Sääntöpohjainen sumea malli säännöstelyssä

Vesistön reaaliaikaista säännöstelyä voidaan pitää eräänlaisena säätötehtävänä.

Vedenpinnan korkeuden suhteen palaute päätöksen vaikutuksesta saadaan jo saman jakson lopussa, jolloin päätöstä seuraavalle jaksolle tehdään. Sen sijaan juoksutuksen vaikutus alempana vesistössä näkyy viiveellä, jonka pituus voi olla esimerkiksi useita päiviä.

3.1.1 Tutkimuksia vesistön säännöstelyssä

Kirjallisuudesta on löydettävissä muutama tutkimus, jotka koskevat juoksutuspäätösten tekoa sumean sääntöpohjaisen mallin avulla.

Shestra ym. (1996) ovat mallintaneet juoksutuspäätösten tekoa sumealla logiikalla Tenkiller-järvelle Oklahomassa. Säännöstelyn päätavoitteita kyseisellä järvellä ovat tulvasuojelu ja vesivoiman tuotanto. Muita tavoitteita ovat vedenhankinta, virkistyskäyttö sekä kalakantojen ja luonnon suojelu. Epävarmuutta aiheuttavia tekijöitä ovat hydrologiset tekijät ja vedentarpeen suuruus. Sumea sääntökanta muodostettiin ajatellen, että tarpeen tullen veden käyttöä rajoitetaan aina tarpeeksi ajoissa niin, että vettä riittää kuivallakin jaksolla. Tapauksessa syötteitä olivat havaittu vedenpinnan korkeus, ennustettu tulovirtaama, vuodenaika ja ennustettu vesivoiman tarve. Tuloste oli jakson aikana juoksutettava vesimäärä. Lukuarvoja saavien muuttujien jäsenyysfunktiot asetettiin kolmionmuotoisiksi. Vedenpinnan korkeuden vaihteluväli jaettiin yhdeksäksi sumeaksi joukoksi ja tulovirtaaman kahdeksaksi sumeaksi joukoksi. Vesivoiman ennustettu tarve sai viisi täsmällistä arvoa: pieni, keskipieni, keski, keskikorkea ja korkea. Vuodenajan vaikutus huomioitiin mallissa kalibroimalla oma sääntökanta kullekin kuukaudelle erikseen. Käytössä oli päivittäisiä hydrologisia havaintoarvoja vuosilta 1980-1992. Vuoden 1989 arvoja käytettiin sääntöjen testaukseen ja loppuja arvoja opetusjoukkona mallin kalibrointialgoritmissa.

Shestra ym. pitävät sumeaa mallia yksinkertaisena, mutta tässä tapauksessa sääntökannan on täytynyt olla hyvin suuri, koska sumeiden joukkojen kombinaatioiden määrä on suuri ja säännöt on tehty vuoden eri jaksoille erikseen.

Hieman vastaavanlaiselle tapaukselle ovat saaneet lupaavia tuloksia Russell ja Campbell (1996). He sovelsivat sumeaa logiikkaa varastoaltaan säännöstelyyn

tavoitteena saada mahdollisimman hyvä tuotto vesivoimasta. Epävarmuustekijöitä mallissa olivat tulovirtaaman suuruus ja energian hinta, joiden arvot generoitiin simulointia varten todennäköisyysjakaumasta. Sääntökannan avulla haluttiin päätellä voimalaitoksen läpi juoksutettava vesimäärä vedenpinnan korkeuden, tulovirtaaman ja energian hinnan perusteella.

Sääntökannan muodostamista varten Russell ja Campbell (1996) optimoivat juoksutuspäätösten sarjan dynaamisella optimoinnilla käyttäen syötteille todennäköisyysjakaumasta generoituja arvoja. Kummankin syötteen vaihteluväli oli katettu viidellä kolmionmuotoisella sumealla joukolla. Sääntökanta muodostettiin kahdella eri menetelmällä. Toinen menetelmistä oli FAM (Fuzzy assotiative map) ja toinen oli analyyttisempi menetelmä, jossa kullekin tulomuuttujien kombinaatiolle laskettiin dynaamisella optimoinnilla optimaalinen juoksutuspäätös. Menetelmiä selostetaan jäljempänä. Sumeasta mallista tehtiin kolme eri versioita käyttäen syötteenä edellisen jakson tulovirtaamaa ja energian hintaa, seuraavan jakson tulovirtaamaa ja energian hintaa (täydellinen ennuste) sekä edellisen jakson tulovirtaamaa ja seuraavan jakson energian hintaa. Energian hinnan ennustettavuuden todettiin olevan merkittävämpi kuin tulovirtaaman ennustettavuus, sillä viimeinen vaihtoehdoista antoi vain vähän poikkeavan tuloksen täydellisen ennusteen tapauksesta. Kummankin syötteen vaihtelu oli yhtä suurta. Tulosten vertailua varten laskettiin maksimaalinen voimataloushyöty säännöstelystä, joka oli tehty dynaamisella optimoinnilla täydellisellä informaatiolla. Näihin tuloksiin eivät sumean mallin antamat tulokset luonnollisestikaan yltäneet, mutta jopa yli 90 prosenttiin niistä. Kun tulovirtaama generoitiin eri vuodenajoille eri jakaumista, sumea logiikka pystyi edelleen hyviin tuloksiin. Tulovirtaaman täydellisen ennusteen käytöllä ei ollut tuloksissa merkittävää parantavaa vaikutusta ja kun ennusteen tarkkuus väheni, se menetti merkityksensä kokonaan.

3.1.2 Jäsenyysfunktioiden ja sääntökannan määrittäminen

Sumean järjestelmän muodostaminen sisältää monta vaihetta. Ratkaistavia ongelmia ovat jäsenyysfunktioiden muoto sekä toistensa peittävyys, sumeiden joukkojen lukumäärä ja sääntöjen muodostaminen (Suharyanto ym. 1997). Erityisesti mallinnettaessa asiantuntijan ajattelua tärkeä lähtökohta niin jäsenyysfunktioiden kuin sääntökannan muodostamiseksi on asiantuntijan mielipide. Jos käytettävissä on riittävän suuri ja edustava joukko havaintoja syötteistä ja niitä vastaavat havainnot tulosteesta, voidaan käyttää skaalausta tai algoritmeja. Havaintoja tulisi olla niin paljon, että ne voidaan jakaa opetusjoukkoon ja testijoukkoon.

Se, millä keinolla sääntökanta muodostetaan, riippuu käytettävissä olevasta tiedosta.

Bärdossy ja Duckstein (1995) ovat esittäneet ratkaisuja eri lähtötilanteille, jotka he luokittelevat seuraavasti:

1. Säännöt ovat asiantuntijan tiedossa ja ne voidaan määrittää suoraan.

2. Asiantuntija pystyy määrittämään säännöt, mutta havaintoarvoja käytetään sääntökannan parantamiseen.

3. Sääntöjä ei suoranaisesti tunneta, mutta asiantuntija pystyy määrittämään systeemissä vaikuttavat tekijät.

4. Käytettävissä on ainoastaan joukko havaintoarvoja, joiden avulla on muodostettava sääntökanta, joka kuvaa syötteiden ja tulosteiden välistä yhteyttä.

Säännöt, joilla on hyvin vähän tai ei lainkaan merkitystä lopputulokseen, voidaan poistaa. Tämä lisää mallin yksinkertaisuutta ja laskentatehokkuutta, mikä on tärkeää sumeassa säädössä. Sääntökannan on kuitenkin pysyttävä täydellisenä. Sääntökannan täydellisyydellä tarkoitetaan sitä, että jokaista mahdollista sääntöjen ehtojen kombinaatiota kohden on olemassa sääntö, jonka seurausosa on ei-tyhjä sumea joukko.

(Bärdossy ja Duckstein 1995)

Kosko (1992) esittää havaintoaineiston sisältämän informaation tallentamiseen sumean assosiatiivisen muistin (FAM, Fuzzy assossiative memory). Assosiatiivinen muisti tallettaa keskenään toisiaan muistuttavat havainnot samaan paikkaan. FAM sisältää oman muistipaikkansa kutakin sääntöä kohden. Käsiteltävät havainnot ovat kaikkien havaintojen joukon osajoukkoja, jotka sisältävät aina toisiaan vastaavat havaittujen syötteiden ja tulosteiden arvot. Kun muistiin talletetaan uusi havainto, sen katsotaan kuuluvan jollain asteella kuhunkin muistipaikkaan riippuen siitä, millä asteella havainnon selittävä osa vastaa kyseistä sääntöä. Muistipaikkaan talletetaan havainnon vastaavuusaste ja havaittu seurausosan arvo. Havaintojen ollessa täsmällisiä lukuja lasketaan lopuksi kutakin sääntöä vastaava seurausosa painotettuna keskiarvona.

Toisinsanoen, mitä enemmän jonkin havainnon ehto-osa vastaa tiettyä sääntöä, sitä enemmän kyseisen havainnon seurausosa vaikuttaa säännön seuraukseen. Syötteiden sumeat joukot on määritettävä etukäteen.

Russell ja Campbell (1996) käyttivät edellämainitussa tutkimuksessa FAM:n ideaa säännöstelyssä seuraavasti: Systeemin syötteitä ovat a\ ja ai ja tuloste b. Indeksi i vastaa muuttujan a\ sumeaa joukkoa ja indeksi j muuttujan o2 sumeaa joukkoa. Koska säännöt muodostuvat syötteiden sumeiden joukkojen kombinaatioista, sääntöjä vastaavien muistipaikkojen ajatellaan muodostavan matriisin bUj. Aluksi syötteiden

arvoalue jaetaan neljään osaan, jotka muodostavat viisi kolmionmuotoista sumeaa joukkoa. Sääntöjen kokonaislukumäärä on siis 5x5 = 25. Havainnon s [tii(s), ci²(s), Z?(s)] selittäjille lasketaan jäsenyysasteet /ijaiis)) ja ^(aifa)) jokaisessa viidessä joukossa. Jäsenyysasteet, jotka ovat pienempiä kuin 0,5, asetetaan nollaksi. Jokaiselle säännölle (ij) lasketaan havaintoa s vastaava painoarvo korottamalla neliöön havaittujen selittäjien jäsenyysasteiden tulo:

VijCs) = [jti(fli(5))'Jtj(a2M)]2 (3.1)

Havaittu tuloste b(s) talletetaan kuhunkin muistipaikkaan ij yhdessä sitä vastaavan painoarvon Vj^s) kanssa. Kun vastaavasti on laskettu painoarvot kaikille havainnoille, lasketaan lopulliset matriisin arvot painotettuna keskiarvona:

^b(s)vij(s)

(3.2) k

Russell ja Campbell huomasivat, että menetelmän antamaa tulos oli parempi, kun suuremman jäsenyysasteen omaavia syötteitä painotettiin enemmän. Tästä syystä ne syötteiden jäsenyysasteet, jotka olivat alle 0,5, asetettiin nollaksi. Tulos parani myös opetusaineiston kokoa lisäämällä.

Hieman FAM:aa muistuttavaa painotettua laskenta-algoritmia ovat käyttäneet Shrestra ym. (1996) vesistön säännöstelyssä sekä Bårdossy ja Disse (1993) pohjaveden liikettä mallintaessaan. Menetelmässä valitaan raja-arvo e<l, jota suuremman vastaavuusasteen saavat havainnot otetaan huomioon kunkin säännön kalibroinnissa.

Syötteiden kolmionmuotoiset jäsenyysfunktiot määritetään etukäteen. Säännön lähtömuuttuja saa kolmionmuotoisen jäsenyysfunktion ($", fr*, $+)T, jossa fr on sääntöä i vastaavaan muistipaikkaan talletetuista lähtömuuttujan arvoista pienin, /J,+

suurin ja fi * kaikkien keskiarvo. (Bårdossy ja Duckstein 1995)

Bårdossy ja Duckstein (1995) esittävät lisäksi pienimmän neliösumman menetelmän.

Sääntöjen vasemmat puolet määritetään jälleen etukäteen. Säännön i seurausosaa merkitään sumeana keskiarvona M(S,), joka on täsmällinen luku. Tavoitteena on valita arvot M(Bj) niin, että kullekin havainnolle lasketun seurauksen ja kyseisen havaitun seurauksen erotus on mahdollisimman pieni. Kun siis käytetään painotettua summaa, minimoitavana on erotusneliösumma

X

X'„vi<$>

(3.3)

jossa Vi(^) on havainnon s vastaavuusaste säännön i ehto-osan kanssa b(s) on havainnon j1 seurausosa

Näin saadaan kunkin säännön seurausosaksi täsmällinen arvo samoin kuin FAM:ssa.

Tällöin menetelmän antama tulos on käyttökelpoinen lähinnä käytettäessä Sugenon tyyppistä menetelmää.

Algoritmit toimivat kuitenkin ainoastaan apuna sumean järjestelmän muodostamisessa.

Mallin laatijalle jää sääntökannan muodostamisessa hyvin vaikea osuus, nimittäin muuttujien valinta sekä tulomuuttujien jäsenyysfunktioiden muodostaminen. Jos asiantuntija pystyy määrittämään edes osan säännöistä, voidaan algoritmeja soveltaa pelkästään tuntemattomiin sääntöihin (Bardossy ja Duckstein 1995).

Jos mallinnettavalle ilmiölle on jo olemassa toimiva funktio tai algoritmi, sääntöjen muodostaminen on helpompaa. Syötteille valitaan sellaiset arvot, jotka saavat jäsenyysasteen 1 jossain sumeassa joukossa. Muuttujista muodostetaan kaikkia sääntöjä vastaavat kombinaatiot ja kutakin kombinaatiota kohden lasketaan tulosteen arvo tunnetulla funktiolla. Edellä mainitussa tapauksessa Russell ja Campbell (1996) saivat tällä menetelmällä muodostetulla mallilla jonkin verran parempia tuloksia kuin käyttäessään FAM:aa. Harvoin kuitenkaan täydellisesti toimiva funktio tai algoritmi on käytettävissä.

Muodostettaessa sumeaa sääntökantaa edellisten kaltaisissa esimerkeissä esiin tulee helposti "dimensionaalisuuden kirous". Sääntöjen määrä voi kasvaa kohtuuttomaksi, kun tulomuuttujien määrä kasvaa. Russell ja Campbell (1996) yksinkertaistivat malliaan jättäen vedenkorkeuden pois syötteistä, jolloin tulosteeksi muutettiin tavoitevedenkorkeus, josta juoksutus saatiin laskettua varastoyhtälön ja vesitaseen avulla. Lisäksi tulovirtaaman oletettiin olevan vuodenajasta riippumaton, jolloin eri sääntöjä eri kuukausille ei tarvittu. Sääntöjen määrä väheni 25:een, kun niitä ensimmäisessä oletuksessa oli 125 jokaista kuukautta kohden.