 3.1.4. Käyrän ja y-akselin välinen alue3.1.4. Käyrän ja y-akselin välinen alue

1. Integroiminen y-akselia pitkin 1. Integroiminen y-akselia pitkin Määritä rajat (a, b).

Piirrä kuvaaja (kummalla puolella y-akselia).

Käyrä yleensä muotoa x = x(y).

Jos käyrä on y-akselin oikealla puolella, niin

3.1.4. Käyrän ja y-akselin välinen alue 3.1.4. Käyrän ja y-akselin välinen alue

 

a

dy y x

A ( )

2. Muuttujan vaihto alan laskemiseksi 2. Muuttujan vaihto alan laskemiseksi

Vaihda x  y, jolloin pääsee laskemaan näin saadun käyrän ja x-akselin välistä alaa

E.5. Laske käyrän x = 4 - yE.5. ² ja y-akselin rajoittaman alueen ala.

TAPA I:

RAJAT: 4 – y² = 0 y =  2









2

2

) 4

( y dy A

3 ) 4 1

(

/

2

2

y  y



( 2 ) )

3 ) 1 2 ( 4 ( ) 3 2 2 1 4

(  

     



3 10 2 3

) 32 3 ( 16 3

16    



TAPA II:

RAJAT: x = 0

x = 4 – 0² = 4

dx x

dx x

A ^  ^{ } 

^

0 4 ½

0

1

4 ( 4 )

2 / 4 3

0

( 4 )

½ 1

/ 1  x

 



3 ) 16 3 0 16

(  



 )

) 0 4 3 ( ) 2

4 4 3 (

( 2 

 





dx

 ^{  } x





0

)

4 ( ) 1 (

2 / 4 3

0

( 4 )

3

/ 2  x





3 10 2 3

32 3

2 16

2

   

 A

A