6. harjoitukset/Ratkaisut
Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat:
Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva jakauma, Kertymä- funktio, Korrelaatio, Korreloituneisuus, Kovarianssi, Odotusarvo, Pistetodennäköisyysfunktio, Regressiofunktio, Reunajakauma, Riippumattomuus, Riippuvuus, Tiheysfunktio, Varianssi, Yhteisjakauma
6.1. Heitetään kahta noppaa. Määritellään satunnaismuuttujat X = 1. nopan heiton tulos
Y = 2. nopan heiton tulos Z = X – Y
Määrää
(a) Satunnaismuuttujien X ja Z yhteisjakauma.
(b) E(Z) (c) Var(Z) (d) Cov(X, Z)
(e) Satunnaismuuttujan Z ehdollinen jakauma ehdolla X = 2.
(f) Satunnaismuuttujan X ehdollinen jakauma ehdolla Z = –3.
(g) E(Z| X) Ratkaisu:
(a) Satunnaismuuttujien X ja Y pistetodennäköisyysfunktiot fX(i) = Pr(X = i) = fY(i) = Pr(Y = i)
voidaan esittää seuraavana taulukkona:
i 1 2 3 4 5 6
fX(i) = fY(i) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Muodostetaan aputaulukko erotuksille Z = X – Y:
1. nopan heiton tulos X = i Erotus
Z = X – Y 1 2 3 4 5 6
1 0 1 2 3 4 5
2 –1 0 1 2 3 4
3 –2 –1 0 1 2 3
4 –3 –2 –1 0 1 2
5 –4 –3 –2 –1 0 1
2.
nopan heiton tulos Y = j
6 –5 –4 –3 –2 –1 0
Satunnaismuuttujan Z = X – Y pistetodennäköisyysfunktio fZ(j) = Pr(Z = j)
voidaan esittää seuraavana taulukkona:
j –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
fZ(j) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Satunnaismuuttujien X ja Z = X – Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio
fXZ(i, j) = Pr(X = i ja Z = j)
voidaan esittää seuraavana taulukkona:
1. nopan heiton tulos X = i fXZ(i, j)
1 2 3 4 5 6
5 0 0 0 0 0 1/36
4 0 0 0 0 1/36 1/36
3 0 0 0 1/36 1/36 1/36
2 0 0 1/36 1/36 1/36 1/36
1 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 –1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 –2 1/36 1/36 1/36 1/36 0 0
–3 1/36 1/36 1/36 0 0 0
–4 1/36 1/36 0 0 0 0
Z
= X – Y
= j
–5 1/36 0 0 0 0 0
(b) Luentokalvoilla on laskettu:
E(X) = E(Y) = 21/6 = 3.5 Yleisesti pätee:
E(X – Y) = E(X) – E(Y) Siten
E(Z) = E(X – Y) = E(X) – E(Y) = 0
(c) Luentokalvoilla on laskettu:
Var(X) = Var(Y) = 35/12 = 2.917
Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y)
Siten
Var(Z) = Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) = 35/6 = 5.833
(d) Todistamme ensin aputuloksen
Cov(X, X – Y) = Var(X) – Cov(X, Y) Aputuloksen perustelu tapahtuu seuraavasti:
Voimme olettaa, että E(X) = E(Y) = 0 Tällöin:
Cov(X, X – Y) = E[X(X – Y)]
= E[X2 – XY]
= E(X2) – E(XY)
= Var(X) – Cov(X, Y)
Koska X ja Y ovat riippumattomia, niin Cov(X, Y) = 0.
Siten
Cov(X, Z) = Var(X) = 35/12 = 2.917
(e) Satunnaismuuttujan Z ehdolliset pistetodennäköisyysfunktiot, ehdolla X ( , )
( ) , 1, 2, , 6 , 5, 4, , 4,5 ( )
XZ Z X
X
f i j
f j i j
= f i = … = − − …
voidaan esittää seuraavana taulukkona, jossa ehdolliset jakaumat ovat sarakkeina:
1. nopan heiton tulos X = i fZ|X(j)
1 2 3 4 5 6
5 0 0 0 0 0 1/6
4 0 0 0 0 1/6 1/6
3 0 0 0 1/6 1/6 1/6
2 0 0 1/6 1/6 1/6 1/6
1 0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
–1 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 0
–2 1/6 1/6 1/6 1/6 0 0
–3 1/6 1/6 1/6 0 0 0
–4 1/6 1/6 0 0 0 0
Z
= X – Y
= j
–5 1/6 0 0 0 0 0
Kysyttyyn ehdolliseen jakaumaan liittyvät osat taulukon luvuista on lihavoitu.
Esimerkiksi, jos x = 2 ja z = 4,
2
(2, 4) 0
(4) 0
(2) 1 6
XZ Z X
X
f f
= = f = =
Esimerkiksi, jos x = 2 ja z = –2,
2
(2, 2) 1 36 1 ( 2) (2) 1 6 6
XZ Z X
X
f f
= f
− = − = =
(f) Satunnaismuuttujan X ehdolliset pistetodennäköisyysfunktiot, ehdolla Z ( , )
( ) , 1, 2, , 6 , 5, 4, , 4,5 ( )
XZ X Z
Z
f i j
f i i j
f j
= = … = − − …
voidaan esittää seuraavana talukkona, jossa ehdolliset jakaumat ovat riveinä:
1. nopan heiton tulos X = i fX|Z(i)
1 2 3 4 5 6 5 0 0 0 0 0 1
4 0 0 0 0 1/2 1/2
3 0 0 0 1/3 1/3 1/3
2 0 0 1/4 1/4 1/4 1/4 1 0 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 –1 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 0 –2 1/4 1/4 1/4 1/4 0 0 –3 1/3 1/3 1/3 0 0 0
–4 1/2 1/2 0 0 0 0
Z
= X – Y
= j
–5 1 0 0 0 0 0 Kysyttyyn ehdolliseen jakaumaan liittyvät osat taulukon luvuista on lihavoitu.
Esimerkiksi, jos x = 2 ja z = 4,
4
(2, 4) 0
(2) 0
(4) 2 36
XZ X Z
Z
f f
= = f = =
Esimerkiksi, jos x = 2 ja z = –2,
2
(2, 2) 1 36 1 (2) ( 2) 4 36 4
XZ X Z
Z
f f
=− f
= − = =
−
(g) Kohdan (e) taulukosta (laskemalla tai symmetria-argumentin perusteella) saadaan ehdollinen odotusarvo E(Z| X) helposti esitettyä taulukkomuodossa:
E(Z| X) = ∑zfZ|X(j)
X = i 1 2 3 4 5 6
E(Z| X = i) –2.5 –1.5 –0.5 0.5 1.5 2.5
6.2. Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio
Pr(X = 2¸ Y = 3) = Pr(X = 1¸ Y = 1) = Pr(X = –1¸ Y = 1) = Pr(X = –1¸ Y = –2) = 1/4 Määrää
(a) Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat.
(b) Cov(X, Y) (c) Cor(X, Y)
(d) Satunnaismuuttujan Y ehdolliset jakaumat.
(e) E(Y| X) Ratkaisu:
(a) Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman fXY(x, y) = Pr(X = x ja Y = y)
pistetodennäköisyysfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona:
fXY(x, y) x
–1 1 2 3 0 0 1/4 1 1/4 1/4 0 y
–2 1/4 0 0 Reunajakaumien
fX(x) = Pr(X = x) = ∑y fXY(x, y) fY(y) = Pr(Y = y) = ∑x fXY(x, y)
pistetodennäköisyysfunktiot saadaan tästä taulukosta rivi- ja sarakesummina:
x fY(y) fXY(x, y)
–1 1 2 3 0 0 1/4 1/4 1 1/4 1/4 0 1/2 y
–2 1/4 0 0 1/4 fX(x) 1/2 1/4 1/4 1
(b) E(X) =∑xfX(x) = 1/4 = 0.25.
E(Y) = ∑yfY(y) = 3/4 = 0.75.
Cov(X, Y) =∑∑(x – E(X))(y – E(Y)) fXY(x, y) = 1.8125
(c) Cor(X, Y) = Cov(X, Y)/(D(X)D(Y)) D2(X) = ∑(x – E(X))2fX(x) = 1.6875 D2(Y) = ∑(y – E(Y))2fY(y) = 3.1875 Cor(X, Y) = 0.7815
(d) Muodostetaan satunnaismuuttujan Y ehdolliset pistetodennäköisyysfunktiot, ehdolla X:
( , ) ( ) ( )
YX Y X
X
f y x
f y
= f x x = –1:
y –2 1 3 fY|X(y) 1/2 1/2 0
x = 1:
y –2 1 3 fY|X(y) 0 1 0
x = 2:
y –2 1 3 fY|X(y) 0 0 1
(e) Ehdolliset odotusarvot saadaan kohdasta (d):
E(Y| X = x) = ∑yfY|X(y)
x –1 1 2
E(Y| X = x) –1/2 1 3
6.3. Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f(x, y) = C(x + y)
jossa C on vakio, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
Määrää (a) Vakio C.
(b) Pr(X ≥ Y)
(c) Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman kertymäfunktio.
(d) Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat. Ovatko X ja Y riippumattomia?
(e) Tiheysfunktio satunnaismuuttujan X ehdolliselle jakaumalle ehdolla Y.
(f) Ehdollinen odotusarvo E(X|Y).
Ratkaisu:
(a) Koska
1 1 1 1
2
0 0 0 0
1
0
1 2
0
( ) 1
2 1 2
1 1
2 2
1 1 1
2 2
C x y dydx C xy y dx
C x dx
C x x
C C
+ = +
= +
= +
= + = =
∫∫ ∫
∫
niin C = 1.
(b)
( )
10 0 1
2 0 0
1
2 2
0 1
2 0
1 3
0
Pr ( )
1 2 1 2 3 2
1 1
2 2
x
x
X Y x y dydx
xy y dx
x x dx
x dx
x
≥ = +
= +
= +
=
= =
∫∫
∫
∫
∫
(c) Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman kertymäfunktioksi saadaan
0 0
2 0 0
2 0
2 2
0
2 2
( , ) ( )
1 2 1 2
1 1
2 2
1 1
2 2
x y XY
x y
x
x
F x y u v dvdu
uv v du
uy y du
u y uy
x y xy
= +
= +
= +
= +
= +
∫∫
∫
∫
(d) Kohdassa (a) suoritetusta integroinnista nähdään, että ( ) 1
2 ( ) 1
2
X
Y
f x x f y y
= +
= +
Satunnaismuuttujat X ja Y eivät ole riippumattomia, koska
1 1 1
( ) ( ) ( , )
2 2 4
X Y XY
f x f y =xy+ x+ y+ ≠ + =x y f x y
(e) Koska
( , ) ( ) ( )
2( ) 2 1
XY X Y
Y
f x y f x
f y x y
y
=
= + +
satunnaismuuttujan X ehdollinen jakauma ehdolla Y = y riippuu y:stä, jolloin esimerkiksi myös sen odotusarvo ja varianssi riippuvat y:stä.
(f) Koska
1
0 1
2 0
1
3 2
0
E( ) ( )
2( ) (2 1)
2 ( )
2 1
2 1 1
2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 X Y xfX Y x dx
x x y dx y
x xy dx y
x x y
y y
y
+∞
−∞
=
= +
+
= +
+
= + +
= ⋅ + +
∫
∫
∫
satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla Y = y eli satunnaismuuttujan X regressiofunktio satunnaismuuttujan Y suhteen riippuu y:stä.
6.4. Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f(x, y) = Cxy
jossa C on vakio, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
Määrää (a) Vakio C.
(b) Pr(0 ≤ X ≤ 1/2, 1/2 ≤ Y ≤ 1)
(c) Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman kertymäfunktio.
(d) Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat. Ovatko X ja Y riippumattomia?
(e) Tiheysfunktion satunnaismuuttujan X ehdolliselle jakaumalle ehdolla Y.
(f) Ehdollinen odotusarvo E(X|Y).
Ratkaisu:
(a) Koska
1 1 1 1
2
0 0 0 0
1
0 1 2
0
1 2 1 2 1 4 1 1 4
C xydydx C xy dx
C xdx
C x
C
=
=
=
= =
∫∫ ∫
∫
(b)
1 2 1
0 1 2 1 1 2
2 0 1 2 1 2
0
1 2 2
0
Pr 0 1 1, 1 4 2 2
4 1 2 4 3
8
3 3
4 16 16
X Y xydydx
xy dx
xdx
x
≤ ≤ ≤ ≤ =
=
=
= =
∫ ∫
∫
∫
(c) Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman kertymäfunktioksi saadaan
0 0 2 0 0
2 0
2 2 0 2 2
( , ) 4 4 1
2 4 1
2 4 1
4
xy XY
x y
x
x
F x y uvdvdu
uv du uy du
u y x y
=
=
=
=
=
∫∫
∫
∫
(d) Kohdassa (a) suoritetusta integroinnista nähdään, että ( ) 2
( ) 2
X Y
f x x
f y y
=
=
Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, koska ( ) ( ) 4 ( , )
X Y XY
f x f y = xy= f x y
(e) Satunnaismuuttujien X ja Y riippumattomuuden takia ( , )
( ) ( ) 2
( )
XY X
X Y
Y
f x y
f x f x x
= f y = =
joten satunnaismuuttujan X ehdollinen jakauma ehdolla Y = y ei riipu y:stä.
(f) Satunnaismuuttujien X ja Y riippumattomuuden takia
1
0 1 3
0
E( ) E( ) ( )
(2 )
2 2
3 3
X
X Y X
xf x dx
x x dx
x
+∞
−∞
=
=
= ⋅
= =
∫
∫
6.5. Olkoot 2-ulotteisen diskreetin jakauman pistetodennäköisyydet Pr(X = +1, Y = 0) = 1/4
Pr(X = 0, Y = +1) = 1/4 Pr(X = –1, Y = 0) = 1/4 Pr(X = 0, Y = –1) = 1/4
(a) Ovatko X ja Y korreloimattomia?
(b) Ovatko X ja Y riippumattomia?
Selitä saamasi tulos.
Ratkaisu:
Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman ja reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktiot:
pxy –1 0 1 p.y
1 0 ¼ 0 ¼ 0 ¼ 0 ¼ ½ –1 0 ¼ 0 ¼
px. ¼ ½ ¼ 1
(a) Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssiksi saadaan
[ ]
Cov( , ) ( E( ))( E( )) Pr( , ) 1 ( 1) 0 0 ( 1) ( 1) 0 0 ( 1) 0 4
x y
X Y = x− X y− Y X =x Y = y
= + × + × + + − × + × − =
∑∑
koska
E(X) = E(Y) = 0
(b) Satunnaismuuttujat X ja Y eivät kuitenkaan ole riippumattomia, koska esimerkiksi p11 ≠ p1. p.1
Selitys:
Satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus, mutta satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa niiden riippumattomuus.
Satunnaismuuttujien korrelaatio mittaa niiden lineaarista riippuvuutta. Siten
korreloimattomien satunnaismuuttujien välillä voi silti olla jopa eksakti epälineaarinen riippuvuus.
Tehtävän tilanteessa jakauman määräävät pisteet ovat ympyrän
2 2 1
x +y = kehällä.
6.6. Olkoot 2-ulotteisen diskreetin jakauman pistetodennäköisyydet Pr(X = +2, Y = 4) = 1/3
Pr(X = −2, Y = 4) = 1/3 Pr(X = 0, Y = 0) = 1/3
(a) Ovatko X ja Y korreloimattomia?
(b) Ovatko X ja Y riippumattomia?
Selitä saamasi tulos.
Ratkaisu:
Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman ja reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktiot:
pxy –2 0 2 p.y
4 1/3 0 1/3 2/3 0 0 1/3 0 1/3 px. 1/3 1/3 1/3 1
(a) Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssiksi saadaan
Cov( , ) ( E( ))( E( )) Pr( , )
1 8 8
2 (4 ) ( 2) (4 ) 0 0 0
3 3 3
x y
X Y = x− X y− Y X =x Y = y
= × − + − × − + × =
∑∑
koska
E(X) = 0 ja E(Y) = 8/3
(b) Satunnaismuuttujat X ja Y eivät kuitenkaan ole riippumattomia, koska esimerkiksi p04 ≠ p0. p.4
Selitys:
Satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus, mutta satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa niiden riippumattomuus.
Satunnaismuuttujien korrelaatio mittaa niiden lineaarista riippuvuutta. Siten
korreloimattomien satunnaismuuttujien välillä voi silti olla jopa eksakti epälineaarinen riippuvuus.
Tehtävän tilanteessa jakauman määräävät pisteet ovat paraabelin y x= 2
kaarella.
