Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku

(1)

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 1/23

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku

1. harjoitukset/Ratkaisut

Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet

Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma, Joukko, Klassinen todennäköisyys, Komplementtitapahtuma, Leikkaus, Mahdoton tapahtuma, Otosavaruus, Riippumattomuus, Symmetrisyys, Todennäköisyys, Toisensa poissulkevuus, Tulosääntö,Unioni,

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

1.1. Virheetöntä noppaa heitettäessä jokaisella silmäluvulla 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama

todennäköisyys tulla tulokseksi. Jos virheetöntä noppaa heitetään kaksi kertaa, heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on

S = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

jossa

x = 1. heiton tulos y = 2. heiton tulos

Otosavaruutta S voidaan kuvata seuraavalla taulukolla:

1. heiton tulos x (x, y)

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 2. heiton

tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Määritellään joukot

A = {(x, y) ∈ S | x = 2}

B = {(x, y) ∈ S | y > 4}

C = {(x, y) ∈ S | x + y = 7}

D = {(x, y) ∈ S | x – y = 2}

E = {(x, y) ∈ S | x – y ≤ 2}

(2)

Merkitse otosavaruutta S kuvaavaan kaavioon seuraavat joukot:

(a) A, B, C, D, E

(b) A ∪ C = Joukkojen A ja C yhdiste (c) B ∩ D = Joukkojen B ja D leikkaus (d) E^c = Joukon E komplementti

(e) B \ C = Joukkojen B ja C erotus (f) C \ B = Joukkojen C ja B erotus

Ratkaisu:

(a) A = {(x, y) ∈ S | x = 2}

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 2. heiton

tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

B = {(x, y) ∈ S | y > 4}

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 2. heiton

tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

(3)

C = {(x, y) ∈ S | x + y = 7}

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 2. heiton

tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

D = {(x, y) ∈ S | x – y = 2}

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 2. heiton

tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

E = {(x, y) ∈ S | x – y ≤ 2}

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 2. heiton

tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

(4)

(b) A ∪ C = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∈ A tai (x, y) ∈ C}

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 2. heiton

tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (c) B ∩ D = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∈ B ja (x, y) ∈ D} = ∅

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 2. heiton

tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (d) E^c = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∉ E}

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 2. heiton

tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

(5)

(e) B \ C = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∈ B ja (x, y) ∉ C}

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 2. heiton

tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (f) C \ B = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∈ C ja (x, y) ∉ B}

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 2. heiton

tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 1.2. Jatkoa tehtävälle 1.1.

Määrää todennäköisyydet tehtävän 1.1. kohdissa (a) – (f) määritellyille tapahtumille.

Ohje:

Käytä tehtävän ratkaisussa apuna otosavaruutta S esittävää 6×6-matriisia, jonka alkioina ovat lukuparit (x, y) , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja merkitsemällä tähän matriisiin joukot A, B ja C.

Ratkaisu:

Käytämme klassisen todennäköisyyden määritelmää. Sen mukaan tapahtuman A

todennäköisyys Pr(A) saadaan määräämällä tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien suhteellinen osuus kaikista alkeistapahtumista. Siten

Pr(A) = n(A)/n(S) jossa

n(A) = tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä = joukkoon A kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä

n(S) = kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä = otosavaruuteen S kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä

(6)

Tehtävän 1.1. otosavaruudessa S on 36 alkiota, joten n(S) = 36

(a) Koska n(A) = 6, niin Pr(A) = 6/36 = 1/6 Koska n(B) = 12, niin

Pr(B) = 12/36 = 1/3 Koska n(C) = 6, niin

Pr(C) = 6/36 = 1/6 Koska n(D) = 4, niin

Pr(D) = 4/36 = 1/9 Koska n(E) = 30, niin

Pr(E) = 30/36 = 5/6 (b) Koska n(A ∪ C) = 11, niin

Pr(A ∪ C) = 11/36

Sama tulos saadaan yleisen yhteenlaskusäännön Pr(A∪C) = Pr(A) + Pr(C) − Pr(A∩C) avulla:

Pr(A) = 1/6

Pr(C) = 1/6

Pr(A∩C) = 1/36 koska

A∩C = {(2,5)}

Siten

Pr(A∪C) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

(c) Koska B ∩ D = ∅, niin Pr(B ∩ D) = 0

(7)

(d) Koska n(E^c ) = 6, niin Pr(E^c ) = 6/36 = 1/6

Sama tulos saadaan myös komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan Pr(E^c ) = 1 – Pr(E)

avulla:

Pr(E) = 5/6 Siten

Pr(E^c ) = 1 – 5/6 = 1/6 (e) Koska n(B \ C) = 10, niin

Pr(B \ C) = 10/36 = 5/18 (f) Koska n(C \ B) = 4, niin

Pr(C \ B) = 4/36 = 1/9

1.3. Jatkoa tehtävälle 1.1.

Olkoon

A = {1. nopanheitolla saadaan 4 tai enemmän}

B = {Heittotulosten summa on 10 tai enemmän}

C = {Molemmilla nopanheitoilla saadaan sama silmäluku}

Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:

(a) A ∪ B (b) A ∩ C (c) C^c (d) B \ C Ohje:

Käytä tehtävän ratkaisussa apuna otosavaruutta S esittävää 6×6-matriisia, jonka alkioina ovat lukuparit (x, y) , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja merkitsemällä tähän matriisiin joukot A, B ja C.

(8)

Ratkaisu:

Otosavaruutta S voidaan kuvata alla oleva lukuparien (x, y), x = 1, 2, 3, 4, 5, 6; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 muodostamalla taulukolla:

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 2. heiton

tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Koska alkeistapahtumat

(x, y), x = 1, 2, 3, 4, 5, 6; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6

oletettiin symmetrisiksi ja alkeistapahtumia on yhteensä 6×6 = 36 kappaletta, niin Pr(x, y) = 1/36 , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Klassisen todennäköisyyden määritelmän mukaan tapahtuman A todennäköisyys Pr(A)

saadaan määräämällä tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien suhteellinen osuus kaikista alkeistapahtumista. Siten

Pr(A) = n(A)/n(S) jossa

n(A) = tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä = joukkoon A kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä

n(S) = kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä = otosavaruuteen S kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä Otosavaruudessa S on 36 alkiota, joten

n = n(S) = 36

(9)

Määrätään ensin tapahtumien A, B ja C todennäköisyydet:

Jos

A = {(x, y) | x = 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

niin n(A) = 18 ja siten

Pr(A) = 18/36 = ½ Jos

B = {(4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)}

niin n(B) = 6 ja siten

Pr(B) = 6/36 = 1/6 Jos

C = {(x, y) | x = y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

niin n(C) = 6 ja siten

Pr(C) = 6/36 = 1/6

(a) Koska A ⊂ B, niin A∪B = A. Siten Pr(A∪B) = Pr(A) = 18/36 = 1/2

(b) Nyt

A∩C = {(4,4), (5,5), (6,6)}

ja

n(A∩C) = 3 Siten

Pr(A∩C) = 3/36 = 1/12

(c) Nyt

C^c = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4, 5, 6; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6; x ≠ y}

Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan mukaan:

Pr(C^c) = 1 − Pr(C) = 1 − 1/6 = 5/6

(10)

(d) Nyt

B \ C = {(4,6), (6,4), (5,6), (6,5)}; n(B \ C) = 4 Siten

Pr(B \ C) = 4/36 = 1/9

Tarkastellaan silmälukujen summaa z = x + y

jossa

x = 1. heiton tulos y = 2. heiton tulos Määritellään tapahtumat A = {Summa on 1}

B = {Summa on 11}

C = {1. nopanheitolla saadaan 2}

D = {1. nopanheitolla saadaan 5}.

(a) Määrää silmälukujen summan z = x + y otosavaruus.

(b) Määrää tapahtuman A todennäköisyys.

(c) Määrää tapahtuman B todennäköisyys.

(d) Määrää tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys, kun tapahtuma C on sattunut.

(e) Määrää tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys, kun tapahtuma D on sattunut.

Ratkaisu:

1. nopanheittoon liittyvä otosavaruus on {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

2. nopanheittoon liittyvä otosavaruus on {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Muodostetaan silmälukujen x ja y mahdollisia summia z = x + y

kuvaava aputaulukko:

(11)

1. heiton tulos x z = x + y

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 2. heiton

tulos y

6 7 8 9 10 11 12

(a) Aputaulukosta nähdään, että kahden nopanheiton silmälukujen summan otosavaruus on {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

(b) Koska tapahtuma A = {Summa on 1} on mahdoton, niin Pr(A) = 0

(c) Tapahtuma B = {Summa on 11} voi tulla tulokseksi täsmälleen kahdella tavalla:

Tapa 1: 1. heitolla saadaan 6 ja 2. heitolla saadaan 5 Tapa 2: 1. heitolla saadaan 5 ja 2. heitolla saadaan 6

Koska nämä tavat ovat toisensa poissulkevia ja kummankin todennäköisyys on 1/36, saadaan tapahtuman B todennäköisyydeksi toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön perusteella:

Pr(B) = 1/36 + 1/36 = 2/36 = 1/18

(d) Summaksi ei voi tulla 11, jos 1. heitolla saadaan 2, joten tapahtuma B on mahdoton, jos C on sattunut.

Siten ehdollinen todennäköisyys Pr(B|C) = 0

Tämä seuraa myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä:

Pr(B|C) = Pr(B∩C)/Pr(C)

Koska tapahtumat B ja C ovat toisensa poissulkevia, B∩C = ∅

Siten

Pr(B∩C) = 0 josta seuraa, että

Pr(B|C) = 0

(12)

Pr(B|D) = Pr(B∩D)/Pr(D) = (1/36)/(1/6) = 1/6

Tarkastellaan 1. ja 2. nopanheiton silmälukujen erotusta z = x – y

jossa

x = 1. heiton tulos y = 2. heiton tulos Olkoon

A = {1. nopalla saadaan 6}

B = {2. nopalla saadaan 6}

C = {Erotus on 2}

(a) Määrää silmälukujen erotuksen z = x – y otosavaruus.

(b) Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(A | B)

ja vertaa sitä tapahtuman A todennäköisyyteen.

Ovatko tapahtumat A ja B riippumattomia?

(c) Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(C | A )

ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen.

Ovatko tapahtumat C ja A riippumattomia?

(d) Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(C | B )

ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen.

Ovatko tapahtumat C ja B riippumattomia?

Ratkaisu:

1. heiton tulokseen x liittyvä otosavaruus on {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

2. heiton tulokseen y liittyvä otosavaruus on {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

(13)

Muodostetaan silmälukujen x ja y mahdollisia erotuksia z = x – y

kuvaava aputaulukko:

1. heiton tulos x z = x – y

1 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 4 5 2 –1 0 1 2 3 4 3 –2 –1 0 1 2 3 4 –3 –2 –1 0 1 2 5 –4 –3 –2 –1 0 1 2. heiton

tulos y

6 –5 –4 –3 –2 –1 0

(a) Aputaulukosta nähdään, että kahden nopan heiton silmälukujen erotuksen z = x – y otosavaruus on

{–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla (ks. tehtävä 1.3.) aputaulukosta saadaan erotuksille z = x – y seuraavat todennäköisyydet:

z –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

Pr 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

(b) Käyttämällä apuna tehtävän 1.1. otosavaruutta

S = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

kuvaavaa taulukkoa

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 2. heiton

tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

(14)

on helppo nähdä klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla (ks. tehtävä 1.3.), että Pr(A) = 1/6

Pr(B) = 1/6 Koska

A∩B = {1. nopalla saadaan 6 ja 2. nopalla saadaan 6}

niin

Pr(A∩B) = 1/36

Siten ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella nähdään, että Pr(A|B) = Pr(A∩B)/Pr(B) = (1/36)/(1/6) = 1/6

Koska

Pr(A|B) = Pr(A) = 1/6

tapahtumat A ja B ovat riippumattomia.

Tehtävän voi ratkaista myös käyttämällä apuna ennen (a)-kohdan ratkaisua esitettyä taulukkoa rajoittumalla tarkastelemaan niitä soluja, joissa 2. nopalla saadaan 6. Näitä soluja on 6 ja täsmälleen yksi niistä vastaa sitä, että 1. nopalla on saatu 6.

Siten suoraan klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla (ks. tehtävä 1.3.), että Pr(A|B) = 1/6

Vaikka tehtävä voidaan siis ratkaista käyttämällä ym. aputaulukkoa, on syytä oppia käyttämään ehdollisen todennäköisyyden määritelmää. Alkeistapahtumien taulukointi ja niiden lukumäärien laskeminen oikein ei ole helppoa, jos otosavaruus on iso.

(c) Tehtävässä kysytään ehdollista todennäköisyyttä tapahtumalle C = {(x, y) ∈ S | z = x – y = 2}

kun tapahtuma

A = {x = 6}

on sattunut.

Kohdan (b) otosavaruutta S kuvaavasta taulukosta on helppo nähdä seuraava:

Jos A on sattunut, jäljellä on 6 vaihtoehtoa, joista erotus z voi saada arvon 2 vain yhdellä

tavalla, kun y saa arvon 4.

Siten

Pr(C|A) = 1/6

Sama tulos saadaan myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella:

Pr(C|A) = Pr(C∩A)/Pr(A) = (1/36)/(1/6) = 1/6

(15)

Koska

Pr(C) = 1/4 ≠ Pr(C|A)

tapahtumat C ja A eivät ole riippumattomia.

(d) Tehtävässä kysytään ehdollista todennäköisyyttä tapahtumalle C = {(x, y) ∈ S | z = x – y = 2}

kun tapahtuma

B = {y = 6}

on sattunut.

Kohdan (b) otosavaruutta S kuvaavasta matriisista on helppo nähdä seuraava:

Jos B on sattunut, erotus z = x – y ei voi saada arvoa 2.

Siten

Pr(C|B) = 0

Sama tulos saadaan myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella:

Pr(C|B) = Pr(C∩B)/Pr(B) = (0/36)/(1/6) = 0/6 = 0

1.6. Olkoot Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.3. Määrää tapahtuman A∪B todennäköisyys, kun (a) Pr(A∩B) = 0.1

(b) A ja B ovat toisensa poissulkevia (c) A ja B ovat riippumattomia (d) Pr(A | B) = 0.1

Ratkaisu:

Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan:

Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B)

(a) Jos Pr(A∩B) = 0.1, niin

Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B) = 0.5 + 0.3 − 0.1 = 0.7

(b) Koska A ja B ovat toisensa poissulkevia, niin A∩B = ∅.

Tällöin Pr(A∩B) = 0, koska mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla.

Siten

Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B) = 0.5 + 0.3 − 0 = 0.8

(16)

(c) Koska A ja B ovat riippumattomia, niin riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan

Pr(A∩B) = Pr(A)Pr(B).

Siten

Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B) = 0.5 + 0.3 − 0.5×0.3 = 0.65

(d) Yleisen tulosäännön mukaan Pr(A∩B) = Pr(A|B)Pr(B).

Siten

Pr(A∪B) = 0.5 + 0.3 − 0.1×0.3 = 0.77

1.7. Olkoot Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Yritä määrätä tapahtuman A∪B todennäköisyys, kun (a) Pr(A∩B) = 0.1

(b) A ja B ovat toisensa poissulkevia (c) A ja B ovat riippumattomia (d) Pr(A|B) = 0.1

Milloin tämä on mahdollista?

Ratkaisu:

Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan:

Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B)

(a) Jos Pr(A∩B) = 0.1, niin

Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B) = 0.5 + 0.6 − 0.1 = 1

(b) Koska A ja B ovat toisensa poissulkevia, niin A∩B = ∅.

Tällöin Pr(A∩B) = 0, koska mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla.

Siten

Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B) = 0.5 + 0.6 − 0 = 1.1 > 1 mikä on mahdotonta. Siten annetut tiedot ovat ristiriitaisia.

(c) Koska A ja B ovat riippumattomia, niin riippumattomien tapahtuman tulosäännön mukaan

Pr(A∩B) = Pr(A)Pr(B)

(17)

Siten

Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B) = 0.5 + 0.6 − 0.5×0.6 = 0.8 (d) Yleisen tulosäännön mukaan

Pr(A∩B) = Pr(A|B)Pr(B).

Siten

Pr(A∪B) = 0.5 + 0.6 − 0.1×0.6 = 1.04

mikä on mahdotonta. Siten annetut tiedot ovat ristiriitaisia.

1.8. Uurnassa on 10 palloa, joista 3 on valkoista ja 7 on mustaa.

(a) Poimitaan uurnasta satunnaisesti kaksi palloa takaisinpanolla.

(Poiminta takaisinpanolla tapahtuu niin, että poimittu objekti palautetaan välittömästi takaisin poimittavien joukkoon, jolloin sama objekti voi tulla poimituksi uudelleen.) Mikä on todennäköisyys, että toisena nostettu pallo on valkoinen, jos ensimmäisenä nostettu pallo on musta?

(b) Poimitaan laatikosta satunnaisesti kaksi palloa ilman takaisinpanoa.

(Poiminta ilman takaisinpanoa tapahtuu niin, että poimittua objektia ei palauteta takaisin poimittavien joukkoon.)

Mikä on todennäköisyys, että toisena nostettu pallo on valkoinen, jos ensimmäisenä nostettu pallo on musta?

Ratkaisu:

Olkoon

A1 = {1. pallo on musta}

B2 = {2. pallo on valkoinen}

(a) Suoraan klassisen todennäköisyyden määritelmän perusteella Pr(A1) = 7/10

Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A1 ja B2 ovat riippumattomia.

Siten ehdollinen todennäköisyys Pr(B2|A1) = Pr(B2) = 3/10

mikä nähdään todeksi huomaamalla, että toista palloa nostettaessa uurnassa on edelleen 10 palloa, joista 3 on valkoista.

(18)

(b) Suoraan klassisen todennäköisyyden määritelmän perusteella Pr(A1) = 7/10

Koska poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, tapahtumat A1 ja B2 eivät ole riippumattomia ja siten ehdollinen todennäköisyys

Pr(B2|A1) = 3/9

mikä nähdään todeksi huomaamalla, että toista palloa nostettaessa uurnassa on enää 9 palloa, joista 3 on valkoista.

1.9. Uurnassa on 12 palloa. Palloista 5 on punaista ja 7 sinistä.

(a) Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa takaisinpanolla.

Mikä on todennäköisyys, että saat kolme punaista palloa?

(b) Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa.

Mikä on todennäköisyys, että saat kolme punaista palloa?

(c) Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa.

Mikä on todennäköisyys, että viimeisenä poimittava pallo on punainen, jos kaksi edellistä ovat olleet sinisiä?

Poiminta takaisinpanolla ja ilman takaisinpanoa: Ks. tehtävä 1.8.

Ratkaisu:

Olkoon

Ai = {i. pallo on punainen}

Aic = {i. pallo on sininen}

(a) Kysytty todennäköisyys on Pr(A1∩A2∩A3)

Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A1, A2 ja A3 ovat riippumattomia.

Siten riippumattomien tapahtumien tulosäännön perusteella Pr(A1∩A2∩A3) = Pr(A1)Pr(A2)Pr(A3) = (5/12)³ = 0.0723

mikä nähdään todeksi, koska poiminnan jokaisessa vaiheessa laatikossa on 12 palloa, joista 5 on punaista.

(19)

(b) Kysytty todennäköisyys on Pr(A1∩A2∩A3)

Koska poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, tapahtumat A1, A2 ja A3 eivät ole riippumattomia. Siten yleisen tulosäännön perusteella

Pr(A1∩A2∩A3)

= Pr(A1)Pr(A2|A1)Pr(A3|A1∩A2) = (5/12)×(4/11)×(3/10) = 0.0455

Laskutoimitus voidaan perustella seuraavalla tavalla:

(i) Ensimmäistä palloa poimittaessa uurnassa on 12 palloa, joista 5 on punaista.

(ii) Jos ensimmäisenä poimittu pallo oli punainen, toista palloa poimittaessa uurnassa on jäljellä 11 palloa, joista 4 on punaista.

(iii) Jos ensimmäisenä ja toisena poimitut pallot olivat punaisia, kolmatta palloa poimittaessa uurnassa on jäljellä 10 palloa, joista 3 on punaista.

(c) Kysytty todennäköisyys on Pr(A3 | A1c∩A2 c)

Jos uurnassa on aluksi 7 sinistä ja 5 punaista palloa ja 2 sinistä otetaan pois, jää jäljelle 5 kumpaakin ja todennäköisyys saada seuraavaksi punainen pallo on

Pr(A3 | A1c∩A2 c) = 5/10 = 0.5

1.10. Laatikossa on 10 hehkulamppua, joista 3 on viallista.

(a) Poimitaan laatikosta satunnaisesti kolme hehkulamppua takaisinpanolla.

Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme lamppua ovat viallisia?

(b) Poimitaan laatikosta satunnaisesti kolme hehkulamppua ilman takaisinpanoa.

Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme lamppua ovat viallisia?

Poiminta takaisinpanolla ja ilman takaisinpanoa: Ks. tehtävä 1.8.

Ratkaisu:

Olkoon tapahtuma Ai = {i. lamppu on viallinen}.

(a) Kysytty todennäköisyys on Pr(A1∩A2∩A3)

Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A1, A2 ja A3 ovat riippumattomia.

(20)

Siten riippumattomien tapahtumien tulosäännön perusteella Pr(A1∩A2∩A3) = Pr(A1)Pr(A2)Pr(A3) = (3/10)³ = 0.027

mikä nähdään todeksi huomaamalla, että poiminnan jokaisessa vaiheessa laatikossa on 10 lamppua, joista 3 on viallista.

(b) Kysytty todennäköisyys on Pr(A1∩A2∩A3)

Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A1, A2 ja A3 eivät ole riippumattomia. Siten yleisen tulosäännön perusteella

Pr(A1∩A2∩A3)

= Pr(A1)Pr(A2|A1)Pr(A3|A1∩A2)

= (3/10)×(2/9)×(1/8) = 6/720 = 0.008333 Laskutoimitus voidaan perustella seuraavalla tavalla:

1. Ensimmäistä lamppua poimittaessa laatikossa on 10 lamppua, joista 3 on viallista.

2. Jos ensimmäisenä poimittu lamppu oli viallinen, toista lamppua poimittaessa laatikossa on jäljellä 9 lamppua, joista 2 on viallisia.

3. Jos ensimmäisenä ja toisena poimitut lamput olivat viallisia, kolmatta lamppua poimittaessa laatikossa on jäljellä 8 lamppua, joista 1 on viallinen.

1.11. Eräässä yliopistossa on 10 000 opiskelijaa. Alla oleva taulukko esittää opiskelijoiden sukupuoli- ja ikäjakaumaa. Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet

todennäköisyyden frekvenssitulkintaa käyttäen:

(a) Satunnaisesti valittu opiskelija on nainen.

(b) Satunnaisesti valittu opiskelija on mies, jos hän on 25-34-vuotias.

(c) Satunnaisesti valittu opiskelija on mies tai hän on 25-34-vuotias.

Ikä 14-17 18-24 25-34 ≥ 35 Mies 50 2 500 1 000 400 Nainen 150 3 500 1 500 900

Ratkaisu:

Olkoon

A = {opiskelija on nainen}

B = {opiskelija on 25-34-vuotias}

Tällöin

A^c = {opiskelija on mies}

(21)

(a) Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön perusteella Pr(A) = (150 + 3500 + 1500 + 900)/10000 = 6050/10000 = 0.605 Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan mukaa

Pr(A^c) = 1 − Pr(A) = 1 − 0.605 = 0.395

(b) Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön perusteella Pr(B) = (1000 + 1500)/10000 = 2500/10000 = 0.25

Taulukosta nähdään, että

Pr(A^c∩B) = 1000/10000 = 0.1

Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella

Pr(A^c|B) = Pr(A^c∩B)/Pr(B) = 0.1/0.25 = 0.4 > 0.395 = Pr(A^c)

Siten tieto siitä, että opiskelija on 25-34-vuotias sisältää informaatiota, jota voidaan käyttää hyödyksi, kun arvioidaan sen todennäköisyyttä, että opiskelija on mies.

(c) Yleisen yhteenlaskusäännön perusteella

Pr(A^c∪B) = Pr(A^c) + Pr(B) − Pr(A^c∩B) = 0.395 + 0.25 − 0.1 = 0.545

1.12. Alla oleva taulukko kuvaa USA:n 101. kongressin (valittu vuonna 1988) kokoonpanoa.

Edustajat on luokiteltu puoluekannan (2 luokkaa) ja edustajanaoloajan mukaan (3 luokkaa).

Taulukossa on annettu ainoastaan ne todennäköisyydet (ns. reunatodennäköisyydet), jotka saadaan, kun puoluekantaa ja edustajanaoloaikaa tarkastellaan erillisinä.

Täytä taulukon puuttuvat solut, kun oletetaan, että puoluekanta ja edustajanaoloaika eivät riipu toisistaan.

Todennäköisyys Demokraatti Republikaani Yhteensä

< 2 vuotta 0.090

2-9 vuotta 0.478

≥ 10 vuotta 0.432 Edustajana

Yhteensä 0.614 0.386 1

Ratkaisu:

Taulukon solujen todennäköisyydet saadaan riippumattomien tapahtumien tulosäännön perusteella kertomalla kutakin solua vastaavat reunatodennäköisyydet keskenään:

(22)

Todennäköisyys Demokraatti Republikaani Yhteensä

< 2 vuotta 0.614×0.090

= 0.055

0.386×0.090

= 0.035 0.090 2-9 vuotta 0.614×0.478

= 0.294

0.386×0.478

= 0.185 0.478

≥ 10 vuotta 0.614×0.432

= 0.265

0.386×0.432

= 0.167 0.432 Edustajana

Yhteensä 0.614 0.386 1

Esimerkiksi:

Pr(Edustaja on demokraatti ja hän on ollut edustajana 2-9 vuotta)

= Pr(Edustaja on demokraatti)Pr(Edustaja on ollut edustajana 2-9 vuotta) = 0.614×0.478

= 0.294

1.13. Potilaan ikä saattaa vaikuttaa siihen millaista hoitoa hän saa. Eräässä USA:ssa tehdyssä tutkimuksessa verrattiin eri-ikäisten naisten pääsemistä mammografiaan (rintojen röntgen- tutkimus), kun heidän rinnoissaan oli havaittu kyhmyjä. Tulokset on annettu taulukossa alla.

Taulukon solut ovat todennäköisyyksiä, että kumpikin tapahtumista sattuu; esim. 0.321 on todennäköisyys, että potilas on alle 65-vuotias ja hänelle on tehty mammografia.

Todennäköisyys Mammografia tehty

Mammografiaa ei ole tehty

alle 65 0.321 0.124

Ikä 65 tai yli 0.365 0.190

(a) Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:

A = {potilas on alle 65-vuotias}

B = {potilas on 65-vuotias tai yli}

C = {potilaalle on tehty mammografia}

D = {potilaalle ei ole tehty mammografiaa}

(b) Ovatko tapahtumat B ja C riippumattomia?

(c) Määrää todennäköisyys sille, että potilaalle on tehty mammografia, jos hän on ollut alle 65-vuotias ja vertaa sitä todennäköisyyteen, että potilaalle on tehty mammografia, jos hän on ollut 65-vuotias tai yli.

(23)

Ratkaisu:

(a) Kysytyt todennäköisyydet saadaan laskemalla yo. taulukosta reunatodennäköisyydet eli rivi- ja sarakesummat:

Todennäköisyys Mammografia tehty

Mammografiaa ei ole tehty

Summa alle 65 0.321 0.124 Pr(A) = 0.445 65 tai yli 0.365 0.190 Pr(B) = 0.555 Ikä

Summa Pr(C) = 0.686 Pr(D) = 0.314 1

(b) Jos tapahtumat B ja C ovat riippumattomia, riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan

Pr(B∩C) = Pr(B)Pr(C) Taulukosta saadaan

Pr(B∩C) = 0.365 Pr(B)Pr(C) = 0.381

Koska

Pr(B∩C) ≠ Pr(B)Pr(C)

tapahtumat B ja C eivät ole riippumattomia.

(c) Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan Pr(C|A) = Pr(C∩A)/Pr(A) = 0.321/0.445 = 0.721 Pr(C|B) = Pr(C∩B)/Pr(B) = 0.365/0.555 = 0.657

Tämän perusteella nuorempien potilaiden todennäköisyys päästä mammografiaan on jonkin verran vanhempien potilaiden todennäköisyyttä suurempi.