• Ei tuloksia

Laske k¨ayr¨an y=x32 pituus, kun x∈[0,4]

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "Laske k¨ayr¨an y=x32 pituus, kun x∈[0,4]"

Copied!
1
0
0

Ladataan.... (näytä koko teksti nyt)

Lataa nyt ( 1 sivua )

Kokoteksti

(1)

Analyysi II

Harjoitus 12/2004

1. Laske k¨ayr¨an y=x32 pituus, kun x∈[0,4].

2. M¨a¨ar¨a¨a sykloidin ½

x(t) = t−sint y(t) = 1−cost pituus parametriv¨alill¨a t∈[0,4π].

3. Oletetaan, ett¨a hiukkasen paikka ajan t funktiona noudattaa s¨a¨ant¨o¨a

½ x(t) = 2t2 y(t) = t3.

Kuinka pitk¨an matkan hiukkanen kulkee aikav¨alill¨at ∈[0,1]?

4. Olkoon napakoordinaatteina annetun tasok¨ayr¨an Γ⊂R2 parametriesitys

½ x(ϕ) = r(ϕ) cosϕ y(ϕ) = r(ϕ) sinϕ,

miss¨a ϕ∈[α, β]. Osoita, ett¨a k¨ayr¨an Γ pituus l saadaan kaavasta l =

Z β

α

pr(ϕ)2+r0(ϕ)2dϕ.

5. Laske napakoordinaatteina annetun logaritmisen spiraalin r(ϕ) = e−aϕ

parametriv¨ali¨aϕ∈[0, α] vastaavan osan pituus, kuna >0 ja α >0.

6. Laske R

R

R(x2y−2xy)dxdy, kun R= [0,3]×[0,2].

7. Laske R

R

R 2x3(4−3y2)dxdy, kun R= [0,2]×[0,3].

Huom! Vapunaattona 30.4 ei ole luentoa.

Viittaukset

Lataa nyt ( PDF - 1 sivua - 45.51 KB )

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

R n R E( X | Y = y ) X f ( ·| Y = y ) Y E( Y ) { X = x } Tas(0 , x ) X Tas(0 , 1) Y X Y f ( ·| Y = y ) f ( ·| X = x ) X Y f X Y ( X , Y ) f 0 f ( x , y ) = 0 < x < y ,  0 f ( x , y ) = 0 < x < 1 0 < y < 1 ,  c f : R → R ce 2 − x − y cxy ( X

Olkoon R origoa lähinnä olevan pisteen etäisyys origosta. Johda satunnaismuuttujan

Analyysi II/Ydinainesanalyysi

7.4 K¨ayr¨an pituus ja integrointi kaaren pituuden suhteen Ydinaines 1: K¨ayr¨an pituuden laskeminen. Ydinaines 2: Integrointi kaaren

x3−sin3y x2+y2 , kun (x, y kun (x, y

[r]

Laske k¨ayr¨aintegraali R Γ(y2−y)dx+x dy, kun Γ on jana pisteest¨a (1,2) pisteeseen (−3,0)

(Vihje! Kahden pisteen v¨alisen janan parametriesitys l¨oytyy luvusta

Laske k¨ayr¨aintegraali Z ∂A (x4 −3y)dx+ (2y3+ 4x)dy Greenin kaavan avulla, kun A={(x, y)∈R2 |x2+y2 ≤2}

Olkoon f jatkuvasti deri- voituva joukon A sis¨alt¨av¨ass¨a avoimessa joukossa.. (Huom! Teht¨av¨a¨a voi merkit¨a vaikkei osaisikaan suorittaa

Osoita, että funk- tiot x→R fx(y)dν(y) ja y→R fy(x)dµ(x) ovat mitallisia

Osoita, että Lebesguen mitta-avaruus (R, M, m) on Borelin mitta-avaruuden (R, B, m) harjoituksessa 7 esitetty täydennys ( B reaalilukujen Borelin joukkojen joukko eli pie- nin

x x2+y2+ 1 2.Piirr¨aBernoullin lemniskaatta, kun k¨ayr¨an m¨a¨arittelee 1

Piirr¨ a Bernoullin lemniskaatta, kun k¨ ayr¨ an m¨ a¨

Ainoa positiivinen ratkaisu on a = 4

Siin¨ a k¨ ayr¨ an pisteess¨ a, joka on l¨ ahimp¨ an¨ a suoraa, on k¨ ayr¨ an tangentin kulmakerroin sama kuin suoran kulmakerroin eli 4.. Koska k¨ ayr¨ an kulun