pilkkomistaktiikasta), jotennosaan p¨a¨aseminen vaatiin−1 pilkkomista.

Matematiikassa on kauneutta. Matemaattinen kauneus ei kuitenkaan synny kauniista k¨asialasta tai sulavas- ti piirretyist¨a summamerkeist¨a, vaan se on ennemmin samaa lajia kuin hyv¨an vitsin aiheuttama esteettinen mielihyv¨a: Tilanne ratkeaa, kun se n¨ahd¨a¨an uudessa,

yll¨att¨av¨ass¨a valossa.

Epilogi: T¨ass¨a tapauksessa osoittautui, ett¨a vaadittu pilkkomisten m¨a¨ar¨a ei ollutkaan suklaalevyn koon lo- garitmi, vaikka aluksi niin yritinkin osoittaa. Pilkko- misongelman kysymyksenasettelua voidaan kuitenkin muuttaa niin, ett¨a ”pilkkomisten m¨a¨ar¨a on jotakuinkin suklaalevyn koon logaritmi” on oikea vastaus. Keksiik¨o lukija, millaisia operaatioita suklaalevyn pilkkojalle pi- t¨aisi sallia, ett¨a h¨an saisi suklaan pilkottua yhden palan kokoisiin osiin ajassa, joka on jotakuinkin logaritmi le- vyn koosta? Millaisilla levyill¨a pilkkomisten m¨a¨ar¨a on tarkalleen log₂n?

Moniarvoiset kompleksifunktiot ja laskentaohjelmat

Simo K. Kivel¨a

Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu

Matti Lehtisen artikkeliKaikki tarpeellinen kompleksi- luvuista sis¨alsi tiiviin yhteenvedon kompleksiluvuista, mutta kaikkea laskentaohjelman k¨aytt¨aj¨alle tarpeellis- ta ei ehk¨a kuitenkaan tullut sanotuksi.

Jos nimitt¨ain yritt¨a¨a laskea luvun −1 kuutiojuurta melkeinp¨a mill¨a tahansa modernilla laskentaohjelmal- la tai kompleksiluvut tuntevalla laskimella, tulokseksi tulee

√3

−1 = ¹₂+i^√₂³. Eik¨o t¨am¨a siis olekaan−1?

Olkoon z1 = −1 +i ja z2 = −1 + 2i, jolloin z1z2 =

−1 + 3i. T¨all¨oin laskentaohjelma antaa log(z1) + log(z2)−log(z1z2) = 2πi,

miss¨a log tarkoittaa luonnollista logaritmia, kuten kompleksifunktioiden yhteydess¨a on tapana merkit¨a.

Eik¨o tavallinen logaritmien laskus¨a¨ant¨o siis p¨adek¨a¨an kompleksialueella?

Ilman laskentaohjelmaakin voidaan ajautua kummalli- siin laskuihin:

−1 =i·i=√

−1√

−1 =p

(−1)(−1) =√ 1 = 1.

Koska 1 ja −1 tunnetusti ovat eri asioita, jonkin yh- t¨al¨aisyysmerkin t¨aytyy olla v¨a¨ar¨a, ehk¨a useammankin.

Mutta mik¨a niist¨a on v¨a¨ar¨a?

Selityksen¨a on, ett¨a kompleksifunktiot ovat hieman mutkikkaampia olioita kuin vastaavat funktiot reaa- lialueella. Voidaan ajatella, ett¨a neli¨ojuurella on kak- si arvoa: esimerkiksi √

4 = ±2; √

−3 + 4i= 1 + 2itai

=−1−2i. Kuutiojuurella on vastaavasti kolme arvoa, kuten Matti Lehtisen artikkelista ilmenee. Logaritmilla arvoja on ¨a¨arett¨om¨an paljon: logz= log|z|+iargz+ 2nπi, miss¨anon mik¨a tahansa kokonaisluku.

T¨allaiset kompleksifunktiot eiv¨at oikeastaan ole funk- tioita lainkaan nyky¨a¨an k¨aytetyn m¨a¨aritelm¨an mieles- s¨a. Funktioltaf : C→ Cnimitt¨ain vaaditaan, ett¨a se liitt¨a¨a jokaiseen l¨aht¨ojoukon pisteeseen yksik¨asitteisen maalijoukon pisteen. (L¨aht¨ojoukko voi toki olla koko kompleksitasoa suppeampikin joukko, kuten logaritmin tapauksessa onkin: origo ei kuulu joukkoon.)

Aiemmin kompleksifunktiot on yleens¨a mielletty mo- niarvoisina funktioina ja silloin mik¨a¨an edell¨a maini- tuista esimerkeist¨a ei ole ongelmallinen: On vain ajatel- tava, ett¨a kun monista mahdollisista arvoista valitaan yksi oikealla tavalla, niin kaavat toteutuvat.

Nyky¨a¨an kuitenkin yleens¨a pit¨aydyt¨a¨an funktion m¨a¨a- ritelm¨an yksik¨asitteisyysvaatimukseen ja laskentaohjel- mien tapauksessa t¨am¨a on v¨altt¨am¨at¨ont¨akin.

T¨all¨oin joudutaan uuden ongelman eteen: Miten useis- ta mahdollisista arvoista kiinnitet¨a¨an se, joka m¨a¨aritel- l¨a¨an funktion arvoksi? Ongelma koskee neli¨ojuurta jo reaalialueellakin, ja t¨all¨oin arvoksi tunnetusti kiinnite- t¨a¨an kahdesta vaihtoehdosta positiivinen:√

4 = +2 tai yleisemmin√

x²=|x|.

Kompleksialueella yht¨a yksinkertaista ratkaisua ei ole.

L¨aht¨okohtana on kompleksiluvun napakulman eli ar- gumentin arvojen kiinnitt¨aminen. T¨am¨akin on nimit- t¨ain moniarvoinen funktio: Jos luvun z argumentti on argz=ϕ, jokainen lukuϕ+ 2nπ, miss¨anon kokonais- luku, kelpaa argumentiksi aivan yht¨a hyvin. Argument- ti kiinnitet¨a¨an yleens¨a v¨alille−π <argz ≤π. (T¨am¨a johtaa laskennallisesti yksinkertaisempiin lausekkeisiin kuin jossakin mieless¨a luontevampi ja varsinkin aikai- semmin l¨ahes yksinomaan k¨aytetty valinta 0≤argz <

2π.)

Argumentin kiinnitt¨aminen ratkaisee arvojen valinnan sek¨a juurten ett¨a logaritmin tapauksessa. Juuren √ⁿz arvoksi valitaan se, jonka argumentti on argz/n. Loga- ritmin tapauksessa monik¨asitteisyys johtuu argumen- tin monik¨asitteisyydest¨a, jolloin argumentin kiinnitt¨a- minen antaa m¨a¨aritelm¨an suoraan: logz = log|z|+ iargz. T¨all¨a tavoin yksik¨asitteisesti m¨a¨ariteltyj¨a funk- tioita kutsutaan usein moniarvoisen funktionp¨a¨ahaa- raksi. Jos arvon kiinnitt¨aminen on tehty jollakin muulla tavalla, puhutaansivuhaarasta.

Esimerkiksi luvun √³

−1 arvo m¨a¨ar¨aytyy siit¨a, ett¨a lu- vun −1 napakulma eli argumentti kompleksitasossa onπ, ja kuutiojuuri on siis kolmesta vaihtoehdosta se kompleksiluku, jonka napakulma onπ/3.

Kaikkea ei kuitenkaan voi saada. Kiinnitt¨am¨all¨a mo- nista mahdollisista arvoista yksi menetet¨a¨an monet to- tutut laskus¨a¨ann¨ot. Esimerkiksi √z1z2 = √z1√z2 ei yleisesti p¨ade, sama koskee tulon logaritmin laskus¨a¨an- t¨o¨a. S¨a¨ann¨ot ovat kuitenkin ’melkein’ voimassa: Synty- v¨at erot voidaan luonnehtia siten, ett¨a on tapahtunut siirtyminen saman funktion jollekin sivuhaaralle.

Monihaaraisten funktioiden ongelma ei rajoitu juuri- tai logaritmifunktioihin. Esimerkiksi trigonometristen funktioiden k¨a¨anteisfunktiot, ns. arcus-funktiot ovat moniarvoisia jo reaalialueella. N¨aidenkin arvot kiin- nitet¨a¨an nyky¨a¨an yksik¨asitteisell¨a tavalla. Esimerkik- si tan(π/4 +nπ) = 1 kaikilla kokonaisluvuillan, mutta k¨a¨anteisfunktiolle arctan asetetaan arctan(1) =π/4.

Harjoitusteht¨ av¨ a

Lukija saakoon lopuksi harjoitusteht¨av¨an: Kompleksi- tason yksikk¨oympyr¨an parametriesitys onz= cos(t) + isin(t), −π < t ≤π, ts. kaikki yksikk¨ompyr¨an pisteet saadaan antamalla parametrilletkaikki arvot kyseisel- t¨a v¨alilt¨a. Yksikk¨oympyr¨a kuvataan kompleksitasoon (tason kopioon, voidaan ajatella) kuvauksella

w= µ

z^p+ 1 2z^p

¶1/p

,

miss¨a p on luonnollinen luku. Millainen k¨ayr¨a t¨all¨oin syntyy, kun vaaditaan, ett¨ap:nnen juuren arvot on va- littava funktion sopivilta haaroilta siten, ett¨a k¨ayr¨ast¨a tulee jatkuva?

Helpointa on ehk¨a kirjoittaa ohjelmakoodi, joka piirt¨a¨a t¨allaisia k¨ayri¨a. Malliksi k¨ayr¨a arvollap= 3. Piparkak- kuk¨ayrist¨a on yleisestikin kyse.

Painopiste

Markku Halmetoja M¨ant¨an lukio

Sanomme tasa-aineiseksi kappaletta, jonka materiaalis- sa ei ole sis¨aisi¨a tiheyden vaihteluja. T¨allaisen kappa- leen painopisteen sijainti voidaan joskus p¨a¨atell¨a kap- paleen muodon perusteella. Esimerkiksi tasa-aineisen pallon painopiste on selv¨asti pallon keskipiste. Jos tasa-aineisella kappaleella on symmetria-akseli, niin painopiste on akselilla ja jos kappaleella on useampia symmetria-akseleita, niin painopiste on niiden leikkaus- piste. Tutkimme painopisteen laskemista siin¨a tapauk- sessa, ett¨a kappaleella on yksi symmetria-akseli. On- gelma johtaa integraalilaskentaan ja tarjoaa mainioita mahdollisuuksia soveltaa lukiossa opittua laskutekniik- kaa. Tarvittavan perusfysiikan kertaamiseksi tutkimme aluksi suoralla sijaitsevaa diskreetti¨a massajakaumaa.

Pistem¨aiset massat m1, ... ,mn, joiden summa on m, sijaitkootx-akselin pisteiss¨ax1, ... ,xn. Painopisteµsi- jaitsee jossakin v¨aleist¨a [xk, xk+1[. Jakauma onµ:n suh- teen tasapainossa, jos pisteisiinxivaikuttavien voimien µ:n suhteen laskettujen momenttien summa on nolla.

Koska massat ovat suoralla, voimme merkit¨a µ:n mo- lemmin puolin laskettujen momenttien itseisarvot kes- ken¨a¨an yht¨asuuriksi.

x1 . . . xk µ xk+1 . . . xn

m1g . . . mng

Kuva 1.

Saamme yht¨al¨on Xk

i=1

(µ−xi)mig= Xn

i=k+1

(xi−µ)mig,

josta edelleen

µ= 1 m

Xn

i=1

ximi. (1)

Perehdymme seuraavaksi kappaleisiin, joiden massaja- kauma on jatkuva. Integraalilaskennan perusidean ker- taamiseksi katsomme aluksi, miten kappaleen tilavuus lasketaan.

Olkoot a ja b kappaleen ¨a¨arip¨aiden projektiot x- akselilla. Jos kappaletta leikataan x-akselia vastaan kohtisuorilla tasoilla ja tunnetaan leikkauskuvion pinta-alaA(x) jokaisessa pisteess¨ax∈[a, b], niin kap- paleen tilavuus voidaan laskea.

a x b

A(x)

Kuva 2.

Kohdassa x oleva tilavuusalkio on dV = A(x)dx ja kappaleen tilavuus saadaan summaamalla v¨alill¨a [a, b]

olevat tilavuusalkiot:

V = Zb

a

dV = Zb

a

A(x)dx.

Oletamme nyt, ett¨a kiinte¨all¨a kappaleella on yksi symmetria-akseli, jonka valitsemme x-akseliksi. Kap- paleen ¨a¨arip¨a¨at sijaitkoot pisteiss¨a a ja b. M¨a¨arit¨am- me kappaleen painopisteen momenttiehtoa soveltamal- la. Jaetaan kappale x-akselia vastaan kohtisuorilla ta- soilla levym¨aisiksi massa-alkioiksi kuvan osoittamalla tavalla.

a 0 dm b

dm

Kuva 3.

µ

Pisteiss¨axjax⁰ oleviin massa-alkioihindmjadm⁰ vai- kuttavien voimien momenttialkiot (niiden itseisarvot) µ:n suhteen ovat (µ−x)g dm ja (x⁰ −µ)g dm. Sum- maamalla neµ:n molemmin puolin saamme yht¨al¨on

Zµ

a

(µ−x)g dm= Zb

µ

(x⁰−µ)g dm⁰,

josta, merkitsem¨all¨am=Rb

a dm, edelleen

µ= 1 m

Zb

a

x dm. (2)

Yht¨al¨ot (1) ja (2) n¨aytt¨av¨at samanlaisilta, mutta niill¨a on er¨as selke¨a eroavaisuus: yht¨al¨o (1) on valmis lasku- kaava, jonka avulla voidaan laskea diskreetin massaja- kauman painopiste sijoittamalla kaavaan massat ja nii- den koordinaatit kun taas yht¨al¨o (2) on pikemminkin toimintaohje laskun suorittamiseksi, sill¨a massa-alkio dm on muodostettava aina tapauskohtaisesti. Kaava (2) toimii my¨os silloin, kun kappaleen tiheys (massa

pituusyksikk¨o¨a kohti) vaihtelee. Tiheys on t¨all¨oin tun- nettava jokaisessa kohdassaxeli on tunnettavatiheys- funktiof, jonka arvo ilmoittaa kappaleen tiheyden leik- kauskohdassa x. Jos y = f(x) on t¨allainen funktio, niin ^dm_dx = f(x) ja siis kohdassa x oleva massa-alkio ondm=f(x)dx.

Esimerkki.M¨a¨arit¨amme tasa-aineisenr-s¨ateisen puoli- pallon painopisteen. Olkoonmkappaleen massa jolloin tiheys on ρ = m/V, miss¨a V = 2πr³/3. Puolipallon symmetria-akseli on halkaisijatasoa vastaan kohtisuora s¨ade.

h 0

Kuva 4.

x r

Kuvan mukaan kohdassaxoleva tilavuusalkio ondV = πh²dx=π(r²−x²)dxja sit¨a vastaava massa-alkio on

dm=ρ dV = 3m 2r³

¡r²−x²¢ dx.

Saamme

µ= 1 m

Zr

0

x dm= 3 2r³

Zr

0

¡r²x−x³¢ dx= 3

8r.

Painopiste sijaitsee siis halkaisijatasoa vastaan kohti- suoralla s¨ateell¨a et¨aisyydell¨a 3r/8 halkaisijatasosta.

Tutkimme viel¨a diskreetti¨a massajakaumaa yleisem- min. Sijaitkoot pistem¨aiset massatm1, . . . , mn pisteis- s¨a A1, . . . , An massattoman tukirakenteen kannattele- mina ja olkoonmmassojen summa. Olkoon edelleenO mielivaltaisesti valittu avaruuden piste. Yht¨al¨oiden (1) ja (2) perusteella ”arvaamme” painopisteenGsijainnin seuraavasti:

−−→OG= 1 m

Xn

i=1

mk−−→OAi. (3)

N¨aemme G:n massajakauman painopisteeksi osoitta- malla, ett¨a pisteisiinAi vaikuttavien voimienG:n suh- teen laskettujen momenttien−−→GAi×mig¯summa on ¯0.

J¨at¨amme t¨am¨an harjoitusteht¨av¨aksi.

O

G

Ai

mig¯

Kuva 5.

Pisteen G sijainti riippuu n¨aenn¨aisesti my¨os O:sta, mutta voidaan osoittaa, ett¨a jos

−−−→O⁰G⁰= 1 m

Xn

i=1

mk−−−→

O⁰Ai, (4) niinG⁰=G. My¨os t¨am¨an yksityiskohtaisemman k¨asit- telyn j¨at¨amme harjoitusteht¨av¨aksi ja toteamme, ett¨a yht¨al¨o (3) m¨a¨arittelee pisteenGyksik¨asitteisesti.

Pohdittavaa

Seuraavassa muutamia asiaa valaisevia ajattelu- ja las- kuteht¨avi¨a.

1. Hahmottele muutamia kolmiulotteisia kappalei- ta, joilla on v¨ahint¨a¨an kaksi symmetria-akselia.

2. Miksi tasa-aineisesta levyst¨a leikatun tasokol- mion painopiste on kolmion mediaanien leikkaus- piste? Ohje: Ajattele kolmio viipaloiduksi jonkin sivun suuntaisin leikkauksin. Miss¨a sijaitsevat vii- paleiden painopisteet? Mink¨a janan painopisteet muodostavat?

3. M¨a¨arit¨a tasa-aineisesta materiaalista tehdyn mie- livaltaisen nelitahokkaan painopiste. Ohje: Voit hy¨odynt¨a¨a edellisen teht¨av¨an tulosta viipaloimal- la tahokkaan sopivasti.

4. Suorita yksityiskohtaisesti yht¨al¨oiden (1) ja (2) johtaminen tekstiss¨a annetuista momenttiehdois- ta l¨ahtien.

5. Tasa-aineisesta materiaalista valmistetun py¨o- r¨ahdysparaboloidin pohjan s¨ade on r ja korkeus onh. M¨a¨arit¨a kappaleen tilavuus ja painopiste.

(r, h)

(0, r) (0, h)

6. M¨a¨arit¨a tasa-aineisesta materiaalista valmiste- tun korkeusjanansa suhteen symmetrisen kartion painopiste. Mik¨a korkeusjanaa vastaan kohtisuo- ra leikkaus puolittaa kartion massan?

7. M¨a¨arit¨a tasa-aineisesta levyst¨a tehdyn puoliym- pyr¨an painopiste.

8. Oletetaan, ett¨a x-akselin v¨alill¨a [0,∞[ on lanka, jonka massan tiheyden (massan pituusyksikk¨o¨a kohti) pisteiss¨ax∈[0,∞[ ilmoittaa tiheysfunktio f(x) =e^−x. Laske langan massa sek¨a painopiste.

9. Osoita, ett¨a josGon yht¨al¨on (3) m¨a¨ar¨a¨am¨a piste,

niin Xn

i=1

−−→GAi×mi¯g= ¯0.

Osoita edelleen, ett¨a jos yht¨al¨ot (3) ja (4) ovat voimassa, niinG⁰ =G.

Kertomuksen kuvat on piirretty MetaPost-ohjelmalla, jonka alkeisiin perehdytt¨amisest¨a kiitokset Martti Ni- kuselle.

Matematiikkaa kaikille

Matti Lehtinen

Maanpuolustuskorkeakoulu

Hannu Karttunen: Tiedett¨a kaikille. Matematiikka.

T¨ahtitieteellinen yhdistys Ursa, 2006. 151 s. 24 euroa.

Englantilainen el¨ain- ja perinn¨ollisyystieteilij¨aLancelot Hogben kirjoitti vuonna 1936 suuren suosion saaneen teoksenMathematics for the Million, joka suomennet- tiin kolme vuotta my¨ohemmin nimell¨a Matematiikkaa kaikille. Hogben kirjoitti my¨os kirjan Luonnontieteit¨a kaikille. T¨ahtitieteilij¨a Hannu Karttunen ja etup¨a¨as- s¨a t¨ahtitieteeseen liittyv¨a¨a kirjallisuutta aiemmin kus- tantanut Ursa ovat ryhtyneet viel¨a laajakantoisempaan yritykseen, julkaisemaan sarjaa Tiedett¨a kaikille. Sen kolmantena niteen¨a, t¨ahtitieteen ja fysiikan j¨alkeen, on ilmestynyt teos Matematiikka.

Matematiikkaa popularisoivia kirjoja on Suomessakin viime vuosina julkaistu runsaasti. Useimmat ovat kui- tenkin niukasti kuvitettuja mustavalkoisia lukukirjoja ja kaikki k¨a¨ann¨oksi¨a. Jonkinlainen edelt¨aja Karttusen kirjalle on WSOY:n vuonna 1997 julkaisema Carol Vor- dermanin Kiehtovaa matematiikkaa. Se on kuitenkin selke¨asti enemm¨an lapsille suunnattu kuin Karttusen teos. Karttunen on kuvittanut kirjansa monipuolises- ti, suurelta osalta omin valokuvin, mutta my¨os esimer- kiksi Jarno Kantelisen hauskoin piirroksin. – Kirjan lopussa oleva kattavalta n¨aytt¨av¨a kuval¨ahteiden luet- telo houkuttaa miettim¨a¨an, mist¨a luettelossa mainit- semattomat kuvat ovat tulleet. T¨allaisia ovat esimer- kiksi Babbagen differenssikonetta esitt¨av¨a kuva, joka n¨aytt¨a¨a olevan jonkin muun teoksen kuvataulu VIII

ja Pascalin laskukonetta tai Rhindin papyryksen osaa esitt¨av¨at kauniit v¨arivalokuvat.

Karttunen pyrkii todella esitt¨am¨a¨an matematiikkaa tieteen¨a, eik¨a laskentona tai askarteluna. Jonkinlaisen kehyksen esitykselle antaa koulumatematiikka, jonka eri osille tekij¨a pyrkii antamaan taustaa ja syvyytt¨a.

Samalla Karttunen k¨ay kuitenkin l¨api suuren osan kou- lumatematiikkaan kuulumattomista matematiikan po- pularisointien vakioaiheista ja er¨ait¨a ei niin tavallisia- kin. Esitellyiksi tulevat niin ¨a¨arett¨om¨at joukot, neli- v¨ariongelma, valinta-aksiooma, fraktaalit, latinalaiset neli¨ot, kauppamatkustajan ongelma ja taksitopologia, mutta my¨os esimerkiksi inversio-ongelmat ovat saaneet oman lukunsa. Kun sivuja, tosin isokokoisia (tekstiala noin 17×24 cm²), ei kirjassa ole enemp¨a¨a kuin 150 ja niist¨akin kuusi aivan tyhj¨a¨a, ja sen kuvitus on runsas, ei useimpien aiheiden kohdalla ehdit¨a kovin pitk¨a¨an vii- py¨a. Hiukan ep¨ailytt¨a¨a, avautuvatko kaikki Karttusen esiin ottamat asiat kirjan kohderyhm¨alle, jonka ajatte- lee muodostuvan matematiikasta kiinnostuneista maal- likoista, koululaisista ja aikuisista.

Karttusen kirjoitustyyli on korostetun tuttavallista ja puheenomaista, paikoin melkein kiusaksi asti lukijaa kosiskelevan oloista. ”Nyt meill¨a alkaa jo olla lukuja jo- ka l¨aht¨o¨on. Vaan kuinkapa onkaan yht¨al¨on 2^x= 3 lai- ta?” Passivin ja oppikirjamaisen monikon ensimm¨aisen persoonan vaihtelu tuntuu sekin v¨aliin hermostuttaval- ta. Karttunen asettuu usein matematiikkaa kummas-

televien leiriin. Integraalimerkki on ”omituinen”, yht¨a- l¨o ”kenkkumainen”, 60-jakoiset kulmayksik¨ot ”j¨arjett¨o- mi¨a”. Makuasiat ovat makuasioita, ehk¨a en itse olisi n¨ain sanoja valinnut.

Hyv¨a¨an kirjaan on j¨a¨anyt muutama pieni ep¨atarkkuus- kin, toki. Selvin¨a virhein¨a voi pit¨a¨a mainintaa siit¨a, et- t¨a funktion derivaatta olisi k¨a¨annepisteess¨a nolla tai sit¨a, ett¨a Fermat’n pienen lauseen mukaan jakolaskun a^p/p jakoj¨a¨ann¨os olisi a. Kokeillaan vaikka funktiota f(x) =x³+xk¨a¨annepisteess¨ax= 0 tai lukujaa= 3 ja p= 2. Eulerin monitahokaskaava on kirjassa esite- tyss¨a muodossa tosi, jos kappale on yhdesti yhten¨ai- nen. Katkelman ”Suoran yht¨al¨oss¨a esiintyy vain muut- tujienxjayensimm¨aisi¨a potensseja. Siksi niiden v¨alis- t¨a riippuvuutta sanotaan lineaariseksi, mik¨a tarkoittaa juuri suoraviivaista.” viesti j¨a¨a v¨ahint¨a¨an ep¨aselv¨aksi.

Yll¨att¨av¨a¨a on my¨os, ett¨a Karttunen ottaa kolmiulot- teisen vektorin k¨aytt¨o¨on kolmen luvun kautta, mutta huomauttaa hetken kuluttua, ett¨a vektori onkin sellai- nen olio, johon voidaan liitt¨a¨a kolme lukua. Eik¨a lause- kex³+ax²+bx+cole itsess¨a¨an viel¨a yht¨al¨o. Kiireen j¨alki¨a on varmaan ep¨ayhten¨aisyys kaavojen v¨alistyksis- s¨a ja miinusmerkin pituudessa. Sen sijaan i:n k¨aytt¨o i:n sijasta imaginaariyksik¨on merkkin¨a n¨aytt¨a¨a tekij¨an tai layoutin suunnittelijan tietoiselta valinalta. Laaja matemaattisen kirjallisuuden selailu tuntui vakuutta- van k¨asityst¨ani siit¨a, ett¨a matemaatikkojen imaginaa- riyksikk¨o on aina kursivoitu i, jos kursiivi ylip¨a¨ans¨a on k¨ayt¨oss¨a. Sis¨all¨on ja ymm¨art¨amisen kannalta n¨am¨a ovat tietysti aivan merkityksett¨omi¨a seikkoja.

Matematiikan populaariesityksen juoneksi valitaan usein historia. Karttusellakin on runsaasti viittauksia historiaan. Erityist¨a johdonmukaisuutta siin¨a, ketk¨a historian henkil¨ot ovat saaneet taustakseen esimerkik- si maininnan elinvuosistaan, ketk¨a taas eiv¨at, ei n¨ay olevan. Erillisiin juoksevaan tekstiin kuulumattomiin laatikkoihin on lis¨aksi koottu kaikkiaan 17 merkitt¨a- v¨an matemaatikon pienoisel¨am¨akerrat. T¨am¨an kirjoit- tajalle niiss¨a esiintyv¨at nimet tuottivat hiukan p¨a¨anvai- vaa. Tuntemissani l¨ahteiss¨a ei Leibnizista ole tehty von Leibnizia eik¨a Laplacesta de Laplacea. Gaussin olen op- pinut tuntemaan etunimill¨a Carl Friedrich. Karttunen puhuu Johann Carl Friedrichist¨a. Muutaman Gauss- el¨am¨akerran selailu n¨aytti osoittavan, ett¨a Gauss on- kin itse asiassa ristitty nimell¨a Johann Friedrich Carl;

miss¨a vaiheessa Johann on pudonnut pois ja loput kak- si nime¨a vaihtaneet j¨arjestyst¨a¨an ei ole tiedossani. – Saksankielen opettaja voisi huomauttaa, ett¨a Hilbertin geometriankirjan nimess¨a on Grundlagen eik¨a Grund-

lage ja ett¨a Fregen Grundgesetze eiv¨at ole peruslauseita vaan peruslakeja.

Melkein kirjansa aluksi Karttunen tuo esiin matema- tiikan monipuolisuuden vetoamalla ”MSA-luetteloon”, jossa h¨anen mukaansa on 98 p¨a¨aluokkaa ja yli 5000 alaluokkaa. Matematiikan julkaisujen luokitteluun ei kuitenkaan k¨aytet¨a MSA- vaan MSC-nimist¨a luetteloa (Mathematical Subject Classification), eik¨a siin¨a ole 98 p¨a¨aluokkaa (vaikka ensimm¨aisen numero on 00 ja vii- meisen 97) vaan vain 63 – osa numeroista on k¨aytt¨a- m¨att¨a, reserviss¨a. Sen sijaan alaluokkien m¨a¨ar¨a lienee oikein.

Jos kirjan varsinaisesta asiasis¨all¨ost¨a puhutaan, niin perusanalyysi¨a, differentiaali- ja integraalilaskentaa esittelev¨an luvun kohdalla olisin ehk¨a kirjoittanut hiu- kan toisin kuin Karttunen. Makuasia tietysti t¨am¨a- kin, mutta abstraktin derivaatan sijasta konkreetti- nen muuttumisnopeuden kautta teht¨av¨a l¨ahestymi- nen vieh¨att¨aisi enemm¨an. Ja integraalin kaksijakoisuus

”fluenttina”, sin¨a joka muuttuu tunnetulla nopeudella, ja ¨a¨arett¨om¨an monen ¨a¨arett¨om¨an pienen summana, ei tekstist¨a oikein avaudu.

Edelliset sangen perifeerisiin seikkoihin puuttuvat yli- pedanttiset huomautukset on ymm¨arrett¨av¨a hengess¨a happamia sanoi kettu pihlajanmarjoista. Olisihan t¨al- laisen kirjan matemaatikkokin voinut kirjoittaa. Mutta hyv¨a kuitenkin, ett¨a Hannu Karttusen kirjoitti: kirja on joka tapauksessa aivan hieno saavutus. Sen voi hyvin antaa vaikka lahjaksi tai laittaa olohuoneen p¨oyd¨alle mink¨a tahansa arvokuvateoksen tapaan, kun vieraita saapuu. Ja Karttusen teksti osoittaa, ett¨a matematii- kasta voi kirjoittaa n¨aytt¨av¨asti ja kansantajuisesti sii- n¨a kuin muistakin tiedonaloista. Muitakin tieteenaloja popularisoitaessa jotkin seikat aina j¨a¨av¨at asiaa tunte- mattomille vaikeaymm¨arteisiksi. Matematiikan popula- risointia on kaihdettu, koska matematiikka on vaikeaa ja abstraktia. Mutta matematiikan puolesta puhuu sen loogisuus ja yleinen arvattavuus. Vaikkapa modernin fysiikan popularisoija on usein paljon haasteellisemman teht¨av¨an edess¨a.

Karttusen kirjaan on sinne t¨anne siroteltu muutama teht¨av¨akin. Kaikkiin esitet¨a¨an my¨os ratkaisu. Yksi teh- t¨av¨a on avoin: sen ratkaisijalle kustantaja lupaa pienen palkkionkin. Teht¨av¨a ei ole mahdoton ja uskonpa sen ratkaisseenikin. En aio kuitenkaan palkkiota vaatia, jo- ten kirjan toivottavasti monet ostajat voivat siit¨a va- paasti kilpailla.

Matematiikkaa viisivuotiaan opastuksella

Juha Haataja

Tieteen tietotekniikan keskus CSC

Suomessa aletaan hiljalleen ymm¨art¨a¨a matematiikan osaaminen kansantaloudellisena kilpailutekij¨an¨a. Li- s¨aksi pienet tiedekustantajat ovat viime vuosina ilah- duttavasti julkaisseet tiedekirjallisuutta, jossa matema- tiikka n¨ahd¨a¨an osana yleissivistyst¨a ja ihmiskunnan kulttuuriperint¨o¨a. Mutta mik¨a on olennaisinta mate- matiikan osaamisen kehitt¨amisess¨a? Taitavat opetta- jat, jotka osaavat innostaa koululaisia matematiikan pariin.

Esikoulusta se alkaa

Tytt¨areni aloitti syksyll¨a esikoulun, miss¨a h¨an pereh- tyy leikkimisen ohessa matemaattisiin k¨asitteisiin. Tyt- t¨areni oli ymm¨art¨anyt lukujen merkityksen kommen- toidessaan leikkipaikan keinujen m¨a¨ar¨a¨a: ”Tuossa on se numero, se ...” Sana oli hukassa mutta lukum¨a¨ar¨a tie- dossa. Oivallus!

Kotona ryp¨aleit¨a sy¨odess¨a¨an tyt¨ar arvuutti minulta nii- den lukum¨a¨ar¨a¨a. H¨an oli laittanut lautaselleen kolme terttua, joista kussakin oli nelj¨a ryp¨alett¨a. No kaksi- toistahan niit¨a oli. (Eskarissa on opiskeltu laskemaan 12:een asti.) Tyt¨ar s¨oi yhden ryp¨aleen ja kysyi, kuinka paljon niit¨a nyt on j¨aljell¨a. No 11 tietenkin. Se sattui olemaan tytt¨areni lempinumero, sill¨a niin monta lasta on eskariryhm¨ass¨a.

Ryp¨aleist¨a tulee mieleen kaikenlaista lukuihin liittyv¨a¨a.

Millaisilla eri tavoilla tietyn m¨a¨ar¨an ryp¨aleit¨a voi jakaa samankokoisiin osiin? Esimerkiksi 11 ryp¨alett¨a tai 12 ryp¨alett¨a. Mist¨a ero mahtaa johtua? Luvut ovat outo- ja olioita!

Tytt¨areni kuvaili eskarin opettajan n¨aytt¨am¨a¨a peli¨a, jossa lukuja laitettiin ruudukkoon niin ett¨a niiden sum- mat vaakasuoraan ja pystysuoraan olivat samoja. Ky- seess¨a oli ”lasten sudoku”. Opettaja sai lapset innostu- maan luvuista oman innostuksensa ansiosta.

Tytt¨aren p¨ahk¨aily lukujen parissa tuo mieleen unka- rilaisen matematiikan opetuksen tradition, jossa lap- sia aktivoidaan monipuolisesti. Lapset perustelevat vas- tauksiaan kertomalla ajattelustaan. Kielellinen harjoi- tus ja selke¨a p¨a¨attely tukevat toisiaan.

Unkarilla lienee maailmanenn¨atys ykk¨ostason mate- maatikkojen m¨a¨ar¨ass¨a suhteessa v¨akilukuun. Unkari- laissyntyisi¨a nobelisteja l¨oytyy kymmenkunta, esimerk- kein¨a holografian keksij¨a D´enes G´abor ja kvanttime- kaniikan symmetrioita tutkinut Eugene Wigner, joista kummankin tutkimusalueella tarvitaan vahvaa mate- maattista pohjaa.

Unkarilaista matematiikan opetuksen perinteest¨a on kerrottu aiemmin Solmussa. Lehden www-sivuilta sol-

mu.math.helsinki.fi l¨oytyy suomeksi k¨a¨annettyin¨a on- gelmia, joita koululaiset ratkovat. T¨ass¨a esimerkki: Voi- ko sadan ensimm¨aisen alkuluvun k¨a¨anteislukujen sum- ma olla kokonaisluku?

Kuka osaa vastauksen?

Koulussa aina vierastin tilannetta, jossa opettaja antoi ymm¨art¨a¨a hallitsevansa vastauksia eik¨a j¨att¨anyt tilaa oivaltaa. Mutta onneksi sain opettajia, jotka antoivat tilaa kekseli¨aisyydelle ja kokeiluille.

Sama oivaltamisen ilo auttaa jaksamaan my¨os ty¨oel¨a- m¨ass¨a. L¨oysin Pauli Juutin kirjasta ”Toivon johtami- nen” (WSOY, 2004) k¨asitteen ”ei-tiet¨av¨a positio”. Juu- tin mukaan asiantuntijaorganisaatiot selvi¨av¨at vain, jos esimiehet luopuvat tiet¨av¨aisyydest¨a ja kuuntelevat ty¨o- tovereitaan etsien yhdess¨a ratkaisuja.

Sama resepti p¨atee my¨os hyviin matematiikan opetta- jiin. Vain ”ei-tiet¨amisen” kautta l¨oytyy oivalluksen iloa.

Toki tarvitaan my¨os rautaista ammattitaitoa.

Matematiikkaan hurahtamisesta on ollut my¨ohemmin el¨am¨ass¨a paljon iloa. Informaatiotulvan keskell¨a ma- tematiikka tarjoaa k¨asitteit¨a ja v¨alineit¨a symmetrioi- den, relaatioiden, suuruusluokkien, todenn¨ak¨oisyyksien ja paradoksien l¨oyt¨amiseen. Ilman matematiikkaa edes- s¨a on vain lista faktoja. P¨a¨at¨oksenteossa matematiikan avulla voi etsi¨a olennaista faktojen syd¨amest¨a.

Maailma on matematiikkaa

Yhteiskunta muuttuu l¨apikotaisin matemaattiseksi.

Kaikkialla on digitaalista tekniikkaa, ja sit¨a my¨ot¨a ma- tematiikka soluttautuu kaikkialle. Tietokoneet, k¨anny- k¨at, digikamerat ja mp3-soittimet tikitt¨av¨at matemaat- tisten operaatioiden ja teoreemojen tahtiin.

Samalla rakennetaan yh¨a isompia ohjelmistoja. Kos- kaan ennen ihmiskunta ei ole luonut n¨ain suuria ja t¨as- m¨allisi¨a aineettomia rakenteita. Yhteiskunta toimii – jos toimii – matematiikan varassa.

Maailman todenn¨ak¨oisesti k¨aytetyin tietokoneohjelma Google rakentuu matematiikalle. Hakutulosten lait- taminen paremmuusj¨arjestykseen perustuu miljardeja tuntemattomia muuttujia sis¨alt¨av¨an ominaisarvoteht¨a- v¨an ratkaisemiseen.

Toisaalta matematiikan sulautumisessa ihmisten kult- tuuriin ei ole mit¨a¨an uutta. Kaikissa ihmisess¨a tikitt¨a¨a

sis¨all¨a eksakti matemaattinen koneisto, nimitt¨ain kol- me miljardia em¨asparia DNA:ta. T¨am¨a DNA-ketju on avattuna noin kahden metrin mittainen ja koodaa lu- kemattomia ihmisel¨am¨an salaisuuksia.

El¨ am¨ an salaisuutta j¨ aljitt¨ am¨ ass¨ a

Jos t¨an¨a p¨aiv¨an¨a l¨ahtisin opiskelemaan, panostaisin matemaattisiin taitoihin mutta suuntaisin biotieteisiin.

El¨am¨an salaisuus on kirjoitettu matematiikan kielell¨a.

Luin vastik¨a¨an Arja Hokkasen suomentaman John Gribbinin teoksen ”Syv¨a yksinkertaisuus – Kaaos, kompleksisuus ja el¨am¨an synty” (Ursa, 2005). Selk¨a- piiss¨ani kulkevat v¨areet, kun mietin kaoottisten dynaa- misten systeemien kaunista teoriaa. Tulee mieleen nuo- ruuden into sukeltaa uusiin asioihin.

Toinen matematiikan ihmeit¨a viime aikoina valottanut teos on ”SYNC - The Emerging Science of Spontaneous Order” (Hyperion, 2003). Steven Strogatz etsii vastaus- ta kysymykseen, miksi Malesian tulik¨arp¨aset tuikkivat

¨oisin samaan tahtiin. Kirja osoittaa, ett¨a synkronisoi- tuminen on v¨aist¨am¨at¨ont¨a johtuen takaisinkytkenn¨an ep¨alineaarisuudesta.

Leikki¨ a ja ymm¨ arryst¨ a

En halua painostaa tytt¨ari¨ani matematiikan opiske- luun. Mutta olisi ihanaa, jos heist¨a kasvaisi uteliaita, leikkisi¨a, kyseenalaistavia ja totuutta arvostavia nuo- ria naisia. Siis sellaisia, joilla on l¨ammin suhde mate- matiikkaan ja t¨ah¨an arvoitukseen, jota kutsumme maa- ilmaksi.

Kadehdin unkarilaisilta matematiikan opetuksen perin- nett¨a, jossa kehitet¨a¨an tasapainoisesti oppilaan kykyj¨a.

Menetelm¨a on hyvin suunniteltu, mutta vaatii opetta- jilta paljon, ehk¨a jopa pitk¨an perinteen matematiikan opettamisen kehitt¨amisest¨a.

Koululaisena k¨avelylenkeill¨a Kainuun kirkkaan t¨ahti- taivaan alla juttelin is¨ani kanssa maailmankaikkeuden ihmeist¨a. H¨an ei koskaan esitt¨anyt tiet¨av¨ans¨a asioista enemm¨an kuin min¨a, eik¨a tarjonnut valmiita vastauk- sia. T¨am¨a ei-tiet¨av¨aisyys ruokki uteliaisuuttani ja antoi tilaa omille oivalluksille.

Odotan kiinnostuneena, millaista matematiikkaa tytt¨a- reni minulle opettavat.

Nelj¨ a lukion oppikirjaa

Matti Lehtinen

Maanpuolustuskorkeakoulu

Tarmo Hautaj¨arvi, Jukka Ottelin ja Leena Wallin- Jaakkola: Laudatur 1. Funktiot ja yht¨al¨ot. Otava 2005.

216 s. 11,50 euroa.

Markku Halmetoja, Kaija H¨akkinen, Jorma Merikos- ki, Lauri Pippola, Harry Silfverberg, Timo Tossavai- nen, Teuvo Laurinolli ja Timo Sankilampi: Matematii- kan Taito 1 – 2. Funktiot ja yht¨al¨ot, Polynomifunktiot.

WSOY 2005. 245 s. 20,80 euroa.

Jukka Kangasaho, Jukka M¨akinen, Juha Oikkonen, Jo- hannes Paasonen, Maija Salmela ja Jorma Tahvanai- nen: Pitk¨a matematiikka 1. Funktiot ja yht¨al¨ot. WSOY 2004. 198 s. 11,40 euroa.

Pekka Kontkanen, Riitta Liira, Kerkko Luosto, Juha Nurmi, Riikka Nurmiainen, Anja Ronkainen ja Sisko Savolainen: Pyramidi 1. Lukion pitk¨a matematiikka.

Funktiot ja yht¨al¨ot. Tammi 2005. 152 s. 16,30 euroa.

Opetushallituksen M¨a¨ar¨ays 33/11/2003, Lukion ope- tussuunnitelman perusteet, jakaa lukion pitk¨an mate- matiikan pakollisen osuuden 10 kurssiksi, joista ensim- m¨ainen on nimelt¨a¨an Funktiot ja yht¨al¨ot. Varsin katta- vasta nimest¨a huolimatta m¨a¨ar¨ays esitt¨a¨a kurssille mel- ko vaatimattomat tavoitteet. Kurssin tavoitteena on, ett¨a ”oppilas vahvistaa yht¨al¨oiden ratkaisemisen ja pro- senttilaskennan taitojaan, syvent¨a¨a verrannollisuuden, neli¨ojuuren ja potenssin k¨asitteiden ymm¨art¨amist¨a¨an, tottuu k¨aytt¨am¨a¨an neli¨ojuuren ja potenssin laskus¨a¨an- t¨oj¨a, syvent¨a¨a funktiok¨asitteen ymm¨art¨amist¨a¨an tutki-

malla potenssi- ja eksponenttifunktioita ja oppii ratkai- semaan potenssiyht¨al¨oit¨a”. Keskeisiksi sis¨all¨oiksi ope- tussuunnitelma listaa nelj¨a asiaa, potenssifunktion, po- tenssiyht¨al¨oiden ratkaisemisen, juuret ja murtopotens- sin sek¨a eksponenttifunktion. Melkein kaikki tavoitteet ja asiat esiintyv¨at my¨os yl¨aasteen opetussuunnitelmas- sa. Koko lukion oppim¨a¨ar¨a¨a koskevat yleistavoitteet kuten se, ett¨a oppilaan toivotaan n¨akev¨an matemaatti- sen tiedon loogisena rakenteena, ymm¨art¨av¨an ja osaa- van k¨aytt¨a¨a matematiikan kielt¨a ja harjaantuvan k¨a- sittelem¨a¨an tietoa matematiikalle ominaisella tavalla, koskevat tietysti t¨at¨akin kurssia. M¨a¨ar¨ays on m¨a¨ar¨ays, mutta miten k¨asitell¨a¨an mielekk¨a¨asti eksponenttifunk- tiota ilman logaritmeja?

Opetussuunnitelmasta tulee todellista opetusta pitk¨al- ti oppikirjojen kautta. Tilanne, jossa oppikirjan kirjoit- taja on Funktiot ja yht¨al¨ot -kurssia realisoidessaan, ei ole aivan helppo. Kurssin sis¨all¨oksi m¨a¨aritellyt asiat ovat melkein kaikki jo peruskoulussa k¨asiteltyj¨a. K¨ay- t¨ant¨o osoittaa, ett¨a lukioon tulevat oppilaat hallitse- vat ne usein ¨allistytt¨av¨an huonosti. Kertaus olisi siis tarpeen. Mutta eteenp¨ainkin pit¨aisi joutua, jopa jatko- opintokelpoisuuden ja korkeakoulukypsyyden tuotta- vaa osaamista kohti. Aines sallisi toki ihan matemaatti- sesti kunnollisenkin l¨ahestymisen, mutta silloin pit¨aisi oikeastaan alkaa alusta. Opettaako matematiikkaa vai laskentoa?

Tarkastelen t¨ass¨a nelj¨a¨a Funktiot ja yht¨al¨ot -kurssia

varten kirjoitettua oppikirjaa. N¨aist¨a Matematiikan taito sis¨alt¨a¨a my¨os kurssin Polynomiyht¨al¨ot, mutta kaikki, mit¨a kirjasta sanon, koskee vain ensimm¨ais- t¨a kurssia. Kurssi p¨a¨attyy varsinaisesti kirjan sivulle 119, mutta molempia kursseja koskevat teht¨avien rat- kaisuosasto, hakemisto ja kirjaan sis¨altyv¨a suomalais- englantilainen sanasto. Valikoimani ei ole aivan katta- va, mutta siihen sis¨altyvill¨a kirjoilla opetetaan valtao- saa lukiolaisistamme. N¨ak¨okulmani on henkil¨okohtai- nen, matematiikan ammattilaisen ja harrastajan.

Tarkastellaan tuotteita ensin p¨a¨allisin puolin. Kaikki ovat pehme¨akantisia, kannesta v¨arikk¨ait¨a. Pyramidi on sentin muita korkeampi ja kapeampi, muiden mitat ovat 24×18,4 cm². Kirjojen painot ovat verrannol- lisia sivum¨a¨ariin: Laudatur kuormittaa lukiolaisen rep- pua 412 grammalla, Matematiikan taito 431 grammal- la (mutta siin¨a on kaksi kurssia), Pitk¨a matematiikka 354 grammalla ja Pyramidi 313 grammalla. Laudatur, Matematiikan taito ja Pitk¨a matematiikka on painet- tu kahdella v¨arill¨a. Pyramidissa on useampia v¨arej¨a, muttei kuitenkaan varsinaista v¨arikuvitusta. Kaikkien kirjojen teksti¨a on eri perustein painettu osin v¨arilli- siin laatikkoihin. Laudaturin ja Pyramidin sek¨a p¨a¨aosin Pitk¨an matematiikan kirjasin n¨aytt¨a¨a 12 pisteen kokoi- selta, Matematiikan taidon 11 pisteen. Pitk¨an matema- tiikan harjoitusteht¨av¨at on painettu 11 pisteen kirjasi- mella.

Kirjojen tekij¨oiden lukum¨a¨ar¨a vaihtelee kolmesta kah- deksaan. Molemmat sukupuolet ovat edustettuina. Py- ramidin tekij¨oist¨a enemmist¨o on naisia. Joka kirjan te- kemiseen on osallistunut toimittaja, ulkoasun suunnit- telijoita ja piirt¨aj¨a tai piirt¨aji¨a. Yhdenk¨a¨an kirjan yh- teyteen ei ole painettu mit¨a¨an taustatietoja tekij¨ois- t¨a, lukuun ottamatta Laudaturin esipuheen marginaa- liin painettuja, ilmeisesti jossain m¨a¨arin kirjan tekij¨oi- t¨a esitt¨avi¨a karikatyyrej¨a. Matematiikan taidon, Pitk¨an matematiikan ja Pyramidin tekij¨oist¨a kirjoittaja tun- nistaa sek¨a yliopistomatemaatikkoja ett¨a lukionopet- tajia, Google-haku paljastaa Laudaturin tekij¨at lukion opettajiksi. Tekij¨oiden taustaorganisaatioiden esille pa- no on julkaisuissa aika tavallista, mutta syyst¨a tai toi- sesta sit¨a ei n¨aiss¨a yhteyksiss¨a ole tehty.

Pyramidia lukuun ottamatta kirjojen alkuun on pai- nettu kurssin ajank¨aytt¨oehdotus. Matematiikan taito ehdottaa 30 tunnin k¨aytt¨amist¨a, Pitk¨a matematiikka 28:aa ja Laudatur 27:¨a¨a. Varsinaisen kurssiasian li- s¨aksi Laudaturissa on yksityiskohtaisia opiskeluohjeita, matematiikan olemusta pohdiskeleva jakso, sek¨a esiin- taitettava keskeisten asioiden lista, Pitk¨ass¨a matema- tiikassa sivun mittainen lainaus yll¨a kuvatusta ope- tussuunnitelmasta, Matematiikan taidossa suomalais- englantilainen sanasto ja Pyramidissa keskeisten mate- maattisten merkint¨ojen luettelo. Kaikissa kirjoissa on useampia mallikokeita, asiahakemisto ja periaattees- sa kaikki teht¨av¨at kattava harjoitusteht¨avien vastaus- luettelo. Numeroituja harjoitusteht¨avi¨a on Laudaturis-

sa 420, Matematiikan taidossa 489, Pitk¨ass¨a matema- tiikassa 370 ja Pyramidissa 290. Kun harjoitusteht¨a- v¨a tyypillisesti jakautuu useisiin alakohtiin, ei edellisi¨a lukuja voi suoraan pit¨a¨a kirjan teht¨avien lukum¨a¨ar¨a- n¨a. Melkein kaikki harjoitusteht¨av¨at ovat suoraviivaisia ja mekaanisia. Laudatur ja Matematiikan taito k¨ayt- t¨av¨at muutaman kerran mahdollisuutta teett¨a¨a jonkin tekstiss¨a ilmoitusasiana annetun kaavan todistus har- joitusteht¨av¨an¨a. T¨at¨a mahdollisuutta olisi esimerkiksi erilaisten potenssien laskus¨a¨ant¨ojen kohdalla varmaan voinut k¨aytt¨a¨a huomattavasti enemm¨ankin.

Painettua teksti¨a ja erityisesti matematiikan kielt¨a k¨aytt¨avi¨a julkaisuja lukemaan tottuneelle oppikirjojen yleisilme tuottaa h¨ammennyst¨a. Varsin suuri osa eten- kin Laudaturin, Pitk¨an matematiikan ja Pyramidin si- vuista vaikuttaa tauluty¨oskentelyn kopioinnilta tai j¨al- jittelylt¨a. Kaavat ovat virkeyhteydest¨a irrallisina, v¨ali- merkeitt¨a ja mahdollisesti viereen kirjoitettujen selit- t¨avien merkint¨ojen saattelemina. Vain Matematiikan taito noudattaa matemaattisen ja suomenkielisen esi- tyksen k¨ayt¨anteit¨a. Jos olisin ¨aidinkielenopettaja, oli- sin huolissani. Koska olen matematiikan opettaja, olen huolissani. En n¨ae syyt¨a totuttaa oppilaita v¨a¨ariin kir- joitustapoihin ja antaa heille oppikirjan auktoriteetin kautta k¨asitys, ett¨a matemaattista esityst¨a kirjoitet- taisiin eri s¨a¨ann¨oin kuin muuta kielt¨a. Aivan omitui- nen on my¨os Laudaturissa ja Pitk¨ass¨a matematiikassa puhtaimmin viljelty, mutta my¨os Pyramidissa k¨aytetty tapa antaa teht¨av¨a esimerkiksi seuraavassa muodossa:

Laske. a) (√ 2√

5)² b) Ã√

√10 2

!²

Kyll¨a ne laskettavat ovat laske-predikaatin objekteja ja kuuluvat samaan virkkeeseen, pistett¨a ennen ja pilkul- la tai yhdist¨av¨all¨a konjunktiolla erotettuna! Matema- tiikan taitoa lukuun ottamatta kirjat noudattavat my¨os k¨ayt¨ant¨o¨a, jossa ratkaistun esimerkin j¨alkeen kirjoite- taan uusi, Vastaus-sanalla alkava kappale, jossa vastaus toistetaan. Miksi ihmeess¨a? Eih¨an n¨ain mekaanisesti tehd¨a tosiel¨am¨ass¨a. Ymm¨art¨av¨a ja ajatteleva ihminen, jollaisia oppilaat ovat jo ennen opetusta ja toivottavas- ti viel¨a enemm¨an opetuksen j¨alkeen, oivaltaa varmasti vastauksen olemuksen muutenkin. My¨os opetussuunni- telman yleiset lauseet matematiikan kielest¨a edellytt¨ai- siv¨at malliksi kelpaavaa oppikirjateksti¨a. Taulutyylill¨a on paikkansa taululla, mutta silloin esitykseen liittyv¨at taululle kirjoittajan suulliset t¨aydennykset.

Paino- ja huolimattomuusvirheit¨a sattuu lukijan sil- m¨a¨an oikeastaan yll¨att¨av¨an v¨ah¨an. Laskuteht¨avi¨a en toki tarkistanut kuin pistokokein, mutta suorastaan v¨a¨ari¨a vastauksia ei tullut silmiini yht¨a¨an.

Kaikki oppikirjat ottavat huomioon opetussuunnitel- man viitteet. Kaikissa on erityiset suoraan ja k¨a¨ant¨aen verrannollisuutta k¨asittelev¨at lukunsa ja samoin pro- senttilaskentaa k¨asitell¨a¨an joka kirjassa. N¨aille aiheil-