Matematiikkalehti 1/2011 http://solmu.math.helsinki.fi/

1/2011

http://solmu.math.helsinki.fi/

Solmu 1/2011

ISSN-L 1458-8048

ISSN 1459-0395 (Painettu) ISSN 1458-8048 (Verkkolehti) Matematiikan ja tilastotieteen laitos PL 68 (Gustaf H¨allstr¨omin katu 2b) 00014 Helsingin yliopisto

http://solmu.math.helsinki.fi/

P¨a¨atoimittaja:

Matti Lehtinen, dosentti, Helsingin yliopisto Toimitussihteeri:

Juha Ruokolainen, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto S¨ahk¨oposti:toimitus@solmu.math.helsinki.fi

Toimituskunta:

Pekka Alestalo, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Heikki Apiola, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Aapo Halko, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Markku Halmetoja, lehtori, M¨ant¨an lukio

Ari Koistinen, FM, Metropolia Ammattikorkeakoulu

Mika Koskenoja, yliopistonlehtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Marjatta N¨a¨at¨anen, dosentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Antti Rasila, tutkija, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu

Hilkka Taavitsainen, lehtori, Ressun lukio Graafinen avustaja:Marjaana Beddard Yliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkil¨ot:

Virpi Kauko, FT, matemaatikko, virpi@kauko.org, Jyv¨askyl¨a Jorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fi

Sovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen yliopisto Jorma Merikoski, dosentti, jorma.merikoski@uta.fi

Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Tampereen yliopisto Petri Rosendahl, assistentti, petri.rosendahl@utu.fi

Matematiikan laitos, Turun yliopisto

Matti Nuortio, jatko-opiskelija, mnuortio@paju.oulu.fi Matemaattisten tieteiden laitos, Oulun yliopisto Timo Tossavainen, lehtori, timo.tossavainen@joensuu.fi

Savonlinnan opettajankoulutuslaitos, Joensuun yliopisto

Numeroon 2/2011 tarkoitetut kirjoitukset pyyd¨amme l¨ahett¨am¨a¨an 3.4.2011 menness¨a.

Kiit¨amme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa.

Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin, jotka ovat sit¨a erikseen pyyt¨aneet. Toivomme, ett¨a lehte¨a kopioidaan kouluissa kaikille halukkaille.

Kansi: Nelj¨an vuoden v¨alein jaettavaan Rolf Nevanlinna -palkintoon kuuluva kultainen mitali.

Sis¨ allys

P¨a¨akirjoitus: Korutonta kertomaa (Matti Lehtinen). . . .4

T¨aydellisyytt¨a etsim¨ass¨a (Anne-Maria Ernvall-Hyt¨onen) . . . . 6

Vaikeita, jopa mahdottomia yht¨al¨oit¨a (Matti Lehtinen) . . . . 9

Erehtyik¨o Douglas Adams? (Markku Halmetoja) . . . . 11

Suomen matematiikan t¨ahtinimet (Matti Lehtinen) . . . . 14

Matematiikan valitsemisen vaikeudesta (Markku Halmetoja) . . . . 18

Kahdeksan teht¨av¨a¨a peruskoululaisille (Matti Lehtinen) . . . . 20

Riitt¨a¨ak¨o l¨ammitys¨oljy (Heikki Apiola) . . . . 24

Matematiikkakilpailuvuosi 2010 (Matti Lehtinen) . . . . 28

Korutonta kertomaa

Syksyn 2010 ylioppilaskirjoitusten tulokset olivat j¨al- leen korutonta kertomaa. Pitk¨an matematiikan kokeen l¨ap¨aisyraja oli seitsem¨an (7) pistett¨a 66 mahdollisesta.

Seitsem¨an on noin 11 % 66:sta. Ylioppilaskirjoitusten vakiintunut tapa on asettaa hyv¨aksymisraja niin, ett¨a noin 95 % kokelaista hyv¨aksyt¨a¨an. Nyt tuon perin ma- talan rajan ylitti alle 90 % yritt¨ajist¨a. Koetta en ole huomannut mainitun vaikeaksi.

Olen joskus sanonut, ett¨a panos-tuotosmieless¨a tarkas- teltuna matematiikan opetus on valtakunnan onnetto- mimpia toimialoja. Nuori ihminen osallistuu opetuk- seen melkein p¨aivitt¨ain 12 vuoden ajan, mutta kovin monen kohdalla j¨a¨a saavuttamatta edes se yhden yk- sinkertaisen koeteht¨av¨an ratkaisemisen taito.

Abiturientti ei suinkaan joudu ylioppilaskirjoitukseen kylmilt¨a¨an ja yll¨atettyn¨a. Oletettavasti h¨an on suo- rittanut hyv¨aksytysti s¨a¨adetyn m¨a¨ar¨an lukion pakol- lisia kursseja. Niiden olisi kaiken j¨arjen mukaan pit¨a- nyt tuottaa ainakin sellainen minimiosaaminen, jolla l¨ahes maan tasolle asetetun riman yli olisi kevyesti as- tuttu. T¨am¨a antaa aiheen kysy¨a opettajien ja koulujen moraalin per¨a¨an. Miten niin monen oppilaan on mah- dollista selvit¨a kurssikokeesta toisensa j¨alkeen ilman osaamista? Luokallehan ei luokattomassa lukiossa j¨a¨a, mutta etenemisesteiden kaltaisin mekanismein on py- ritty ehk¨aisem¨a¨an oppilaan osaamattomuuden kasau- tuminen hallitsemattomaksi tilanteeksi. Painostavatko vanhemmat ja rehtorit matematiikan opettajia lipe¨a- m¨a¨an kaikista osaamiskriteereist¨a? Vai – kauheata sa- noa – onko opettajien ja opetushallinnon ammattitaito jotain muuta kuin mit¨a PISA-Suomen virallinen litur-

gia ja opettajien j¨arjest¨ot hehkuttavat?

Osallistuin marraskuussa lukion matematiikkakilpai- lun avoimen sarjan alkukilpailusuoritusten arviointiin.

Pyrkimykset saada laajemmat joukot tietoisiksi mate- matiikkakilpailusta n¨aytt¨av¨at tuottaneen tulosta, sill¨a kilpailusuorituksia oli arvioitaviksi l¨ahetetty puolentu- hatta. Vastausten lukeminen ei kuitenkaan ollut pelk¨as- t¨a¨an iloinen tapahtuma. Teht¨av¨at eiv¨at olleet vaikeita ja kilpailusarjaan osallistujat olivat keskim¨a¨arin abitu- rientteja, joiden matematiikan osaamisen voi olettaa olevan paremmasta p¨a¨ast¨a. Silti pistejakauman arit- meettinen keskiarvo oli 4,8, kun maksimipisteet (joi- ta toki jaettiin niit¨akin, hienoista suorituksista) olivat 24. Jakauman moodi eli useimmin esiintynyt pistem¨a¨a- r¨a oli 0. Siihen summaan p¨a¨atyi 16 % osallistujista. Ja vastauksissa aika tavallinen p¨a¨attelyaskel oli seuraava:

a⁻¹+b⁻¹+c⁻¹= 1⇒a+b+c= 1!

Pitk¨an matematiikan osaamisvajeessa on aineksia kan- salliseen katastrofiin. On aivan selv¨a¨a ja hyv¨aksytt¨a- v¨a¨a, ett¨a varsinaista matematiikkaa, siis muuta kuin laskentoa, eiv¨at kaikki tarvitse eiv¨atk¨a kaikki opi. Mut- ta kun kuitenkin aika moni tarvitsee ja voisi oppia, ja heill¨a ei oikein muutakaan tiet¨a matematiikkaan ole kuin t¨am¨a lukion oppim¨a¨ar¨a!

Mit¨a olisi teht¨av¨a? Ehdotan seuraavaa. Ylioppilastut- kinnon matematiikan kokeessa luovutaan suhteellisesta arvostelusta ja siirryt¨a¨an selviin, mutta toki kohtuul- lisiin kriteereihin; vain ne t¨aytt¨av¨a hyv¨aksyt¨a¨an. Yk- sinkertaisin selv¨a kriteeri olisi se vanha ainakin kolmen teht¨av¨an osaamisen vaatimus. Kun tilanne on luisunut

P¨ a¨ akirjoitus

nykyiselleen, on annettava siirtym¨aaikaa. Voitaisiin l¨ahte¨a siit¨a, ett¨a lukio-opiskelunsa ensi elokuussa alka- vat tiet¨av¨at j¨arjestelm¨an olevan voimassa kolmen vuo- den kuluttua.

Minulle vastataan, ett¨a n¨ain ei voi tehd¨a, koska seu- rauksena olisi oppilaskato pitk¨ass¨a matematiikassa.

Asetetut m¨a¨ar¨alliset tavoitteet j¨aisiv¨at saavuttamat- ta ja opettajien ty¨ollisyyskin voisi vaarantua. Oppilas- m¨a¨ar¨at voisivat todellakin pienenty¨a. Mutta eik¨o laatu korvaisi m¨a¨ar¨a¨a? Mit¨a ihmett¨a oikeastaan teemme sill¨a lumeopilla, jota nyt n¨ayt¨a¨an jaettavan kovin monelle?

∗ ∗ ∗

Kolme Jyv¨askyl¨an yliopistossa matematiikan opetta- jaksi opiskelevaa, Sami Hirvonen, Saku Koskinen ja Matti Koivuluoma, kirjoittivat Helsingin Sanomissa 18.10.2010 opinnoistaan. Heid¨an p¨a¨asanomansa oli, et- t¨a matematiikan opettajan opintojen ei tulisi koostua niin p¨a¨apainoisesti samoista aineksista kuin varsinai- siksi matemaatikoiksi opiskelevien kuin mit¨a he koke- vat tapahtuvan. Sen sijaan matematiikan opettajiksi koulutettavien pedagogisten tietojen ja taitojen kas- vattamiseen opintojen kuluessa ei panosteta riitt¨av¨asti.

Kirjoittajat haluaisivat tutustua koulumatematiikan ja koulun ilmi¨oihin koko opiskeluaikansa ajan. Hyvi¨a ta- voitteita kaikki.

Jyv¨askyl¨al¨aisopiskelijat eiv¨at varmaankaan ajattele, niin kuin monet matematiikkaa koulussa opiskelevat luonnostaan tekev¨at, ett¨a matematiikka olisi sama asia kuin se kokonaisuus, joka muodostuu koulukursseis- ta. Mutta pitk¨a kokemukseni matematiikan opettajista on, ett¨a aika moni opettaja tuntuu n¨ain ajattelevan.

Tunneista selvi¨a¨a melkein kuka vain, ovathan oppikir- jan teht¨avien vastaukset kustantajan verkkosivuilta ko- pioitavissa. Totuus on kuitenkin toinen. Matematiikan opettajan – ja vain h¨anen – keskeist¨a ammattitaitoa on ymm¨art¨a¨a ja v¨alitt¨a¨a tietoa siit¨a, ett¨a matematiikkaa riitt¨a¨a joka suuntaan koulukurssien rajaaman piirin ul- kopuolella, ett¨a my¨os t¨am¨an tiedon v¨alitt¨aminen. H¨an kykenee siihen vain, jos h¨an pystyy n¨akem¨a¨an koulu- matematiikan laajemmasta perspektiivist¨a. Sit¨a n¨ak¨o- kulmaa tuskin l¨oyt¨a¨a opiskelematta ja oppimatta ma- tematiikkaa, erityisesti sit¨a matematiikkaan kuuluvaa tarkkaa, t¨asm¨allist¨a ja omaa ajattelua. Oikean mate- matiikanopettajan ty¨o ja el¨am¨a ei ole oppikirjan vas- tausliitteen ja taulukkokirjan varassa. Ja mit¨a muita taitoja matematiikan opettajalta voikaan odottaa, niil- l¨a ei voi korvata itse matematiikan osaamista.

Matti Lehtinen

P¨ a¨ akirjoitus

T¨ aydellisyytt¨ a etsim¨ ass¨ a

Anne-Maria Ernvall-Hyt¨onen Kungliga Tekniska H¨ogskolan, Tukholma

Johdanto

Jatketaanpa Solmussa 2/2010 aloitettuja tekij¨afunk- tioon liittyvi¨a harjoituksia. T¨all¨a kertaa keskityt¨a¨an hieman toisenlaiseen tekij¨afunktioon kuin aikaisemmin, nimitt¨ain luvunnkaikkien positiivisten tekij¨oiden sum- maan

σ(n) =X

d|n

d.

T¨ast¨a eteenp¨ain t¨am¨an tekstin aikana oletetaan sanan tekij¨aviittaavan vain positiivisiin tekij¨oihin. Jos luvun nalkutekij¨ahajotelma onn=p^α₁¹· · ·p^α_k^k, niin

σ(n) = (1 +p1+· · ·+p^α₁¹)· · ·(1 +pk+· · ·+p^α_k^k)

= p^α₁¹⁺¹−1

p1−1 · · ·p^α_k^k+1−1 pk−1 .

T¨am¨an todistaminen j¨atet¨a¨an harjoitusteht¨av¨aksi. Ta- vallisen tekij¨afunktiond(n) =P

d|n1 yl¨araja on varsin pieni:d(n)≪ n^ε mill¨a tahansa positiivisellaε, mutta samaa ei funktiostaσvoi sanoa, sill¨a

σ(n) =n+ X

d|n, d<n

d.

Voimmekin nyt keskitty¨a aivan toiseen ongelmaan: Mil- loin luvunnsit¨a itse¨a¨an pienempien positiivisten teki- j¨oiden summa on sama kuin luku itse, eli milloin p¨a- teeσ(n) = 2n? T¨allaisia lukuja kutsutaant¨aydellisiksi luvuiksi. Esimerkiksi luku 28 on t¨aydellinen luku: Sen positiiviset tekij¨at ovat 1, 2, 4, 7, 14 ja 28, ja

1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2·28.

Selv¨asti siis t¨aydellisi¨a lukuja on olemassa (ainakin yk- si kappale). Seuraavat kysymykset ovatkin: Onko n¨ai- t¨a enemm¨an? Onko n¨ait¨a per¨ati paljon? Pilataan heti j¨annitys kertomalla loppuratkaisu:

1. Parillisia t¨aydellisi¨a lukuja on olemassa, ja niiden muoto tunnetaan t¨aysin. Sen sijaan ei tiedet¨a, onko niit¨a ¨a¨arett¨om¨an vai ¨a¨arellisen paljon.

2. Parittomia t¨aydellisi¨a lukuja ei oleteta olevan ole- massa. Valitettavasti t¨at¨a ei ole viel¨a todistettu (useista yrityksist¨a huolimatta ja vaikka jotkut it- se uskovatkin t¨am¨an todistaneensa).

Parilliset t¨ aydelliset luvut

Kuten edell¨a todettiin, parillisten t¨aydellisten lukujen tilanne on varsin selke¨a. Selvennet¨a¨an ensin parillisten t¨aydellisten lukujen muoto ja jutustellaan sen j¨alkeen enemm¨an niiden etsimisest¨a.

Lause 1. Jos2^p−1on alkuluku, niin2^p−1(2^p−1)on parillinen t¨aydellinen luku.

Todistus. T¨am¨an v¨aitteen todistus on hyvin helppo las- ku. Alkuluvun ainoat tekij¨at ovat luku 1 ja luku itse.

Siisp¨a

σ 2^p−1(2^p−1)

=σ 2^p−1

σ(2^p−1) = (2^p−1)·2^p, mik¨a todistaa v¨aitteen.

Toinen suunta on aavistuksen hankalampi kuin edelli- nen, mutta kuitenkin viel¨a varsin helppo:

Lause 2. Kaikki parilliset t¨aydelliset luvut ovat muo- toa2^p−1(2^p−1), jossa2^p−1 on alkuluku.

Todistus. Olkoon 2^hdparillinen t¨aydellinen luku, ja ol- koondpariton. Nyt

σ(2^hd) =σ(2^h)σ(d) = (2^h+1−1)σ(d).

Jotta kyseinen luku voi olla t¨aydellinen, on p¨adett¨av¨a 2^h+1d= (2^h+1−1)σ(d).

Siisp¨a 2^h+1−1|d. Kirjoitetaand= 2^h+1−1 k. Nyt σ(d)≥2^h+1k, miss¨a yht¨asuuruus vallitsee, jos ja vain josk= 1 ja 2^h+1−1 on alkuluku, eli

2^h+1 2^h+1−1

k= 2^h+1d= (2^h+1−1)σ(d)

≥(2^h+1−1)2^h+1k,

miss¨a yht¨asuuruus vallitsee vain edell¨a mainituilla eh- doilla. Koska puolet kuitenkin ovat yht¨asuuret (helppo sievennys), niin yht¨asuuruuden on vallittava. T¨am¨a to- distaa v¨aitteen.

Nyt siis tied¨amme millaisia parilliset t¨aydelliset luvut ovat. Esimerkiksi aiemmin esimerkkin¨a k¨aytetty luku 28 on t¨at¨a muotoa:

28 = 4·7 = 2³⁻¹·(2³−1).

Koska jokainen parillinen t¨aydellinen luku vaatii ihan ikioman alkuluvun muotoa 2^p−1, seuraava luonnollinen kysymys on, miten paljon t¨allaisia alkulukuja, eli niin kutsuttuja Mersennen alkulukuja, on olemassa. Ensim- m¨aiseksi todettakoon, ett¨a jotta t¨allainen luku voi olla alkuluku, on luvunpoltava alkuluku (helppo harjoitus- teht¨av¨a). Aikoinaan jopa uskottiin t¨am¨an olevan riitt¨a- v¨a kriteeri, mutta valitettavastiM11, eli luvunparvolla 11 saatava Mersennen luku ei ole alkuluku:

M11= 2047 = 23×89.

Lopulta Mersennen alkuluvut ovat varsin harvassa, eli l¨ahesk¨a¨an kaikilla alkuluvuilla pei luku Mp ole alku- luku. Toisaalta ei kuitenkaan tiedet¨a, onko t¨allaisia al- kulukuja ¨a¨arett¨om¨an paljon vai ei. Yleinen otaksuma tuntuu olevan, ett¨a niit¨a on ¨a¨arett¨om¨asti, mutta varsin harvassa.

Parittomat t¨ aydelliset luvut

Parittomille t¨aydellisille luvuille voi todistaa kaikenlai- sia lystikk¨ait¨a ominaisuuksia varsin alkeellisesti. Ky- seenalaista tietenkin on, onko n¨aill¨a ominaisuuksilla mit¨a¨an todellista merkityst¨a, mutta kertovat ne aina- kin siit¨a, ett¨a jos pariton t¨aydellinen luku on olemassa, niin sen on oltava varsin j¨annitt¨av¨an muotoinen. Aloi- tetaan hyvin yksinkertaisella v¨aitteell¨a:

Lause 3. Neli¨o ei voi olla pariton t¨aydellinen luku.

Todistus. Todistuskin on hyvin yksinkertainen. Jottan voisi olla t¨aydellinen luku, olisi kaikkien sen tekij¨oiden summan oltava parillinen (jotta σ(n) = 2n). Kuiten- kin tekij¨oiden summa voidaan laskea esimerkiksi seu- raavasti:

σ(n) =√

n+ X

d<√ n

d+n d

≡√

n≡1 (mod 2).

V¨aite onkin nyt selv¨a.

Osoitetaan nyt, ett¨a jossain mieless¨a luku ei kuitenkaan voi kovin paljon poiketa neli¨ost¨a:

Lause 4. Jos pariton t¨aydellinen luku on olemassa, niin se on muotoaqd², miss¨aqon alkuluku (joka jakaa tai ei jaa lukuad).

Todistus. Olkoon luvunnalkutekij¨ahajotelma n=p^α₁¹· · ·p^α_k^k.

Nyt

σ(n) = (1 +p1+· · ·+p^α₁¹)· · ·(1 +pk+· · ·+p^α_k^k). Huomaamme, ett¨a jos αi on pariton, niin (1 +pi+· · ·+p^α_iⁱ) on parillinen. Kuitenkin 2non vain kerran jaollinen luvulla 2 (eli se ei ole mill¨a¨an suurem- malla kakkosen potenssilla jaollinen), jolloin my¨osσ(n) saa olla vain kerran jaollinen luvulla 2. T¨aten vain yksi tekij¨oist¨a (1 +pi+· · ·+p^α_iⁱ) voi olla parillinen. V¨aite on todistettu.

Tarkennetaanpa nyt edellist¨a tulosta:

Lause 5. Josn=qd²on pariton t¨aydellinen luku, niin q≡1 (mod4).

Todistus. Olkoon luvunnalkutekij¨ahajotelma q^βp^2α₁ ¹· · ·p^2α_k ^k.

Nyt

σ(n) =σ q^β

σ p^2α₁ ¹· · ·p^2α_k ^k .

Muistetaan nyt, ett¨a q² ≡ 1 (mod 4). Jos olisi q ≡ 3 (mod 4), niin olisiσ q^β

= 1 +q+· · ·q^β ≡0 (mod 4), mik¨a ei ole mahdollista. T¨am¨a todistaa v¨aitteen.

Todistetaan ihan lopuksi viel¨a pieni tulos alkutekij¨oi- den lukum¨a¨ar¨a¨an liittyen, eli ett¨a niit¨a on oltava pal- jon:

Lause 6. Parittomalla t¨aydellisell¨a luvulla on oltava v¨ahint¨a¨an pienimm¨an alkutekij¨an verran erisuuria al- kutekij¨oit¨a.

Todistus. Olkoon luvun n alkutekij¨ahajotelma p^α₁¹· · ·p^α_k^k. Jos p¨atee

2p^α₁¹· · ·p^α_k^k =p^α₁¹⁺¹−1

p1−1 · · ·p^α_k^k+1−1 pk−1 , niin arvioimalla yl¨osp¨ain oikeaa puolta saadaan

2p^α₁¹· · ·p^α_k^k < p^α₁¹⁺¹

p1−1· · · p^α_k^k+1 pk−1, eli

2< p1

p1−1· · · pk

pk−1. Huomatkaamme nyt, ett¨a funktio

g(x) = x x−1

on laskeva, kun x > 1 (ep¨ailev¨aiset lukijat voivat de- rivoida ja p¨a¨aty¨a samaan johtop¨a¨at¨okseen). Voimme my¨os p¨a¨att¨a¨a, ett¨a

p1< p2<· · ·< pk.

Siisp¨a 2< p1

p1−1· · · pk

pk−1

< p1

p1−1 ·p1+ 1

p1 · · ·p1+k−1

p1+k−2 = p1+k−1 p1−1 . Loppu onkin varsin helppo lasku:

2(p1−1)< p1+k−1, jotenp1−1< k, mik¨a todistaakin v¨aitteen.

Tulosta koulusi ilmoitustaululle Solmun etusivultahttp://solmu.math.helsinki.fi – Solmun juliste

– Monikielisen matematiikkaverkkosanakirjan juliste

Vaikeita, jopa mahdottomia yht¨ al¨ oit¨ a

Matti Lehtinen Helsingin yliopisto

Kielen aineksiin kuuluvat paitsi yksiselitteisesti tarkoi- tettaan vastaavat sanat, my¨os kielikuvat ja vertauk- set. Kuvia ei kovin usein l¨oydet¨a matematiikan k¨asit- teist¨ost¨a. Joskus kuitenkin n¨akee kirjoitettavan yhtei- sest¨a nimitt¨aj¨ast¨a, toisinaanreunaehdosta. Yksi mate- matiikkal¨aht¨oinen sana tuntuu nyky¨a¨an p¨a¨asseen var- sinaiseksi suosikiksi. Se on yht¨al¨o, joka monen kirjoit- tajan tekstiss¨a edustaa milloin mink¨akinlaista yhdis- telm¨a¨a. Taannoinen suomen kielen normien perusteos, puolen vuosisadan takainen Nykysuomen Sanakirja, pi- t¨a¨a sanaa yksiselitteisen matemaattisena: ”yht¨al¨o s.

mat.kahden yht¨a suureksi merkityn lausekkeen koko- naisuus, ekvaatio; vrt. kaava 4.a.| Identtinen, ehdolli- nen y. Ensimm¨aisen, toisen asteen y. Y:n vasen ja oikea puoli. Y:n juuri. Ratkaista y.”

Vuoden 2010 tiedotusv¨alineiss¨a yht¨al¨o on kuitenkin ai- van muuta. Katsotaanpa jokunen esimerkki.

Aamulehden p¨a¨akirjoituksen otsikko 29.7.2010 on ”Ve- n¨al¨ainen yht¨al¨o”. Lihan Ven¨aj¨an-vienti¨a k¨asittelev¨an kirjoituksen mukaan ”T¨ah¨an yht¨al¨o¨on on nyt alkanut il- mesty¨a konkreettisia lukuja. Ven¨al¨aisten kerrotaan esi- merkiksi l¨oyt¨aneen Atrian sianlihasta aknel¨a¨akett¨a ja muita antibiootteja.” Olavi Uusivirta pohti Helsingin Sanomissa 21.5.2010 kulttuurin ilmaisjakelua verkossa ajatuksin ”Lienee suhteellisen loogista, ett¨a jos t¨ast¨a yht¨al¨ost¨a poistetaan ostaja, joudutaan kojuihin lait- tamaan laput luukulle, kuten Atso Almila jo ehdotti- kin.” Ilta-Sanomien Plus-liite teoretisoi sukupuoliroo- leista kes¨anvietossa 17.7.2010: ”M¨okill¨a ollaan tilan- teessa, jossa tervett¨a tekemist¨a molemmille sukupuo-

lille riitt¨a¨a, ja yht¨al¨ost¨a on karsittu lasikatosta jaa- rittelevat naisdosentit.” Kimmo Siira ihmetteli yleisur- heilun MM-kisojen keih¨askarsinnan tuloksia Kalevas- sa 31.7.2010: ”Andreas Thorkildsen ja perjantaiaamun keih¨askarsinnan tulos 78,82 eiv¨at sovi samaan yht¨al¨o¨on, vaikka kuinka py¨orittelisi.” Pekka Vahvanen pohtii Su- danin poliittista tilannetta Kalevassa 19.8.2010: ”T¨a- m¨an argumentin mukaan al-Bashrin poistaminen yht¨a- l¨ost¨a veisi maan yh¨a pahempaan anarkiaan.”

Tiedotusv¨alineiden yht¨al¨o¨on liittyy tavallisesti lis¨a- m¨a¨areit¨a, yleens¨a jotenkin kielteisi¨a. Yht¨al¨o voi olla mahdoton: ”Islam ja uskonnonvapaus, mahdoton yh- t¨al¨o” (Tiede-lehden keskustelupalstan aiheotsikko),yl- l¨att¨av¨an vaikea: ”Hirvenmets¨astys on yll¨att¨av¨an vai- kea yht¨al¨o” (Timo Myllykoski, Kaleva 29.9.2010), toi- mimaton: ”Kyseess¨a on toimimaton yht¨al¨o, jossa val- tio siirt¨a¨a h¨at¨akeskusuudistusten riskit kuntien ja kan- salaisten harteille” (Petri Lindh, Helsingin Sanomat 20.5.2010), p¨a¨at¨on: ”Mielest¨ani t¨am¨a on p¨a¨at¨on yht¨a- l¨o: teet itse ty¨ot, talletuksille maksetaan onnetonta kor- koa, ja siit¨a hyv¨ast¨a maksat yh¨a kalliimpia palvelumak- suja” (Mari Niemi-Saari, Helsingin Sanomat 9.9.2010), onneton ja absurdi: ”Yht¨al¨o on siis onneton ja absur- di: otamme kuluttamalla ekologista velkaa tulevilta su- kupolvilta ilman ett¨a se edes lis¨a¨a onnellisuuttamme”

(Katri Merikallio, Suomen Kuvalehti 18/2010),kaupal- linenja mahdoton: ”Suosittua ulkomaista tv-draamaa voi saada 1000–10000 eurolla tunti. Vastaava suomalai- nen saattaa maksaa 200000–300000 euroa tunti. Kau- pallinen yht¨al¨o on mahdoton.” (Mikael Jungner, Kana-

va 5/2010) tai hengenvaarallinen: ”– kotihitsaaja par- sii tee-se-itse per¨avaunun ja laittaa paksun maaliker- roksen p¨a¨alle. Tuloksena on hengenvaarallinen yht¨al¨o muille tiell¨aliikkujille.” (Eero Saarikyl¨a, Helsingin Sa- nomat 20.5.2010).

Negatiivinen yht¨al¨o- ja matematiikkakokemus yleen- s¨akin lienee my¨os Jonnalla Anna-lehdess¨a 17.6.2010:

”Ihan samat ongelmat kuin edellisess¨a avioliitossani.

Eip¨a ole monta yhteist¨a nimitt¨aj¨a¨a t¨ass¨a yht¨al¨oss¨a- ni.” Sen sijaan Jorma Styngill¨a Kalevassa 27.9.2010 on my¨onteisempi n¨akemys: ”Tieteen ja taiteen yht¨al¨o on ihan mielenkiintoinen”.

Eih¨an kielikuvan k¨ayt¨oss¨a mit¨a¨an pahaa ole. Joten- kin vain tuntuu, ett¨a yht¨al¨o-sanaa tarjotaan yleens¨a yhdistelm¨a-sanan tilalle nimenomaan sellaisiin kohtei- siin, joissa yhdistelm¨a on ep¨atoivottava tai hankala. Sa- malla heijastellaan ehk¨a matematiikkaan kohdistuvaa varmaan yleens¨a tiedostamatonta negatiivista perus- asennetta. ¨A¨arimm¨aisyyteen t¨am¨an taitaa vied¨a Mark- ku Jokisipil¨a Helsingin Sanomissa 15.10.2010, kun holo- kaustista syntyy yht¨al¨o: ”H¨an pohtii vakuuttavasti teol- lisen joukkomurhan mahdollistaneiden tekij¨oiden koko- naisuutta. Hitlerin ja muiden natsijohtajien antisemi- tismi ja rotuajattelu olivat yht¨al¨oss¨a t¨arkeit¨a, mutta

toteutus vaati tuhansien uratietoisten keskitason vir- kamiesten oma-aloitteisuutta ja kymmenien tuhansien kuuliaisten rivimiesten (ja -naisten) panosta.”

Yht¨al¨okielikuvaa voi toki k¨aytt¨a¨a matemaattisesti ep¨ailytt¨av¨all¨a tavalla my¨os positiivisessa hengess¨a.

Voittamisvalmentaja Cristina Anderssonin blogikirjoi- tus 4.2.2010 hehkuttaa ”Olen aikaisemmin k¨aytt¨anyt yht¨al¨o¨a win+win(+win) kuvatessani todellisen voitta- misen olemusta. Yht¨al¨oss¨a molemmat osapuolet voit- tavat win+win ja tuottavat voittavia vaikutuksia my¨os kolmansille osapuolille, jotka eiv¨at v¨altt¨am¨att¨a ole mu- kana prosessissa (+win).” ja Pentti Harinen kommen- toi kirjoitusta kaksi p¨aiv¨a¨a my¨ohemmin ”Nyt tarvitaan uusia, luovia yht¨al¨oit¨a!” Dekkaristi Ari Paulow filoso- foi sukupuolisen h¨airinn¨an ep¨atasa-arvoisuutta kirjas- saan It¨amaista rakkautta (2009): ”Kuinka moni mies- puolinen baarimikko ja portsari oli ty¨oaikana joutunut naisasiakkaiden ehdotusten ja takapuolesta nipistely- jen kohteeksi ja kuinka moni heist¨a oli siit¨a valittanut?

Edell¨a mainittu yht¨al¨o oli naurettavan helppo ratkais- ta: ¨a¨aret¨on x nolla = nolla.”

Rikastuisikohan kielenk¨aytt¨o edelleen, jos laajempaan tietoisuuteen levi¨aisi matematiikan k¨asiteep¨ayht¨al¨o?

”Neuvoni nykyp¨aiv¨an kaksikymppiselle on lyhyt: mit¨a¨an ei tarvita tulevaisuudessa yht¨a paljon kuin ihmisi¨a, jotka osaavat matemaattis-loogisin ty¨okaluin analysoida suuria aineistoja. Se p¨atee alasta riippumatta.” N¨ain kertoo Samuli Ripatti Ajassa-lehdess¨a 3/2010. Ripatti v¨aitteli Tukholmassa tohtoriksi 2001 l¨a¨aketieteellisi¨a ongelmia selvitett¨aess¨a syntyneist¨a tilastotieteellisist¨a haasteista ja on nykyisin geenitutkija.

Erehtyik¨ o Douglas Adams?

Markku Halmetoja M¨ant¨an lukio

Osmo Pekonen luo artikkelissaan [1] mielenkiintoisel- ta n¨aytt¨av¨an yleiskatsauksen uusimman matemaatti- sen fysiikan er¨a¨aseen tutkimuskohteeseen ja sen edel- lytt¨am¨a¨an matematiikkaan. Maallikko ei tosin ymm¨ar- r¨a kummastakaan juuri muuta kuin sen, ett¨a kokonais- luku 26 n¨aytt¨a¨a sukeutuvan esiin mit¨a yll¨att¨avimmis- t¨a yhteyksist¨a. Moni asia n¨aytt¨aisi viittaavan siihen, ett¨a maailmankaikkeus on 26–ulotteinen, mutta meille tuntemattomat ulottuvuudet ovat k¨apertyneet Planc- kin mittakaavaan pienemmiksi kuin 10⁻³⁵m. Pekonen lis¨a¨a loistavalla tyylill¨a¨an lukua 26 puoltavaan todis- tetaakkaan my¨os matemaattisen vitsin, joka on k¨asill¨a olevan kirjoituksen varsinainen aihe:

X∞

n=1

n³ 2ⁿ = 26.

T¨all¨a summalla ei tietenk¨a¨an ole mit¨a¨an tunnettua yh- teytt¨a korkeampaan fysiikkaan, mutta se on omana it- sen¨a¨an kiinnostava. Miten se voidaan todistaa? Miksi se ylimalkaan on kokonaisluku? Ovatko mahdollisesti kaikki summat

Sk = X∞

n=1

n^k

2ⁿ, k∈N,

kokonaislukuja? Riitt¨a¨ak¨o koulumatematiikka n¨aiden asioiden selvitt¨amiseen?

Vastaus l¨oytyy hieman ep¨atodenn¨ak¨oisest¨a suunnasta, nimitt¨ain todenn¨ak¨oisyyslaskennasta. Olkoon X dis-

kreetti satunnaismuuttuja, jonka todenn¨ak¨oisyysjakau- ma on

X x1 x2 x3 . . . xı . . . p p1 p2 p3 . . . pı . . .

Todenn¨ak¨oisyyslaskennan perusteiden mukaan jakau- man kaikkien todenn¨ak¨oisyyksien summa on

X

ı

P (X=xı) =X

ı

pı= 1.

Sovelletaan t¨at¨a er¨aiden kolikonheittoon liittyvien sa- tunnaisilmi¨oiden yhteydess¨a. Heitet¨a¨an aluksi kolikkoa, kunnes saadaan klaava. Olkoon satunnaismuuttujaX0

t¨ah¨an tarvittavien heittojen lukum¨a¨ar¨a. Selv¨asti X0:n arvojoukko onZ₊, ja koska heitot ovat toisistaan riip- pumattomia, on

P(X0=n) = ¹₂·¹₂·. . .·¹₂

| {z }

(n−1) kpl

·¹₂ = ¹₂n

.

Kaikkien todenn¨ak¨oisyyksien summa on X∞

n=1

P (X0=n) = X∞

n=1 1 2

n

= 1.

Siis

S0= X∞

n=1

n⁰ 2ⁿ =

X∞

n=1 1 2

n

= 1.

T¨am¨a on tietenkin tavallinen geometrinen sarja. (Sum- mia, joissa on ¨a¨aret¨on m¨a¨ar¨a yhteenlaskettavia, kut- sutaan sarjoiksi.) Sen suppeneminen ja summa on nyt

todistettu todenn¨ak¨oisyyslaskennan kautta. Aktiivinen lukija voi pohtia, voisiko jotakin vinkuraista kolikkoa heitt¨am¨all¨a laskea yleisemm¨an summan

S(x) = X∞

n=0

xⁿ, x∈]0,1[.

Uusitaan koe heitt¨am¨all¨a kolikkoa, kunnes saadaan toi- nen klaava. Olkoon satunnaismuuttujaX1tarvittavien heittojen lukum¨a¨ar¨a. T¨am¨a muuttuja saa arvonn, jos (n−1):ll¨a heitolla saadaan tasan yksi klaava ja viimei- sell¨a heitolla toinen klaava. Klaavojen m¨a¨ar¨a tietyss¨a heittosarjassa on binomijakautunut, joten

P (X1=n) = n−1

1

1 2

1 2

n−2

·¹2 = n−1

1

1 2

n

. Kahden klaavan saamiseen tarvitaan v¨ahint¨a¨an kaksi heittoa. Merkitsem¨all¨a todenn¨ak¨oisyyksien summa yk- k¨oseksi saadaan

1 = X∞

n=2

n−1 1

1 2

n

= X∞

n=2

(n−1) ¹₂n

= X∞

n=1

(n−1) ¹₂n

. T¨ast¨a seuraa (soveltamalla raja-arvon laskus¨a¨ant¨oj¨a

¨a¨arellisiin osasummiin) 1 =

X∞

n=1

n 2ⁿ −

X∞

k=1

(¹₂)ⁿ=S¹− S⁰, ja edelleen

S¹= 1 +S⁰= 1 + 1 = 2.

Jatketaan samalla tavalla. Heitet¨a¨an kolikkoa, kunnes saadaan kolmas klaava. Satunnaismuuttuja X2 on t¨a- h¨an tarvittavien heittojen lukum¨a¨ar¨a. V¨ahint¨a¨an kol- me heittoa tarvitaan, ja todenn¨ak¨oisyys, ett¨a X2 saa arvonn, on

P (X2=n) = n−1

2

1 2

2 1 2

n−3

·¹₂

= n−1

2

1 2

n

.

Kuten edellisess¨akin tapauksessa 1 =

X∞

n=3

n−1 1

1 2

n

= X∞

n=3

(n−1)(n−2) 2

1 2

n

= X∞

n=1

(n−1)(n−2) 2

1 2

n

.

T¨ast¨a seuraa 2 =

X∞

n=1

n²−3n+ 2 ₁

2

n

=S²−3S¹+ 2S⁰,

ja edelleen

S2= 2 + 3S1−2S0= 2 + 3·2−2·1 = 6.

T¨am¨a maistuu varmaan jo puulta, mutta heitet¨a¨an edelleen kolikkoa, kunnes saadaan nelj¨as klaava. Satun- naismuuttuja X3 olkoon t¨ah¨an tarvittavien heittojen lukum¨a¨ar¨a. V¨ahint¨a¨an nelj¨a heittoa tarvitaan. Kuten edell¨a

P (X3=n) = n−1

3

1 2

3 1 2

n−4

·¹₂

= n−1

3

1 2

n

ja

1 = X∞

n=4

n−1 3

1 2

n

= X∞

n=4

(n−1)(n−2)(n−3) 3!

1 2

n

.

Summaus voidaan aloittaa arvosta n= 1 alkaen, sill¨a kolme ensimm¨aist¨a termi¨a ovat nollia. Siis

1 = X∞

n=4

(n−1)(n−2)(n−3) 3!

1 2

n

= X∞

n=1

(n−1)(n−2)(n−3) 3!

1 2

n

,

mist¨a seuraa 6 =

X∞

n=1

(n−1)(n−2)(n−3) ¹₂n

=S³−6S²+ 11S¹−6S⁰, ja lopulta

S3= X∞

n=1

n³ 2ⁿ = 26.

Summan Sk laskemiseksi saadaan samantapainen yh- t¨al¨o kuin yll¨a n¨ahdyt. Jos edelt¨av¨at summat ovat ko- konaislukuja, niin my¨osSk on kokonaisluku. Koska al- kup¨a¨an summat ovat kokonaislukuja, seuraa induktio- periaatteesta, ett¨a kaikki n¨am¨a summat ovat kokonais- lukuja.

Aktiivinen lukija voi siis t¨aydent¨a¨a taulukkoa

S0 S1 S2 S3 . . . 1 2 6 26 . . .

kokonaisluvuilla kuinka pitk¨alle tahansa, tai ainakin vastata Mensa-tyyppiseen kysymykseen: Mik¨a on lu- kujonon 1, 2, 6, 26,. . .seuraava termi?

Miten t¨am¨a kaikki liittyy Douglas Adamsiin? H¨anen mainio teoksensa [2] huipentuu lukuun 42 tavalla, jo- ta ei t¨ass¨a ole tarpeen l¨ahemmin selitt¨a¨a, jotta luku- kokemus olisi t¨aydellinen niille, jotka eiv¨at viel¨a ole t¨at¨a kirjaa lukeneet. Luku 42 edustaa monille humo- ristista pakotiet¨a ahdistuksesta, jota kaatuvat tietoko- neet ja p¨a¨att¨om¨asti toimivat ohjelmistot aiheuttavat.

Jos Adams olisi sattumoisin valinnut maagiseksi luvuk- seen 26, niin h¨an olisi saanut satiiriinsa ripauksen maa- ilmankaikkeuden syvimm¨ast¨a olemuksesta. Mutta on- nistuiko h¨an t¨ass¨a sittenkin? Jos korostetaan lukujen esitt¨amisen paikkamerkint¨a¨a hakasuluilla, esimerkiksi

35 = [3][5], niin lukujen 26 ja 42 v¨alille l¨oytyy yhteys:

26 = [2][6] = [4−2][4 + 2].

Kiitos dosentti Osmo Pekoselle artikkelin [1] erillispai- noksesta.

Viitteet

[1] Osmo Pekonen,Miksi maailmankaikkeutta on v¨ai- tetty 26–ulotteiseksi?, Arkhimedes 1, 1992.

[2] Douglas Adams,Linnunradan k¨asikirja liftareille, WSOY 1989.

Matematiikkalehti Solmustahttp://solmu.math.helsinki.fil¨oytyy my¨os oppimateriaaleja:

Algebra (Tauno Mets¨ankyl¨a ja Marjatta N¨a¨at¨anen) Matematiikan perusk¨asitteiden historia (Erkki Luoma-aho)

Matemaattista fysiikkaa lukiolaiselle (Markku Halmetoja ja Jorma Merikoski) Lukuteorian helmi¨a lukiolaisille (Jukka Pihko)

Algebra (K. V¨ais¨al¨a)

Matematiikan historia (Matti Lehtinen)

Suomen matematiikan t¨ ahtinimet ¹

Matti Lehtinen Helsingin yliopisto

Kaikenlaisen toiminnan tuloksellisuuden arviointia pi- det¨a¨an aina vain t¨arke¨amp¨an¨a. Ja suomalaiset ovat ai- na kovin kiinnostuneita tiet¨am¨a¨an, mik¨a on meid¨an rankingimme erilaisilla listoilla. Suomen matematiikan- opetuksen k¨arkimaaksi tehnyt ”PISA-tutkimus” on an- tanut ilonaiheita poliitikoille ja opetushallinnolle.

Suomen matematiikan tutkimuksen nykytilaakin ovat asiantuntevat kansainv¨aliset arvosteluraadit k¨ayneet tarkastelemassa. Otetaan nyt viel¨a rohkeampi tavoi- te ja yritet¨a¨an selvitt¨a¨a suomalaisten matemaatikko- jen panosta maailman matematiikalle historiallisesta- kin perspektiivist¨a. Jotta arvio ei olisi aivan subjek- tiivinen, olisi hy¨odynnett¨av¨a jonkinlaista kansainv¨alis- t¨a arvosteluraatia. Mist¨a sellainen? Yksi huokea tapa poimia kansainv¨alist¨a arvostusta nauttivat suomalais- matemaatikot on katsella arvostettujen matematiikan historian monografioiden ja matemaattisten hakuteos- ten henkil¨ohakemistoja. Keit¨a ovat t¨allaisen ”kansain- v¨alisen raadin”tunnustamat suomalaismatemaatikot ja mill¨a ansioilla he ovat listoille p¨a¨asseet?

Matematiikan yleishistorioiden osalta tulos on laiha.

Tavallisimmissa matematiikan historian oppikirjoissa ei esiinny suomalaisnimi¨a juuri ollenkaan.

Muutama poikkeus toki on. Florian Cajorin Histo- ry of Mathematicsmainitsee 1919 ilmestyneess¨a toi- sessa painoksessaan Lorenz Lindel¨ofin ja Jarl Linde- bergin, jaLeonhard Euleria k¨asittelev¨at teokset tunte-

vat yleens¨a Anders Lexellin. Vuonna 1921 ilmestynyt Sir Thomas HeathinmonumentaalinenA History of Greek Mathematics tiet¨a¨a kertoa, ett¨a toisin kuin yleens¨a uskotaan, suomalainen, Turun Akatemian ma- tematiikan professoriMartin Johan Wallenius (1731–

73) saattoi vuonna 1766 p¨a¨at¨okseen er¨a¨an matema- tiikan historian t¨arkeimpiin kehityslinjoihin kuuluneen ongelman selvittelyn. Kyseess¨a on ongelma euklidisin keinoin neli¨oit¨avist¨a ympyr¨akaksikulmiokuvioista. 400- luvulla eKr. el¨anytHippokrates Khioslainenosoitti, et- t¨a se kahta kuunsirppi¨a muistuttava kuvio, jota rajoit- tavat ne puoliympyr¨at, joiden halkaisijat ovat suora- kulmaisen kolmion hypotenuusa ja kateetit, on pinta- alaltaan sama kuin sen pohjana oleva suorakulmainen kolmio. Juuri t¨am¨a tieto kannusti tutkimaan ympyr¨an neli¨oimisen mahdollisuutta, kysymyst¨a, joka oli avoin aina 1870-luvulle asti. Wallenius osoitti, ett¨a Hippokra- teen kuunsirpeille analogisia olennaisesti erilaisia ne- li¨oit¨avi¨a sirppikuvioita on kaikkiaan viisi erilaista.

Anders Lexell (1740–84) on ensimm¨ainen kansainv¨a- liseen maineeseen noussut matematiikan suomalainen.

Varsinaissuomalainen Lexell opiskeli ensin Turun Aka- temiassa mutta siirtyi pian Pietariin, jonka tiedeaka- temian j¨attihahmo oli sokeutuva Leonhard Euler. Eu- ler tarvitsi huikean laajan tuotantonsa kirjuriksi as- sistentteja, joista yksi oli Lexell. Lexell ei kuitenkaan ollut vain puhtaaksikirjoittaja, vaan h¨anen omat an- sionsa sek¨a differentiaaliyht¨al¨oiden tutkimuksessa et-

1Muokattu vuonna 2001 ilmestyneeseen SMFL:n 40-vuotisjulkaisuunTy¨ov¨alineit¨a tietoyhteiskuntaankirjoitetusta artikkelista.

t¨a t¨ahtitieteellisten laskujen suorittamisessa olivat niin suuret, ett¨a h¨an peri Eulerin aseman Pietarin tie- deakatemian matemaatikkona t¨am¨an kuoltua. Lexellil- l¨a oli oma sivuroolinsa er¨a¨ass¨a t¨arke¨ass¨a luonnontie- teen maailmankuvaa muovanneessa tapahtumaketjus- sa. H¨an oli ensimm¨ainen, joka osoitti laskelmillaan, ett¨a William Herschelin taivaalta l¨oyt¨am¨a himme¨a liikkuva kohde ei ollut komeetta vaan planeetta, Uranus. Antii- kin ajoista vallinnut k¨asitys maata kiert¨avist¨a seitse- m¨ast¨a taivaankappaleesta kumoutui.

Lorenz Leonard Lindel¨of(1827–1908) oli monipuolinen mies. Matematiikassa h¨anen alansa olivariaatiolasken- ta, yksi matemaattisen analyysin p¨a¨atutkimuskohteita 1700-luvulla ja 1800-luvun alkupuolella. Lindel¨ofin tie- teellisist¨a tuloksista muistettavin on saksalaisen Jakob Steinerin tietyn tilavuuksisista monitahokkaista pinta- alaltaan pienint¨a koskeneen olettaman todistus. Linde- l¨of julkaisi Pariisissa ranskankielisen variaatiolaskennan oppikirjan, joka oli pitk¨a¨an k¨ayt¨oss¨a monissa Euroopan yliopistoissa. Lindel¨of siirtyi Helsingin yliopiston mate- matiikan professuurista Kouluylihallituksen, nykyisen Opetushallituksen edelt¨aj¨an, johtajaksi. H¨an ehti ol- la edustajana s¨a¨atyvaltiop¨aivill¨a kolmessa eri s¨a¨adys- s¨a: yliopiston edustajan pappiss¨a¨adyss¨a, sitten porva- ristossa ja viimein aateloituna²aateliss¨a¨adyss¨a, viel¨ap¨a s¨a¨adyn puheenjohtajana eli maamarsalkkana.

Pysyv¨an aseman matematiikan nimist¨oss¨a on saanut monipuolinenJarl Lindeberg(1876–1932). Cajori mai- nitsee Lindebergin variaatiolaskennan yhteydess¨a, mut- ta varsinaisen maineensa Lindeberg on saanut toisaal- ta. Helsingin yliopiston matematiikan apulaisena³ toi- mineen Lindebergin teht¨av¨aksi tuli 1920-luvun alus- sa opettaa todenn¨ak¨oisyyslaskennan kurssia. Perusteel- lisena henkil¨on¨a h¨an ei luottanut l¨ahteisiins¨a, vaan pyrki selvitt¨am¨a¨an asiat itsen¨aisesti. T¨am¨a perusteel- lisuus tuotti tulosta todenn¨ak¨oisyyslaskennan keskei- sen raja-arvolauseen kohdalla. Kauan on ollut ylei- sesti tunnettu ja hyv¨aksytty k¨asitys, jonka mukaan usean satunnaismuuttujan summa on likimain nor- maalijakautunut. Lindeberg todisti t¨am¨an t¨asm¨allises- ti hyvin yleisin oletuksin. Tulos julkaistiin Mathema- tische Zeitschriftiss¨a. – Er¨as 1900-luvun nerokkaimpia ja kuuluisimpia matemaatikkoja, englantilainen Alan Turing (1912–54), oli 1930-luvulla Cambridgess¨a saa- nut opinn¨aytety¨okseen todenn¨ak¨oisyyslaskennan kes- keisen raja-arvolauseen. Turing, joka ei my¨osk¨a¨an juu- ri harrastanut l¨ahdetutkimusta, l¨oysi itsekseen Linde- bergin todistuksen ja laati ty¨ons¨a. Vasta ollessaan j¨at- t¨am¨ass¨a sit¨a professori Abram Besicovitchille h¨an sai kuulla, ett¨a todistuksen on jo julkaissut ”joku Linde- berg”, niin kuin Turingin suomennetunkin el¨am¨akerran kirjoittajaAndrew Hodgesmainitsee. Turingin ty¨o kel-

puutettiin kuitenkin.

Hakuteosten nimist¨ o¨ a

Kun historiankirjoista ei ole apua Suomen matematii- kan arviointiin, voi l¨ahte¨a tarkastelemaan tietoverkkoa ja hakuteoksia.

Internetin merkitt¨avin matematiikan historian aineis- tokooste, ainakin mit¨a matematiikan henkil¨oihin tu- lee, on skotlantilaisen St. Andrews -yliopiston sivus- to http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/. Sivus- tolta voi katsoa suoraan sinne kirjatut matemaatikot syntym¨apaikan mukaan. Sivustolta l¨oytyy (joulukuus- sa 2010) seitsem¨an sellaista matemaatikkoa, jonka syn- tym¨amaaksi on merkitty Suomi: Anders Lexellin lis¨aksi Ernst Lindel¨of, Lars Ahlfors, Hjalmar Mellin, Rolf Ne- vanlinna, Karl Sundman ja Juha Heinonen. Vertailun vuoksi: sivustolla on 15 norjalaisen, 17 ruotsalaisen ja 23 tanskalaisen matemaatikon el¨am¨akerrat.

Vuonna 1987 Reidel-kustantamon julkaiseman alun- perin neuvostoliittolaisen moniosaisen ja arvostetun Encyclopedia of Mathematicsin henkil¨oluettelo tuntee seuraavat suomalaiset: Lars Ahlfors, Felix Iver- sen, Kustaa Inkeri, Jarl Lindeberg, Ernst Lindel¨of, Lo- renz Lindel¨of, Hjalmar Mellin, E. J. Nystr¨om, Rolf Nevanlinna ja P. J. Myrberg. (Hakusanojen tarkaste- lu osoittaa kuitenkin, ett¨a viittaus Lorenz Lindel¨ofiin tarkoittaa itse asiassa Ernst Lindel¨ofi¨a). MIT Pressin ja American Mathematical Societyn kaksiosaisen, alku- aan japanilaisenEncyclopedic Dictionary of Mat- hematicsin(1977) hakemisto puolestaan mainitsee ni- met Lars Ahlfors, Felix Iversen, Matti Jutilla, Olli Leh- to, Y. W. Lindeberg⁴, Ernst Lindel¨of, Hjalmar Mellin, Rolf Nevanlinna, Leo Sario, Aimo Tiet¨av¨ainen ja K. I.

Virtanen.

Integraalimuunnokset ovat t¨arke¨a analyysin ty¨okalu.

Fourierin ja Laplacen transformaatioiden ohella tun- netuimpia integraalimuunnoksia on Mellinin muunnos.

Sen esitti Hjalmar Mellin (1854–1933). Mellinin uran funktioteoreetikkona k¨aynnisti Helsingiss¨a Lorenz Lin- del¨ofin j¨alkeen nelisen vuotta professorina toiminut ruotsalainen G¨osta Mittag-Leffler, sittemmin – osin suomalaisen vaimonsa kautta hankkimansa varallisuu- den turvin – merkitt¨av¨an uran matematiikan kan- sainv¨alisen¨a organisaattorina luonut ruotsalainen. Mel- lin itse teki virkauransa teknillisen opetuksen parissa, Polyteknillisest¨a opistosta Teknilliseksi korkeakouluksi muuttuneen oppilaitoksen matematiikan opettajana ja professorina.

2Olli Lehto on kirjoittanut Lorenz ja Ernst Lindel¨ofist¨a kaksoisel¨am¨akerranTieteen aatelia(Otava 2008).

3Virkanimikeapulainenmuuttui aikanaanapulaisprofessoriksija sittenprofessoriksi.

4Tekstin siirtyminen japanin kielen kautta selitt¨anee Jarl Lindebergin oudon etunimen alkukirjaimen ja Matti Jutilan nimen italialaisvaikutteisuuden. Samalla n¨ahd¨a¨an, ett¨a herrat eiv¨at ole olleet k¨a¨ant¨ajille ja toimittajille tuttuja.

Ajallisesti seuraava kansainv¨alisilt¨a listoilta l¨oyty- v¨a suomalaismatemaatikko on Ernst Lindel¨of (1870–

1946). Ernst oli Lorenzin poika ja t¨am¨an tavoin ha- ki kansainv¨aliset oppinsa Pariisista. Ernstkin julkaisi Pariisissa ranskankielisen oppikirjan, jonka aiheena oli residylaskenta, kompleksifunktioiden teorian tarjoama keino reaalisten integraalien m¨a¨aritt¨amiseksi. Mittag- Lefflerin Suomeen lanseeraama funktioteoria oli Lin- del¨ofin merkitt¨avimpien tieteellisten saavutusten alue.

Lindel¨ofin tutkimukset kohdistuivat mm. analyyttisten funktioiden kasvuun. Erityisen usein mainitaan Lin- del¨ofin yhdess¨a ruotsalaisenLars Edvard Phragm´enin (1863–1937) kanssa todistamaa lausetta analyyttisen funktion kasvusta sektorinmuotoisessa alueessa. Linde- l¨ofin nimi on saanut pysyv¨an sijan my¨os pistejoukkojen topologiassa: ns. avoimen peitteen numeroituvaa osa- peitett¨a koskeva tulos on antanut aiheen kutsua tietyn- laisia topologisia avaruuksia Lindel¨of-avaruuksiksi. Jot- kut topologit ovat alkaneet pit¨a¨a k¨asitett¨a siin¨a m¨a¨arin tuttuna, ett¨a kirjoittavat sanan Lindel¨of pienell¨a alku- kirjaimella.

Funktioteoria – suomalaista matematiik- kaa

Suomen matematiikan kansainv¨alisen¨a tavaramerkkin¨a oli pitk¨a¨anfunktioteoria. ”Arviointipaneelimme” nimis- t¨a funktioteoreetikkoja on ep¨ailem¨att¨a Felix Iversen (1887–1973), jonka tieteellinen tuotanto ei ole kovin laaja, mutta jonka analyyttisten funktioiden asymp- toottisia arvoja koskeva tulos omaa pysyv¨a¨a arvoa.

Iversen oli vakaumuksellinen pasifisti, ja h¨anen toimin- tansa t¨am¨a puoli tuotti harvinaislaatuisen tunnustuk- sen. 1950-luvun alussa Iversen sai vastaanottaa ns. Sta- linin palkinnon.

Suomen funktioteorian suurmies on Rolf Nevanlinna⁵ (1895–1980), Ernst Lindel¨ofin oppilas. Rolf Nevanlin- na kehitti – paljolti yhdess¨a veljens¨aFrithiofin (1894–

1977) kanssa – analyyttisten funktioiden kasvua kos- kevan teorian olennaisesti yleisemm¨aksi ja tarkemmak- si meromorfifunktioiden arvojenjakautumisopiksi. Ne- vanlinnan keskeiset ty¨ot ilmestyiv¨at 1920-luvun puo- liv¨aliss¨a. Nevanlinnan ideoita on sittemmin yleistetty eri tavoin, ja funktioteorian kansainv¨alisiss¨a jaotteluis- sa arvojenjakautumisoppi tai sille l¨ahes synonyyminen Nevanlinnan teoriaon edelleen t¨arke¨a ja aktiivinen tut- kimuskohde.

Nevanlinnan aikalaisen Pekka Myrbergin (1892–1976) maininnat kansainv¨alisill¨a listoilla eiv¨at niink¨a¨an pe- rustu h¨anen sin¨ans¨a ansiokkaisiin t¨oihins¨a vuosisadan vaihteen molemmin puolin ajankohtaisen automorfi- funktioiden teorian alalla, vaan h¨anen itsens¨a hiu-

kan sivutuotteina pit¨amiins¨a toisen asteen polynomien iterointia koskeviin t¨oihins¨a, joita h¨an julkaisi 1950- luvulla ollessaan vahvasti hallintoteht¨avien kuormitta- mana. Myrbergin ty¨ot ennakoivat parina viime vuosi- kymmenen¨a kovasti muodissa ollutta fraktaalien teo- riaa. – Myrberg oli nopea: h¨an sai tiedon saksalaisen Jablonowski-seuran julistamasta nelivuotisesta kilpai- lusta viimeisen kilpailuvuoden aikana vuonna 1922 ja voitti kilpailun. G¨ottingeniss¨a vieraillessaan h¨an kuu- lui j¨arjest¨aneen matemaatikoille 100 m juoksukilpailun, jonka h¨an my¨os itse voitti.

Matematiikka ei v¨altt¨am¨att¨a periydy is¨alt¨a pojalle, ku- ten Lindel¨ofien tapauksessa, mutta kyll¨akin opettajalta oppilaalle. Rolf Nevanlinna oli Ernst Lindel¨ofin tohto- rioppilas, ja Rolf Nevanlinnan ensimm¨ainen ja merkit- t¨avin tohtorioppilas oliLars Ahlfors(1907–1996). Ahl- fors l¨oi itsens¨a l¨api varsin nuorena ratkaistuaan h¨am- m¨astytt¨av¨an lyhyess¨a ajassa ranskalaisenArnaud Den- joyn(1884–1974) esitt¨am¨an pitk¨a¨an avoinna olleen on- gelman. Ahlfors kilpailee Nevanlinnan kanssa kansain- v¨alisesti tunnetuimman suomalaismatemaatikon ase- masta. H¨an oli vuodesta 1946 Harvardin yliopiston ma- tematiikan professori – seikka joka tuntui unohtuneen vuoden 2000 kev¨a¨all¨a Harvardia p¨aiv¨ankohtaisten syi- den vuoksi esitelleilt¨a journalisteilta⁶. Ahlfors tullaan muistamaan monia funktioteorian puolia k¨asitelleiden tutkimusten ja suositun funktioteorian oppikirjan lis¨ak- si ensimm¨aisen¨aFieldsin mitalin saajana. T¨at¨a mate- maatikkojen piiriss¨a Nobelin palkinnon tavoin arvos- tettavaa tunnustusta on jaettu vuodesta 1936 alkaen joka nelj¨as vuosi yleens¨a kahdelle alle 40-vuotiaalle ma- temaatikolle. Lars Ahlfors on ainoa palkinnon saanut suomalainen.

Funktioteorian piiriin liittyy my¨os Leo Sarion (1916–

2009), Olli Lehdon (s. 1925), K. I. Virtasen (1921–

2006) ja huomattavasti nuorempaan ik¨apolveen kuulu- van Juha Heinosen (1960–2007) ty¨o. Pitk¨a¨an Kalifor- nian yliopistossa vaikuttaneen Sarion tutkimusten p¨a¨a- kohteena olivat Riemannin pinnat. Lehdon ja Virta- sen vuonna 1965 saksankielisen¨a ilmestynyt kvasikon- formikuvauksia k¨asitellyt monografia oli pitk¨a¨an t¨am¨an funktioteorian osa-alueen perusteos. Olli Lehto on my¨os ollut merkitt¨av¨a hallintomies, Helsingin yliopiston reh- tori ja kansleri, ja n¨akyv¨a vaikuttaja matemaatikko- jen kansainv¨alisiss¨a organisaatioissa. Helsingiss¨a vuon- na 1978 pidetty Kansainv¨alinen matemaatikkokongres- si, aikanaan suurin Suomessa pidetty kansainv¨alinen tieteellinen tapahtuma, oli olennaisesti Olli Lehdon ai- kaansaannosta.

5My¨os Nevanlinnasta l¨oytyy Olli Lehdon kirjoittama el¨am¨akertaKorkeat maailmat(Otava 2001).

6Tuolloin tasavallan presidentin vaalissa toiselle sijalle tullutEsko Ahopoistui Suomesta opiskelemaan Harvardiin ja esimerkiksi Suomen Kuvalehti kirjoitti laajan artikkelin suomalaisista Harvardissa. Lars Ahlforsia ei mainittu ollenkaan.

Soveltajia ja lukuteoreetikkoja

Kaikki listoillemme p¨a¨asseet suomalaiset eiv¨at toki ole funktioteoreetikkoja. Ahlforsin tapaan my¨os Karl V.

Sundman (1873–1949) saavutti my¨os kansainv¨alisen maineensa kuuluisaan ongelmaan liittyvill¨a t¨oill¨a. Ky- se oli t¨ahtitieteest¨a, taivaanmekaniikasta. Newtonin la- kien perusteella ei ole kovin vaikeaa laskea t¨asm¨allises- ti kahden toisiinsa painovoimalla vaikuttavan taivaan- kappaleen radat, mutta asia mutkistuu olennaisesti he- ti, kun mukaan otetaan kolmas kappale. Sundman pys- tyi esitt¨am¨a¨an t¨allekolmen kappaleen ongelmalle, jota mm. 1900-luvun taitteen etevimpiin matemaatikkoihin kuulunutHenri Poincar´e (1854–1912) oli suuremmat- ta menestyksett¨a yritt¨anyt ratkaista, suppeneviin sar- joihin pohjautuvan ratkaisun. Sundman esitti my¨os jo 1910-luvulla suunnitelmia t¨ahtitieteellisi¨a laskuja suo- rittavasta analogisesta tietokoneesta.

E. J. Nystr¨om (1895–1960) oli Teknillisen korkeakou- lun professori, jonka monet insin¨o¨oripolvet muistavat deskriptiivisen geometrian opetuksesta ja lempinimest¨a Tonttu. Nystr¨omin maininta kansainv¨alisill¨a listoillam- me perustuu kuitenkin h¨anen oivallukseensa numeeri- sen analyysin piiriss¨a. Nystr¨omin algoritmi differenti-

aaliyht¨al¨on numeeriseksi ratkaisemiseksi on h¨amm¨as- tytt¨av¨an yksinkertainen ja silti tarkka – sen ainoa puu- te on approksimaatioratkaisun ensimm¨ainen askel, joka on laskettava muusta algoritmista poikkeavalla tavalla.

TurkulainenKustaa Inkeri(1908–1996) oli lukuteoree- tikko. H¨an on listoilla t¨oiden vuoksi, jotka liittyv¨at hil- jattain lopullisen ratkaisun saaneeseen kuuluisaan Fer- mat’n hypoteesiin. Inkeri laajensi aikanaan olennaises- ti sit¨a aluetta, josta ainakaan Fermat’n hypoteesin yh- t¨al¨on ratkaisuja ei voi l¨oyt¨a¨a. Turun yliopistossa ovat ty¨oskennelleet my¨os listoillemme nousseet lukuteoree- tikko Matti Jutila (s. 1943) ja koodausteorian tutkija Aimo Tiet¨av¨ainen (s. 1937).

Suomi on ollut maantieteellisesti ja henkisesti syr- j¨ainen. On varsin ymm¨arrett¨av¨a¨a, ett¨a suomalaisten osuus t¨am¨an kirjoituksen pohjana olleissa hakemistois- sa on varsin v¨ah¨ainen. Tilastollisesti on odotettavissa, ett¨a aivan ensimm¨aisen suuruusluokan matemaattisia t¨ahti¨a ei ole Suomessa syttynyt. Norjalaisilla on Niels Henrik Abel, ruotsalaisilla ehk¨a muutama korkeammal- le arvostuva tutkija, mutta Suomen matematiikkakin on hyvin puolustanut paikkaansa, kuten Ernst Linde- l¨of kuului sanoneen hyv¨a¨a ty¨ot¨a kiitt¨aess¨a¨an.

Matematiikan valitsemisen vaikeudesta

Markku Halmetoja M¨ant¨an lukio

Professori Maija Aksela analysoi kirjoituksessaan [1]

matematiikan ja luonnontieteiden asemaa peruskoulus- sa ja lukiossa. H¨an esitt¨a¨a huolensa n¨aiden oppiainei- den asemasta tulevissa tuntijakoratkaisuissa, ja erityi- sesti matematiikan osaajien v¨ah¨aisest¨a m¨a¨ar¨ast¨a. Lu- kion pitk¨an matematiikan yo-kokeeseen osallistuvien lukum¨a¨ar¨a onkin j¨a¨anyt kauas tavoitteista. Vuosittain sen kirjoittaa noin 12000 kokelasta, ja n¨aist¨a kolmi- sen tuhatta ymm¨art¨a¨a jotakin kirjoittamastaan. Yksin Aalto-yliopisto ottaa tuon m¨a¨ar¨an opiskelijoita. Todel- lisista osaajista on siis huutava puute kaikissa yliopis- toissa ja korkeakouluissa. Miten t¨ah¨an tilanteeseen on tultu? Eik¨o kansainv¨alist¨a arvonantoa nauttiva yleissi- vist¨av¨a koululaitoksemme olekaan teht¨aviens¨a tasalla?

Tuleeko asiaan parannusta uusien tuntijakojen ja ope- tussuunnitelmien my¨ot¨a? Tiedostavatko p¨a¨att¨aj¨at on- gelman todellisen syvyyden?

Aksela ei puutu ongelman varsinaiseen ytimeen, eli sii- hen, ett¨a matematiikan kouluopiskelu on keskittynyt kokonaan lukioon. Peruskoulussa opiskellaan matema- tiikan nimell¨a pelkk¨a¨a laskentoa. Esimerkiksi Pytha- goraan lause annetaan ilman perustelua laskukaava- na, jota sovelletaan vain numeerisilla arvoilla laskinta k¨aytt¨aen. Matemaattisen ajattelun oppimisen kannalta t¨arkeint¨a olisi kuitenkin pohtia, miksi t¨am¨a kaava toi- mii. Vastaavia esimerkkej¨a on lukemattomia. Yl¨akou- lussa oppilaat saavat v¨a¨aristyneen kuvan matematiikas- ta, kun l¨ahes mit¨a¨an ei yritet¨ak¨a¨an perustella. T¨allai- nen ep¨a-¨alyllisyys ei voi her¨att¨a¨a lahjakkaan oppilaan kiinnostusta alaa kohtaan, ja n¨ain j¨a¨a kolme vuotta pa-

rasta oppimisaikaa k¨aytt¨am¨att¨a. Seuraus on, ett¨a lu- kion pitk¨an matematiikan opiskelun aloittaa yl¨akoulus- ta kiitett¨avin arvosanoin tulevia oppilaita, joille kaikki osoita-sanalla alkavat teht¨av¨at ovat k¨asitt¨am¨att¨omi¨a, ja joille jopa perusalgebra laskutoimitusten suoritus- j¨arjestyksest¨a alkaen on tuntematonta. On selv¨a¨a, ett¨a tavallinen yleislahjakaskaan oppilas ei lukiossa 2,5 vuo- den aikana kykene paikkaamaan t¨allaista osaamisvajet- ta ja opiskelemaan samalla viel¨a laajempaa oppim¨a¨a- r¨a¨a kuin mihin vanhan oppikoulun aikana p¨a¨asykokein valittu ik¨aluokan parhaimmisto sai k¨aytt¨a¨a 5,5 vuotta.

Matematiikan oppiminen on ¨alytauluista ja muista tek- nisist¨a vimpaimista huolimatta edelleen henkil¨okoh- taista vaivann¨ak¨o¨a vaativaa kovaa ty¨ot¨a. Mit¨a¨an oiko- tiet¨a siihen ei ole. Varsinkaan ei ole varaa pit¨a¨a kolmea v¨alivuotta yl¨akoului¨ass¨a. Koko ik¨aluokka ei luonnolli- sestikaan pysty oppimaan algebran alkeita ja deduktii- vista geometriaa. Siksi opetus on eriytett¨av¨a niin, ett¨a keskittymish¨airi¨oiset ja muut oppimaan kykenem¨att¨o- m¨at opiskelevat ehk¨a viel¨a nykyisest¨akin kevennetty¨a kansalaistaito-pisa-matematiikkaa ja muut algebraa ja geometriaa samaan tyyliin kuin entisess¨a keskikoulussa ja peruskoulussakin viel¨a tasokurssien aikaan. Eriytt¨a- misen voisi suorittaa seiskaluokalla syyslukukauden ai- kana toteutettavan valtakunnallisten koesarjan perus- teella.

Peruskoulun alkuper¨ainen teht¨av¨a oli taata kaikille ta- loudellisesta asemasta riippumatta mahdollisuus kou- lutukseen. T¨am¨a tavoite on toteutunut hyvin, mutta todellinen koulutuksellinen tasa-arvo saavutetaan vas-

ta sitten, kun kaikille taataan edellytyksiens¨a mukai- nen koulutus. Viimeksi mainitun voi sis¨allytt¨a¨a osaksi sivistysvaltion m¨a¨aritelm¨a¨a.

Viitteet

[1] Maija Aksela,Liian harva valitsee matematiikan, Suomen Kuvalehti 50/2010.

Diplomiteht¨avien oheislukemistoa

Osoitteessa http://solmu.math.helsinki.fi/diplomi.html on diplomiteht¨aville oheislukemistoa, joka var- maan kiinnostaa muitakin kuin diplomien tekij¨oit¨a:

Desimaaliluvut, mit¨a ne oikeastaan ovat?

Murtolukujen laskutoimituksia Negatiivisista luvuista

Hiukan osittelulaista

Lausekkeet, kaavat ja yht¨al¨ot A¨arett¨omist¨a joukoista¨

Erkki Luoma-aho: Matematiikan perusk¨asitteiden historia Gaussin jalanj¨aljiss¨a

K. V¨ais¨al¨a: Algebra

Kahdeksan teht¨ av¨ a¨ a peruskoululaisille

Matemaattisten aineiden opettajien liiton Peruskoulun matematiikkakilpailun ensimm¨ ainen kierros

Matti Lehtinen Helsingin yliopisto

Matemaattisten aineiden opettajien liitto MAOLin vuotuiset koululaiskilpailut ovat kaksikierroksisia. Lu- kuvuoden 2010–11 alkukilpailut pidettiin kouluissa marraskuun alussa. Kilpailuja on kaksi, peruskoulun ja lukion, ja lukion kilpailu k¨ayd¨a¨an kolmessa sarjassa.

Sarjat perustuvat kilpailijoiden ik¨a¨an, mutta halutes- saan voi kilpailla omaa ik¨a¨a vanhempienkin sarjassa.

Peruskoulukilpailun osallistujat ovat yleens¨a yhdeks¨as- luokkalaisia. T¨ass¨a kirjoituksessa esitell¨a¨an Peruskou- lun matematiikkakilpailun alkukierroksen teht¨av¨at ja yritet¨a¨an my¨os ratkaista niit¨a. Kirjoittaja ei ole itse ollut tekemisiss¨a teht¨avien laadinnan tai tulosten ar- vioinnin kanssa, joten esitetyt ratkaisuehdotukset ovat luonteeltaan ep¨avirallisia.

Peruskoulukilpailussa oli kahdeksan teht¨av¨a¨a. Ratkai- semiseen oli aikaa vain 50 minuuttia. Kilpailuun osal- listui noin 13000 oppilasta. Pisteit¨a oli jaossa 48. Par- haat pisteet, 45, sai Urjalan Huhdin koulunJenna Koi- vu. Sadan parhaan joukkoon p¨a¨asi pistem¨a¨ar¨all¨a 29 eli noin viiden teht¨av¨an ratkaisemisella.

Kilpailu alkoi perinteisell¨a kellon osoittimien v¨alist¨a kulmaa koskevalla teht¨av¨all¨a.

1.Kuinka suuri on kellon viisarien v¨alinen kulma, kun kello on a) 8.00, b) 12.45?

Kun tuntiosoitin kiert¨a¨a kellotaulun 360^◦ 12 tunnissa,

niin yhdess¨a tunnissa se kiertyy 30^◦. Kello 8.00 minuut- tiosoitin osoittaa kohti 12:ta ja tuntiosoittimella oli- si nelj¨a 30^◦ jaksoa minuuttiosoittimen luo: a-kohdassa vastaus on siis 120^◦. Kello 12.45 minuuttiosoitin osoit- taa kohti yhdeks¨a¨a, joten sen ja kello 12:n suunnan v¨a- linen kulma on 90^◦. Tuntiosoitin on kuitenkin siirtynyt 3/4 12:n ja yhden v¨alisest¨a kulmasta eli 3

4·30^◦= 22,5^◦. Osoittimien v¨aliss¨a on siis kulmaa 112,5^◦= 112^◦30^′. Toisessa kilpailuteht¨av¨ass¨a oli p¨a¨atelt¨av¨a kahden jou- kon yhteisen osan eli leikkausjoukon koko, kun osajouk- kojen ja joukkojen yhdisteen komplementtijoukon koot tunnettiin.

2. Koululaisten harrastuksia tutkittiin. Viidenkymme- nen koululaisen joukosta 33 koululaista harrasti j¨a¨a- kiekkoa, 24 koululaista harrasti s¨ahly¨a ja 8 koululais- ta ei harrastanut j¨a¨akiekkoa eik¨a s¨ahly¨a. Kuinka moni koululainen harrasti sek¨a j¨a¨akiekkoa ett¨a s¨ahly¨a?

Vastaus selvi¨a¨a, kun ensin huomataan, ett¨a v¨ahint¨a¨an jommankumman lajin harrastajia oli 50−8 = 42. Kun t¨ast¨a v¨ahennet¨a¨an 24, saadaan pelk¨an j¨a¨akiekon har- rastajien lukum¨a¨ar¨a 18. Kun j¨a¨akiekkoilijoita oli kaik- kiaan 33, on sek¨a j¨a¨akiekkoa ett¨a s¨ahly¨a harrastavia 33−18 = 15. Varmuuden vuoksi voi viel¨a laskea vain s¨ahly¨a harrastavien m¨a¨ar¨aksi 42−33 = 9 ja s¨ahlyn ohella j¨a¨akiekkoakin pelaavien m¨a¨ar¨an 24−9 = 15.

Kolmanteen teht¨av¨a¨an liittyi kuvio. Kysymys oli kui- tenkin oikeastaan kokonaislukujen ominaisuuksista. Sa- ma idea oli taustalla, kun vuonna 1974 ryhdyttiin l¨a- hett¨am¨a¨an avaruuteen ns. Arecibo-radiosignaalia, joka koostui 1679:st¨a eli 73·23 merkist¨a, jotka signaalin ole- tetun vastaajan toivottiin ymm¨art¨av¨an suorakulmiok- si.

3.Kahdestatoista pienest¨a neli¨ost¨a voidaan muodostaa kolme suorakulmiota. Kuinka monta suorakulmiota voi- daan muodostaa 196 pienest¨a neli¨ost¨a? Ilmoita suora- kulmioiden mitat.

Jos neli¨ot ovat p:ss¨a riviss¨a ja q:ssa sarakkeessa, niin pq on neli¨oiden lukum¨a¨ar¨a. Se, ett¨a 12 neli¨ost¨a saa- daan kolme erilaista suorakaidetta johtuu siit¨a, ett¨a 12 = 1·12 = 2·6 = 3·4; muita tapoja lausua 12 muodossa pq, p≤q, ei ole. Nyt 196 = 4·49 = 2²·7². Jos 196 =pq,p≤qjapjaqovat positiivisia kokonais- lukuja, niin seuraavat viisi paria (p, q) ovat mahdollisia:

(1,196), (2,98), (4,49), (7,28), (14,14). Suorakulmion korkeus on kunkin parin edellinen luku ja leveys j¨alkim- m¨ainen (jos suorakaiteet ajatellaan asetetuksi samalla tavoin kuin mallikuvassa).

Seuraava teht¨av¨a vaati jonkin verran oivallusta. Voi olettaa, et¨a nopealta vastaajalta saattaisi j¨a¨ad¨a muu- tama tapaus huomaamatta.

4. Kuinka monta yhteist¨a pistett¨a kolmion ja nelikul- mion reunaviivoilla voi olla? Piirr¨a mallikuva jokaises- ta tapauksesta.

Jos hyvin k¨ay, kolmion ja neli¨on jokin sivu sattuvat ai- nakin osaksi p¨a¨allekk¨ain. T¨all¨oin yhteisi¨a pisteit¨a on

¨a¨arett¨om¨an monta: niinh¨an janalla aina on (jos janalla

olisi vain ¨a¨arellinen m¨a¨ar¨a pisteit¨a, niin jotkin kaksi oli- sivat vierekk¨ain ja muodostaisivat janan p¨a¨atepisteet;

t¨all¨a janalla olisi sitten uusia pisteit¨a). Jos nelikulmion ja kolmion mitk¨a¨an sivut eiv¨at ole samalla suoralla, niin jokaisella neli¨on sivulla on enint¨a¨an kaksi yhteist¨a pistett¨a kolmion sivujen kanssa. Suorahan ei pysty kol- mion kaikkia kolmea sivua leikkaamaan. Niinp¨a neli¨on ja kolmion piireill¨a voi t¨ass¨a tilanteessa olla enint¨a¨an kahdeksan yhteist¨a pistett¨a. Sopivanmuotoisen, ei kui- tenkaan kuperan nelikulmion avulla voi osoittaa, ett¨a kahdeksaan pisteeseen todella p¨a¨asee. Kun t¨ast¨a tilan- teesta l¨ahtee ja nelikulmiota sopivasti liikuttaa, ensin niin, ett¨a yksi nelikulmion k¨arki osuu kolmion sivuun jne., n¨akee helposti, ett¨a yhteisi¨a pisteit¨a voi ollankap- paletta, miss¨a nsaa kaikki arvot 0:sta 8:aan. Erilaisia mallikuvioita saa siis piirt¨a¨a kaikkiaan 10 kappaletta.

Kilpailun viides teht¨av¨a k¨asitteli suuria lukuja ja laa- tumuunnoksia. Teht¨av¨an aihe oli saatu edellisen ke- v¨a¨an uutistapahtumasta, Eyjafjallaj¨okull-j¨a¨atik¨on tuli- vuorenpurkauksen seurauksista, ja a- ja b-kohtien vas- tausten erihenkisyyden voi ajatella osoittavan kauniisti yksi- ja kaksiulotteisuuden eroa.

5. Viime kev¨a¨an¨a islantilainen tulivuori sekoitti Eu- roopan lentoliikenteen. Tuhkaa nousi ilmaan noin sata miljoonaa kuutiometri¨a. a) Kuvitellaan tuhka 2 met- ri¨a paksuksi kerrokseksi moottoritielle. Tien leveys on 50 metri¨a. Kuinka monta kilometri¨a pitk¨alle matkalle tuhkaa riitt¨aisi? b) Euroopan maa-ala on noin 10 mil- joonaa neli¨okilometri¨a. Kuinka paksu tuhkakerros olisi, jos tuhka olisi levinnyt tasaisesti t¨alle alueelle? c) Maa- ilman suurimmat konttialukset kuljettavat noin 10 000 konttia kerrallaan. Kolmeen konttiin mahtuu yhteens¨a 100 kuutiometri¨a tavaraa. Kuinka monta t¨allaista lai- vaa olisi tarvittu tuhkam¨a¨ar¨an kuljettamiseksi Islannis- ta?

a-kohdan luvut ovat mukavia. Metrill¨a moottoritiet¨a olisi juuri 100 m² tuhkaa, joten koko tilavuus 10⁸ m³ vaatisi 10⁶ metri¨a eli 1000 km tiet¨a. Suomessa on v¨a- h¨an alle 800 km moottoriteit¨a. b-kohdassa on otetta- va huomioon, ett¨a kilometri on 1000 metri¨a, joten ne- li¨okilometri koostuu miljoonasta neli¨ometrist¨a. Euroo- pan alan approksimaatio on siis 10⁷·10⁶ = 10¹³ ne- li¨ometri¨a. Tasan Euroopan yli levitettyn¨a 10⁸ m³ oli- si siis 10⁸⁻¹³ = 10⁻⁵ m paksu. Kun millimetri on 10⁻³ metri¨a, niin millimetreiss¨a paksuus olisi 10⁻² = 0,01. c-kohdan konttialus kuljettaisi 100·10000/3 = 10⁶/3 kuutiometri¨a. Tarvittavien alusten m¨a¨ar¨a olisi siis 10⁸/(10⁶/3) = 300. – Tuhkakuutiometrin massaa ei ilmoiteta. Jos tuhka on kiviaineksen tapaan selv¨as- ti vett¨a raskaampaa, niin voi olla ep¨aselv¨a¨a, pysyyk¨o tuhkaa t¨ayteen lastattu alus kunnolla pinnalla.

Seuraava teht¨av¨a on melko tavanomainen nopeus- ja matkalasku. Fysiikan opetukseen piintynyt pedantti- suus lienee tuonut teht¨av¨an konkreettisuuteen jotenkin huonosti istuvan vauhti-sanan.

6. Kolme vaeltajaa kulkee samaa kolmionmuotoista reitti¨a. Anna ja Bella k¨avelev¨at samalla vauhdilla, mut- ta Claran vauhti on kaksi kertaa niin suuri kuin heid¨an.

Anna ja Bella l¨ahtev¨at l¨ahteen luota kello 10 vastakkai- siin suuntiin. Clara l¨ahtee vanhan tammen luota kello 11 samalla hetkell¨a, kun Anna ohittaa tammen ensim- m¨aist¨a kertaa. Milloin Clara ja Bella kohtaavat ensi kerran?

Kuvion mukaan Bellalla on kello 11 matkaa vanhalle tammelle 6 km. Koska Claran nopeus on kaksi kertaa Bellan nopeus, he kohtaavat, kun Clara on k¨avellyt 4 km ja Bella 2 km, eli juuri suuren kiven luona. Kun Bellan nopeus on 3 km/t, niin aikaa kello 11:st¨a oli ku- lunut 2/3 tuntia eli 40 min. Kello oli siis 11.40.

Toiseksi viimeisess¨a teht¨av¨ass¨a oli kulkukaavio, joka kuvasi aika erikoista algoritmia. Vastauskaan ei ole ko- vin yksinkertainen.

7.L¨ahde kohdastaa. Kulje nuolten suuntaan. Tee mer- kitty laskutoimitus tai jatka ehdon m¨a¨ar¨a¨am¨a¨an suun- taan. a) Mik¨a luku on x. jos a = −6? b) Mik¨a luku onx, jos a = 1

9? c) Mitk¨a positiiviset luvut a antavat kaikki saman tuloksenx?

a- ja b-kohdissa voi tehd¨a laskut kulkukaavion mu- kaan. Siis −6 → −6 + 7 = 1 → √

1 → 3·1 = 3 ja 1

9 → 1

9+ 7 = 64 9 → 8

3 → −8 6 =−4

3. c-kohdan kysymys on jossain m¨a¨arin ep¨am¨a¨ar¨ainen. Kilpailun j¨arjest¨ajien julkaisemista ratkaisuista p¨a¨atellen tarkoitus oli etsi¨a sellaisia eri lukujaa =a, joihin sovellettuna algoritmi tuottaa saman luvunx=x. Kun teht¨av¨ass¨a kuitenkin esiintyy parametri x ja tuntematon a, niin teht¨av¨an normaali ensisijainen lukutapa voisi pelkistettyn¨a olla

”mitk¨a luvuta >0 ovat sellaisia, ett¨a algoritmi tuottaa tulokseksi luvun =x?”, siisxannettu suure jaa x:st¨a riippuva, ei v¨altt¨am¨att¨a yksik¨asitteinen ratkaisu. Jos 0< a <3, algoritmin ensimm¨ainen haarautumiskohta johtaa vasemmanpuoleiseen tiehen, ja koskaa+ 7>2, toinen haarautumiskohta johtaa oikealle. Lopputulok- sena on siisx=−1

2

√a+ 7. T¨am¨a merkitsee sit¨a, ett¨a a = 4x²−7 ja koska 0 < a < 3, ratkaisuja saadaan vain, kun 7 <4x² < 10 eli kun −

r5

2 < x < −1 2

√7.

Jos taas a ≥ 3, ensimm¨ainen ehto johtaa oikeanpuo- leiselle reitille. Oikeanpuoleisen reitin tuottama x on aina >15. Kunx≤15, ratkaisua aei ole. Algoritmin oikeassa haarassa oleva silmukka aktivoituu vain, jos ehdossa testattava luku on≤ 15. Josx > 16, silmuk- kaa ei ole kierretty, ja siisx=a+ 8 elia=x−8. Jos 15< x <16, niin silmukkaa on kierretty 0, 1, 2, 3 tai 4 kertaa, eli x=a+ 8, a+ 9, a+ 10, a+ 11 taia+ 12.

Jos viimein x= 16, silmukka on voitu kiert¨a¨a viisikin kertaa, ja mahdolliset a:n arvot ovat 3, 4, 5, 6, 7 ja 8.

– Edell¨a sanottu sis¨alt¨a¨a ratkaisun my¨os teht¨av¨an toi- seen tulkintaan. Koska kaikkiin ehdon −

r5

2 < x <

−1 2

√7 ja kaikkiin ehdonx > 16 toteuttaviin lukuihin x liittyy tasan yksi a, edellisiin a < 3, j¨alkimm¨aisiin a >8, ja kun ehdon 15< x≤16 toteuttaviin lukuihin liittyy ehdon 3≤a≤8 toteuttava a, niin tilanne, jos- sa useampi kuin yksi a johtaa samaanx:¨a¨an, esiintyy silloin, kun jokoaon jokin luvuista 3, 4, 5, 6, 7, 8 tai a on jokin luvuistaa^′, a^′+ 1,a^′+ 2, a^′+ 3 jaa^′+ 4, miss¨aa^′ on jokin ehdon 3< a^′ <4 toteuttava luku.

Kilpailun viimeisen teht¨av¨an innoittajana oli ollut ve- rohallinnon nettisivuilta l¨oytynyt k¨omm¨ahdys. Verot- tajalle on itse kukin varmaan mielell¨a¨an vahingoniloi- nen. Teht¨av¨a¨an lainattua jaksoa ei kuitenkaan en¨a¨a 31.12.2010 l¨oytynyt verohallinnon ohjeistuksesta, mut- ta googletus osoitti, ett¨a sangen monet tilitoimistot oli- vat sen kritiikitt¨a kopioineet ja yh¨a pitiv¨at sit¨a esill¨a asiakkaidensa tarpeita palvelemassa.

8. Verohallinnon verkkosivulla oli 13.7.2010 seuraa- va ohje arvonlis¨averon laskemiseksi tuotteen verollises- ta hinnasta: ”Tuotteen hintaan sis¨altyv¨a arvonlis¨ave- ron m¨a¨ar¨a selvi¨a¨a k¨aytt¨am¨all¨a laskukaavaa: verolli- nen hinta x sovellettava verokanta/100 + so- vellettava verokanta. Esimerkki: Tuotteen verolli- nen hinta on 5 000 euroa ja siihen sovelletaan nor-