2. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 2.1.1. Pinta-alan käsite
Kirja, sivut 44 -45
Esim. 1
A = lim An
n->
hp ah hna
n An
2 1 2
1
2
missä
a, h kanta ja korkeus p monikulmion piiri
2 2
2 1 2
lim 1
lim
n hp r r rA
A
n
2.1.2. Pinta-ala porrassumman raja-arvona
Funktion f porrassumma yli välin [0,4]
25 , 16 9
4 1 16
2 9 16
1 9 16
1 1
A
Porrassumman laskeminen
Porrassummassa suikaleen ala saadaan valitsemalla korkeudeksi suikaleen puolivälissä oleva funktion arvo.
Laske jakopisteet, jakovälin pituus x ja välin keskipiste xk. Laske f(x1)· x + f(x2)· x + … =
Riemannin summa on porrassumma ,
missä xk:t voivat olla mitä tahansa välin x-koordinaatteja
x x
f
k
( )
x x
f
k
( )
Pinta-ala porrassummien raja-arvona
Olkoon funktio f jatkuva ja ei-negatiivinen välillä [a, b]
Tällöin suorien x = a, x=b, x-akselin ja käyrän y = f(x) rajoittaman alueen pinta-ala saadaan porrassummien raja-arvona, kun jakoa tihennetään rajattomasti niin, että kaikkien osavälien pituudet lähestyvät nollaa.
2.1.3 Ala- ja yläsumma
Käyrän ja x-akselin välisen alan arvioiminen ylä- ja alasummien avulla.
Jaetaan tarkasteluväli [a,b] n:ään yhtä suureen väliin x = (b - a) / n Yläsumma = Sn =
missä Mk = f(xk) on funktion suurin arvo k:nnella välillä Alasumma = sn =
missä mk = f(xk) on funktion pienin arvo k:nnella välillä
x x
f
k
( ) M
k x
x x
f
k
( ) m
k x
2 7 1 4 1
1 13 2 4 1
1 5
1
s 2
111 1 5 4 1
1 13 2 4 1
5
S
Jos alan arvoksi valitaan keskiarvo
½(s + S) = A, niin virhe on
korkeintaan ± ½(S - s) A =½(7½+11½)=9,5 Virhe korkeintaan
½(11½ - 7½) = 2
2.1.4. Määrätty integraali
Jos porrassummat lähestyvät tiettyä raja-arvoa, kun jakoa tihennetään
rajattomasti niin raja-arvoa sanotaan funktion f määrätyksi integraaliksi välillä [a,b]. HUOM.! f:n ei tarvitse olla positiivinen.
Merkintä
dx x f
b
a( )
”määrätty integraali a:sta b:hen”
E.1. (t. 151 a)
dx
x
1
2
) 2 (
2 4 1 2
3 3
E.2. (t.151c)
dx
x
1
4
) 2 (
2 21 2
2 2 2
3
3
