Kaksiulotteisen objektin pinta-alaosuuden estimointia stereologisin menetelmin

(1)

KAKSIULOTTEISEN OBJEKTIN PINTA-ALAOSUUDEN ESTIMOINTIA STEREOLOGISIN MENETELMIN

PIETARI LAITINEN

Tilastotieteen pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2020

(2)

Tiivistelmä: Pietari Laitinen, Kaksiulotteisen objektin pinta-alaosuuden estimointia stereologisin menetelmin, tilastotieteen pro gradu -tutkielma, 108 sivua (+ liitteet 81 sivua), Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, tilastotiede, syksy 2020.

Tässä tutkimuksessa esitetään tason joukolle erilaisia satunnaisen koettimen va- lintamenetelmiä sekä esitetään, kuinka näiden satunnaistaminen toteutetaan käy- tännössä. Tutkielmassa koettimina käytetään pisteitä, suoria, kvadraatteja sekä näiden yhdisteitä ja leikkauksia. Koettimien leikkaus tarkasteltavan joukon kanssa antaa informaatiota tutkittavan joukon ominaisuuksista, kuten leikkauksen pituus suoran tapauksessa tai leikkauksen pinta-ala kvadraatin tapauksessa. Satunnaisista koettimista saatu informaatio voidaan tulkita satunnaismuuttujana, joka voidaan havaita ja jonka avulla on mahdollista estimoida erilaisia parametreja tarkastelta- vasta joukosta.

Tutkielman keskeinen tavoite on perustella todennäköisyysteorian avulla, kuinka esitettyjen satunnaisten koettimien avulla voidaan estimoida pinta-alaa ja pinta- alaosuutta. Tämän lisäksi osoitetaan, että kyseisillä satunnaisilla koettimilla on mahdollista estimoida myös kappalemäärää. Koettimista pääroolissa ovat satunnaiset suorat, jolloin pinta-alaosuuden ja pinta-alan estimointi tapahtuu leikkaus- pituuksia käyttäen. Erityisen hyödyllisiä esitetyistä menetelmistä tekee niiden toteutuksen helppous.

Tutkielmassa esitetyt kiinnostavan parametrin estimaattorit ovat harhattomia tai suhdeharhattomia riippuen käytetystä menetelmästä. Suhdeharhattomat estimaattorit ovat harhaisia, joten niiden tarkkuutta ei voida tarkastella samaan tapaan kuin harhattomien estimaattoreiden otoskeskiarvoa. Erikoistapauksessa suh- deharhattomille estimaattoreille ehdotetaan ratkaisua, jonka avulla on mahdollista arvioida vähintään halutun tarkkuuden saavuttamiseksi tarvittavan otoskoon suuruutta.

Lisäksi tutkielmassa on esitetty simulointikokeita karttakuvalle käyttäen esitettyjen satunnaisten koettimien avulla muodostettuja estimaattoreita. Yleisesti tarkasteltavien joukkojen koolla ja rakenteella on vaikutusta näin muodostettujen estimaattoreiden tarkkuuteen, joten simulointikokeen tulokset eivät ole yleispäteviä.

Myöskään tästä syystä ei ole yleisesti parasta satunnaista koetinta estimoimaan haluttua parametria. Toteutettujen simulointikokeiden tarkoituksena onkin esit- tää menetelmien toimivuutta ja näiden välisiä yhteyksiä. Simulointikokeista on erityisesti nähtävissä karttakuvan aineistolle, että esitetyistä menetelmistä syste- maattisilla suorilla saadaan reilusti tarkempia estimaattoreita kuin muilla koettimilla. Kiinnostavaa tuloksissa on esimerkiksi, että suorilla, vaikka leikkaus on pienempiulotteinen kuin kvadraateilla, niin esitettyjen satunnaisten suorien avulla muodostettu estimaattori näyttäisi olevan tarkempi kuin esitettyjen satunnaisten kvadraattien.

(3)

Sisältö

1. Johdanto 1

2. Stereologisia käsitteitä 3

2.1. Estimointi 4

2.2. Tason tarkastelu 6

2.3. Tasajakauma 7

3. Satunnaisten suorien generointia tasajakauman avulla 13

3.1. FUR ja FUR⁺ suora 16

3.2. IUR ja IUR⁺ suora 19

3.3. WR ja FWR suora 23

3.4. Ortogonaaliprojektio 25

3.5. Yleistä esitetyistä valintamenetelmistä 28

4. Pinta-alaosuuden estimaattoreita 30

4.1. Tasajakautunut piste 30

4.2. FUR suora 31

4.3. IUR suora 33

4.4. FWR suora 36

4.5. WR suora 37

5. Systemaattiset koettimet 38

5.1. FURS ja IURS suorat 40

5.2. URS pisteet 42

5.3. Yleistä systemaattisista koettimista 45

6. Kvadraatti ja kvadraattisuora 48

6.1. FUR ja FUR⁺ kvadraatti 49

6.2. FWR kvadraatti 56

6.3. Kvadraattisuora 59

7. Kappalemäärän estimaattoreita satunnaisilla koettimilla 67

8. Estimoinnin epävarmuus 73

8.1. Suhde-estimaattorin harha 74

8.2. Pinta-alaosuuden estimaattoreiden vertailua 82

8.3. Pinta-alojen harhattomat estimaattorit 83

9. Peltoalan, osuuden ja määrän arvioiminen maankäyttöaineistosta 85

9.1. Simulointikokeet 87

10. Yhteenveto 106

Viitteet 108

Keskeisimmät notaatiot 109

Liite A. Todennäköisyysteoriaa 110

Liite B. Aputulokset 118

Liite C. Päätekstin lauseiden todistukset 136

C.1. Luku 3 136

C.2. Luku 4 150

C.3. Luku 5 153

C.4. Luku 6 166

C.5. Luku 7 185

C.6. Luku 8 188

(4)

1. Johdanto

Tässä työssä esitellään stereologiassa käytettyjä pinta-alaosuuden A_A estimoin- timenetelmiä tasossa ja tarkastellaan saatujen pinta-alaosuuksien estimaattoreiden vaihtelua. Pinta-alaosuudella tarkoitetaan kiinnostavan materiaalin alan suhdetta toisen joukon alaan, joka voi olla esimerkiksi koko näyte tai jokin kiinnostavan materiaalin sisällyttävä joukko. Esimerkiksi peltoalueen alan suhde koko maa-alueen alaan on pinta-alaosuus.

Stereologian voi määritellä seuraavaan tapaan kuten kirjassa [11] on esitetty:

"stereologia on matemaattisten menetelmien rakennelma, joka liittää n-ulotteisen rakennelman määrittelevät parametrit mittaustuloksiin, jotka on mahdollista saada rakennelman s-ulotteisista leikkauksista". Leikkauksista tehtyjen mittausten avulla voidaan estimoida tiettyjä rakenteen parametreja, esimerkiksi jonkin materiaalin osuutta objektissa, kuten rautamalmin osuutta kivessä tai vaikka par- tikkeleiden keskimääräistä kokoa, kuten solujen keskimääräistä kokoa näytteessä.

Tavoitteena on saada luotettavaa kvantitatiivista tietoa tutkittavan objektin ra- kenteesta, vaikka havainnot on rajoitettu objektin leikkauksiin.

Stereologia voidaan jakaa karkeasti kahteen lähestymistapaan, malliperusteiseen (model-based) ja asetelmaperusteiseen (design-based) stereologiaan: Malliperustei- sessa stereologiassa oletuksena on, että tutkittavan materiaalin koostumus on spatiaalisesti homogeenistä tarkasteltavassa objektissa. Tällöin tiettyjen materiaalien parametrien harhattomat estimaattorit saadaan objektin mielivaltaisesta leikkauksesta. Asetelmaperusteisessa stereologiassa objektin rakenne taas voi olla täysin mielivaltainen, jolloin objektin leikkauksen sopivalla satunnaistamisella on mahdollista saada tiettyjen objektin materiaalien parametrien estimaattoreita.

Tässä tutkielmassa lähestymistapana on asetelmaperusteinen stereologia ja tavoitteena on esittää joitain tunnettuja pinta-alaosuuden estimaattoreita, joita on esitetty esimerkiksi kirjoissa [1] ja [3]. Toisena tavoitteena on avustaa materiaali- tutkijaa, kuinka tutkielmassa esitettyjä satunnaisia koettimia voidaan arpoa ja mi- tä ominaisuuksia niistä saaduilla estimaattoreilla on. Yleisesti tarkasteltavien ob- jektien rakenne vaikuttaa satunnaisella koettimella saadun estimaattorin tarkkuuteen. Tästä syystä viimeisenä tavoitteena tässä työssä on simulointikokeen avulla saada joitain yleistyksiä esitettyjen estimaattoreiden toimivuudelle.

Tämä tutkielma on jatkoa matematiikan sivuainetutkielmalle Konvekseja joukkoja ja suoran leikkauksia tasossa [6]. Sivuainetutkielman lauseiden muodostamis- ta ovat motivoineet kirjat [1] ja [3]. Lineaarialgebraan, konvekseihin joukkoihin ja mittateoriaan liittyviä tuloksia kirjoista [2], [4], [5], [8] ja [9] on hyödynnetty sivuainetutkielman lauseiden osoittamisessa, joita hyödynnetään tässä tutkielmassa.

Tutkielman rakenne on seuraava:

Luvussa 2 esitellään stereologiassa käytettyjä merkintöjä sekän-ulotteinen tasajakauma, jota tutkielmassa käytetyt menetelmät hyödyntävät. Luvussa 3 esitetään erilaisia suoran esityksiä tasossa sekä tutkielmassa käytetyt satunnaisen suoran valintamenetelmät. Luvussa 4 tarkastellaan pinta-alaosuuden estimointia luvun 3 satunnaissuorilla. Luvussa 5 esitetään systemaattisia koettimia sekä kuinka näiden avulla on mahdollista estimoida pinta-alaa. Luvussa 6 tarkastellaan satunnaisten kvadraattien sekä kaksivaiheisen otannan kautta saatujen kvadraattisuorien ominaisuuksia. Luvussa 7 esitetään lukumäärän ja lukumääräosuuden estimaattoreita.

Luvussa 8 tarkastellaan tutkielmassa esitettyjen menetelmien epävarmuutta. Lu- vussa 9 on totetutettu tutkielmassa esitettyjä menetelmiä maankäyttöaineistolle.

(5)

Tutkielman keskeisimmät notaatiot on nähtävissä sivulla 109. Liitteissä kerrataan todennäköisyysteoriaa sekä esitetään päätekstissä esitettyjen lauseiden todistuksia.

(6)

2. Stereologisia käsitteitä

Stereologia ei tieteenalana ole kovin vanha: Weibel mainitsee kirjassa [10], että stereologia sanana mainitaan ensimmäistä kertaa vuonna 1961 konferenssissa, jossa kokoontui muutama matemaatikko ja biologi väittelemään leikkausten spatiaalises- ta tulkinnasta kiinteissä materiaaleissa. Aikanaan stereologian yhtenä motiivina oli pystyä tuottamaan kolmiulotteisen objektin rakenteen parametreistä tietoa kaksiu- lotteisesta leikkauksesta saadun tiedon avulla, koska kolmiulotteisen objektin si- sältöä ei ole mahdollista tarkastella kuten tasoa. Oletuksella, että komponenttien jakautuminen kivessä on spatiaalisesti homogeenista, keksi Delesse ratkaisun kiven komponentin tilavuusosuuden estimointiin vuonna 1847 artikkelissaan "Procédé mécanique pour déterminer la composition des roches", jossa hän osoittaa että kiven kaksiulotteisen leikkauksen komponentin pinta-alaosuus leikkauksessa vastaa komponentin tilavuutta kivessä, joka joidenkin tutkijoiden mielestä on ensimmäi- nen stereologinen menetelmä, kuten kirjassa [1] on mainittu. Menetelmät eivät kuitenkaan rajoitu kolmiulotteiseen tilanteeseen.

Useilla eri tieteenaloilla hyödynnetään stereologisia menetelmiä ja tämä motivoi- kin niiden kehittelyä, koska menetelmille on tarvetta. Lisäksi osa olemassa olevista menetelmistä vaatii toimiakseen runsaasti oletuksia, niiden estimoinnin tarkkuus on heikkoa tai estimointi on kallista. Tätä kehitystyötä varten tarvitaan matema- tiikkaa ja tilastotiedettä.

Seuraavaksi esitetään yleisiä stereologian käsitteitä [1, ks. luku 6]:

(1) Kiinnostava materiaali (feature of interest)Y on objekti, jonka jokin ominaisuus on kiinnostuksen kohteena.

(2) Viiteavaruus (reference space) Z sisältää kiinnostavan materiaalin Y ja viiteavaruuden suhteen materiaalinY ominaisuus usein esitetään.

(3) Näyte (specimen)X on osajoukko viiteavaruudestaZ. Usein käytössä voi olla vain näyte joukostaZ, jonka avulla tutkitaan kiinnostavan materiaalin ominaisuuksia.

(4) Koetin (probe) on tarkasteluväline, jonka avulla voidaan tarkastella näy- tettä X. Koetin T voidaan ajatella joukkona, jolla leikataan näytettä X, jolloin saadaan tietoa joukoistaX∩Y jaX joukossa T. Esimerkiksi tasot, suorat, pisteet, käyrät ja muut vastaavat toimivat koettimina.

Jos ei muodosteta näytteitä, niin kohdassa (4)joukko X =Z. Muodostettujen koettimien leikkauksista saadaan tietoa sekä kiinnostavasta joukosta että viiteavaruudesta näytteessä. Esimerkiksi tässä tutkielmassa koettimina käytetään pis- teitä, suoria ja kvadraatteja. Tällöin parametrien estimointi perustuu koettimista kerätyn informaation hyödyntämiseen. Riippuen kerätystä informaatiosta voidaan koettimen sopivalla satunnaistamisella estimoida kiinnostavaa parametria. Satun- naisella koettimella tarkoitetaan koetinta, joka on muodostettu satunnaisuuden avulla. Satunnaisuus voi vaikuttaa koettimen muotoon ja sijaintiin. Usein kuitenkin koettimena käytetään kiinnitettyä joukkoa ja koettimen satunnaisuus liittyy koettimen sijaintiin ja orientaatioon. Satunnaiset koettimet ovat usein satunnaisia suljettuja joukkoja. Suuressa osassa satunnaisten suljettujen joukkojen teorian

(7)

perusteiden kehittämisessä on ollut Georges Matheron, joka tunnetaan myös geos- tatistiikan perustajana. Viiteavaruudella on rooli sekä näytteen että koettimen sa- tunnaistamisessa. Useat stereologiset estimaattorit käyttävät mittauksia sekä kiinnostavasta materiaalista että viiteavaruudesta. Usein kiinnostava parametri esite- tään viiteavaruuden parametrin suhteen, sillä osa menetelmistä tarjoaa harhattomia estimaattoreita vain suhteellisille parametreille. Usein kiinnostava parametri esitetään viiteavaruuden suhteen, jonka seurauksena käytetään kiinnostavan joukon sisältävästä joukosta nimitystä viiteavaruus. Tämän seurauksena stereologiassa on esitetty useita estimaattoreita suhteellisille parametreille, kuten tilavuusosuus V_V, pinta-alaosuus A_A, kappalemäärä tilavuuden suhteen N_V, kiinnostavan materiaalin pinnan ala tilavuutta kohden S_V ja lukuisia muita. Tässä tutkielmassa käytetään englanninkielisessä kirjallisuudessa käytettyjä lyhenteitä parametreille.

Stereologisia parametreja on usean tyyppisiä, mutta yleensä ne voidaan jakaa kahteen luokkaan:

(1) Absoluuttiset parametrit kuvaavat kiinnostavan materiaalin rakennetta, kuten materiaalin tilavuutta, pinta-alaa tai reunan pituutta.

(2) Suhteelliset parametrit, joissa kiinnostavan materiaalin parametri on suhteessa viiteavaruuden parametriin, esimerkkeinä toimii kaikki edellä mai- nitut suhteelliset parametrit.

Itse asiassa edellä esitetty määritelmä viiteavaruudelle ei poikkea juuri kiinnostavan materiaalin sisällyttävästä avaruudesta (containing space). Kirjassa [1, s 142 144] mainitaan, että kirjallisuudesta riippuen viiteavaruus voi tarkoittaa muutakin kuin kiinnostavan materiaalin sisällyttävää joukkoa. Tässä tutkielmassa kutsutaan viiteavaruudeksi kiinnostavan joukon sisältävää joukkoa, jonka suhteen koettimien satunnaistaminen suoritetaan.

2.1. Estimointi

Tässä tutkielmassa esitetään satunnaistamismenetelmiä tason koettimille, joiden avulla on mahdollista estimoida tarkasteltavan objektin pinta-alaa tai pinta- alaosuutta. Koettimista saatua numeerista tietoa voidaan käyttää halutun parametrin estimaattorina. Esimerkiksi kun koettimen muoto on määrätty, niin koettimen satunnaistamisella tarkoitetaan koettimen paikan sekä mahdollisesti orientaation satunnaistamista. Tämä voidaan toteuttaa joukkokuvauksen ja satunnaisvektorin avulla, jotka määräävät koettimen paikan ja orientaation satunnaisuuden seuraavasti:

Esimerkiksi tason pisteillä ei ole orientaatiota ja jokainen piste voidaan esittää esityksellä x 7→ {x}, x ∈ R². Tällöin satunnaisvektorin U : Ω → R² avulla voidaan muodostaa tason satunnainen piste {U}, jossa satunnaisvektorin jakauma määrää pisteen jakautumisen. Täten on helppo muodostaa satunnaisia pisteitä tasossa. Sen sijaan satunnaisille suorille ei löydy yhtä yksinkertaista esitystä, sillä suorien orientaatio ja paikka voi vaihdella. Luvussa 3 on esitetty muutama esitys tason kaikille suorille. Olkoon nytx7→T_x jokin tason suorien esitys. Tällöin satunnaisvektorin X ja esityksenx 7→T_x avulla voidaan muodostaa tason satunnainen suora TX. Erityisesti satunnaisvektoriX ja esitysx7→Tx yhdessä määräävät suoran T_X paikan ja orientaation satunnaisuuden. Tällöin voidaan suorasta saatua mittausta käyttää satunnaismuuttujana, jos tietyt kriteerit pätevät. Esimerkiksi

(8)

voidaan suoran T_X leikkauspituutta joukonY ⊂R² kanssaL(T_X∩Y)käyttää satunnaismuuttujana. Tällöin siis satunnaismuuttuja onf(X) =L(TX∩Y), jossaX on satunnaisvektori ja f(x) =L(T_x∩Y) on muuntaja. Myös tason muita joukkoja voidaan satunnaistaa samaan tapaan ja muodostaa satunnaisen joukon avulla satunnaismuuttujia. Liitteessä A on osoitettu muuntajan f avulla muodostetun satunnaismuuttujan f(X) ominaisuuksia. Tässä tutkielmassa osoitetaan esitettä- ville satunnaisvektoreille X ja muuntajille f todennäköisyysteorian pohjalta, että näillä muodostetut estimaattorit toimivat teoriassa.

Olkoon nyt α ∈ R kiinnostava parametri. Jos löytyy satunnaisvektorille X muuntaja f siten, että E[f(X)] = α, niin f(X) on parametrin α harhaton estimaattori. Tällöin voidaan simuloinneilla estimoida parametriaα. Erityisesti Suur- ten lukujen laki (Lause A.18) pätee myös satunnaisvektorin muunnoksellef(X)ja lause voidaan esittää seuraavasti:

Lause 2.1. Olkoon (Ω,F,P) todennäköisyysavaruus. Olkoot X1, X2, . . .: Ω→Rⁿ riippumattomia samoin jakautuneita satunnaisvektoreita ja olkoon g : Rⁿ → R Borel-funktio ja E[g(X₁)] =µ. Tällöin:

(1) Josµ∈R, niin

n→∞lim

n

X

i=1

g(X_i) n =µ melkein varmasti ja L¹ mielessä.

(2) Josvar(g(X₁))<∞, niin

n→∞lim

n

X

i=1

g(X_i) n =µ melkein varmasti ja L² mielessä.

Todistus. Seuraa Lauseista A.11 ja A.18.

Liitteessä on tarkemmin selitetty nämä konvergoinnit. Parametrin α estimointi perustuu suurten lukujen lakiin ja siihen, että on tiedossa, kuinka satunnaistaa lukuja satunnaismuuttujan X jakaumasta. Simuloimalla riippumattomia havain- toja X₁, . . . , X_n satunnaisvektorin X jakaumasta voidaan estimoida parametria α =E[f(X)] =E[f(Xi)] otoskeskiarvolla

ˆ α_n= 1

n

X

i=1

f(X_i)

suurten lukujen lain perusteella. Näin muodostettu estimaattori αˆ_n on parametrin α harhaton estimaattori, sillä satunnaisvektorit X1, . . . , Xn ovat IID, jolloin myös satunnaismuuttujat f(X₁), . . . , f(X_i) ovat IID (Lause A.11). Riippumatto- muudesta seuraa

E[ ˆα_n] =E h1

n

X

i=1

f(X_i)i

= 1 n

n

X

i=1

E[f(X_i)] = 1 n

n

X

i=1

α=α.

Lisäksi αˆn = Pn i=1

f(Xi)

n on satunnaismuuttuja kaikilla n. Konvergointi melkein varmasti takaa myös, että αˆ_n −→^P µ, jolloin kaikilla d >0 ja δ >0 löytyyN siten, että kaikilla n≥N pätee

P

αˆ_n−µ

> d

< δ.

(9)

Näin ollen αˆ_n on tarkentuva, kun kasvatetaan simulointimäärää n. Olkoon lisäksi Borel-funtio gsiten, ettäE[g(X)] =β ∈(0,∞), niin

βˆ_n= 1 n

n

X

i=1

g(X_i)

on parametrin β harhaton tarkentuva estimaattori. Tällöin parametrin α/β suhdeharhaton estimaattori on seuraava

ˆ α_n βˆ_n =

Pn

i=1f(Xi) Pn

i=1g(X_i).

Suhdeharhattomuus tarkoittaa sitä, että osoittaja ja nimittäjä ovat harhattomia estimaattoreita parametrin α/β osoittajalle ja nimittäjälle. Suhdeharhaton estimaattori ei ole yleensä harhaton estimaattori. Suhdeharhattoman estimaattorin harhaa käydään tarkemmin läpi luvussa 8.

2.2. Tason tarkastelu

Avaruudessa Rⁿ voidaan mallintaan-ulotteista tilavuutta n-ulotteisella Lebes- guen mitalla. Lisäksi avaruudessa R² voidaan mallintaa pituutta 1-ulotteisella Hausdorn mitalla ja pinta-alaa2-ulotteisella Lebesguen mitalla. Merkitään kaikkien avaruuden Rⁿ joukkojen kokoelmaa P(Rⁿ). Tässä tutkielmassa hyödynne- tään Lebesguen ulkomittaam_n:P(Rⁿ)→[0,∞]jas-ulotteista Hausdorn ulko- mittaaH_s:P(Rⁿ)→[0,∞]. Esimerkiksi kirjassa [5] käsitellään Lebesguen mitan ominaisuuksia ja integrointia kuten myös kirjassa [9], jossa esitetään myös Haus- dorn mitan ominaisuuksia. Erityisesti reaalillaRpäteem₁(·) =H₁(·). Käytetään tarkasteltavan joukon ulkomitasta nimeä mitta, jos joukko on mitallinen ulkomitan suhteen. Lisäksi käytetään merkintääB(Rⁿ)avaruudenRⁿBorel sigma-algebrasta, joka on pienin sigma-algebra joka sisältää kaikki avaruudenRⁿavoimet joukot. Eri- tyisesti avoimet ja suljetut joukot ovat Borel-joukkoja ja kaikki Borel-joukot ovat Hausdor-mitallisia sekä Lebesgue-mitallisia. Avaruuden Rⁿ Lebesgue-mitallisten joukkojen sigma-algebraa merkitäänL(Rⁿ). Tässä tutkielmassa pääosin tarkastellaan Borel-joukkoja avaruudessa R². Merkitään pisteen x∈Rⁿ euklidista normia

kxk:=

v u u t

n

X

i=1

xi2,

jolloin kahden pisteen u∈Rⁿ jav∈Rⁿvälinen (euklidinen) etäisyys on ku−vk. Taso on kaksiulotteinen tasainen pinta, joten reaalimaailman tasainen pinta ja tämän osajoukot voidaan tulkita näkymättömän tason osajoukoiksi. Erityisesti taso voidaan tulkita avaruudeksi R², jolloin tasaisen pinnan objektit ovat avaruuden R² osajoukkoja. Kuitenkin tätä tarkastelua varten on määriteltävä avaruuden R² origon 0 paikka, koordinaatiston (x-akselin ja y-akselin) suunta ja koordinaatiston mittayksikkö. Koordinaatiston mittayksikkö voidaan asettaa vastaamaan reaalimaailman pituusyksikköä kuten metrijärjestelmää. Tämä valinta määrittelee kaikki tasaisen pinnan objektit avaruudessa R², jolloin jokainen objekti voidaan esittää joukkona Z ⊂ R². Erityisesti tällöin 2-ulotteinen Lebesguen mitta vastaa reaalimaailman pinta-alaa, 1-ulotteinen Hausdorn mitta vastaa reaalimaailman pituutta sekä pisteiden euklidinen etäisyys vastaa pisteiden etäisyyttä. Täl- löin koordinaatiston suunnalla ja origon paikalla ei ole vaikutusta tarkasteltavien

(10)

Kuva 1. Tason objekti eri koordinaatistoissa.

joukkojen pinta-aloihin ja pituuksiin, koska kyseiset mitat ovat siirto- ja kiertoinva- riantteja. Näin ollen tutkielmassa esitettyjä pinta-alan estimointituloksia voidaan hyödyntää käytäntöön. Origon paikka sekä koordinaatiston suunta on koetilantees- sa aina tutkijan määrättävä. Huomautetaan vielä, että avaruus R² on aina kiinnitetty. Tällöin jos reaalimaailmassa muutetaan origon paikkaa ja koordinaatiston suuntaa, niin tämä vastaa sitä, että tarkasteltavien joukkojen paikka ja orientaatio muuttuvat avaruudessa R². Tämä voidaan nähdä kuvasta 1, jossa on muodostettu kolmella eri valinnalla koordinaatisto. Ensimmäinen ja toinen koordinaatisto poikkeavat origon paikalla, kun taas ensimmäinen ja kolmas koordinaatisto poikkeavat koordinaatiston suunnalla. Origon siirto vastaa joukoille käänteistä siirtoa.

Vastaavasti koordinaatiston kierto vastaa joukoille käänteistä kiertoa origon suhteen. Esimerkiksi koordinaatiston suunnalla on vaikutusta siihen, minkä suuntaisia y-akselin suuntaiset suorat ovat tarkasteltavan joukon suhteen.

Tutkielmassa osoitetut pinta-alan ja pinta-alaosuuden estimointitulokset päte- vät esimerkiksi avoimille ja kompakteille joukoille. Reaalimaailman rajoitettuja ob- jekteja voidaan ajatella kompakteiksi tai avoimiksi joukoiksi, jos tarkastelu ei me- ne mikroskooppitasolle. Täten tutkielmassa esitettäviä tuloksia voidaan hyödyntää reaalimaailmassa.

2.3. Tasajakauma

Tämän tutkielman kaikki estimointimenetelmät hyödyntävät tasajakaumaa. Jo- kaiselle Borel-joukolle, jonka Lebesguen mitta on aidosti positiivinen ja äärellinen, voidaan määritellä tasajakautunut satunnaisvektori:

Määritelmä 2.2. Olkoon Z ⊂ Rⁿ Borel-joukko siten, että 0 < mn(Z) < ∞. Joukon Z tasajakautuneella satunnaisvektorillaX on tiheys

fX(x) = ( ₁

mn(Z), jos x∈Z

0, muuten.

Tasajakautuneen satunnaisvektorin todennäköisyysjakauma onP^X :B(Rⁿ)→[0,1], P^X(A) =

Z

A

f_X(ω) dm_n(ω) = Z

Rⁿ

1A(ω)f_X(ω) dm_n(ω), A∈ B(Rⁿ).

Tämä todennäköisyysjakauma voidaan esittää myös seuraavasti avaamalla ti- heysfunktio

P^X(A) = 1 mn(Z)

Z

1A(ω) dm_n(ω),

sillä P^X on satunnaisvektorin X todennäköisyysjakauma, niin kaikilla A∈ B(Rⁿ) pätee

P(X ∈A) =P^X(A),

(11)

jolloin

P^X(A) =P(X∈A) = 1 m_n(Z)

Z

1A(ω)dm_n(ω)

= 1

m_n(Z) Z

Z∩A

1 dm_n(ω) =mn(Z∩A) m_n(Z) .

(2.1)

Jos X on joukon Z tasajakautunut satunnaisvektori, niin merkitään X ∼ U(Z). Olkoon g : Rⁿ → R Borel-mitallinen funktio. Tällöin jos X on joukon Z tasajakautunut satunnaisvektori, niin g(X) on satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Lauseen A.16 perusteella

E[g(X)] = Z

Rⁿ

f(x)g(x) dmn(x) = Z

Rⁿ

1

m_n(Z)1Z(x)g(x)dmn(x)

= 1

m_n(Z) Z

Z

g(x) dmn(x),

(2.2)

jos g on positiivinen tai jos f g on integroituva. Esimerkiksi tasajakautuneen vektorin X tapauksessa selvästi f g on integroituva, jos g on rajoitettu. Kaava (2.2) saadaan myös pätemään Borel-mitalliselle funktiolle g : Z → R, sillä funktio g voidaan laajentaa funktioksi gˆ:Rⁿ→R,

ˆ g(x) =

(g(x), x∈Z 0, x∈Rⁿ\Z,

joka on Borel-mitallinen funktio ja g(x) = ˆg(x) kaikilla x ∈ Z. Lisäksi jos g on rajoitettu funktio, niin on olemassaM >0siten, että|g| ≤M <∞ja täten kaikki momentit ovat olemassa ja äärellisiä, sillä

E[|g(X)|^p]^(2.2)= 1 m_n(Z)

Z

|g(x)|^p dm_n(x)≤ 1 m_n(Z)

Z

M^p dm_n(x)

= mn(Z)

m_n(Z)M^p=M^p <∞

kaikillap >0. Näin ollen rajoitetulla muuntajallag saadaan, että satunnaismuut- tujalla g(X) on äärellinen varianssi. Tarkastellaan tarkemmin tasajakautunutta satunnaisvektoria:

Seuraava tasajakauman tarkastelu seuraa kirjan [1] esitystä. Ensinnäkin jos satunnaisvektori X ∼ U(Z), niin satunnaisvektoriX on muotoa

X = (X1, . . . , Xn),

jossa X_i eivät yleisesti ole riippumattomia satunnaismuuttujia. Tämä voidaan osoittaa esimerkiksi tilanteessa, jossa Z on kahden neliön yhdiste

Z =

(3,3) + [−1,1]²

∪[−1,1]². Tällöin

P(X₁ ≤3, X₂ ≤1) = 1 2 6= 3

8 = 3 4 ·1

2 =P(X₁≤3)P(X₂ ≤1).

Yleisesti ei voida joukon Z tasajakautunutta pistettä muodostaa kahden tasajakautuneen pisteen avulla, eli muodossa(X₁, X₂). Kuitenkin jos joukkoZ on Borel- joukkojen karteesinen tulo, niin tämä on mahdollista.

(12)

Esitetään tämä erikoistapaus yksinkertaisessa tilanteessa, jota tullaan myös hyö- dyntämään monimutkaisten joukkojen tasajakautuneiden pisteiden satunnaistami- sessa. Olkoona_i < b_i kaikillai= 1, . . . , nja olkootY_i ∼ U([a_i, b_i])riippumattomia kaikilla i= 1, . . . , n. Merkitään suorakulmiota

Q:=

n

Y

i=1

[a_i, b_i] = [a₁, b₁]× · · · ×[a_n, b_n].

Erityisesti Borel-joukkojen karteesiselle tulolle pätee m_n(Q) =m_n(

n

Y

i=1

[a_i, b_i]) =

n

Y

i=1

m₁([a_i, b_i]).

Tällöin josY = (Y₁, . . . Y_n), niin koskaY_i ovat riippumattomia, niin f_Y(x₁, . . . , x_n) =f_Y₁(x₁)· · ·f_Y_n(x_n)

= (Qn

i=1 1

m1([ai,bi]), josxi ∈[ai, bi]kaikillai= 1, . . . , n

0, muuten

=

( ₁

Qn

i=1m1([ai,bi]), josx∈[a₁, b₁]× · · · ×[a_n, b_n]

0, muuten

= ( ₁

mn(Q), josx∈Q

0, muuten

ja saadaan, että Y ∼ U(Q). Täten suorakulmion tasajakautunut satunnaisvektori voidaan muodostaa riippumattomien tasajakautuneiden satunnaismuuttujien avulla. Itse asiassa voidaan korvata mikä tahansa väli[a_i, b_i]tai useampi väli avoi- mella välillä, puoliavoimella välillä tai jopa rajoitetulla Borel-joukolla, jonka mitta poikkeaa nollasta ja saadaan vastaava tulos. Tämä voidaan yleistää ja saadaan aivan vastaavasti osoitettua:

Lause 2.3. Olkoon A_i ⊂ R^lⁱ rajoitettu Borel-joukko, jolle m_l_i(A_i) > 0 kaikilla i = 1, . . . , n ja olkoon G =Qn

i=1Ai. Tällöin ml1+···+ln(G) = Qn

i=1mli(Ai) ja jos U_i∼ U(A_i) ovat riippumattomia kaikilla i= 1, . . . , n ja U = (U₁, . . . U_n), niin

f_U(x) =f_U₁(x^[1])· · ·f_Y_n(x^[n]) =

( ₁

ml1+···+ln(G), josx∈G

0, muuten,

jossa x^[i]∈R^lⁱ ja x∈(x^[1], . . . , x^[n]), jolloin U ∼ U(G).

Täten jos satunnaisvektorit X₁ ∼ U(Z₁) ja X₂ ∼ U(Z₂) ovat riippumattomia, niin (X1, X2)∼ U(Z₁×Z2).

Erityisesti jos Y ⊂Z on Borel, niin kaavan (2.1) perusteella joukon Z tasajakau- tuneelle satunnaisvektorilla X pätee

P^X(Y) =P(X∈Y) = m_n(Y ∩Z)

mn(Z) = m_n(Y)

mn(Z). (2.3)

(13)

Tällöin voidaan muodostaa ehdollinen todennäköisyys, että Xosuu joukkoonB ∈ B(Rⁿ) ehdolla, ettäX osuu joukkoon Y, jollemn(Y)>0. Saadaan

P^X(B|Y) = P^X(Y ∩B) P^X(Y) =

1 mn(Z)

R

Z1Y∩B(ω) dm_n(ω)

mn(Y) mn(Z)

= R

Z1Y(ω)1B(ω) dm_n(ω)

mn(Y) = 1

mn(Y) Z

Y

1B(ω) dm_n(ω),

josta nähdään että ehdollinen Xnoudattaa joukonY tasajakaumaa, jolloin ehdollinen Xon joukon Y tasajakautunut satunnaisvektori. Tämän perusteella voidaan muodostaa seuraava määritelmä:

Määritelmä 2.4. (Hylkäysmenetelmä) Olkoot Z ⊂Rⁿ ja Y ⊂ Z Borel-joukkoja siten, että 0 < mn(Z) <∞ ja 0 < mn(Y). Tällöin saadaan joukon Y tasajakautunut satunnaisvektori seuraavalla menetelmällä:

(1) ValitaanX∼ U(Z).

(2) JosX∈Y, niin hyväksytäänU =X, muuten toistetaan kohdat(1)ja (2). Tällöin U ∼ U(Y).

Hylkäysmenetelmän kohta (2) määrittelee hylkäyksen ehdon. Erityisesti tasajakautunut satunnaisvektori X on joukkona satunnainen koetin. Kutsutaan näin muodostettua koetinta tasajakautuneeksi satunnaiseksi pisteeksi, josta käytetään merkintää UR (uniform random) piste. Esitetään tämä määritelmänä rajoitetulle Borel-joukolle:

Määritelmä 2.5. Olkoon Z ⊂Rⁿ rajoitettu Borel-joukko, jolle mn(Z)>0. Täl- löin {X} on joukon Z UR piste, kunX ∼ U(Z).

Tästä eteenpäin aina kun mainitaan joukon Z UR piste ilman tarkennusta joukosta Z, niin tarkoitetaan aina Määritelmän 2.5 joukkoaZ ja pistettä {X}. Hyl- käysmenetelmän avulla saadaan myös satunnaistettua UR pisteitä. Näin ollen rajoitetun Borel-joukonY,m_n(Y)>0UR piste voidaan satunnaistaa minkä tahansa rajoitetun Borel-joukon Z ⊃Y avulla. Kaavan (2.3) perusteella

P(X ∈Y) = mn(Y) m_n(Z),

joten mitä pienempi joukon Z ⊃Y tilavuus, sitä suurempi todennäköisyys joukon Z UR pisteellä on osua joukkon Y. Tätä tietoa voidaan hyödyntää kun halutaan nopeuttaa joukon Y UR pisteiden satunnaistamista hylkäysmenetelmällä. Esite- tään käytäntöä varten helppo toteutus rajoitetun Borel-joukonZ,m_n(Z)>0 UR pisteen muodostamiselle:

Jos Z on rajoitettu, niin löytyya_i< b_i kaikillai= 1, . . . , n siten, että Z⊂[a1, b1]× · · · ×[an, bn]

ja0< m_n(Z)<∞, jolloin hylkäysmenetelmän ja Lauseen 2.3 perusteella saadaan:

Lause 2.6. Olkoon Z ⊂Rⁿ rajoitettu Borel-joukko, jollem_n(Z)>0. Olkoon a_i<

b_i kaikillai= 1, . . . , nsiten, ettäZ ⊂Qn

i=1[a_i, b_i]. Tällöin joukonZtasajakautunut piste saadaan seuraavalla menetelmällä:

(1) Valitaan riippumattomatU_i ∼ U([a_i, b_i]) kaikilla i= 1, . . . , n, jolloin U = (U1, . . . , Un).

(14)

(2) JosU ∈Z, niin hyväksytäänX =U, muuten toistetaan kohdat (1)ja (2). Tällöin {X} on joukon Z UR piste (X∼ U(Z)).

Tarkastellaan lopuksi tasajakautuneen satunnaisvektorin ja muuntajan muodos- taman satunnaismuuttujan jakaumaa:

Olkoon Z ⊂ Rⁿ Borel-joukko, jolle 0 < mn(Z) < ∞, X ∼ U(Z) ja muuntaja g : Z → R^k on Borel-mitallinen kuvaus. Koska g on Borel-kuvaus, niin kaikilla E ∈ B(R^k) pätee, että g⁻¹(E) ⊂ Z on Borel. Tällöin satunnaisvektorin g(X) todennäköisyysjakauma on

P^g(X)(A) =P(g(X)∈A) =P(X∈g⁻¹(A))

=P^X(g⁻¹(A))^(2.1)= mn(Z∩g⁻¹(A))

m_n(Z) , (2.4)

kun A∈ B(R^k).

Lause 2.7. Olkoon A⊂Rⁿ rajoitettu Borel-joukko, jolle m_n(A)>0 ja olkoonf : A → B bijektiivinen Borel-kuvaus, joka säilyttää Borel-mitallisuuden sekä Borel- joukon Lebesguen mitan. Tällöin jos X ∼ U(A), niin f(X) ∼ U(B). Lisäksi jos kuvaukset g : A → R^k ja h : B → R^k ovat Borel-mitallisia siten, että g(x) = h(f(x)), niin tällöin kun X ∼ U(A) ja U ∼ U(B) pätee, että g(X) ja h(U) ovat samoin jakautuneita satunnaisvektoreita. Lisäksi jos k= 1 ja h on rajoitettu, niin kaikilla p >0 pätee, että

E[g(X)^p] =E[h(U)^p].

Todistus. Koskaf on bijektiivinen mitat säilyttävä kuvaus, niin kaikillaE∈ B(Rⁿ) pätee kaavan (2.4) perusteella, että

P^f^(X)(E) = 1

m_n(A)m_n(A∩f⁻¹(E)) = 1

m_n(f(A))m_n(f(A∩f⁻¹(E)))

= 1

mn(B)m_n(f(A)∩f(f⁻¹(E))) = 1

mn(B)m_n(B∩E)

= Z

B∩E

1

m_n(B) dm_n(ω) = Z

E

1B(ω) 1

m_n(B) dm_n(ω) = Z

E

s(ω) dm_n(ω), jossa

s(ω) = ( ₁

mn(B), ω ∈B 0, muuten. Näin ollen f(X)∼ U(B).

Erityisesti tällöin P(f(X)∈E) =P(U ∈E)kaikillaE ∈ B(Rⁿ), sillä P^U(E) =

Z

E

s(ω) dmn(ω) ja koska h⁻¹(F)∈ B(Rⁿ) kaikillaF ∈ B(R^k), niin

P(g(X)∈F) =P(h(f(X))∈F) =P(f(X)∈h⁻¹(F))

=P(U ∈h⁻¹(F)) =P(h(U)∈F),

(15)

joten g(X) jah(U) ovat samoin jakautuneita. Josk= 1, niin koskaf(X)∼ U(B) ja U ∼ U(B), niin kaavan (2.2) perusteella

E[g(X)^p] =E[h(f(X))^p] = 1 mn(B)

Z

B

h(x)^p dm_n(x) =E[h(U)^p]

kaikilla p >0.

Koska siirto ja kierto ovat homeomorsia kuvauksia, jotka säilyttävät Borel- joukon mitan, niin Lauseen 2.7 perusteella saadaan suoraan:

Lause 2.8. Olkoon f :Rⁿ→Rⁿ siirto ja g:Rⁿ→Rⁿ kierto. Jos {U} on joukon Z UR piste, niin f({U}) on joukon f(Z) UR piste ja g({U}) on joukon g(Z) UR piste.

(16)

3. Satunnaisten suorien generointia tasajakauman avulla Alueen Z ⊂ R² satunnaisesti leikkaavalle suoralle T ⊂ R² on olemassa useita satunnaistamismenetelmiä. Valitsemalla sopiva satunnaistamismenetelmä voidaan suorien leikkauksista kerättyä informaatiota käyttää esimerkiksi pinta-alan tai pinta-alaosuuden estimaattorina. Tässä luvussa esitetyille satunnaistamisme- netelmillä on yhteistä se, että satunnaistettujen suorien leikkaus joukon Z kanssa on epätyhjä. Satunnaismenetelmää vaihtamalla eri suorien esiintymistodennä- köisyydet voivat poiketa. Yleisesti ei ole täysin selvää, mitä tarkoitetaan joukon Z tasaisesti satunnaisella suoralla. Esimerkiksi kirjassa [11, s. 3438] on esitetty Bertrandin paradoksi kolmen suoran valintamenetelmän avulla, josta nähdään et- tä eri tavalla muodostetut, tutkittavaa joukkoa leikkaavat suorat voidaan ajatella tasaisesti satunnaisiksi. Lisäksi nähdään, että näillä valintamenetelmillä samojen suorien esiintymistodennäköisyydet poikkeavat toisistaan.

Tässä luvussa perehdytään kolmeen satunnaisen suoran valintamenetelmään, jotka on esitetty esimerkiksi kirjoissa [1] ja [3]. Rajoitutaan tarkastelemaan vain rajoitettujen joukkojen satunnaisia suoria, sillä rajoittamattomia joukkoja ei voida reaalimaailmassa havainnoida. Lisäksi mitallisuuteen liittyvistä syistä mitallisuuden takaamiseksi rajoitutaan Borel-joukkoihin. Aloitetaan tarkastelemalla tason suoria ja annetaan tason satunnaiselle suoralle muutama esitys, joita hyödynne- tään muodostettaessa satunnaisia suoria. Suorien ominaisuuksia esitetään Lauseis- sa, jotka on osoitettu liitteessä C.1.

Suora voidaan esittää tasossa R² usealla tavalla. Käytetään lineaarialgebrasta tuttua suoran määritelmää:

Määritelmä 3.1. Olkoon v∈R²\ {0}suuntavektori jaa∈R² kantapiste. Tällöin a+hvi={a+tv∈R²:t∈R}

on tason suora.

Vektorin v∈R²\ {0}lineaariverho hvi={tv∈R² :t∈R} on origosuora, joka on vektorin v suuntainen. Erityisestia+hvi on vektorinv suuntainen suora, joka kulkee pisteen akautta. Yksikköpalloa hyödyntäen saadaan, että

v

kvk = (cos(ϕ),sin(ϕ)),

jollain ϕ∈[0,2π), joka ilmaisee suoran suunnan. Tasossa kaikki suunnat voidaan esittää kulman ϕ ∈ [0,2π) avulla ja tasajakautunut suunta saadaan valinnalla Θ∼ U([0,2π)).

Koska kaikilla r6= 0 päteehrvi=hvi ja kaikillak∈Z pätee

hcos(ϕ),sin(ϕ)i=hcos(ϕ+k),sin(ϕ+πk)i, (3.1) niin

a+hvi=a+hcos(θ),sin(θ)i,

jollain θ ∈ [0, π). Käytetään suorasta jonka kantapiste on (a, b) ∈ R² ja joka on kulman θ∈Rsuuntainen merkintää

T_θ^(a,b):= (a, b) +h(cos(θ),sin(θ))i.

Näin muodostettu suora on esitetty kuvassa 2.

(17)

Kuva 2. Suora T_θ^(u,v), jossaθ määrittelee suoran suunnan ja(u, v) kantapisteen.

Määritelmä 3.2. Tasossa esitys ω 7→ Tω, ω ∈Ω on suoran esitys, jos Tω ⊂R² on suora kaikilla ω∈Ω. Tällöin:

(1) Jos kaikilla suorillaT ⊂R² pätee T =Tω jollainω ∈Ω, niin suoran esitys on kaikkien tason suorien esitys.

(2) JosTα6=Tβ kaikillaα, β ∈Ω, kun α6=β, niin suoran esitys on injektiivinen.

Kaikille tason suorille löytyy useita suoran esityksiä. Esimerkiksi(a, v)7→a+hvi, kun (a, v) ∈ R² ×(R² \ {0}) ja (θ, u, v) 7→ T_θ^(u,v), kun (θ, u, v) ∈ [0, π) ×R² ovat kaikkien tason suorien esityksiä, mutta kumpikaan esitys ei ole injektiivinen.

Merkitään kulmanθ suuntaista origosuoraa

Tθ :=h(cos(θ),sin(θ))i={t(cos(θ),sin(θ))∈R²:t∈R}.

Tällöin saadaan injektiivinen esitys kaikille origosuorille θ 7→ T_θ, kun θ ∈ [0, π), silläTα6=Tβ kaikillaα, β ∈[0, π), kunα6=β. Käytetään lisäksi kulmanθsuuntai- sesta origosuorasta nimitystä kulman θ suunta-akseli. Merkitään ortogonaalipro- jektiota P_θ:R² →T_θ,

P_θ(x, y) = (xcos(θ) +ysin(θ))(cos(θ),sin(θ)).

Ortogonaaliprojektio Pθ kuvaa tason pisteen kohtisuorasti suunta-akselilleTθ. Esitetään nyt napakoordinaattikuvauksen N :R² →R²,

N(θ, x) =x(cos(θ),sin(θ)) avulla muodostettu suora

T_θ,x:={(u, v)∈R² :ucos(θ) +vsin(u) =x}

=x(cos(θ),sin(θ)) +hcos(θ+π/2),sin(θ+π/2)i,

joka on esitetty kuvassa 3 . SuoraT_θ,x on kohtisuora kulmanθkanssa ja kulkee na- pakoordinaatinN(θ, x)läpi. Perustellaan lyhyesti, että suoran esitys(θ, x)7→Tθ,x, (θ, x) ∈[0, π)×R on injektiivinen esitys kaikille tason suorille. Se on tarkemmin esitetty sivuainetutkielmassa [6].

Tasossa voidaan esittää kaikki y-akselin (kulman π/2) suuntaiset suorat injektiivisesti koordinaatin x ∈ R avulla siten, että x toimii suoran siirtona x-akselilla, jolloin suora on kohtisuorassax-akselin (kulman0 suunta-akselin) kanssa. Tällöin muodostettaessa kulman θ kierto, niin saadaan kaikki kulman θ+π/2 suuntaiset (suunta-akselin Tθ kanssa kohtisuorat) suorat esitettyä injektiivisesti. Tämä

(18)

Kuva 3. Suunta-akseli Tθ ja suoraTθ,r.

vastaa esitystä (θ, x) 7→ T_θ,x. Erityisesti tällöin x 7→ T_θ,x on injektiivinen esitys kaikille kulmaa θkohtisuoran suuntaisille suorille. Kaavan (3.1) perusteella jokainen suoran suunta voidaan esittää injektiivisesti kulman θ ∈ [0, π) avulla, joten (θ, x)7→T_θ,x,(θ, x)∈[0, π)×Ron injektiivinen esitys kaikille tason suorille. Para- metrit θjaxvastaavat tällöin suoran kiertoa ja siirtoa. Kuten kuvasta 3 nähdään, kiinnitetyllä kulmalla θ voidaan suunta-akseliT_θ ja napakoordinaatti N(θ, x) tulkita x-akseliksi ja akselin koordinaatiksi x. Esityksellä x 7→ Tθ,x, x ∈ R voidaan esittää kaikki samansuuntaiset tason suorat samassa suhteessa kohtisuoran siirron avulla ja esityksellä (θ, x) 7→ T_θ,x, (θ, x) ∈ [0, π)×R voidaan esittää kaikki tason suorat samassa suhteessa kierron ja kohtisuoran siirron avulla. Käytetään suoran T ja annetun Borel-joukon Z leikkauksen 1-ulotteisesta Hausdorn mitasta H₁(T∩Z) nimitystä suoran leikkauspituus.

Lause 3.3. Olkoon Z ⊂R² Borel-joukko. Tällöin kaikilla(θ, x)∈R² pätee:

(1) SuoraTθ,x on suljettu joukko.

(2) LeikkausT_θ,x∩Z on Borel-joukko ja jos Z on rajoitettu, niin leikkaus on rajoitettu. Erityisesti josZ on kompakti, niin T_θ,x∩Z on kompakti.

(3) JosY ⊂Z on Borel, niin

0≤ H₁(T_θ,x∩Y)≤ H₁(T_θ,x∩Z)

ja jos Z on rajoitettu, niin on olemassa R >0 siten, että 0≤ H₁(T_θ,x∩Z)≤R

kaikilla(θ, x)∈R².

Lauseen 3.3 tulokset voidaan yleistää mille tahansa tason suoralle T ⊂R², sillä suora T =Tθ,x jollain (θ, x)∈[0, π)×R.

Tässä tutkielmassa tarkasteltavat kolme satunnaisen suoran valintamenetelmää annetulle joukolle Z ⊂R² ovat seuraavat:

(1*) Kiinnitetyn orientaation tasajakautunut Fixed orientation uniform random (FUR) suora on suora, jonka suunta on kiinnitetty ja suora on valittu tasajakautuneesti kaikista mahdollisista annetun suuntaisista suorista, jotka leikkaavat annettua joukkoa.

(2*) Isotrooppinen ja tasajakautunut Isotropic uniform random (IUR) suora on suora, joka on valittu tasajakautuneesti kaikista annettua joukkoa leikkaavista suorista.

(19)

(3*) Painotetusti satunnainen Weighted random (WR) suora on suora, jonka kantapiste on tasajakautunut annetussa joukossa ja jonka suunta on tasajakautunut.

Näiden kolmen satunnaisen suoran lisäksi esitetään kiinnitetyn orientaation pai- notettu suora sekä variaatiot FUR ja IUR suorista:

(4*) Kiinnitetyn orientaation painotetusti satunnainen Fixed orientation weighted random (FWR) suora on suora, jonka suunta on kiinnitetty ja suoran kantapiste on tasajakautunut annetussa joukossa.

(5*) Kiinnitetty tasajakautunut positiivimittainen (FUR⁺) suora on suora, jonka suunta on kiinnitetty ja suora on valittu tasajakautuneesti kaikista mahdollisista annetun suuntaisista suorista, joiden leikkauspituus annetun joukon kanssa on aidosti positiivinen.

(6*) Isotrooppinen ja tasajakautunut positiivimittainen (IUR⁺) suora on suora, joka on valittu tasajakautuneesti kaikista annettua joukkoa leikkaavista suorista, joiden leikkauspituus annetun joukon kanssa on aidosti positiivinen.

3.1. FUR ja FUR⁺ suora

Joukon Z FUR suoraa muodostettaessa hyödynnetään injektiivistä suoran esi- tystä x7→ Tθ,x,x∈R. Tällöin tason jokaisella kulmaaθkohtisuoralla suoralla on esitys parametrin x∈R avulla. Joukko

Dθ(Z) :={x∈R:Tθ,x∩Z 6=∅}

määrittelee kaikki suorat, jotka leikkaavat joukkoa Z annetulla esityksellä. Huo- mioitavaa on, että kaikki suoran leikkaukset annetun joukon Z kanssa eivät vält- tämättä ole aidosti positiivimittaisia. Joukko

D⁺_θ(Z) :={x∈R:H₁(Tθ,x∩Z)>0}

määrittelee kaikki suorat, joiden leikkaus joukon Z kanssa muodostaa aidosti positiivimittaisen leikkauksen annetulla esityksellä. Esitetään joukkojen D_θ(Z) ja D⁺_θ(Z) ominaisuuksia:

Lause 3.4. Olkoon Z ⊂R²:

(1) JosZ on kompakti, niinD_θ(Z)on kompakti ja josZ on avoin, niinD_θ(Z) on avoin. Erityisesti jos Z on rajoitettu, niin D_θ(Z) on rajoitettu.

(2) JosZ on kompakti tai avoin joukko ja josm2(Z)>0, niinm1(D_θ(Z))>0. (3) JosY ⊂Z ⊂R², niin Dθ(Y)⊂Dθ(Z) ja D_θ⁺(Y)⊂D⁺_θ(Z).

(4) Olkoot Z₁, Z₂, . . . ⊂ R², niin pätee, että D_θ S∞

i=1Z_i

= S∞

i=1D_θ(Z_i) ja D_θ

T∞ i=1Z_i

=T∞

i=1D_θ(Z_i).

(5) Joukolle Z pätee, ettäD_θ(intZ)⊂D_θ⁺(Z)⊂D_θ(Z).

(6) Jos joukkoZ on Borel, niinD⁺_θ(Z) on Borel-joukko ja josm₂(Z)>0, niin m₁(D_θ⁺(Z))>0.

(7) JosZ on kompakti, niin D_θ(Z) =D_θ(∂Z). (8) Olkoot x∈R² ja r >0, niin

D_θ(B2(x, r)) =B1(x1cos(θ) +x2sin(θ), r)

=(x₁cos(θ) +x₂sin(θ)−r, x₁cos(θ) +x₂sin(θ) +r), (3.2)

(20)

jossa B_n(x, r) ={y ∈ Rⁿ : kx−yk < r} on avaruuden Rⁿ x keskeinen r säteinen avoin pallo.

(9) Jos Z on kompakti tai avoin joukko, niin ortogonaaliprojektion pituudel- le pätee, että H₁(P_θ(Z)) = m₁(D_θ(Z)). Jos joukolle Y ⊂ R² pätee, et- tä D_θ(Y) on Lebesgue-mitallinen, niin P_θ(Y) on Hausdor-mitallinen ja H₁(P_θ(Y)) =m₁(D_θ(Y)).

JoukonZ kulmaaθkohtisuora FUR suora onTθ,X, kunX∼ U(Dθ(Z)). Lisäksi joukon Z kulmaa θ kohtisuora FUR⁺ suora on T_θ,X, kun X ∼ U(D⁺_θ(Z)). Huo- mautetaan, että kaikille tason joukoille Z ⊂ R² ei voida muodostaa tasajakautuneita suoria. Tutkielmassa esitetty tasajakautuneen satunnaisvektorin määritelmä (Määritelmä 2.2) mahdollistaa seuraavan rajoitettujen Borel-joukkojen kokoelman

B_D_θ(R²) :={B :B ∈ B(R²)rajoitettu, Dθ(B) Borel,m1(Dθ(B))∈(0,∞)}

joukoille FUR suoran toteutuksen.

Määritelmä 3.5. Olkoot θ ∈ R ja Z ∈ B_D_θ(R²). Tällöin joukolle Z voidaan muodostaa kulmaa θ kohtisuora FUR suora. Joukon Z kulmaa θ kohtisuora FUR suora on T_θ,X, kun X∼ U(D_θ(Z)),

f_X(x) =

( ₁

m1(Dθ(Z)), jos x∈D_θ(Z)

0, muuten.

Olkoon lisäksi laajempi rajoitettujen Borel-joukkojen kokoelma B⁰_D

θ(R²) :={B :B ∈ B(R²) rajoitettu,D_θ(B) Borel},

joka sisältää lisäksi rajoitettuja Borel-joukkoja, joille m1(Dθ(B)) = 0. Epätyhjälle avoimelle joukolle B ⊂ R² pätee m₂(B) > 0. Tällöin Lauseen 3.4 perusteella saadaan suoraan osoitettua seuraava lause:

Lause 3.6. Olkoon θ∈R. Tällöin jos joukkoZ ⊂R² (1) on rajoittu epätyhjä avoin joukko,

(2) kompakti joukko, jollem₂(Z)>0 tai H₁(P_θ(Z))>0 tai

(3) rajoitettujen avointen ja/tai kompaktien joukkojen rajoitettu numeroituva yhdiste ja/tai leikkaus, jollem₂(Z)>0 taiH₁(P_θ(Z))>0,

niin Z ∈ B_D_θ(R²) ⊂ B_D⁰

θ(R²). Kohdissa (1)(3) voidaan myös poistaa oletukset m₂(Z)>0 ja H₁(P_θ(Z))>0, jolloin Z∈ B⁰_D

θ(R²).

Täten tasossa jokaiselle rajoitetulle avoimelle joukolle ja jokaiselle kompaktille joukolle, jonka ortogonaaliprojektion pituus on aidosti positiivinen voidaan muodostaa FUR suora. Määritellään kokoelma rajoitetuista Borel-joukoista, joiden Le- besguen mitta on aidosti positiivinen

B⁺(Rⁿ) :={B:B∈ B(Rⁿ)rajoitettu, m_n(B)>0}.

Lauseen 3.4 perusteella saadaan seuraava määritelmä:

Määritelmä 3.7. Olkoot θ∈R ja Z ∈ B⁺(R²). Tällöin joukolleZ voidaan muodostaa kulmaa θ kohtisuora FUR⁺ suora. Joukon Z kulmaa θ kohtisuora FUR⁺ suora on T_θ,X, kun X∼ U(D_θ⁺(Z)),

fX(x) =

( ₁

m1(D⁺_θ(Z)), josx∈D_θ⁺(Z)

0, muuten.

(21)

Itse asiassa kokoelma B⁺(R²) sisältää kaikki rajoitetut Borel-joukot, joille voidaan muodostaa FUR⁺ suora, sillä Lauseen 4.2 perusteella, jos Z ⊂R² on Borel ja m₂(Z) = 0, niinm₁(D_θ⁺(Z)) = 0.

Tästä eteenpäin aina kun mainitaan FUR tai FUR⁺ suora ilman mainintaa orientaatiosta, niin suora on kohtisuora jonkin kiinnitetyn kulman θ ∈ R kanssa.

Erityisesti kun mainitaan joukonZ FUR/FUR⁺suora ilman tarkennusta joukosta Z, niin tarkoitetaan aina Määritelmän 3.5/3.7 joukkoa Z ja suoraa T_θ,X. Tasaja- kautuneiden suorien satunnaistaminen on helppoa osajoukoille:

Lause 3.8. Olkoon θ∈R. Olkoon Tθ,X joukonZ ∈ B_D_θ(R²)FUR suora ja olkoon Y ⊂Z siten, ettäY ∈ B_D_θ(R²). Tällöin jos

(1) Y ∩Tθ,X 6=∅, niinTθ,X on joukon Y FUR suora,

(2) m2(Y)>0 ja H₁(Y ∩Tθ,X)>0, niin Tθ,X on joukon Y FUR⁺ suora.

Kohta (2) pätee myös, jos T_θ,X on joukon Z ∈ B⁺(R²) FUR⁺ suora ja Y ⊂Z on Borel-joukko.

Käytäntöä varten voidaan esittää tasajakautuneille suorille helppo toteutus:

Lause 3.9. Olkoot θ∈RjaZ ∈ B_D_θ(R²). Olkoon R >0siten, että Z⊂B₂(0, R). Tällöin joukon Z FUR suora Tθ,X saadaan seuraavalla menetelmällä:

(1) ValitaanU ∼ U((−R, R)).

(2) JosT_θ,U ∩Z 6=∅, niin hyväksytään X =U, muuten toistetaan kohdat (1) ja (2).

Tällöin T_θ,X on joukon Z FUR suora.

Lause 3.10. Olkootθ∈RjaZ ∈ B⁺(R²). OlkoonR >0siten, ettäZ⊂B₂(0, R). Tällöin joukon Z FUR⁺ suoraT_θ,X saadaan seuraavalla menetelmällä:

(1) ValitaanU ∼ U((−R, R)).

(2) JosH₁(T_θ,U∩Z)>0, niin hyväksytään X=U, muuten toistetaan kohdat (1) ja (2).

Tällöin T_θ,X on joukon Z FUR⁺ suora.

Lisäksi tasajakautuneita suoria voidaan muodostaa siirron avulla:

Lause 3.11. Olkoon f :R² →R² siirto. Tällöin joukon Z FUR suoralle T pätee, että f(T) on joukon f(Z) FUR suora. Vastaavasti joukon Y FUR⁺ suoralle T pätee, että f(T) on joukon f(Y) FUR⁺ suora.

Tasajakautuneille suorille pätee seuraavat osumatodennäköisyydet:

Lause 3.12. Joukon Z FUR suoralla, kunY ⊂Z,Y ∈ B_D⁰

θ(R²), niin P(Tθ,X ∩Y 6=∅) = m1(Dθ(Y))

m1(D_θ(Z)) = H₁(Pθ(Y)) H₁(P_θ(Z)), kun B⊂Z on Borel-joukko, niin

P(H₁(Tθ,X ∩B)>0) = m₁(D_θ⁺(B))

m1(D_θ(Z)) = m₁(D_θ⁺(B)) H₁(P_θ(Z)) ja jos f :R²→R² on siirto siten, että f(Y)⊂Z, niin

P(T_θ,X∩Y 6=∅) =P(T_θ,X ∩f(Y)6=∅). (3.3)

(22)

Joukon Z FUR⁺ suoralla, kun Y ⊂Z, Y ∈ B_D⁰

θ(R²), niin P(T_θ,X∩Y 6=∅) = m1(D_θ⁺(Z)∩Dθ(Y))

m1(D⁺_θ(Z)) , kun B⊂Z on Borel-joukko, niin

P(H₁(T_θ,X∩B)>0) = m₁(D⁺_θ(B)) m₁(D_θ⁺(Z)) ja jos f :R²→R² on siirto siten, että f(B)⊂Z, niin

P(H₁(T_θ,X ∩B)>0) =P(H₁(T_θ,X ∩f(B))>0). (3.4) Kaavan (3.3) ominaisuus kuvaa FUR suoran tasajakautuneisuutta siten, että suorat osuvat joukon Z osajoukkoon samalla todennäköisyydellä riippumatta tä- män paikasta joukossaZ. Vastaavasti kaavan (3.4) ominaisuus kuvaa FUR⁺suoran tasajakautuneisuutta siten, että suorat joiden leikkauspituus joukon Z kanssa on aidosti positiivinen osuvat joukon Z osajoukkoon samalla todennäköisyydellä riippumatta tämän paikasta joukossaZ. Kahdella toisistaan poikkeavalla joukolla voi olla samat FUR suorat:

Lause 3.13. Joukoilla Y ja Z on samat kulmaa θ kohtisuorat FUR suorat, jos joukkojen ortogonaaliprojektioille pätee P_θ(Y) =P_θ(Z).

Vaikka FUR ja FUR⁺ suoran määritelmät eivät ole samat, niin riippuen joukosta, jolle suorat toteutetaan, on mahdollista, että suorat vastaavat toisiaan:

Lause 3.14. Rajoitetun epätyhjän avoimen joukon B ⊂R² FUR ja FUR⁺ suorat vastaavat toisiaan.

Myös kompakteille joukoille on mahdollista, että FUR ja FUR⁺suorat vastaavat toisiaan. Esimerkiksi jos kompaktille joukolle K ⊂ R² pätee, että m₁(D_θ(K)) = m1(D⁺_θ(K)), niin X1 ∼ U(D_θ(K)) ja X2 ∼ U(D_θ⁺(K)) ovat Lauseen A.9 perusteella samoin jakautuneita, sillä D_θ⁺(K) ⊂ Dθ(K), jolloin voidaan tulkita, että joukon K FUR ja FUR⁺ suorat vastaavat toisiaan.

Esimerkkinä kompaktista joukosta K, jolle suorien jakaumat eivät ole samat, on yksikköympyrän kehän S₂(0,1) = {x ∈ R² : kxk = 1} ja suljetun 1/2 säteisen ympyrän B₂(0,1/2)yhdiste, eli

K=S₂(0,1)∪B₂(0,1/2).

Tällöin todennäköisyys että joukonKFUR suora osuu joukkoonB₂(0,1/2)on1/2 ja joukonKFUR⁺suoran osumatodennäköisyys samaan joukkoon on1. Tämä seuraa Lauseesta 3.12, silläD_θ(K) = [−1,1],D_θ⁺(K) = (−1/2,1/2),D_θ(B₂(0,1/2)) = [−1/2,1/2]ja D_θ⁺(B₂(0,1/2)) = (−1/2,1/2).

3.2. IUR ja IUR⁺ suora

Joukon Z IUR suoraa muodostettaessa voidaan hyödyntää injektiivistä suoran esitystä(θ, x)7→T_θ,x,(θ, x)∈[0, π)×R. Tällöin tason jokaisella suoralla on esitys parametrin (θ, x)∈[0, π)×R avulla. Joukko

D(Z) :={(θ, x)∈[0, π)×R:Tθ,x∩Z 6=∅}.

(23)

määrittelee kaikki suorat, jotka leikkaavat joukkoa Z annetulla esityksellä. Huo- mioitavaa on, että kaikki suoran leikkaukset annetun joukon Z kanssa eivät vält- tämättä ole aidosti positiivismittaisia. Joukko

D⁺(Z) :={(θ, x)∈[0, π)×R:H₁(T_θ,x∩Z)>0}

määrittelee kaikki suorat T_θ,x, joiden leikkaus joukon Z kanssa muodostaa aidosti positiivimittaisen leikkauksen annetulla esityksellä. Esitetään joukkojen D(Z) ja D⁺(Z) ominaisuuksia:

Lause 3.15. Olkoon Z ⊂R²:

(1) JosZ on kompakti tai avoin joukko, niinD(Z)on Borel-joukko. Erityisesti jos Z on rajoitettu, niin D(Z) on rajoitettu.

(2) JosZ on kompakti tai avoin joukko, jollem₂(Z)>0, niin m₂(D(Z))>0. (3) JosY ⊂Z ⊂R², niin D(Y)⊂D(Z) ja D⁺(Y)⊂D⁺(Z).

(4) Olkoot Z₁, Z₂, . . . ⊂R². Tällöin pätee, että D S∞

i=1Z_i

=S∞

i=1D(Z_i) ja D

T∞ i=1Z_i

=T∞

i=1D(Z_i).

(5) Joukolle Z pätee, ettäD(intZ)⊂D⁺(Z)⊂D(Z).

(6) Jos Z on Borel, niin D⁺(Z) on Borel-joukko ja jos m2(Z) > 0, niin m₂(D⁺(Z))>0.

(7) JosZ on kompakti, niin D(Z) =D(∂Z).

(8) Joukolle Z pätee, että

D(Z) = [

θ∈[0,π)

{θ} ×D_θ(Z). (3.5) (9) Olkoot x∈R² ja r >0, niin

D(B₂(x, r)) = [

θ∈[0,π)

{θ} ×B₁(x₁cos(θ) +x₂sin(θ), r). (3.6) Joukon Z IUR suora onT_Θ,X, kun(Θ, X)∼ U(D(Z)). Lisäksi joukonZ IUR⁺ suora on TΘ,X, kun (Θ, X) ∼ U(D⁺(Z)). Huomautetaan, että kaikille tason joukoille Z ⊂R² ei voida muodostaa isotrooppisia tasajakautuneita suoria. Tutkiel- massa esitetty tasajakautuneen satunnaisvektorin määritelmä (Määritelmä 2.2) mahdollistaa seuraavan rajoitettujen Borel-joukkojen kokoelman

B_D(R²) :={B:B∈ B(R²) rajoitettu,D(B) Borel,m₂(D(B))∈(0,∞)}

joukoille IUR suoran toteutuksen.

Määritelmä 3.16. Olkoon Z ∈ B(R²). Tällöin joukolle Z voidaan muodostaa IUR suora. Joukon Z IUR suora on T_Θ,X, kun (Θ, X)∼ U(D(Z)),

fΘ,X(θ, x) =

( ₁

m2(D(Z)), jos (θ, x)∈D(Z)

0, muuten.

Olkoon lisäksi laajempi rajoitettujen Borel-joukkojen kokoelma B⁰_D(R²) :={B:B∈ B(R²) rajoitettu,D(B) Borel},

joka sisältää lisäksi rajoitettuja Borel-joukkoja, joillem2(D(B)) = 0. Lauseen 3.15 perusteella saadaan suoraan osoitettua seuraava Lause:

Lause 3.17. Olkoon θ∈R. Tällöin jos joukko Z ⊂R²