• Ei tuloksia

x3−sin3y x2+y2 , kun (x, y kun (x, y

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "x3−sin3y x2+y2 , kun (x, y kun (x, y"

Copied!
1
0
0

Ladataan.... (näytä koko teksti nyt)

Lataa nyt ( 1 sivua )

Kokoteksti

(1)

Analyysi II

Harjoitus 4/2004

1. Olkoon f : R2 → R funktio f(x) = |x|. Todista, ett¨a f on jatkuva joukossa R2. (Vihje! Tutki Lauseen 1.0.4 kolmioep¨ayht¨al¨oit¨a.)

2. M¨a¨ar¨a¨a osittaisderivaatat D1f(x, y) ja D2f(x, y) funktioille (a) f(x, y) = (x2−1)(y+ 2),

(b) f(x, y) = (x3+ 3y)−23, niiden m¨a¨arittelyjoukoissa.

3. M¨a¨ar¨a¨a funktion

f(x, y) =

( x3−sin3y

x2+y2 , kun (x, y)6= (0,0) 0, kun (x, y) = (0,0) osittaisderivaatat origossa.

4. M¨a¨ar¨a¨a D1f(x) ja D3f(x) funktioille (a) f(x) =x1x2+x2x3+x1x3, (b) f(x) =x1x22e−x1x22x33.

5. Osoita, ett¨a kuvaukselle f :R2 →R2,

f(x, y) = (excosy, exsiny), p¨atee

D1f1(x, y) = D2f2(x, y) ja D1f2(x, y) =−D2f1(x, y).

(Huom! Kyseisi¨aosittaisdifferentiaaliyht¨al¨oit¨asanotaanCauchy-Riemannin yht¨al¨oiksi ja yht¨al¨oiden toteuttavia kuvauksia sanotaan analyyttisiksi).

6. Olkoon f(x) = log|x|, miss¨a x= (x1, x2)6= (0,0). M¨a¨ar¨a¨a |∇f(x)|, kun x6= 0.

7. Olkoon

f(x) = 1

|x|,

miss¨a x= (x1, x2, x3)6= 0. M¨a¨ar¨a¨a |∇f(x)|, kun x6= 0.

Viittaukset

Lataa nyt ( PDF - 1 sivua - 51.31 KB )

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

R n R E( X | Y = y ) X f ( ·| Y = y ) Y E( Y ) { X = x } Tas(0 , x ) X Tas(0 , 1) Y X Y f ( ·| Y = y ) f ( ·| X = x ) X Y f X Y ( X , Y ) f 0 f ( x , y ) = 0 < x < y ,  0 f ( x , y ) = 0 < x < 1 0 < y < 1 ,  c f : R → R ce 2 − x − y cxy ( X

Olkoon R origoa lähinnä olevan pisteen etäisyys origosta. Johda satunnaismuuttujan

Lukuteorian kertausta ja syvennystä

Oletetaan, että annetulla yhtälöllä olisi jokin positiivinen kokonaislukurat- kaisu x, y, z.. Todetaan aluksi, että jos x, y ja z olisivat kaikki parittomia, niin yhtälön vasen

Laske k¨ayr¨an y=x32 pituus, kun x∈[0,4]

[r]

Osoita, että funk- tiot x→R fx(y)dν(y) ja y→R fy(x)dµ(x) ovat mitallisia

Osoita, että Lebesguen mitta-avaruus (R, M, m) on Borelin mitta-avaruuden (R, B, m) harjoituksessa 7 esitetty täydennys ( B reaalilukujen Borelin joukkojen joukko eli pie- nin

Kun x≤ 4, on |32x−6|= 6

1.. a) Kun leijan 144 o k¨ arki yhdistet¨ a¨ an vastakkaiseen k¨arkeen, leija jakautuu kahteen yhtenev¨ aiseen tasakylkiseen kolmioon, joissa kantakulmat ovat 72 o ja k¨arkikulma

10001. = , 10001. 10001. = = , , x = y = x x = = y y = = 12 3.2 12 12 3.2 3.2

Luettu 5.3.2013. Kuution sisällä on pyramidi, jonka pohja yhtyy kuution pohjaan ja jonka korkeus on puolet kuution särmän pituudesta. Määritä pyramidin ja kuution tilavuuksien

a) y' - y = cos x, y(0)=1

publish('H2T10R','pdf') % Komentoikkunassa, älä tässä, tai ikuinen looppi.. Published with

{ �: kun kun x x � 0, < 0,

Määritä kolmion pienimmän kulman sini ja suurimman kulman puolikkaan kosini. a) Määritä ne reaaliluvut x, jotka ovat käänteislukuaan � suurempia. Osoita, että kyseessä