4.2.2. Pienin ja suurin arvo suljetulla välillä
f(x0) on funktion suurin (pienin) arvo, jos kaikilla määrittelyjoukon x:illä on voimassa f(x) f(x0) (f(x) f(x0))
Jatkuvan funktion ääriarvolause
Jos funktio on jatkuva suljetulla välillä [a, b], niin sillä on aina suurin ja pienin arvo tällä välillä.
Määritys
Totea, että funktio on jatkuva suljetulla välillä Laske kaikki mahdolliset ääriarvokohdat:
1° f ´:n nollakohdat, 2° reunat, 3° f ´: n epäjatkuvuuskohdat (kärkikohdat) Laske funktion arvo kaikissa näissä kohdissa
Näistä suurin (pienin) on funktion suurin (pienin) arvo
E.5. Laske funktion f(x) = xE.5. 3 - 3x - 5 suurin ja pienin arvo välillä [0,3].
Funktio f on polynomifunktiona jva ja dva välillä [0,3]
f’(x) = 3x2 – 3 f ’(x) = 0:
3x2 – 3 = 0 x = 1
x = 1 kuuluu välille [0, 3], x = -1 ei kuulu f(1) = -7
Välin päätepisteet
f(0) = 03 – 3 0 – 5 = -5 f(3) = 13
V: Funktion suurin arvo on 13, pienin -7
4.2.3. Pienin ja suurin arvo ei-suljetulla välillä
Lasketaan derivaatan nollakohdat ja merkit
(sekä mahdolliset funktion ja derivaatan epäjatkuvuuskohdat)
Hahmotellaan kulkukaaviolla funktion kulku, josta päätellään missä suurin / pienin arvo voi olla
Lasketaan arvot mahdollisissa kohdissa ja kenties raja-arvo lähestyttäessä reunaa
Näistä tehdään lopullinen päätelmä, mikä on suurin / pienin arvo
E.6. Mikä on funktion f(x) = x4 - 4x3 + 1 pienin arvo?
Funktio f on polynomifunktion jva ja dva f’(x) = 4x3 – 12x2
= 4x2(x – 3)
Kulkukaavion mukaan pienin arvo saavutetaan f(3) = 34 – 4 33 + 1 = -26
4x2 x - 3 f ’(x) f(x)
Kulkukaavio:
NK:
4x2 = 0 x = 0 x – 3 = 0 x = 3
0 3
+ + +
- - +
- - +
min
E.7. Määritä funktion f(x) = x3 + 2x2 - 7x + 3 pienin ja suurin arvo , kun x -3.
Funktio f on polynomifunktion jva ja dva f ’ (x) = 3x2 + 4x – 7
f’ (x) = 0: x = 1, x = -7/3
f ’(x) f(x)
Kulkukaavio:
-7/3 1
+ - +
min min
f(-3) = (-3)3 + 2 (-3)2 – 7 (-3) + 3 = 15 f(1) = 1 + 2 – 7 + 3 = -1, pienin arvo Suurinta arvoa ei ole, koska limf(x) =
Kulkukaavion mukaan pienin arvo saavutetaan joko x = -3 tai x = 1
-3
max
4.2.4. Jatkuvan funktion arvojoukko
Funktion y = f(x) määrittelyjoukko Mf koostuu kaikista niistä muuttujan x arvoista, joilla f(x) on määritelty.
Arvojoukko Af koostuu vastaavista funktion arvoista f(x) Jos funktio jva ja jos sillä pienin arvo ja suurin arvo, niin Af = [pienin arvo, suurin arvo]
(Jva funktio saavuttaa kaikki pienimmän ja suurimman arvonsa väliset arvot)
E.8. Mitkä arvot funktio f saa, kun f(x) = xE.8. 3 - 3x2 x [1,4]
Funktio on jva ja derivoituva määrittelyjoukossaan.
Joten se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdassa tai välin päätepisteessä.
f’ (x) = 3x2 – 6x
f ’(x) = 0: x = 0 tai x = 2 f(0) = 0
f(2) = -4 f(1) = -2 f(4) = 16
Jatkuvan funktion ääriarvolauseen mukaan funktion pienin arvo on -4 ja suurin arvo on 16.
Täten arvojoukko Af = [-4, 16]
4.3.2. Epäyhtälön todistaminen E.10. Todista x 3,
x3 75x + 250 x3 -75x – 250 0
Määritämme suurimman arvon välillä [-, 3]
Funktio f(x) = x3 -75x – 250 jva ja dva polynomifunktiona f’(x) = 3x2 – 75
f’(x) = 0: 3x2 – 75 = 0 x = 5
Kulkukaavion perusteella suurin arvo on on kohdassa -5 f(-5) = (-5)3 – 75(-5) -250 = 0
Koska suurin arvo on 0 niin x3 -75x – 250 0
