Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5.harjoitukset
TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 1/3
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku
5. harjoitukset/Tehtävät
Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat:
Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma, Odotusarvo, Poisson-jakauma, Standardi-
poikkeama, Standardointi, Taulukot, Tiheysfunktio, Varianssi
5.1. Sähkölampun elinikä X (yksikkönä 1000 h) noudattaa jakaumaa, jonka tiheysfunktio on f(x) = c/x2 , kun 1 ≤ x ≤ 10
ja c on vakio.
(a) Määrää vakion c arvo.
(b) Millä todennäköisyydellä lamppu kestää yli 5000 h?
(c) Mikä on lampun keskimääräinen elinikä?
(d) Määrää lampun eliniän mediaani eli määrää ikä x, jolla Pr(X ≤ x) = 0.5.
5.2. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, joka elinikä X (yksikkönä vuosi) noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla 1/2.
(a) Mikä ilmaisimen keskimääräinen elinikä?
(b) Määrää ilmaisimen eliniän mediaani eli määrää ikä x siten, että Pr(X ≤ x) = 0.5.
(c) Määrää todennäköisyys, että ilmaisin kestää kauemmin kuin 2 vuotta.
(d) Millä todennäköisyydellä ilmaisin toimii ainakin vielä yhden vuoden, jos se on toiminut jo vuoden?
(e) Millä todennäköisyydellä ilmaisin toimii ainakin vielä yhden vuoden, jos se on toiminut jo kaksi vuotta?
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5.harjoitukset
TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 2/3
Tehtävissä 5.3. ja 5.4. harjoitellaan normaalijakauman taulukoiden käyttöä.
5.3. Olkoon satunnaismuuttuja Z ∼ N(0, 1).
(a) Määrää satunnaismuuttujan Z mediaani eli piste z siten, että Pr(Z ≤ z) = 0.5.
(b) Määrää Pr(Z > 1).
(c) Määrää Pr(Z ≤ –1).
(d) Määrää z siten, että Pr(Z ≤ z) = 0.95.
(e) Määrää z siten, että Pr(Z ≥ z) = 0.05.
(f) Määrää Pr(Z≤ 2).
(g) Määrää z siten, että Pr(Z≥ z) = 0.05.
Olkoon satunnaismuuttuja X ∼ N(1, 9).
(h) Määrää Pr(X ≤ –1).
(i) Määrää x siten, että Pr(X ≥ x) = 0.05.
5.4. Olkoon satunnaismuuttuja X ∼ N(–1, 4).
(a) Määrää P(X = 1).
(b) Määrää satunnaismuuttujan X mediaani eli x siten, että Pr(X ≤ x) = 0.5.
(c) Määrää Pr(X ≤ –3).
(d) Määrää x siten, että Pr(X ≤ x) = 0.99.
(e) Määrää x siten, että Pr(X ≤ x) = 0.01.
(f) Määrää satunnaismuuttujan X odotusarvoon µ nähden symmetriset pisteet µ – x ja µ + x niin, että niiden ulkopuolelle jää todennäköisyysmassasta 5%.
5.5. Heität virheetöntä noppaa 12000 kertaa.
(a) Mikä on odotettavissa oleva kuutosten lukumäärä?
(b) Mikä on todennäköisyys, että kuutosten lukumäärä on suljetulla välillä [1960, 2080]?
Ohje: Käytä (b)-kohdassa sopivaa normaalijakauma-approksimaatiota.
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5.harjoitukset
TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 3/3
5.6. Radioaktiivisten aineiden säteilyä mitataan Geiger-putkella. Mittaus tapahtuu rekisteröimällä impulssien lukumäärä 60 sekunnin aikana. Oletetaan, että impulssien lukumäärä noudattaa Poisson-jakaumaa, jossa tapahtumaintensiteetti on 100 impulssia/s.
(a) Mikä on odotettavissa oleva impulssien lukumäärä 1 minuutin aikana?
(b) Mikä on keskimääräinen odotusaika ensimmäiselle impulssille?
(c) Mikä on todennäköisyys, että impulsseja tulee 1 minuutissa korkeintaan 6100?
Ohje: Käytä (b)-kohdassa sopivaa normaalijakauma-approksimaatiota.
5.7. Oletetaan, että n:n elektronisen komponentin eliniät Z1 , Z2 , … , Zn ovat riippumattomia ja, että ne noudattavat eksponenttijakaumaa parametrilla λ. Määrää sellaisen systeemin eliniän jakauma ja keskimääräinen elinikä, jossa komponentit on kytketty
(a) Sarjaan (b) Rinnan
