Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku

(1)

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 1/6 1. harjoitukset

Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet

Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma, Joukko, Klassinen todennäköisyys, Komplementtitapahtuma, Leikkaus, Mahdoton tapahtuma, Otosavaruus, Riippumattomuus, Symmetrisyys, Todennäköisyys, Toisensa poissulkevuus, Tulosääntö,Unioni,

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

1.1. Virheetöntä noppaa heitettäessä jokaisella silmäluvulla 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama

todennäköisyys tulla tulokseksi. Jos virheetöntä noppaa heitetään kaksi kertaa, heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on

S = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

jossa

x = 1. heiton tulos y = 2. heiton tulos

Otosavaruutta S voidaan kuvata seuraavalla taulukolla:

1. heiton tulos x (x, y)

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 2. heiton

tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Määritellään joukot

A = {(x, y) ∈ S | x = 2}

B = {(x, y) ∈ S | y > 4}

C = {(x, y) ∈ S | x + y = 7}

D = {(x, y) ∈ S | x – y = 2}

E = {(x, y) ∈ S | x – y ≤ 2}

(2)

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 2/6

Merkitse otosavaruutta S kuvaavaan kaavioon seuraavat joukot:

(a) A, B, C, D, E

(b) A ∪ C = Joukkojen A ja C yhdiste (c) B ∩ D = Joukkojen B ja D leikkaus (d) E^c = Joukon E komplementti

(e) B \ C = Joukkojen B ja C erotus (f) C \ B = Joukkojen C ja B erotus

1.2. Jatkoa tehtävälle 1.1.

Määrää todennäköisyydet tehtävän 1.1. kohdissa (a) – (f) määritellyille tapahtumille.

Ohje:

Käytä tehtävän ratkaisussa apuna otosavaruutta S esittävää 6×6-matriisia, jonka alkioina ovat lukuparit (x, y) , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja merkitsemällä tähän matriisiin joukot A, B ja C.

Olkoon

A = {1. nopanheitolla saadaan 4 tai enemmän}

B = {Heittotulosten summa on 10 tai enemmän}

C = {Molemmilla nopanheitoilla saadaan sama silmäluku}

Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:

(a) A ∪ B

(b) A ∩ C

(c) C^c (d) B \ C Ohje:

Käytä tehtävän ratkaisussa apuna otosavaruutta S esittävää 6×6-matriisia, jonka alkioina ovat lukuparit (x, y) , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja merkitsemällä tähän matriisiin joukot A, B ja C.

(3)

Tarkastellaan silmälukujen summaa z = x + y

jossa

x = 1. heiton tulos y = 2. heiton tulos Määritellään tapahtumat A = {Summa on 1}

B = {Summa on 11}

C = {1. nopanheitolla saadaan 2}

D = {1. nopanheitolla saadaan 5}.

(a) Määrää silmälukujen summan z = x + y otosavaruus.

(b) Määrää tapahtuman A todennäköisyys.

(c) Määrää tapahtuman B todennäköisyys.

(d) Määrää tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys, kun tapahtuma C on sattunut.

(e) Määrää tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys, kun tapahtuma D on sattunut.

Tarkastellaan 1. ja 2. nopanheiton silmälukujen erotusta z = x – y

jossa

x = 1. heiton tulos y = 2. heiton tulos Olkoon

A = {1. nopalla saadaan 6}

B = {2. nopalla saadaan 6}

C = {Erotus on 2}

(a) Määrää silmälukujen erotuksen z = x – y otosavaruus.

(b) Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(A | B)

ja vertaa sitä tapahtuman A todennäköisyyteen.

Ovatko tapahtumat A ja B riippumattomia?

(4)

(c) Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(C | A )

ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen.

Ovatko tapahtumat C ja A riippumattomia?

(d) Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(C | B )

ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen.

Ovatko tapahtumat C ja B riippumattomia?

1.6. Olkoot Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.3. Määrää tapahtuman A∪B todennäköisyys, kun (a) Pr(A∩B) = 0.1

(b) A ja B ovat toisensa poissulkevia (c) A ja B ovat riippumattomia (d) Pr(A | B) = 0.1

1.7. Olkoot Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Yritä määrätä tapahtuman A∪B todennäköisyys, kun (a) Pr(A∩B) = 0.1

(b) A ja B ovat toisensa poissulkevia (c) A ja B ovat riippumattomia (d) Pr(A|B) = 0.1

Milloin tämä on mahdollista?

1.8. Uurnassa on 10 palloa, joista 3 on valkoista ja 7 on mustaa.

(a) Poimitaan uurnasta satunnaisesti kaksi palloa takaisinpanolla.

(Poiminta takaisinpanolla tapahtuu niin, että poimittu objekti palautetaan välittömästi takaisin poimittavien joukkoon, jolloin sama objekti voi tulla poimituksi uudelleen.) Mikä on todennäköisyys, että toisena nostettu pallo on valkoinen, jos ensimmäisenä nostettu pallo on musta?

(b) Poimitaan laatikosta satunnaisesti kaksi palloa ilman takaisinpanoa.

(Poiminta ilman takaisinpanoa tapahtuu niin, että poimittua objektia ei palauteta takaisin poimittavien joukkoon.)

Mikä on todennäköisyys, että toisena nostettu pallo on valkoinen, jos ensimmäisenä nostettu pallo on musta?

(5)

(a) Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa takaisinpanolla.

Mikä on todennäköisyys, että saat kolme punaista palloa?

(b) Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa.

Mikä on todennäköisyys, että saat kolme punaista palloa?

(c) Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa.

Mikä on todennäköisyys, että viimeisenä poimittava pallo on punainen, jos kaksi edellistä ovat olleet sinisiä?

Poiminta takaisinpanolla ja ilman takaisinpanoa: Ks. tehtävä 1.8.

1.10. Laatikossa on 10 hehkulamppua, joista 3 on viallista.

(a) Poimitaan laatikosta satunnaisesti kolme hehkulamppua takaisinpanolla.

Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme lamppua ovat viallisia?

(b) Poimitaan laatikosta satunnaisesti kolme hehkulamppua ilman takaisinpanoa.

Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme lamppua ovat viallisia?

Poiminta takaisinpanolla ja ilman takaisinpanoa: Ks. tehtävä 1.8.

1.11. Eräässä yliopistossa on 10 000 opiskelijaa. Alla oleva taulukko esittää opiskelijoiden sukupuoli- ja ikäjakaumaa. Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet

todennäköisyyden frekvenssitulkintaa käyttäen:

(a) Satunnaisesti valittu opiskelija on nainen.

(b) Satunnaisesti valittu opiskelija on mies, jos hän on 25-34-vuotias.

(c) Satunnaisesti valittu opiskelija on mies tai hän on 25-34-vuotias.

Ikä 14-17 18-24 25-34 ≥ 35 Mies 50 2 500 1 000 400 Nainen 150 3 500 1 500 900

(6)

1.12. Alla oleva taulukko kuvaa USA:n 101. kongressin (valittu vuonna 1988) kokoonpanoa.

Edustajat on luokiteltu puoluekannan (2 luokkaa) ja edustajanaoloajan mukaan (3 luokkaa).

Taulukossa on annettu ainoastaan ne todennäköisyydet (ns. reunatodennäköisyydet), jotka saadaan, kun puoluekantaa ja edustajanaoloaikaa tarkastellaan erillisinä.

Täytä taulukon puuttuvat solut, kun oletetaan, että puoluekanta ja edustajanaoloaika eivät riipu toisistaan.

Todennäköisyys Demokraatti Republikaani Yhteensä

< 2 vuotta 0.090

2-9 vuotta 0.478

≥ 10 vuotta 0.432 Edustajana

Yhteensä 0.614 0.386 1

1.13. Potilaan ikä saattaa vaikuttaa siihen millaista hoitoa hän saa. Eräässä USA:ssa tehdyssä tutkimuksessa verrattiin eri-ikäisten naisten pääsemistä mammografiaan (rintojen röntgen- tutkimus), kun heidän rinnoissaan oli havaittu kyhmyjä. Tulokset on annettu taulukossa alla.

Taulukon solut ovat todennäköisyyksiä, että kumpikin tapahtumista sattuu; esim. 0.321 on todennäköisyys, että potilas on alle 65-vuotias ja hänelle on tehty mammografia.

Todennäköisyys Mammografia tehty

Mammografiaa ei ole tehty

alle 65 0.321 0.124

Ikä 65 tai yli 0.365 0.190

(a) Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:

A = {potilas on alle 65-vuotias}

B = {potilas on 65-vuotias tai yli}

C = {potilaalle on tehty mammografia}

D = {potilaalle ei ole tehty mammografiaa}

(b) Ovatko tapahtumat B ja C riippumattomia?

(c) Määrää todennäköisyys sille, että potilaalle on tehty mammografia, jos hän on ollut alle 65-vuotias ja vertaa sitä todennäköisyyteen, että potilaalle on tehty mammografia, jos hän on ollut 65-vuotias tai yli.