RAKENNUS- JA YMPÄRISTÖTEKNIIKAN OSASTO
Tanja Dubrovin
SUMEA LOGIIKKA VESISTÖN SÄÄNNÖSTELYSSÄ
Diplomityö, joka on tehty opinnäytteeksi Teknillisen korkeakoulun rakennus- ja ympäristötekniikan osastolla professori Pertti Vakkilaisen valvonnassa vuosina 1999-2000.
TE;CN*.LL!X2M 1____ - '
Rakennus- ja ympäristötekniikan osaston kirjasto
Tekijä: Tanja Dubrovin
Diplomityön nimi: Sumea logiikka vesistön säännöstelyssä
Päivämäärä: 25.1.2000 Sivumäärä: 64
Osasto: Rakennus-ja ympäristötekniikan osasto Professuuri: Vesitalous ja vesirakennus
Työn valvoja: Professori Pertti Vakkilainen Työn ohjaaja: TkT Ari Joi ma
Sumealla logiikalla mallinnetaan vaikeasti rajattavia eli sumeita ilmiöitä. Sumea logiikka ei ryhmittele asioita jyrkästi, vaan sallii aste-erot. Useat sumean logiikan sovellukset ovat päättelyjärjestelmiä, jotka sisältävät loogisia päättelysääntöjä sumeilla käsitteillä. Sumealla päättelyllä onkin mahdollista mallintaa ihmisen ajattelua sekä simuloida ilmiöitä niiden käyttäytymisen perusteella tuntematta täsmällisesti taustalla olevaa fysiikkaa. Menetelmää on sovellettu mm. säätötehtävissä. Säännöstelyssä sumeita tekijöitä ovat mm. tulovirtaaman suuruus ja vedenpinnan tavoitekorkeudet.
Tässä työssä tutkittiin sumean logiikan soveltuvuutta reaaliaikaiseen vesistön säännöstelyyn.
Esimerkkijärvinä olivat Päijänne ja Tuusulanjärvi. Kummallekin järvelle muodostettiin sumea säätömalli, jonka syötteitä olivat vedenpinnan korkeus ja tulovirtaama. Tuloste oli päätösjakselia toteutettava juoksutus. Koska hydrologiset olosuhteet ja tavoitteet muuttuvat vuodenaikojen mukaan, sumeat joukot määriteltiin eri jaksoilla eri tavalla. Vedenkorkeuden tavoitetasot määritettiin erillisellä päättelymallilla. Mallin tekemien juoksutuspäätösten perusteella simuloitiin järven vedenkorkeutta, jota edelleen käytettiin seuraavalla jaksolla mallin syötteenä.
Tulokset olivat varsin hyviä; enimmäkseen juoksutukset olivat sopivia ja vedenkorkeus pysyi hyvällä tasolla. Heikkona kohtana olivat tulvakaudet, jolloin juoksutuksen pitäminen tasaisena oli vaikeaa. Menetelmänä käytettiin sumeaa kokonaissimilaarisuutta, mutta vertailun vuoksi tehtiin päättely myös Sugenon menetelmällä. Mallin syötteenä käytettiin edellisten jaksojen havaittua tulovirtaamaa. Täydellisen tulovirtaamaennusteen käyttö muutti tuloksia joiltakin osin, mutta kokonaisuudessaan paransi tuloksia vain vähän.
Sumean logiikan etuina mainittakoon mahdollisuus käsitellä sumeaa tietoa sekä nopea palautuvuus. Koska malli sisältää inhimilliseen ajatteluun perustuvia sääntöjä, käyttäjän on helppo ymmärtää mallin toimintaa. Ilmeinen haittapuoli sumeassa päättelyssä oli, että sääntökannan muodostaminen vaati paljon aikaa ja työtä. Sama sääntökanta ei aina ole suoraan sovellettavissa eri järville.
Tässä tutkimuksessa saadut kokemukset antoivat viitteitä siitä, että sumea logiikka olisi käyttökelpoinen menetelmä vesistön säännöstelyssä.
Hakusanat: vesistön säännöstely, sumea logiikka, sumea säätö.
Author: Tanja Dubrovin
Thesis: Reservoir Operation with Fuzzy Logic
Date: 25.1.2000 Number of pages: 64
Department: Civil and Environmental Engineering Professorship: Water Resources Engineering
Supervisor: Professor Pertti Vakkilainen Instructor: D.Sc. (Tech.) Ari Jolma
Uncertain or fuzzy processes can be modeled with fuzzy logic. Fuzzy set theory allows elements to belong into sets with various degrees of membership. Many applications of fuzzy logic are based on reasoning. A fuzzy inference system includes logical reasoning rules with fuzzy terms. Therefore, with fuzzy logic it is possible to model human thinking and simulate processes without knowing exactly the physics behind them. For instance, fuzzy inference has been used in control systems. Reservoir operation includes uncertain factors such as inflow into the reservoir and water level goals.
In this thesis applicability of fuzzy logic in real-time reservoir operation was studied. A fuzzy rule-based control model was constructed for two cases: Lake Päijänne and Lake Tuusulanjärvi.
The reservoir storage level and incoming flow were used as inputs and output was the average release during the time step for simulation. Because of seasonal variability of both hydrological processes and goal reservoir levels various membership functions were adjusted for different time steps. Goal reservoir levels were generated for each time step with another inference model. After a release from the reservoir was reasoned by the model it was used in simulation of reservoir level, which was used as input in next time step.
Results of the model appeared to be good. The model was able to keep the reservoir level on feasible stage with adequate releases. Weak point were floods as releases tended to have high peaks. As inference method fuzzy total similarity was used. For comparison also Sugeno’s control method was applied. Good results were achieved using previous time steps’ inflow as input. Only little enhancement was achieved with use of perfect inflow forecast.
Advantages of fuzzy logic are reversibility and ability to use uncertain data. Fuzzy control model is easy to understand by operators due to its stmcture based on human thinking. Also the weaknesses in model are easy to find and correct. A considerable disadvantage of fuzzy inference was large amount of work and time required for model construction. Same model cannot directly be applied for all different kinds of reservoirs.
The results achieved in this study indicated fuzzy logic to be an applicable method for reservoir operation.
Keywords: fuzzy logic, reservoir operation, fuzzy control.
Tämä diplomityö on tehty Teknillisen korkeakoulun vesitalouden laboratoriossa professori Pertti Vakkilaisen valvonnassa. Työn ohjaajana on ollut TkT Ari Jolma.
Sumeaa logiikkaa koskevissa kysymyksissä on neuvoja antanut FT Esko Turunen.
Esimerkkijärvien säännöstelyä koskevia asiantuntijakommentteja sekä materiaalia ovat antaneet Päijänteen osalta DI Erkki Järvinen Suomen ympäristökeskuksesta ja Tuusulanjärven osalta DI Mauri Pekkarinen Keski-Uudenmaan vesiensuojelun kuntayhtymästä.
Esitän parhaat kiitokseni yllä mainituille sekä kaikille muille työtäni avustaneille henkilöille.
Espoossa tammikuussa 2000
Tanja Dubrovin
TIIVISTELMÄ ABSTRACT ALKUSANAT
SISÄLLYSLUETTELO KUVALUETTELO TAULUKKOLUETTELO
1. JOHDANTO...1
1.1 Sumea logiikka...1
1.2 Vesistön säännöstely... 4
1.3 Tavoitteet... 7
2. SUMEAN LOGIIKAN MATEMATIIKKAA...8
2.1 Sumeat joukot...8
2.2 Sumeat operaatiot... 10
2.3 Sääntökanta ja sumea päättely...12
2.3.1 Sääntökanta...12
2.3.2 Sumea päättely... 13
2.3.3 Mamdanin päättely...15
2.3.4 Sugenon päättely...16
2.3.5 Sumea kokonaissimilaarisuus... 17
2.3.6 Stabiilisuus...18
3. SUMEAN LOGIIKAN SOVELLUKSIA VESITALOUDESSA... 19
3.1 Sääntöpohjainen sumea malli säännöstelyssä...19
3.1.1 Tutkimuksia vesistön säännöstelyssä... 19
3.1.2 Jäsenyysfunktioiden ja sääntökannan määrittäminen... 20
3.2 Sumean logiikan yhdistäminen muihin menetelmiin... 24
3.2.1 Sumea lineaarinen optimointi...24
3.2.2 Sumea dynaaminen optimointi... 26
3.2.3 Menetelmien yhdistäminen... 26
3.3 Aikasarjan ennustaminen sumean päättelyn avulla... 27
4. SUMEAN SÄÄTÖMALLIN KEHITTÄMINEN SÄÄNNÖSTELYYN...29
4.1 Säännöstelyn piirteitä sumeana päättelytehtävänä... 29
4.2 Lähtökohtia mallin muodostamiselle... 29
4.3 Mallin rakenne... 30
4.4 Sääntökanta ja päättely... 32
4.5 Aineisto ja kalibrointi... 33
5. MALLIN SOVELTAMINEN ESIMERKKIJÄRVILLE... 35
5.1.2 Mallin lähtökohtia... 36
5.1.3 Juoksutusmalli...38
5.1.4 T avoitekorkeusmalli... 39
5.1.5 Kalibrointi opetusjaksolle... 41
5.1.6 Tulosten tarkastelu... 42
5.1.7 Parannusehdotuksia...44
5.2 Tuusulanjärvi... 49
5.2.1 Esimerkkialueen kuvaus... 49
5.2.2 Mallin lähtökohtia... 49
5.2.3 Mallin kuvaus ja kalibrointi...51
5.2.4 Tulosten tarkastelu... 53
5.2.5 Parannusehdotuksia... 54
6. JOHTOPÄÄTÖKSET... 58
KIRJALLISUUSLUETTELO... 62 LIITTEET:
Liite 1. Tulokset Päijänteelle opetusjaksolla vuosina 1970-1981.
Liite 2. Tulokset Päijänteelle testijaksolla vuosina 1982-1993.
Liite 3. Tulokset Tuusulanjärvelle opetusjaksolla vuonna 1991.
Liite 4. Tulokset Tuusulanjärvelle testijaksolla vuonna 1993.
Liite 5. Tulokset Tuusulanjärvelle testijaksolla vuonna 1994.
Liite 6. Päijänteen säännöstelylle hyödyn ja haitan laskennassa käytetyt tuotto- ja vahinkokäyrät.
Liite 7. Huhtikuussa Tuusulanjärvelle käytetyt vaihtoehtoiset sääntökannat.
Kuva 2.1 Nuorten ihmisten terävää joukkoa kuvaava karakteristinen funktio (Isomursu ym. 1993).
Kuva 2.2 Nuorten ihmisten sumeaa joukkoa kuvaava jäsenyysfunktio (Isomursu ym.
1993).
Kuva 2.3 Erimuotoisia jäsenyysfunktioita (Puolakka 1997).
Kuva 2.4 Sumea päättelyprosessi.
Kuva 2.5 Päättely Mamdanin tavalla (Puolakka 1997).
Kuva 2.6 Täsmentäminen painopistemenetelmällä.
Kuva 2.7 Täsmällisen arvon valinta sumean kokonaissimilaarisuuden menetelmässä.
Kuva 3.1 Käypä alue a) deterministisessä lineaarisessa optimoinnissa; b) sumeassa lineaarisessa optimoinnissa (Chang ym. 1997).
Kuva 4.1 Sumean säännöstelymallin rakenne.
Kuva 5.1 Päijänteen säännöstellyt ja luonnonmukaiset vedenkorkeudet 1971-1995.
(Marttunen ja Järvinen 1999)
Kuva 5.2 Tavoitteet Päijänteen vedenkorkeudelle (Marttunen ja Järvinen 1999) Kuva 5.3 Päijänteen vedenkorkeudelle käytettyjen sumeiden joukkojen
jäsenyysfunktiot a) kevätalennuksen aikana; b) muuna aikana.
Kuva 5.4 Päijänteen suhteelliselle tulovirtaamalle käytetyt sumeat joukot.
Kuva 5.5 Päijänteen juoksutukselle käytetyt sumeat joukot.
Kuva 5.6 Lumen vesiarvolle käytetyt sumeat joukot.
Kuva 5.7 Sulantakaudella Päijänteen tavoite vedenkorkeudelle käytetyt sumeat joukot.
Kuva 5.8. Sumean säätömallin mukaiset ja toteutetut juoksutukset Päijänteelle testijaksolla. Päätösjakson pituus puoli kuukautta.
Kuva 5.9 Sumean säätömallin tuloksista simuloituja havaittu vedenpinnan korkeus sekä tavoitekorkeusmallin antama tavoitekorkeus Päijänteelle testijaksolla.
Kuva 5.10 Tuusulanjärven juoksutussääntö (Länsi-Suomen vesioikeus 1989) Kuva 5.11 Tuusulanjärven vedenkorkeudelle käytetyt sumeat joukot.
Kuva 5.12 Tuusulanjärven tulovirtaamalle käytetyt sumeat joukot.
Kuva 5.13 Tuusulanjärven juoksutukselle käytetyt sumeat joukot.
Kuva 5.14 Sumean säätömallin (versio 2) mukaiset ja toteutuneet päivittäiset juoksutukset Tuusulanjärvelle testijaksolla.
Kuva 5.15 Sumean säätömallin (versio 2) tuloksista simuloitu ja havaittu vedenpinnan korkeus Tuusulanjärvelle testijaksolla.
Taulukko 2.1 Tulkintoja unionille ja leikkaukselle.
Taulukko 2.2 Tulkintoja implikaatiolle.
Taulukko 2.3 Tulkintoja negaatiolle ja ekvivalentille.
Taulukko 5.1 Päijänteen sumeassa juoksutusmallissa käytetty sääntökanta.
Taulukko 5.2 Päijänteelle vuosien 1970-1981 havaintojen perusteella tehty FAM (Fuzzy Assosiative Map).
Taulukko 5.3 Päijänteen vedenkorkeuden eräiden tavoitteiden toteutuminen sumealla säätömallilla tehdyssä säännöstelyssä.
Taulukko 5.4 Päijänteen vedenkorkeuden eräiden tavoitteiden toteutuminen toteutetussa säännöstelyssä.
Taulukko 5.5. Sumealle säännöstelylle laskettu taloudellinen voimataloushyöty suhteutettuna, kun vastaavaa laskelmaa toteutuneelle säännöstelylle indikoidaan luvulla 100,0.
Taulukko 5.6. Sumealle säännöstelylle laskettu Päijänteen vedenkorkeudesta ja Kymijoen virtaamasta aiheutuva taloudellinen tulvahaitta suhteutettuna, kun vastaavaa laskelmaa toteutuneelle säännöstelylle indikoidaan luvulla 100,0.
Taulukko 5.7 Kevätalennuksen määritys Tuusulanjärven juoksutussäännössä (Länsi- Suomen vesioikeus 1989).
1. JOHDANTO
Hydrologiset ilmiöt, kuten luonnonprosessit yleensäkin, ovat mikrotasolla täsmällisiä, mutta inhimillisen ymmärtämyksen tasolla niihin liittyy epävarmuutta. Mallinnettaessa luonnonilmiötä se pyritään yleensä pukemaan matemaattiseen muotoon.
Todellisuudessa malli saattaa antaa kuitenkin eri tuloksia kuin mittaukset luonnossa.
Mittauksissa voi olla virheitä, ennusteet eivät toteudu, yllättäviä ja tuntemattomia tekijöitä ilmaantuu. Ilmiöissä esiintyvä epävarmuus saatetaan käsitellä tilastollisilla menetelmillä. Toinen keino on käsitellä asioita sumeina. Sumea logiikka ei luokittele asioita jyrkästi, vaan sallii aste-erot.
1.1 Sumea logiikka
Logiikka on oppi päättelyn menetelmistä ja periaatteista. Klassisen logiikan perustajana pidetään kreikkalaista filosofia Aristotelesta (384-322 eKr). Klassisen logiikan mukaan lauseille voidaan määrätä totuusarvo, jonka mukaan lauseet ovat joko tosia tai epätosia. Totuusarvoja on siis kaksi mahdollista, 0 tai 1, minkä takia klassista logiikkaa kutsutaan myös kaksiarvologiikaksi (Niemi 1995). Klassisella logiikalla voidaan kuvata tiettyjä ilmiöitä, esimerkiksi jos ihmiseltä kysytään, onko hän naimisissa, vastaus on kyllä tai ei, koska naimisissaolo on yksiselitteinen asia. Jos samalta henkilöltä kysytään onko hän onnellinen, hän voi olla vastauksessaan epävarma. Vastaus voi olla esimerkiksi "olen melko onnellinen". Hän on osittain onnellinen, osittain ei. Todellisuudessa esiin tulee asioita, joiden totuuden kuvaamiseen ei riitä kaksi arvoa; lause voi olla tosi, epätosi, jotain siltä väliltä tai molempia. Inhimillinen ajatteluja ilmaisu ovat moniarvoista. Puheessa moniarvoisuus ilmenee epävarmuutta ja epätäsmällisyyttä ilmaisevina sanoina kuten "melkein",
"ehkä", "suunnilleen". Moniarvoista logiikka voidaan pitää sumean logiikan esiasteena. Sumea logiikka sallii kielellisten ilmaisujen käytön. Sumeudesta huolimatta taustalla on täsmällinen matemaattinen teoria (Zimmermann 1996).
Sumean logiikan "isänä" pidetään iranilaissyntyistä Lofti Zadehia. Hän on kehittänyt teoriansa Yhdysvalloissa Kalifornian yliopistossa. Yhdysvalloissa teoria sai aluksi osakseen epäilyjä ja alkuaikoina sitä tutkittiinkin enemmän Euroopassa ja Japanissa.
Japani on epäilemättä sumean logiikan sovellusten kärkimaa, jossa sitä on käytetty paljon mm. kulutuselektroniikassa säätöä vaativissa tehtävissä. Juuri Japanin kulkeminen edellä sumean logiikan soveltamisessa johtunee siitä, että sumea logiikka luontuu paremmin yhteen itämaisen ajattelutavan kanssa. Siellä se ei ole herättänyt
niin paljon epäilyjä kuin länsimaisessa kulttuurissa, jossa on totuttu kaksiarvoiseen ajatteluun. Japanissa sumea logiikka on niin hyvässä maineessa, että jopa sumean logiikan termin sinällään on todettu olevan hyvä markkinointikeino. (Kosko 1993) Sumean logiikan kritisoijat ovat sanoneet sumean logiikan olevan piilotettua todennäköisyyttä (Kosko 1993). Sumeaa logiikkaa tuleekin helposti verrattua todennäköisyysteoriaan, sillä kumpikin teoria tarkastelee epävarmuutta, jota ilmaistaan kummassakin välillä [0,1] olevilla luvuilla. Näiden kahden näkökulman välillä on kuitenkin eroja. Todennäköisyydellä voidaan mitata, millä todennäköisyydellä jokin tapahtuma joko sattuu tai ei satu. Sumeus taas mittaa sitä, missä määrin jokin tapahtuma sattuu ja kohdistaa epävarmuuden näinollen siihen, onko tapahtuman sattuminen oikein määritelty ja tiedossa. Sumeuden ja todennäköisyyden välistä eroa kuvaa Koskon (1993) esittämä esimerkki parkkipaikasta, johon on maalattu sata ruutua. Todennäköisyyteen perustuvan lähestymistavan mukaan auto voidaan pysäköidä jokaiseen ruutuun jollakin todennäköisyydellä. Jos ruutu on varattu, todennäköisyys pysäköidä auto siihen on nolla, kun taas todennäköisyys pysäköidä vapaaseen ruutuun on yhtä suuri kaikkien vapaiden ruutujen osalta. Pysäköiminen tiettyyn ruutuun kuitenkin joko tapahtuu tai ei tapahdu. Todellisuudessa autosta voi olla 90 % yhdessä ruudussa ja 10 % viereisessä ruudussa. Tällöin väite, että auto on pysäköity yhteen ruuduista ei ole täysin tosi. Väite, että auto on pysäköity jokaiseen ruutuun jollain asteella on sumea, mutta tarkempi.
Merkittävä ero todennäköisyysteorialla ja sumean logiikan teorialla on siinä, miten ne käsittelevät joukkoa A ja sen vastakohtaa Ac. Klassisen joukko-opin mukaan A n Ac = 0 ja todennäköisyysteorian mukaan P(A n Ac) = P(0) = 0.
Todennäköisyysteorian mukaan siis tapahtuma ja sen vastakohta eivät voi toteutua samanaikaisesti, minkä sumeus taas sallii (Kosko 1992). Käytännössä molemmat epävarmuuden muodot voivat esiintyä samanaikaisesti, jolloin päästään sumean todennäköisyyden käsitteeseen. Voidaan ennustaa, että huomenna sataa vähän 20%
todennäköisyydellä, jolloin ilmaistaan sumean tapahtuman todennäköisyyttä.
Sumeaa logiikkaa on sovellettu monilla toisistaan poikkeavilla aloilla, kuten prosessiteollisuudessa, lääketieteessä (Isomursu ym. 1993), liikennetekniikassa (Suomessa: Pursula 1995, Niittymäki ym. 1999) sekä eri alojen asiantuntijajärjestelmissä ja päätöksenteon tukijärjestelmissä. Bårdossy ja Duckstein (1995) ovat osoittaneet sumean logiikan olevan käyttökelpoinen menetelmä mallintaa luonnonilmiöitä. He pitävät sumean logiikan etuina yksinkertaisuutta, läpinäkyvyyttä ja häiriösietoisuutta. Sumea menetelmä ei toki ole yhtä tarkka kuin useat
deterministiset menetelmät, mutta epätarkan ilmiön mallintamisessa se ei välttämättä ole suuri puute. Kun monimutkaista ilmiötä mallinnetaan deterministisellä menetelmällä, käyttäjä saattaa saada väärän käsityksen, että tulokset olisivat täysin tarkkoja, mikä ei pidä paikkaansa (Bärdossy ja Duckstein 1995).
Sumean logiikan sovelluksista yleisimpiä ovat sumeat sääntöpohjaiset järjestelmät, joiden ympärille tämäkin työ pitkälti painottuu. Sääntöpohjainen järjestelmä perustuu joukkoon loogisia sääntöjä, jotka ohjaavat systeemin toimintaa. Säännöt ovat tyypillisesti muotoa JOS ... NIIN .... Sääntöpohjaisia sumeita järjestelmiä ovat mm.
sumea säätö, sumea mallinnus ja sumeat asiantuntijajärjestelmät, joilla on yhteisiä piirteitä. Sumeaa logiikkaa voidaan hyödyntää myös muilla tavoilla kuin sääntökantaan perustuen (ks. luku 3.2).
Prosessin säätötehtävässä tehdään prosessin tilasta havaintoja, joiden perusteella prosessia ohjataan siten, että se toimisi parhaalla mahdollisella tavalla. Perinteinen prosessinohjaus tehdään matemaattisten mallien avulla. Se vaatii kuitenkin hyvin tarkkaa prosessin teoreettista tuntemista ja joissain tapauksissa säätimen muodostaminen voi olla hyvin monimutkaista. Useita prosesseja voi kuitenkin parhaiten ohjata ihminen, joka käyttää kokemustaan ja näkemystään ohjaukseen.
Esimerkiksi autoa oppii vähäisen harjoittelun jälkeen ajamaan lähes kuka tahansa tuntematta auton ajamiseen liittyvää fysiikkaa, mikä ei koneelta onnistu. Tämä osoittaa, että monimutkaistenkin systeemien ohjaamiseen riittää tuntemus systeemin käyttäytymisestä, vaikka systeemin matemaattista mallia ei tunnettaisikaan. Ihmisen ohjauskykyyn perustuu sumean logiikan käyttö säätötehtävissä, sillä sumealla logiikalla voidaan mallintaa ohjaajan toimintaa säätötilanteessä.
Kun sumea säätäjä muodostetaan asiantuntijan tietämyksen perusteella, ei säätäjällä teoriassa voida saada parempaa tulosta kuin asiantuntijan suorittamalla säädöllä. Etua ihmisen suorittamaan säätöön verrattuna voidaan saada kuitenkin esimerkiksi tilanteessa, jossa säätöä suorittavia henkilöitä on useampi. Tällöin sumeaan säätäjään voidaan yhdistää kaikkien operaattorien asiantuntemus, ja säädön tulos voi olla parempi kuin kenenkään yksittäisen operaattorin suoritus. Sumea säätäjä on hyödyllinen myös silloin, kun joudutaan käyttämään kokematonta henkilökuntaa ja koulutettaessa uusia operaattoreita (Turunen 1999b). Sumeaa säätöä voidaan myös käyttää tavanomaisen säädön tukena tai siihen yhdistettynä (Zimmermann 1996).
Asiantuntijajärjestelmä voidaan määritellä monella tavalla. Yleensä siinä on kyse tietokoneohjelmasta, joka ei ratkaise ongelmaa tietokoneohjelmalle tyypillisellä tavalla
laskemalla matemaattisia yhtälöitä, vaan ohjelmaan sisällytetyn inhimillisen asiantuntemuksen perusteella. Asiantuntijajärjestelmä pyrkii suorittamaan ratkaisun samaan tapaan kuin asiantuntijan ajattelu etenee. Järjestelmä sisältää tietämyskannan sekä päättelykoneen. Tietämyskanta sisältää asiantuntemuksen yleensä sääntökannan muodossa ja sen tulisi käyttä samanlaista kieltäjä samoja ilmaisuja, joita sovellusalan asiantuntija käyttää. Päättelykone on mekanismi, joka käsittelee tietoa ja tekee johtopäätöksiä sääntöjen avulla. Asiantuntijajärjestelmissä voidaan käyttää klassista logiikkaa tai sumeaa logiikkaa. Sumean logiikan käyttöä puoltaa mm. se, että asiantuntija käyttämän inhimillisen kielen käsitteleminen sumealla logiikalla on perusteltua. Klassista logiikkaa käytettäessä epävarmuus käsitellään yleensä tilastollisilla menetelmillä. (Zimmermann 1996)
Niin sumean päättelyjärjestelmän kuin yleensäkin asiantuntijajärjestelmän muodostamisessa suurimpia haasteita on sääntökannan muodostaminen. Sääntökannan muodostamisessa tärkeä henkilö on sovellusalueen asiantuntija. Jos asiantuntija ei ole vakuuttunut järjestelmän tarpeellisuudesta eikä ole halukas antamaan tietoaan järjestelmää varten, on asiantuntijajärjestelmän muodostaminen mahdotonta. Toisaalta, vaikka asiantuntija olisikin halukas yhteistyöhön, hänen voi olla vaikea ilmaista eri päätöksiin johtavia syitä, koska prosessin säätäminen on hänellä selkäytimessä.
Järjestelmästä voi näinollen jäädä pois merkittäviä tekijöitä, joiden huomaaminen ja selvilleottaminen vaatii paljon työtä järjestelmän laatijalta. (Penttinen 1998)
Monissa monitavoitteisen päätöksenteon ongelmissa on jouduttu yhteismitallistamaan eri tekijöitä. Esimerkiksi luonnon monimuotoisuuden arvon muuttaminen markoiksi voi olla vaikeaa ja kyseenalaisiakin. Monitavoitteisessa päätöksenteossa sumea logiikka voi osoittautua käyttökelpoiseksi juuri siksi, että tekijöitä voidaan käsitellä eri mittayksiköillä.
1.2 Vesistön säännöstely
Säännöstely on keino, jolla vesistöstä saatavaa hyötyä parannetaan tai haittaa estetään.
Järven säännöstelyä varten luusuaa laajennetaan ja siihen rakennetaan säännöstelypato siten, että tarvittaessa järvestä voidaan päästää luonnonmukaista suurempia vesimääriä, toisaalta tarvittaessa virtaamia voidaan pienentää. Kivekäs (1985) määrittelee säännöstelyn käsitteen seuraavasti:
"Vesistön säännöstelemisellä tarkoitetaan vesistön luonnonmukaisen virtaaman ja siitä riippuvan vedenpinnan korkeuden muuttamista niin, että tulos siten vastaa paremmin olemassaolevia tarpeita."
Lupa säännöstelyyn myönnetään vesioikeudessa. Lupaan liittyy padotus- ja juoksutussääntö, joka määrittää säännöstelyän oikeudet ja velvollisuudet. Vesilain 8 luvun 9 § mukaan juoksutussäännössä "on määrättävä se korkeus, mihin vesi eri aikoina enintään saadaan nostaa ja laskea, sekä millä tavalla veden juoksutus on järjestettävä". Padotus- ja juoksutussääntöjä on eri muotoisia. Yksinkertaisemmissa luvissa on määrätty kiinteät säännöstelyn ylä- ja alarajat, joiden välissä vedenkorkeus on pyrittävä pitämään sekä mahdollisesti alapuoliseen vesistöön suoritettava juoksutus.
Toisaalta on sääntöjä, joissa määrätty padotuskorkeus voidaan joillain edellytyksillä ylittää. Kolmas ryhmä padotus-ja juoksutussääntöjä ovat sellaiset, joissa ei varsinaisia säännöstelyrajoja ole. Näissä juoksutus määräytyy altaan vedenkorkeuden ja ennustetun tulovirtaaman avulla. (Kuusela 1982)
Aikaisemmin suurimmat säännöstelyn intressitahot olivat voimatalous, maatalous ja uitto sekä vesiliikenne. Arvojen, tekniikan ja tietämyksen muuttuessa eri tavoitteiden painotus on vaihdellut ja uusia tavoitteita on otettu huomioon. Muita säännöstelyn tavoitteita ovat mm. kalatalous, tulvasuojelu, virkistyskäyttö ja vesihuolto. Kun säännöstelyjen ekologiset vaikutukset on huomattu ja tieto niistä on lisääntynyt, on huomio kiinnittynyt enemmän luonnonsuojelullisiin seikkoihin. Säännöstelyn tarve on pienempi siellä, missä luonto itse tasoittaa virtaamia. Vesistöalueen järvisyys on eräs tasoittava tekijä.
Oikean säännöstelystrategian valinta ja tulovirtaaman suuruus ovat säännöstelyongelman merkittäviä epävarmuustekijöitä. Säännöstelystrategian hyvyys on paljolti kiinni erilaisista subjektiivisista käsityksistä, joten sen oikeellisuutta ei välttämättä pystytä missään vaiheessa täydellisesti arvioimaan. Tulovirtaama sen sijaan on ainakin jollain tarkkuudella jälkikäteen mitattavissa tai laskettavissa.
Säännöstelyongelman ratkaisemisessa käytetyt menetelmät perustuvat yleensä tulovirtaamaennusteeseen, jota käytetään täsmällisenä arvona. Tulovirtaamaa ennustetaan mm. mallintaen sadannan ja valunnan välistä yhteyttä. Tällaisia malleja ovat mm. konseptuaaliset mallit, siirtofunktiomallit ja regressioanalyysi (esim.
Kuusistoja Laasanen 1986). Tulovirtaaman suuruuden riippuvuus eri tekijöistä on niin monimutkainen, että sen täsmällinen ennustaminen fysikaalisten mallien avulla on vaikeaa. Tulovirtaaman ennustamiseen tarvitaan usein sääennusteita, joita ei myöskään
pystytä täsmällisesti tekemään. Mitä pidemmälle tulevaisuuteen ennusteita halutaan tehdä, sitä epätäsmällisempiä ne ovat. Jos mallissa tarvitaan syötteenä mittausarvoja, aiheuttavat mittausvirheet epätarkkuutta. Vedenpinta voi olla kalteva esimerkiksi tuulen vuoksi, jolloin senttimetrinkin virhe vedenkorkeudessa aiheuttaa suuren virheen laskettaessa järven varastotilavuutta. Tulovirtaamaennusteen epävarmuus ja epätarkkuus käsitellään useimmiten tilastollisilla menetelmillä.
Säännöstelyongelman ratkaisemisessa käytettyjä menetelmiä ovat mm.
optimointimenetelmät, summakäyrämenetelmä ja simulointi.
Optimointimenetelmissä muodostetaan kohdefunktio, jonka arvo on päätösmuuttujan (esim. juoksutus) arvoja muuttaen maksimoitava tai minimoitava siten, että tietyt rajoitusehdot toteutuvat. Säännöstelytehtävässä tavoitteena voi olla maksimoida hyötyfunktio tai minimoida haittafunktio. Hyötyfunktio voi kuvata esimerkiksi saavutettua vesivoimahyötyä virtaaman funktiona ja haittafunktio tulvasta aiheutunutta taloudellista vahinkoa vedenkorkeuden tai virtaaman funktiona. Optimointiongelma voidaan muotoilla pyrkimällä optimoimaan yhden intressitahon hyötyä ja ottamalla muut näkökohdat huomioon rajoitusehdoilla. Optimointimenetelmiä ovat mm.
lineaarinen optimointi, epälineaarinen optimointi, dynaaminen optimointi ja monitavoiteoptimointi. Lineaarisessa optimoinnissa kohdefunktio ja rajoitusehdot ovat lineaarisia yhtälöitä. Dynaamisessa optimoinnissa ei edellytetä lineaarisuutta. Siinä päätösmuuttujan suuruus ratkaistaan tietyin väliajoin siten, että tilamuuttuja (esim.
varastoaltaan vedenkorkeus) on mukana ratkaisun kaikissa vaiheissa, (esim.
Vakkilainen 1986)
Summakäyrämenetelmä on graafinen menetelmä, jossa kuvaajan vaaka-akseli kuvaa aikaa p (d) ja pystyakseli virtaamasummaa (m3). Tulovirtaaman erotussummakäyrä voidaan piirtää kuvaajana siten, että kutakin ajanhetkeä vastaava summakäyrän arvo on ajassa p varastoon tullut tulovirtaama, josta on vähennetty koko jakson keskimääräinen tulovirtaama eli S, = p (Qt - MQ). Vastaavasti voidaan piirtää juoksutuksen summaviiva. Tulovirtaaman summaviiva kuvaa aina jotain tiettyä vedenkorkeutta ja nousukulman tangentti virtaaman suuruutta. Tulovirtaaman summakäyrän ja juoksutuksen summakäyrän välinen erotus on juoksutuksesta aiheutunut varastotilavuuden muutos (esim. Kivekäs 1985). Summakäyrämenetelmällä voidaan määrittää varastoaltaan koko tai suunnitella säännöstelyä. Tulovirtaaman summakäyrän alapuolelle käytettävissä olevaa varastotilavuutta vastaavalle etäisyydelle piirretään viiva. Juoksutuksen summaviivan tulee pysyä näiden viivojen välissä.
Säännöstelyssä on toisaalta kyse suunnittelusta, jossa joudutaan vertailemaan eri tahojen intressejä ja määrittämään kelvollisin mahdollinen tavoite. Toisaalta säännöstely on reaaliaikaista päätöksentekoa; minkälaisia juoksutuspäätöksiä pitäisi tehdä, jotta suunnitelma toteutuisi parhaiten? Tässä tutkimuksessa on keskitytty sumean logiikan käyttöön reaaliaikaisessa päätöksenteossa. Sumeaa logiikkaa monitavoitteisessa vesivarojen käytön suunnittelussa ovat käsitelleet mm. Kindler (1992) sekä Yin ym. (1999).
1.3 Tavoitteet
Tämän tutkimuksen tavoitteena oli tutkia mahdollisuuksia käyttää hyväksi sumeaa logiikkaa säännöstelyn päätöksenteossa sekä selvittää sumean logiikan mahdollisia etuja kyseisellä alueella. Kirjallisuustutkimuksella haluttiin selvittää alueella jo tehtyjä tutkimuksia ja niissä käytettyjä menetelmiä. Tutkimuksessa kehitettiin sumeaan päättelyyn perustuva tietokonemalli, joka tekee reaaliaikaisia juoksutuspäätöksiä esimerkkijärville Päijänteelle ja Tuusulanjärvelle. Mallin avulla haluttiin selvittää, mitä asioita sumean mallin muodostamisessa tulee ottaa huomioon, erityisesti Suomen olosuhteissa. Sumean päättelyn toteuttamiseen on olemassa monenlaisia tapoja. Eri menetelmien vaikutuksia haluttiin selvittää sekä arvioida sumean logiikan merkitystä säännöstelyssä käytännössä.
Tutkimuksen kokoonpano on tehty seuraavasti: Toisessa luvussa käsitellään sumean logiikan teoriaa, siihen liittyvää matematiikkaa, sumeita joukkoja ja päättelymekanismia. Kolmannen luvun kirjallisuustutkimuksessa tarkastellaan, millä eri tavoilla sumeaa logiikkaa on sovellettu vesistön säännöstelyyn liittyen. Luvussa käsitellään sumeaa päättelyä, sumeaa optimointia ja sumeaa aikasarja-analyysiä.
Sumean päättelyn osalta esitetään myös erilaisia menetelmiä sääntökannan muodostamiseksi. Neljännessä luvussa käydään läpi tässä tutkimuksessa muodostetun sumean mallin perusrakenne ja mallin muodostamisessa käytettyjä periaatteita.
Viidennessä luvussa esitetään Päijänteelle ja Tuusulanjärvelle tehtyjen mallien erityispiirteet ja tulokset.
2. SUMEAN LOGIIKAN MATEMATIIKKAA
2.1 Sumeat joukot
Sumeiden joukkojen teoria sallii osittaisen totuuden ja alkion osittaisen kuulumisen joukkoon. Klassisen joukko-opin joukkoja kutsutaan teräviksi joukoiksi, joihin kukin alkio joko kuuluu tai ei kuulu. Ongelmallista voi olla esimerkiksi sanoa, kuuluuko 25- vuotias ihminen nuorten ihmisten joukkoon. Jos käytetään teräviä joukkoja, on tiedettävä tarkkaan se ikä, jolloin ihminen ei ole enää nuori. Jos rajaksi määrätään 25 vuotta, 24-vuotias on nuori, kun taas 25-vuotias ei. Sumeilla joukoilla voidaan kuvata ihmisen vanhenemista vähitellen, jolloin 24-vuotias kuuluu nuorten ihmisten joukkoon vain hieman enemmän kuin 25-vuotias.
Jos A on perusjoukko (esim. kaikki ihmiset), olkoon A A:n osajoukko (nuoret ihmiset) ja x joukon X alkio (ihminen). Klassisessa joukko-opissa alkion kuuluminen tai kuulumattomuus joukkoon voidaan esittää karakteristisen funktion avulla. Funktion arvo on O, jos alkio ei kuulu joukkoon ja 1, jos se kuuluu. Karakteristinen funktio/a
terävälle joukolle A on
(2.1)
Sumeassa joukko-opissa karakteristiselle funktiolle pitäisi voida sallia muitakin arvoja kuin O tai 1. Niinpä karakteristinen funktio korvataan jäsenyysfunktiolla, joka joukolle A e Aon
JtA:*-*[0,l] (2.2)
Tällöin jokainen joukon X alkio x saa jäsenyysasteeksi joukossa A luvun suljetulta väliltä [0,1], Jäsenyysaste kuvaa sitä, millä asteella alkio kuuluu joukkoon eli joukkoon kuulumisen totuusarvon. Matemaattisesti sumean joukon A määrää parien joukko
A = {(*, jtiA(x)) I x e A} (2.3)
Sumean joukon erikoistapaus on terävä joukko, jolloin jäsenyysfunktio saa vain arvoja O ja 1. Nuorten ihmisten terävää joukkoa kuvaava jäsenyysfunktio (tai karakteristinen
funktio) on esitetty kuvassa 2.1 ja nuorten ihmisten sumeaa joukkoa karakterisoiva jäsenyysfunktio kuvassa 2.2.
1 1
s ^ ^
(Z)
8 0,6
>s
>*
S>
:<n
0 20 40 60 80 100
V
Kuva 2.1 Nuorten ihmisten terävää joukkoa kuvaava karakteristinen funktio (Isomursu ym. 1993).
Kuva 2.2 Nuorten ihmisten sumeaa joukkoa kuvaava jäsenyysfunktio (Isomursu ym.
1993).
Sumeissa järjestelmissä paljon käytetty ja yksinkertainen jäsenyysfunktion muoto on kolmio, jolloin sumeaa osajoukkoa A voidaan merkitä vektorilla (af, a*, af1")7. Tällöin jäsenyysfunktio saa seuraavat arvot:
0 kun x < a x-a
a -a~
a+ -x
a -a
+ *kun a' <x<a kun a* <x<a+
0
(2.4)
kuna+ < x
Muita tavallisia jäsenyysfunktioiden muotoja ovat kellokäyrä, puolisuunnikas ja yksikköfunktio eli singleton, jotka on esitetty kuvassa 2.3. Käytännössä jäsenyysfunktioiden muodon valinta on tarkoituksenmukaisuuskysymys (Puolakka
1997).
£ 0,5 kellokäyrä kolmio trapetsi yksikköfinktio
0,3 -
-8 -6-4 -2 0 2 4 6 8
u
Kuva 2.3 Erimuotoisia jäsenyysfunktioita (Puolakka 1997).
Sumeassa säädössä käytettäviltä sumeilta joukoilta vaaditaan, että niitä karakterisoivien jäsenyysfunktioiden on oltava normaaleja ja konvekseja (Puolakka 1997). Normaalisuus tarkoittaa, että jäsenyysfunktion saama suurin arvo on 1 ja pienin arvo on 0 eli sumealle joukolle A perusjoukossa X
max[/iA(;t)] = 1 ja min[/rA(;t)] = 0, x e X (2.5)
Konveksisuusvaatimus taas merkitsee, että jäsenyysfunktioita ei voi olla useita huippuja eli
3 a 6 X siten, että kaikille c e X, c*a\ /J,A(c) < yUA(a) (2.6)
2.2 Sumeat operaatiot
Jos tarkastellaan kahta joukkoa A ja B, niille voidaan määrittää operaatiot yhdiste, leikkaus, komplementti, implikaatio ja ekvivalentti. Kielellisesti ilmaistuna samat operaatiot ovat "A tai B", "A ja B", "ei-A", "jos A, niin S", "A jos ja vain jos £".
Matemaattisilla symboleilla operaatiot merkitään u, n, -, —ja <->. Sumeiden joukkojen operaatiot määritellään jäsenyysasteiden avulla.
Zadeh esitti vuonna 1965 sumeiden joukkojen A ja B yhdisteen, leikkauksen ja komplementin määritelmiksi seuraavia (Zadeh 1965):
ylt A vB to = max to A to, pB(x)} (2.7)
PAnBto = min {//ato, Aisto) (2.8)
/t-Ato = 1 -Ma W (2.9)
Nämä määritelmät ovat samoja niin teräville kuin sumeillekin joukoille. Kun kyseessä ovat sumeat joukot, edellämainitut eivät kuitenkaan ole ainoita eivätkä välttämättä parhaita tapoja suorittaa operaatioita. Esimerkiksi leikkauksen määritelmä ottaa huomioon vain pienemmän operoitavista totuusarvoista, vaikka käytännön sovelluksessa suuremmallakin voisi olla merkitystä. Sumeille joukko-operaatioille on olemassa lukuisia muitakin tulkintoja (esim. Niemi 1995), jotka terävän joukon erikoistapauksessa palautuvat Zadehin esittämiin. Seuraavassa esitetään eräitä tulkintoja eri operaatioille. Yksinkertaisuuden vuoksi merkitään, että loogisen lauseen p totuusarvo on p e [0,1] ja loogisen lauseen q totuusarvo on q e [0,1]. Taulukossa 2.1 on esitetty eräitä tulkintoja yhdisteelle ja leikkaukselle. Implikaatiolla ilmaistaan syy- seuraussuhdetta, esim. p:stä seuraa q. Implikaatiolle on esitetty taulukon 2.2 mukaisia tulkintoja. Ekvivalentille ja negaatiolle on esitetty tulkintoja taulukossa 2.3.
Käytännön säätö- ja mallinnustehtävissä tarvitaan sumeiden joukkojen välisiä operaatioita. Eri tulkinnat sopivat eri käytännön sovelluksiin eri tavalla eikä aina ole samantekevää, mitkä operaatiot sovellukseen valitaan. Valintaan ei ole olemassa yleispätevää ohjetta, joten on tehtävä kokeiluja parhaiten toimivien operaatioiden löytämiseksi kuhunkin käyttötarkoitukseen (Puolakka 1997).
Taulukko 2.1 Tulkintoja yhdisteelle ja leikkaukselle.
Yhdiste (p tai q) Leikkaus (p ja q)
Gödel max{p, q} min[p, q]
Gaines p+q-pq pq
Lukasiewicz min{p+<7, 1} max {p+q-1,0}
Hamacher p + q-2 ■ p ■ q pq
\-p-q p+q-pq
Taulukko 2.2 Tulkintoja implikaatiolle.
Implikaatio (p—»<?)
Minimi (Mamdani) min {p,q}
Gödel 1 kun p < q, muuten q
Gaines 1 kun p < q, muuten —
P
Lukasiewicz min {1 -p+q, 1}
Taulukko 2.3 Tulkintoja negaatiolle ja ekvivalentille.
Negaatio (ei-p) Ekvivalentti (p <-> q)
Gödel 1 -P 1, kun p = q, muuten
min{p, q}
Gaines 1 kun p- 0, muuten 0 min/ min{ —} P Q \ q P
Lukasiewicz 1 -P l-max{p, g}+min{p, q)
= 1-1 p-q 1
2.3 Sääntökanta ja sumea päättely
2.3.1 Sääntökanta
Päättelyä sumeilla joukoilla sanotaan myös likimääräiseksi päättelyksi tai lingvistiseksi päättelyksi, koska päättely perustuu joukkoon sääntöjä, jotka on ilmaistu kielellisesti (Mattila 1998). Sumeassa päättelyssä keskeisessä asemassa ovat loogiset ehtolauseet, joita sanotaan implikaatioiksi ja ovat tyyppiä
"Jos A, niin B"
jossa A ja S ovat lauseita. Ehtolauseen vasen puoli on ehto-osa, premissi (premise) ja oikea puoli seurausosa, johtopäätös (consequence). Kummatkin voivat sisältää epätäsmällisiä ilmaisuja. Päättelyprosessissa keskeisessä päättelysäännöt ovat tautologiat Modus Ponens eli eteenpäinpäättely, ja Modus Tollens eli
taaksepäinpäättely. Sumeaa päättelyä varten näistä on muodostettu yleiset muodot.
Tässä käsitellään eteenpäinpäättelyä, jota käytetään useammin säädön sovelluksissa.
Kaksiarvoisessa logiikassa eteenpäinpäättely toimii muodossa (A a(A=>5))=>£
Sumeaa päättelyä varten muodostetun yleistetyn eteenpäinpäättelyn on esittänyt seuraavasti Zadeh (Niemi 1995):
Premissi: x on A'.
Implikaatio: Jos x on A, niin y on B.
Johtopäätös: y on 6'.
Missä A', A, B' ja B' ovat sumeita joukkoja. Joukkojen A ja A' ei tarvitse olla keskenään täsmälleen samoja eikä myöskään joukkojen B ja B'.
Sumeaa päättelyä varten JOS-NIIN lauseita muodostetaan kuvaamaan syy- seuraussuhdetta prosessin syötteiden ja johtopäätöksen välille (Mattila 1998).
Ehtolauseen ehto-osassa ja seurausosassa voi olla useitakin tekijöitä ja niitä voivat yhdistää eri loogiset operaattorit (JA, TAI ja EI (negaatio)). Tapauksessa, jossa ehtolauseen vasemman puolen muodostavat kahden syötteen leikkaus ja niistä seuraava johtopäätös on yksi suure, säännöt ovat seuraavan muotoisia:
Jos x on A ja y on 5, niin z on C.
Kukin sääntö muodostuu siis yhdestä tulosuureiden kombinaatiosta ja sitä seuraavasta johtopäätöksestä. Sääntökannassa olevien sääntöjen lukumäärä on suurimmillaan kaikkien mahdollisten sumeiden joukkojen A; ja sumeiden joukkojen Bt lukumäärien tulo.
2.3.2 Sumea päättely
Sumeasta päättelystä on olemassa monia variaatioita. Päättelyprosessin yleinen kulku on esitetty kuvassa 2.4.
Syötteet
Syötteiden jäsenyysaste-
funktiot SUMEUTUS
Tulosteen jäsenyysaste-
funktiot TÄSMENTÄMINEN
Tuloste
Kuva 2.4 Sumea päättelyprosessi.
Sumeat säännöt käsittelevät sumeita termejä, joten tulosuureiden ollessa täsmällisiä arvoja ne on sumeutettava ennen varsinaista päättelyä. Tulosuure saattaa kuulua useaan sumeaan joukkoon samanaikaisesti ja sumeutuksessa määritetään jäsenyysfunktioiden avulla tulosuureen kuuluminen kuhunkin joukkoon.
Sumeassa päättelyssä ei sanota yksiselitteisesti, että yksi säännöistä on täysin käypä ja muut kelvottomia, vaan kaikki sääntökannan sännöt voivat olla käypiä jollain asteella.
Päättelyssä halutaan määrittää, millä asteella kunkin säännön ehto-osa vastaa havaittua tilannetta, eli millä asteella sääntö on sovellettavissa kyseiseen tilanteeseen. Säännön vastaavuusastetta kuvataan luvulla väliltä [0,1] kuten jäsenyysasteitakin. Kun syötteitä on kaksi tai useita ja tiedetään niiden jäsenyysasteet kussakin sumeassa joukossa, voidaan suorittaa niiden välissä olevat operaatiot jollain luvussa 2.2 esitetyllä menetelmällä. Jokaista sääntöä kohden saadaan silloin vastaavuusaste. Lopulliseen johtopäätökseen voivat vaikuttaa useat sääntökannan säännöistä. Jäljempänä esitetään erilaisia menetelmiä yhdistää säännöt lopputulokseksi. Tuloksena on sumea päätös, joka ei aina kelpaa sellaisenaan, vaan halutaan tarkka arvo. Sumea tulos on siis täsmennettävä. Tehtävän luonteesta riippuen haluttava arvo voi olla diskreetti (esim.
pato on joko auki tai kiinni) tai jatkuva (esim. juoksutettavan veden määrä).
2.3.3 Mamdanin päättely
Mamdanin ehdottama päättelymekanismi on ensimmäinen ja paljon käytetty menetelmä sumean logiikan käytännön sovelluksissa. Päättelyprosessi on esitetty kuvassa 2.5, kun syötteitä ovat x ja y ja tuloste on z. Päättelyssä käytetään min-ja max- operaattoreita. Kun tiedetään syötteiden ja tulosteen jäsenyysfunktiot, saadaan kunkin säännön antama osuus tulosteeseen z seuraavalla periaatteella (Puolakka 1997):
Atcv(z) = min{/Vci(z), min{/iAl(x0), A^BiOo)}} , Vz e Z (2.10) jossa yUci (z) on säännön i antama osuus tulosteeseen z sumeassa muodossa.
Ha(z) on suureen z jäsenyysfunktio sumeassa joukossa Ci
^Ai(*o) on tulosuureen täsmällisen arvon x0 jäsenyysaste sumeassa joukossa A, /^BiCvo) on tulosuureen täsmällisen arvon y0 jäsenyysaste sumeassa joukossa £;.
Eri sääntöjen antamat tulokset yhdistetään max-operaattorilla, jolloin päättelyn tuloksena on sumea joukko, jonka jäsenyysfunktio on:
IMz(z) = max l/dciiz), Hc2(z),.... £cn(z)} , Vz e Z (2.11)
Kuva 2.5 Päättely Mamdanin tavalla (Puolakka 1997).
Täsmentäminen Mamdanin päättelyssä voidaan tehdä mm. painopistemenetelmällä tai summakeskipisteen menetelmällä. Painopistemenetelmässä lasketaan lopullisen johtopäätöksen jäsenyysfunktion muodostaman alueen painopiste, jonka kohdalta otetaan täsmällinen arvo (kuva 2.6). Summakeskipistemenetelmä on laskennallisesti yksinkertaisempi kuin painopistemenetelmä. Siinä ei käsitellä kaikkien sääntöjen muodostamaa yhteistä aluetta, vaan eri sääntöjen antamien johtopäätösten muodostamista yksittäisistä alueista lasketaan painotettu keskiarvo.
Summakeskipistemenetelmässä ei poisteta sumeiden joukkojen välisiä päällekkäisyyksiä, vaan päällekkäiset alueet vaikuttavat tulokseen useampikertaisina.
(Zimmermann 1996)
A
1 Mz)
Kuva 2.6 Täsmentäminen painopistemenetelmällä. Tulosteen täsmennetty arvo on z*.
2.3.4 Sugenon päättely
Eräs Mamdanin päättelymekanismista muunneltu versio on sumea järjestelmä, jonka on esittänyt ensimmäisenä Sugeno vuonna 1985. Siinä tulosteen jäsenyysfunktiot ovat yksikköfunktioita (singletoneja) eli ykkösen korkuisia pylväitä. Seurausosan arvo voi olla myös syötteiden funktio. Kutakin sääntöä vastaavasta yksikköfunktiosta katkaistaan syötteistä lasketun vastaavuusasteen määräämä osuus. Täsmentäminen tehdään laskemalla yksikköfunktioiden edustamien tulosteiden painotettu keskiarvo käyttäen painokertoimina pylväiden jäljelle jääneitä korkeuksia. (Puolakka 1997) Teorian kannalta täsmentäminen on ehkä edellämainittujen päättelymekanismien heikoin kohta. Kirjallisuudessa esiintyvät monet täsmentämismenetelmät voivat tuottaa erilaisia tuloksia ja jotkut voivat aiheuttaa oleellista informaation menetystä (Puolakka 1997). Täsmentämisessä muutetaan laajempaa tietoa yhdeksi luvuksi, mihin oikean menetelmän valitsemiseen ei ole olemassa täysin perusteltua ohjetta. Mamdanin ja Sugenon menetelmissä käytetyt täsmentämistavat hakevat jonkinlaista keskiarvoa.
Heikkoutena niissä on se, että keskiarvo ei aina ole paras ratkaisu eikä sen käyttö ole matemaattisesti perusteltua. Esimerkiksi tapauksessa, jossa oikeat johtopäätökset ovat
kaksi eri ääripäätä, täsmentäminen antaa tulokseksi niiden keskiarvon, joka voikin olla huonoin päätös. Menetelmä, joka ei sisällä sama heikkoutta kuin edelliset, on sumean kokonaissimilaarisuuden menetelmä.
2.3.5 Sumea kokonaissimilaarisuus
Sumean kokonaissimilaarisuuden menetelmä (Turunen 1999) perustuu Lukasiewiczin moniarvologiikkaan. Se on kehitetty antamaan sumealle logiikalle ja sumealle päättelylle selvä matemaattinen perusta vastapainona Mamdanin ja Sugenon
“teknisille” lähestymistavoille. Menetelmässä etsitään sumean kokonaissimilaarisuuden avulla sääntökannasta parhaiten syötettä vastaavaa sääntöä.
Toisin kuin Mamdani-tyyppisissä menetelmissä, säännöistä otetaan huomioon ainoastaan se, jonka on laskettu vaikuttavan lopputulokseen suurimmalla asteella eli saa suurimman kokonaissimilaarisuuden.
Kuvataan valintakriteereitä [O,l]-arvoisilla sumeilla joukoilla Ai, ..., An (esim. Ai on matala vedenpinta, Ai on pieni tulovirtaama jne.). Objektien x\, ..., xm jäsenyysasteet ko. sumeissa joukoissa tiedetään ja halutaan selvittää, mikä objekteista toteuttaa parhaiten kaikki kriteerit. Tämä voidaan tehdä vertaamalla kutakin objektia vuorollaan sellaiseen ideaaliseen objektiin a, jonka jäsenyysaste jokaisessa sumeassa joukossa Ai, ..., An on 1. Kokonaissimilaarisuuden lauseke (Turunen 1999)
s(x-a)=:I^AW (2.12)
ilmaisee sen, minkä verran objekti x on samanlainen objektin a kanssa. Se objekteista xi, ..., xm , joka saa suurimman kokonaissimilaarisuuden arvon, täyttää siis parhaiten
kriteerit Ai, ..., An.
Päättelyprosessissa vertailtava objekti on lähtötilanne eli syötteet, joiden jäsenyysasteet sumeissa joukoissa tiedetään. Lähtötilannetta verrataan kuhunkin sääntökannan sääntöön. Lähtötilanteen kanssa kaikkein similaarisin sääntö valitaan toteutettavaksi.
Sumean kokonaissimilaarisuuden etu on selkeä tulosteen ollessa täsmällinen eli silloin, kun tuloste voi saada esimerkiksi arvot “päällä” ja “pois”. Sumean tulosteen tapauksessa on jälleen valittava täsmentämiskeino, jolla tulosteelle saadaan lukuarvo.
Perusajatuksena on, että lopullisen tulosteen on oltava similaarisimman säännön
seurausosan kanssa saman verran similaarinen kuin mitä syötteet ovat ehto-osan kanssa. Niinpä valinta voidaan tehdä similaarisuusasteen mukaan kuten kuvassa 2.7.
Ongelmana on se, että jäsenyysfunktion muodosta riippuen käypiä lukuarvoja voi tulla useita; jäsenyysfunktion ollessa kolmion muotoinen lukuarvoja on yksi tai kaksi.
Lisäksi similaarisuus usean eri säännön kanssa voi olla yhtä suuri. Kriteeri, jolla arvo valitaan eri vaihtoehdoista, riippuu tapauskohtaisesti asiantuntijan päätöksestä.
Sumean kokonaissimilaarisuuden menetelmä perustuu siten enemmän asiantuntijan ajattelun mallintamiseen kuin muilla tavoin täsmentävät menetelmät. Jos mikään sääntö ei täysin vastaa asiantuntijan mielipidettä, malli ei laske summittaisesti lopullista arvoa vaan antaa mahdollisista vaihtoehdoista asiantuntijan valinnan.
Kuva 2.7 Täsmällisen arvon valinta sumean kokonaissimilaarisuuden menetelmässä, kun similaarisuusaste on p.
2.3.6 Stabiilisuus
Epästabiilisuudella tarkoitetaan, että pieni muutos syötteessä aiheuttaa huomattavan suuren muutoksen tulosteeseen. Sumean päättelyjärjestelmän epästabiilisuus ei riipu täsmentämistavasta vaan sääntökannasta, ja se on otettava huomioon järjestelmää rakennettaessa. Sumea päättelyjärjestelmä voi sisältää epästabiilisuutta etenkin tulosteen ollessa sumea. Epästabiilisuuspiste voi syntyä esimerkiksi kohtaan, jossa syöte muuttuu vain hyvin vähän, mutta muutos johtaa kuitenkin sääntökannassa suurimman similaarisuuden saavan säännön vaihtumiseen. Säännön similaarisuusaste saattaa olla suuri, jolloin lopullinen täsmennetty arvo poikkeaa paljon edellisestä arvosta. Stabiilisuuden analysointia on käsitellyt Könönen (1999).
3. SUMEAN LOGIIKAN SOVELLUKSIA VESITALOUDESSA
3.1 Sääntöpohjainen sumea malli säännöstelyssä
Vesistön reaaliaikaista säännöstelyä voidaan pitää eräänlaisena säätötehtävänä.
Vedenpinnan korkeuden suhteen palaute päätöksen vaikutuksesta saadaan jo saman jakson lopussa, jolloin päätöstä seuraavalle jaksolle tehdään. Sen sijaan juoksutuksen vaikutus alempana vesistössä näkyy viiveellä, jonka pituus voi olla esimerkiksi useita päiviä.
3.1.1 Tutkimuksia vesistön säännöstelyssä
Kirjallisuudesta on löydettävissä muutama tutkimus, jotka koskevat juoksutuspäätösten tekoa sumean sääntöpohjaisen mallin avulla.
Shestra ym. (1996) ovat mallintaneet juoksutuspäätösten tekoa sumealla logiikalla Tenkiller-järvelle Oklahomassa. Säännöstelyn päätavoitteita kyseisellä järvellä ovat tulvasuojelu ja vesivoiman tuotanto. Muita tavoitteita ovat vedenhankinta, virkistyskäyttö sekä kalakantojen ja luonnon suojelu. Epävarmuutta aiheuttavia tekijöitä ovat hydrologiset tekijät ja vedentarpeen suuruus. Sumea sääntökanta muodostettiin ajatellen, että tarpeen tullen veden käyttöä rajoitetaan aina tarpeeksi ajoissa niin, että vettä riittää kuivallakin jaksolla. Tapauksessa syötteitä olivat havaittu vedenpinnan korkeus, ennustettu tulovirtaama, vuodenaika ja ennustettu vesivoiman tarve. Tuloste oli jakson aikana juoksutettava vesimäärä. Lukuarvoja saavien muuttujien jäsenyysfunktiot asetettiin kolmionmuotoisiksi. Vedenpinnan korkeuden vaihteluväli jaettiin yhdeksäksi sumeaksi joukoksi ja tulovirtaaman kahdeksaksi sumeaksi joukoksi. Vesivoiman ennustettu tarve sai viisi täsmällistä arvoa: pieni, keskipieni, keski, keskikorkea ja korkea. Vuodenajan vaikutus huomioitiin mallissa kalibroimalla oma sääntökanta kullekin kuukaudelle erikseen. Käytössä oli päivittäisiä hydrologisia havaintoarvoja vuosilta 1980-1992. Vuoden 1989 arvoja käytettiin sääntöjen testaukseen ja loppuja arvoja opetusjoukkona mallin kalibrointialgoritmissa.
Shestra ym. pitävät sumeaa mallia yksinkertaisena, mutta tässä tapauksessa sääntökannan on täytynyt olla hyvin suuri, koska sumeiden joukkojen kombinaatioiden määrä on suuri ja säännöt on tehty vuoden eri jaksoille erikseen.
Hieman vastaavanlaiselle tapaukselle ovat saaneet lupaavia tuloksia Russell ja Campbell (1996). He sovelsivat sumeaa logiikkaa varastoaltaan säännöstelyyn
tavoitteena saada mahdollisimman hyvä tuotto vesivoimasta. Epävarmuustekijöitä mallissa olivat tulovirtaaman suuruus ja energian hinta, joiden arvot generoitiin simulointia varten todennäköisyysjakaumasta. Sääntökannan avulla haluttiin päätellä voimalaitoksen läpi juoksutettava vesimäärä vedenpinnan korkeuden, tulovirtaaman ja energian hinnan perusteella.
Sääntökannan muodostamista varten Russell ja Campbell (1996) optimoivat juoksutuspäätösten sarjan dynaamisella optimoinnilla käyttäen syötteille todennäköisyysjakaumasta generoituja arvoja. Kummankin syötteen vaihteluväli oli katettu viidellä kolmionmuotoisella sumealla joukolla. Sääntökanta muodostettiin kahdella eri menetelmällä. Toinen menetelmistä oli FAM (Fuzzy assotiative map) ja toinen oli analyyttisempi menetelmä, jossa kullekin tulomuuttujien kombinaatiolle laskettiin dynaamisella optimoinnilla optimaalinen juoksutuspäätös. Menetelmiä selostetaan jäljempänä. Sumeasta mallista tehtiin kolme eri versioita käyttäen syötteenä edellisen jakson tulovirtaamaa ja energian hintaa, seuraavan jakson tulovirtaamaa ja energian hintaa (täydellinen ennuste) sekä edellisen jakson tulovirtaamaa ja seuraavan jakson energian hintaa. Energian hinnan ennustettavuuden todettiin olevan merkittävämpi kuin tulovirtaaman ennustettavuus, sillä viimeinen vaihtoehdoista antoi vain vähän poikkeavan tuloksen täydellisen ennusteen tapauksesta. Kummankin syötteen vaihtelu oli yhtä suurta. Tulosten vertailua varten laskettiin maksimaalinen voimataloushyöty säännöstelystä, joka oli tehty dynaamisella optimoinnilla täydellisellä informaatiolla. Näihin tuloksiin eivät sumean mallin antamat tulokset luonnollisestikaan yltäneet, mutta jopa yli 90 prosenttiin niistä. Kun tulovirtaama generoitiin eri vuodenajoille eri jakaumista, sumea logiikka pystyi edelleen hyviin tuloksiin. Tulovirtaaman täydellisen ennusteen käytöllä ei ollut tuloksissa merkittävää parantavaa vaikutusta ja kun ennusteen tarkkuus väheni, se menetti merkityksensä kokonaan.
3.1.2 Jäsenyysfunktioiden ja sääntökannan määrittäminen
Sumean järjestelmän muodostaminen sisältää monta vaihetta. Ratkaistavia ongelmia ovat jäsenyysfunktioiden muoto sekä toistensa peittävyys, sumeiden joukkojen lukumäärä ja sääntöjen muodostaminen (Suharyanto ym. 1997). Erityisesti mallinnettaessa asiantuntijan ajattelua tärkeä lähtökohta niin jäsenyysfunktioiden kuin sääntökannan muodostamiseksi on asiantuntijan mielipide. Jos käytettävissä on riittävän suuri ja edustava joukko havaintoja syötteistä ja niitä vastaavat havainnot tulosteesta, voidaan käyttää skaalausta tai algoritmeja. Havaintoja tulisi olla niin paljon, että ne voidaan jakaa opetusjoukkoon ja testijoukkoon.
Se, millä keinolla sääntökanta muodostetaan, riippuu käytettävissä olevasta tiedosta.
Bärdossy ja Duckstein (1995) ovat esittäneet ratkaisuja eri lähtötilanteille, jotka he luokittelevat seuraavasti:
1. Säännöt ovat asiantuntijan tiedossa ja ne voidaan määrittää suoraan.
2. Asiantuntija pystyy määrittämään säännöt, mutta havaintoarvoja käytetään sääntökannan parantamiseen.
3. Sääntöjä ei suoranaisesti tunneta, mutta asiantuntija pystyy määrittämään systeemissä vaikuttavat tekijät.
4. Käytettävissä on ainoastaan joukko havaintoarvoja, joiden avulla on muodostettava sääntökanta, joka kuvaa syötteiden ja tulosteiden välistä yhteyttä.
Säännöt, joilla on hyvin vähän tai ei lainkaan merkitystä lopputulokseen, voidaan poistaa. Tämä lisää mallin yksinkertaisuutta ja laskentatehokkuutta, mikä on tärkeää sumeassa säädössä. Sääntökannan on kuitenkin pysyttävä täydellisenä. Sääntökannan täydellisyydellä tarkoitetaan sitä, että jokaista mahdollista sääntöjen ehtojen kombinaatiota kohden on olemassa sääntö, jonka seurausosa on ei-tyhjä sumea joukko.
(Bärdossy ja Duckstein 1995)
Kosko (1992) esittää havaintoaineiston sisältämän informaation tallentamiseen sumean assosiatiivisen muistin (FAM, Fuzzy assossiative memory). Assosiatiivinen muisti tallettaa keskenään toisiaan muistuttavat havainnot samaan paikkaan. FAM sisältää oman muistipaikkansa kutakin sääntöä kohden. Käsiteltävät havainnot ovat kaikkien havaintojen joukon osajoukkoja, jotka sisältävät aina toisiaan vastaavat havaittujen syötteiden ja tulosteiden arvot. Kun muistiin talletetaan uusi havainto, sen katsotaan kuuluvan jollain asteella kuhunkin muistipaikkaan riippuen siitä, millä asteella havainnon selittävä osa vastaa kyseistä sääntöä. Muistipaikkaan talletetaan havainnon vastaavuusaste ja havaittu seurausosan arvo. Havaintojen ollessa täsmällisiä lukuja lasketaan lopuksi kutakin sääntöä vastaava seurausosa painotettuna keskiarvona.
Toisinsanoen, mitä enemmän jonkin havainnon ehto-osa vastaa tiettyä sääntöä, sitä enemmän kyseisen havainnon seurausosa vaikuttaa säännön seuraukseen. Syötteiden sumeat joukot on määritettävä etukäteen.
Russell ja Campbell (1996) käyttivät edellämainitussa tutkimuksessa FAM:n ideaa säännöstelyssä seuraavasti: Systeemin syötteitä ovat a\ ja ai ja tuloste b. Indeksi i vastaa muuttujan a\ sumeaa joukkoa ja indeksi j muuttujan o2 sumeaa joukkoa. Koska säännöt muodostuvat syötteiden sumeiden joukkojen kombinaatioista, sääntöjä vastaavien muistipaikkojen ajatellaan muodostavan matriisin bUj. Aluksi syötteiden
arvoalue jaetaan neljään osaan, jotka muodostavat viisi kolmionmuotoista sumeaa joukkoa. Sääntöjen kokonaislukumäärä on siis 5x5 = 25. Havainnon s [tii(s), ci2(s), Z?(s)] selittäjille lasketaan jäsenyysasteet /ijaiis)) ja ^(aifa)) jokaisessa viidessä joukossa. Jäsenyysasteet, jotka ovat pienempiä kuin 0,5, asetetaan nollaksi. Jokaiselle säännölle (ij) lasketaan havaintoa s vastaava painoarvo korottamalla neliöön havaittujen selittäjien jäsenyysasteiden tulo:
VijCs) = [jti(fli(5))'Jtj(a2M)]2 (3.1)
Havaittu tuloste b(s) talletetaan kuhunkin muistipaikkaan ij yhdessä sitä vastaavan painoarvon Vj^s) kanssa. Kun vastaavasti on laskettu painoarvot kaikille havainnoille, lasketaan lopulliset matriisin arvot painotettuna keskiarvona:
^b(s)vij(s)
(3.2) k
Russell ja Campbell huomasivat, että menetelmän antamaa tulos oli parempi, kun suuremman jäsenyysasteen omaavia syötteitä painotettiin enemmän. Tästä syystä ne syötteiden jäsenyysasteet, jotka olivat alle 0,5, asetettiin nollaksi. Tulos parani myös opetusaineiston kokoa lisäämällä.
Hieman FAM:aa muistuttavaa painotettua laskenta-algoritmia ovat käyttäneet Shrestra ym. (1996) vesistön säännöstelyssä sekä Bårdossy ja Disse (1993) pohjaveden liikettä mallintaessaan. Menetelmässä valitaan raja-arvo e<l, jota suuremman vastaavuusasteen saavat havainnot otetaan huomioon kunkin säännön kalibroinnissa.
Syötteiden kolmionmuotoiset jäsenyysfunktiot määritetään etukäteen. Säännön lähtömuuttuja saa kolmionmuotoisen jäsenyysfunktion ($", fr*, $+)T, jossa fr on sääntöä i vastaavaan muistipaikkaan talletetuista lähtömuuttujan arvoista pienin, /J,+
suurin ja fi * kaikkien keskiarvo. (Bårdossy ja Duckstein 1995)
Bårdossy ja Duckstein (1995) esittävät lisäksi pienimmän neliösumman menetelmän.
Sääntöjen vasemmat puolet määritetään jälleen etukäteen. Säännön i seurausosaa merkitään sumeana keskiarvona M(S,), joka on täsmällinen luku. Tavoitteena on valita arvot M(Bj) niin, että kullekin havainnolle lasketun seurauksen ja kyseisen havaitun seurauksen erotus on mahdollisimman pieni. Kun siis käytetään painotettua summaa, minimoitavana on erotusneliösumma
X
X'..v,(rtM(g,)X'„vi<$>
y(3.3)
jossa Vi(^) on havainnon s vastaavuusaste säännön i ehto-osan kanssa b(s) on havainnon j1 seurausosa
Näin saadaan kunkin säännön seurausosaksi täsmällinen arvo samoin kuin FAM:ssa.
Tällöin menetelmän antama tulos on käyttökelpoinen lähinnä käytettäessä Sugenon tyyppistä menetelmää.
Algoritmit toimivat kuitenkin ainoastaan apuna sumean järjestelmän muodostamisessa.
Mallin laatijalle jää sääntökannan muodostamisessa hyvin vaikea osuus, nimittäin muuttujien valinta sekä tulomuuttujien jäsenyysfunktioiden muodostaminen. Jos asiantuntija pystyy määrittämään edes osan säännöistä, voidaan algoritmeja soveltaa pelkästään tuntemattomiin sääntöihin (Bardossy ja Duckstein 1995).
Jos mallinnettavalle ilmiölle on jo olemassa toimiva funktio tai algoritmi, sääntöjen muodostaminen on helpompaa. Syötteille valitaan sellaiset arvot, jotka saavat jäsenyysasteen 1 jossain sumeassa joukossa. Muuttujista muodostetaan kaikkia sääntöjä vastaavat kombinaatiot ja kutakin kombinaatiota kohden lasketaan tulosteen arvo tunnetulla funktiolla. Edellä mainitussa tapauksessa Russell ja Campbell (1996) saivat tällä menetelmällä muodostetulla mallilla jonkin verran parempia tuloksia kuin käyttäessään FAM:aa. Harvoin kuitenkaan täydellisesti toimiva funktio tai algoritmi on käytettävissä.
Muodostettaessa sumeaa sääntökantaa edellisten kaltaisissa esimerkeissä esiin tulee helposti "dimensionaalisuuden kirous". Sääntöjen määrä voi kasvaa kohtuuttomaksi, kun tulomuuttujien määrä kasvaa. Russell ja Campbell (1996) yksinkertaistivat malliaan jättäen vedenkorkeuden pois syötteistä, jolloin tulosteeksi muutettiin tavoitevedenkorkeus, josta juoksutus saatiin laskettua varastoyhtälön ja vesitaseen avulla. Lisäksi tulovirtaaman oletettiin olevan vuodenajasta riippumaton, jolloin eri sääntöjä eri kuukausille ei tarvittu. Sääntöjen määrä väheni 25:een, kun niitä ensimmäisessä oletuksessa oli 125 jokaista kuukautta kohden.
3.2 Sumean logiikan yhdistäminen muihin menetelmiin
Sumean logiikan käyttö on ollut parhaimmillaan säädön sovelluksissa, joissa muuttujien määrä on pieni. Aina systeemiä ei kuitenkaan voida yksinkertaistaa niin paljon, että dimensionaalisuuden kirouksesta päästäisiin eroon. Tällöin systeemi menettää hallittavuutensa ja sumean logiikan etu katoaa. Sen sijaan monimutkaisissakin systeemeissä sumeaa logiikkaa voidaan käyttää hyvin muiden menetelmien tukena. Vesistön säännöstelyssä sumea logiikka ei välttämättä ole vaihtoehto tavallisemmin käytetyille optimointimenetelmille, vaan ne voidaan yhdistää keskenään (Russell ja Campbell 1996). Samoin fysikaalisiin malleihin voidaan yhdistää sumeaa logiikkaa. Näin on mahdollista liittää matemaattisiin menetelmiin inhimillistä asiantuntemusta ja kokemusta sekä saada menetelmistä joustavampia ja helppotajuisempia.
Sumeaa logiikkaa voidaan yhdistää optimointimenetelmiin esimerkiksi käyttämällä varsinaista sumeaa optimointia tai yhdistämällä sääntöpohjainen sumea malli optimointimalliin siten, että esimerkiksi toinen malleista antaa tulosteensa seuraavaan malliin syötteeksi.
3.2.1 Sumea lineaarinen optimointi
Tavanomainen lineaarinen optimointitehtävä voidaan esittää muodossa maksimoi f(x) = cTx
siten että Ax<b
x > 0 (3.4)
Jos tarkastellaan normaalia lineaarista optimointitehtävää, se ei ota minkäänlaista kantaa epävarmuuteen. Kohdefunktio on yksiselitteisesti maksimoitava ja rajoitusfunktioilla on tarkat ylärajat, joita ei saa ylittää. Käytännön päätöstilanteessa, jossa esiintyy sumeutta, tämä ei kuitenkaan täydellisesti vastaa päätöksentekijän tavoitteita. Ensinnäkin, päätöksentekijä ei välttämättä halua nimenomaan maksimoida tai minimoida kohdefunktiota, vaan hän haluaa saavuttaa jonkinlaisen kelvollisen tason, mikä ei ole täsmällisesti määriteltävissä. Toiseksi rajoitusepäyhtälöiden ei välttämättä tarvitse olla niin täsmällisiä kuin ne ovat matemaattisessa mielessä. Olisi hyvä, että ne toteutuisivat, mutta lievä rikkoutuminen voidaan sallia jossain tilanteessa.
(Zimmermann 1996)
Rajoitusehtojen muodostama käypä alue tavanomaisessa lineaarisessa optimoinnissa ja sumeassa lineaarisessa optimoinnissa on esitetty kuvassa 3.1. Tavallinen lineaarinen optimointiongelma (kaava 3.4) voidaan muuttaa sumeaksi LP-malliksi seuraavasti (Zimmermann 1996):
Ratkaise x siten että cTx ^ z AxSb
x>0 (3.5)
jossa z on kohdefunktion tavoitteellinen taso. A on m x n -matriisi. Tämä malli voidaan edelleen kehittää tavanomaisen LP-mallin muotoon, joka voidaan ratkaista tavanomaisella Simplex-algoritmilla (Zimmermann 1996):
max X
s.e. Xpi + B\x < d{ + p\ , i=l,...,m+l
x > 0 (3.6)
Jossa on tehty seuraavat muunnokset:
'-c'
d =
'-z'
A b
V y \ /
Alkuperäinen kohdefunktio siis siirtyy rajoitusehtojen puolelle. Parametrit p* ovat subjektiivisia vaihteluvälejä ja kuvaavat siten ehtojen harmaata aluetta. X kuvaa sitä jäsenyysastetta, jolla ehtojen toteutuminen on tosi. Osa rajoitusehdoista voi toki säilyä
täsmällisinä, jolloin ne pysyvät alkuperäisessä muodossaan myös sumeassa versiossa.
kohdefunktio
optimaalinen ratkaisu
kohdefunktio
optimaalinen ratkaisu
b) 3iX + a2y < b + (1 -X)xAb
Kuva 3.1 Käypä alue a) deterministisessä lineaarisessa optimoinnissa; b) sumeassa lineaarisessa optimoinnissa (Chang ym. 1997).
3.2.2 Sumea dynaaminen optimointi
Myös dynaaminen optimointimenetelmä voidaan sumeuttaa, jolloin tehtävän tavoitteet ja rajoitukset voidaan ilmaista sumeina. Alunperin Bellmanin ja Zadehin vuonna 1970
esittämä malli voidaan muotoilla seuraavasti (Zimmermann 1996):
Merkitään, että de D on (täsmällinen) päätösmuuttuja jax on tilamuuttuja.
Jokaisella päätöstasolla t = 0, ...,N-1 määritellään
sumea rajoitus Ct, joka rajoittaa päätösavaruutta ja jota kuvataan jäsenyysfunktiolla AiCl (d.)
sumea tavoite Gn, jota kuvataan jäsenyysfunktiolla (xN)
Tavoitteena on löytää sellainen päätösmuuttujien joukko D°, jolla sekä kaikki sumeat rajoitukset että sumea kohdefunktio toteutuvat mahdollisimman suurella asteella. Kun joukkojen leikkaus operoidaan minimin avulla, kohdefunktio on maksimoivan päätöksen jäsenyysaste:
Mdo(^o »•••’ dn-\ ) — max{minjjuCo (d0),..., Mc*., (^yv-i)’A^gw_, (xn-\ )}} (3-8)
Kunkin tason tavoitefunktio on
/V, = max{min^Cv , (</„_,),/ZCw (x^)}} (3.9)
joten ratkaisu voidaan suorittaa rekursiivisesti.
Sumeaa dynaamista optimointia säännöstelyssä ovat tutkineet Fontane ym.(1997).
Sumea tavoite oli vedenpinnan sopiva taso syyskuun lopussa. Sumeina rajoituksina käsiteltyjä tavoitteita olivat riittävä vedenhankinta ja tulvasuojelu, tehokas vesivoiman tuotanto, hyvät olosuhteet veneilylle, kajakkiajelulle ja kalastukselle sekä kalakannoille sopiva elinympäristö.
3.2.3 Menetelmien yhdistäminen
Huang (1996) on kehittänyt päätöksenteon tukijärjestelmän, jossa on eri tavoin yhdistetty sumeaa logiikkaa muihin menetelmiin. Mallia sovellettiin Taiwanissa Techi- altaan juoksutuspäätösten tekoon. Altaan käyttötarkoituksia ovat vesivoiman tuottaminen, raakaveden hankinta ja kastelu. Vuotuisesta sadannasta vain 22% ajoittuu
kuivakaudelle eli marraskuulta huhtikuulle. Kuivakaudella vedestä on usein pulaa kaikkien intressitahojen kohdalla ja päätöksenteon tukijärjestelmää tarvitaan, jotta vesi riittäisi mahdollisimman hyvin. Järjestelmä sisälsi kolme osaa: 1) hydrologisen mallin, 2) optimointimallin ja 3) sumean päätöksentekomallin. Hahmontunnistusmenetelmää soveltava hydrologinen malli ennusti tulovirtaaman päätösjaksolle etsimällä havaittujen virtaamien perusteella samankaltaisia jaksoja menneisyydestä.
Tulovirtaamaennusteet syötettiin optimointimallille, joka käytti dynaamista optimointia siten, että päätösmuuttujana oli juoksutus ja tilamuuttujana oli diskretoitu varaston koko. Optimointimalli tuotti joukon käypiä juoksutuksia, joista valittiin sopivin sumealla päätösmallilla.
3.3 Aikasarjan ennustaminen sumean päättelyn avulla
Aikasarjassa on kyse toisiaan seuraavista arvoista, joiden vaihtelu voi olla sekä ajanhetkestä riippuvaa että muista syistä johtuvaa. Hydrologiassa useat tekijät ovat ajasta riippuvia, jolloin niihin sisältyy esim. vuorokausi- tai vuosivaihtelua ja lisäksi muuta vaihtelua. Aikasarja-analyysillä selvitetään havaintojen vaihtelua sekä etsitään syitä säännölliseen ja epäsäännölliseen vaihteluun (Kuusisto ja Laasanen 1986). Kun aikasarjan komponentit tunnetaan, voidaan aikasarjaa ennustaa. Reaaliaikaista vesistön säännöstelyä varten ennusteita voidaan tarvita esimerkiksi tulovirtaamasta ja vedentarpeen suuruudesta.
Yleensä aikasarja-analyysit perustuvat tilastollisiin menetelmiin, mutta Bärdossy ja Duckstein (1995) ovat havainneet, että myös sumeilla säännöillä voidaan kuvata aikasarjan käyttäytymistä. Säännöt voidaan muodostaa siten, että aikasarjan seuraava arvo päätellään aikasarjamuuttujan ja muiden tekijöiden havaintoarvoista. Sumeisiin sääntöihin perustuvaa aikasarjamallia voidaan käyttää hyvin ennustamiseen, kun käytettävissä on eri tekijöiden havaintoarvoja tai ennusteita. Aikasarjan ominaisuuksien esittäminen sääntökannan muodossa voi olla yksinkertaisempaa kuin sopivan tilastomatemaattisen menetelmän löytäminen ja soveltaminen. Toinen etu käytettäessä sumeaa logiikkaa on mahdollisuus käyttää ennustamisessa hyväksi epätäsmällistä tietoa (Bärdossy ja Duckstein 1995).
Bärdossy ja Duckstein (1995) esittävät sumean päättelyn sovelluksen vedenkulutuksen päivittäiseen ennustamiseen. Sääntöjen ehto-osaan valittiin viikonpäivä (arkipäivä/lauantai/sunnuntai), päivän maksimilämpötila ja edeltävien päivien yleiset sääolosuhteet (kuivan jakson pituus). Säännön antama tulos korjattiin vielä edellisen
