Algebrallisista käyristä

Tampereen yliopisto Pro gradu -tutkielma

Heidi Kalliojärvi

Algebrallisista käyristä

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka

Elokuu 2009

Tampereen yliopisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos

KALLIOJÄRVI, HEIDI: Algebrallisista käyristä Pro gradu -tutkielma, 79 s.

Matematiikka Elokuu 2009

Tiivistelmä

Tässä tutkielmassa käsitellään algebrallisten tasokäyrien teoriaa. Tarkastelu rajoitetaan tapahtuvaksi yli algebrallisesti suljetun kunnan. Työssä keskitytään varsinkin säännöl- lisiin projektiivisiin tasokäyriin, koska niillä on erityisiä ominaisuuksia ja käyttöä esi- merkiksi koodausteoriassa.

Liikkeelle lähdetään affiinin ja projektiivisen tasokäyrän määritelmistä. Tasokäyrien määrittelyyn liittyvien tarkastelujen jälkeen tutustutaan Noetherin renkaisiin, diskreet- teihin valuaatiorenkaisiin lokaaleine parametreineen sekä tietyssä käyrän pisteessä mää- riteltyihin rationaalifunktioihin. Rationaalifunktioiden osalta keskitytään paljolti niiden napoihin ja nollakohtiin. Lisäksi esitellään säännöllisen projektiivisen käyrän divisorit.

Divisori määrää aina tietyn vektoriavaruuden, jonka ominaisuuksiin myös perehdytään.

Eräs tutkielman päätavoitteista on pyrkiä löytämään yhteyksiä edellä mainittujen kä- sitteiden välille.

Tutkielmassa esiteltäviä keskeisiä tuloksia ovat muun muassa Noetherin renkaita koskeva Hilbertin kantalause, rationaalifunktioita käsittelevä heikko approksimaatio- lause sekä divisoreihin liittyvä Riemannin lause.

Tutkielman lukemista helpottaa, mikäli lukijalla on esitietoinaan kurssi Algebra II.

Asiasanat: algebralliset käyrät, algebrallinen geometria

Sisältö

Johdanto 1

1 Algebrallisen geometrian peruskäsitteitä 2

1.1 Kuntateorian alkeita . . . 2

1.2 Affiini tasokäyrä . . . 5

1.3 Homogeeniset polynomit . . . 5

1.4 Affiini koordinaattimuunnos ja affiinin tasokäyrän tangentti . . . 9

1.5 Affiinin tasokäyrän säännöllisyys . . . 17

1.6 Koordinaattirengas . . . 18

1.7 Rationaalifunktiot . . . 19

2 Affiinista tasosta projektiiviseen tasoon 21 2.1 Projektiivinen avaruus . . . 21

2.2 Projektiivinen tasokäyrä . . . 22

2.3 Homogeeninen koordinaattirengas ja funktiokunta . . . 23

2.4 Projektiivinen koordinaattimuunnos . . . 28

2.5 Projektiivisen tasokäyrän säännöllisyys . . . 31

3 Algebrallisista käyristä 33 3.1 Noetherin rengas . . . 33

3.2 Maksimaalinen ideaali ja lokaali rengas . . . 36

3.3 Diskreetti valuaatiorengas . . . 38

3.4 Lokaali rengas O_P(C). . . 49

3.5 Heikko approksimaatiolause . . . 59

4 Divisorit 66 4.1 Yleistietoa divisoreista . . . 66

4.2 VektoriavaruusL(D) . . . 69

4.3 Riemannin lause . . . 77

Johdanto

Tässä Pro gradu -tutkielmassa tarkastellaan eräitä algebrallisia käyriä koskevia tulok- sia. Lukijan oletetaan hallitsevan melko laajat algebran perustiedot. Varsinkin kunta- ja rengasteorian tuntemus on lukijalle avuksi. Tutkielman lähdemateriaalina on käytetty pääasiassa William Fultonin teosta Algebraic Curves. Täydentävinä teoksina toimivat Henning Stichtenothin kirja Algebraic Function Fields and Codes sekä tähän pohjau- tuva Eero Hyryn luentomoniste Koodausteoria ja algebralliset käyrät. Työssä tutkitaan algebrallisia käyriä yleisellä tasolla. Erityisiin käyrätyyppeihin, kuten elliptisiin ja hy- perelliptisiin käyriin, ei erikseen syvennytä. Elliptisistä käyristä löytyy tietoa esimer- kiksi kirjasta [9]. Artikkelin [10] avulla pääsee alkuun hyperelliptisten käyrien parissa.

Algebrallisiin käyriin liittyviä sovelluksia käytetään muun muassa koodausteoriassa.

Ensimmäisessä luvussa käydään läpi työssä tarvittavia esitietoja ja peruskäsitteitä.

Aluksi suoritetaan tarkasteluja affiinissa tasossa. Pelkästään affiineja tasokäyriä käyttä- mällä ei kuitenkaan päästä käsiksi kaikkiin työn kannalta olennaisiin tuloksiin. Toisessa luvussa tarkastelunäkökulmaa laajennetaankin affiinista tasosta projektiiviseen tasoon.

Tämän jälkeen affiineja ja projektiivisia käyriä kuljetetaan rinnakkain tutkielman ede- tessä.

Kolmannessa luvussa määritellään ensiksi Noetherin rengas ja esitetään muun muas- sa Hilbertin kantalause sekä joitakin muita Noetherin renkaan ominaisuuksia. Tämän jälkeen esitellään diskreetti valuaatiorengas kertalukufunktioineen. Luvussa perehdy- tään myös rationaalifunktioihin ja lokaaliin renkaaseen O_P(C). Rationaalifunktioita koskevista tuloksista mainittakoon tässä heikko approksimaatiolause. Selvitetään, mil- laisia mahdollisia yhteyksiä on Noetherin renkailla, diskreeteillä valuaatiorenkailla, sään- nöllisillä pisteillä sekä annetussa käyrän pisteessä määritellyillä rationaalifunktioilla.

Tarkastelun pohjana toimii jokin algebrallinen tasokäyrä.

Neljännessä luvussa liitetään säännöllisen projektiivisen käyrän divisorit osaksi edel- lä käsiteltyä teoriaa. Divisorit tarjoavat uusia työkaluja päästä käsiksi muun muassa ra- tionaalifunktion napoihin ja nollakohtiin. Erityisesti tutkitaan divisorinD määräämää vektoriavaruutta L(D). Myös avaruudenL(D)dimensio `(D) on keskeisellä sijalla tar- kasteluissa. Lopuksi esitetään Riemannin lause säännölliselle projektiiviselle tasokäy- rälle yli algebrallisesti suljetun kunnan.

1 Algebrallisen geometrian peruskäsitteitä

Tässä luvussa esitellään työssä tarvittavia termejä ja käsitteitä. Renkaasta puhuttaessa tarkoitetaan aina kommutatiivista ykkösellistä rengasta.

1.1 Kuntateorian alkeita

Määritelmä 1.1 Jos K on kunnan L alikunta, sanotaan, ettäL on kunnan K laajen- nus. Tälle käytetään merkintää L/K.

Määritelmä 1.2 Kunnan k sanotaan olevan algebrallisesti suljettu, jos jokaisella va- kiopolynomista eroavalla polynomilla F ∈k[X] on juuri kunnassa k.

Alkion algebrallisuus on eräs kuntateorian keskeisimmistä käsitteistä:

Määritelmä 1.3 Olkoon R renkaan S alirengas. Sanotaan, että alkio v ∈S on koko- nainen yli renkaan R, jos on olemassa sellainen pääpolynomi

F(X) = Xⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+. . .+a₁X+a₀ ∈R[X],

että F(v) = 0. Jos R =K ja S =L ovat kuntia, sanotaan, että v on algebrallinen yli kunnan K. Mikäli v ei ole algebrallinen yli kunnan K, sanotaan, että v on transken- denttinen yli kunnan K.

Määritelmä 1.4 Olkoon L/K kuntalaajennus. Sanotaan, että L on kunnan K al- gebrallinen laajennus, jos jokainen v ∈L on algebrallinen yli kunnan K.

Määritelmä 1.5 Olkoon R renkaan S alirengas ja v₁, . . . v_n ∈ S. Tarkastellaan sijoi- tushomomorfismia

ϕ:R[X₁, . . . , X_n]−→S, G7→G(v₁, . . . , v_n).

Määritellään, että

R[v1, . . . , vn] =Im(ϕ).

Havaitaan, että R[v₁, . . . , v_n] on suppein sellainen renkaan S alirengas, joka sisältää renkaan R ja alkiot v₁, . . . , v_n.

Määritelmä 1.6 Olkoon L/K kuntalaajennus. Jos v₁, . . . v_n ∈ L, niin merkinnällä K(v₁, . . . , v_n)tarkoitetaan suppeinta sellaista kunnan Lalikuntaa, joka sisältää kunnan K ja alkiot v₁, . . . , v_n.

Nyt

K(v₁, . . . , v_n) =

(G(v₁, . . . , v_n)

H(v₁, . . . , v_n)|G, H ∈K[X₁, . . . , X_n], H(v₁, . . . , v_n)6= 0)

)

.

Määritelmä 1.7 Olkoon L/K kuntalaajennus. Sanotaan, että L on kunnan K äärel- lisesti generoitu laajennus, jos on olemassa sellaiset alkiot v1, . . . , vn ∈L, että

L=K(v1, . . . , vn).

Apulause 1.1 Olkoon L/K kuntalaajennus ja x, y ∈L. Nyt K(x)(y) = K(x, y).

Todistus. Koska määritelmän 1.6 mukaan K ⊆ K(x, y) ja x ∈ K(x, y), niin K(x) ⊆ K(x, y). Samalla tavoin nähdään, että koska K(x) ⊆ K(x, y) ja y ∈ K(x, y), niin K(x)(y)⊆K(x, y). Määritelmän 1.6 mukaisestiK(x, y)on suppein kunnan Lalikunta, joka sisältää kunnan K ja alkiot x, y. Tämä tarkoittaa, että K(x)(y) = K(x, y).

2

Määritelmä 1.8 OlkoonL/Kkuntalaajennus. KunnanLdimensiotaK-vektoriavaruutena kutsutaan kuntalaajennuksen L/K asteeksi. Sille käytetään merkintää [L:K].

Apulause 1.2 Mikäli M/L ja L/K ovat kuntalaajennuksia, on voimassa yhtälö [M :K] = [M :L][L:K].

Todistus. Sivuutetaan. Todistus löytyy kirjasta [6, s.498].

2

Määritelmä 1.9 Olkoon L/K kuntalaajennus. Sanotaan, että L on kunnan K äärel- linen laajennus, mikäli [L:K]<∞.

Tunnetusti äärellinen laajennus on aina myös algebrallinen [7, s.188].

Apulause 1.3 Olkoon L/K kuntalaajennus. Alkio α ∈ L on algebrallinen yli kunnan K, jos ja vain jos [K(α) :K]<∞.

Todistus. Sivuutetaan. Todistus löytyy teoksesta [7, s.379]

2

Apulause 1.4 Olkoon K kokonaisalueen R osamääräkunta ja L/K äärellinen laajen- nus.

a) Jokaista v ∈ L kohti on olemassa sellainen 0 6= a ∈ R, että av on kokonainen yli kokonaisalueen R.

b) On olemassa sellainen vektoriavaruuden L kanta {v₁, . . . , v_n} yli kunnan K, että jokainen v_i (i= 1, . . . , n) on kokonainen yli kokonaisalueen R.

Todistus. a) Koska L/K on algebrallinen laajennus, niin määritelmän 1.4 mukaisesti kukinv ∈L on algebrallinen yli kunnanK. Määritelmän 1.3 perusteella jokaistav ∈L kohti löytyy sellainen pääpolynomi

F(X) =Xⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+. . .+a₁X+a₀ ∈K[X],

että F(v) = 0. Koska F ∈ K[X] ja K on kokonaisalueen R osamääräkunta, jokainen a_i (i = 0,1, . . . , n−1) pystytään esittämään muodossa a_i = b_i/c_i, missä b_i, c_i ∈ R ja c_i 6= 0. Voidaan siis kirjoittaa

vⁿ+bn−1

cn−1

vⁿ⁻¹+ bn−2

cn−2

vⁿ⁻²+. . .+b₁ c₁v +b₀

c₀ = 0.

Asetetaan a=c₀c₁· · ·cn−1. Nyt aⁿ vⁿ+bn−1

c_n−1vⁿ⁻¹+bn−2

c_n−2vⁿ⁻²+. . .+ b₁ c₁v+ b₀

c₀

!

= 0 eli

(av)ⁿ+abn−1

cn−1

(av)ⁿ⁻¹+a²bn−2

cn−2

(av)ⁿ⁻²+. . .+ aⁿ⁻¹b1

c₁ (av) + aⁿb0

c₀ = 0.

Merkitään

G(X) = Xⁿ+ abn−1

cn−1

Xⁿ⁻¹ +a²bn−2

cn−2

Xⁿ⁻²+. . .+ aⁿ⁻¹b₁ c1

X+aⁿb₀ c0

.

Alkion a valinnasta johtuu, että polynomin G kertoimista saadaan supistettua pois nimittäjät c₀, . . . , cn−1 . Täten G(X) ∈ R[X]. Koska lisäksi G on pääpolynomi ja G(av) = 0, määritelmän 1.3 mukaan av on kokonainen yli kokonaisalueen R.

b) Koska[L:K]<∞, on olemassa vektoriavaruudenLäärellinen kanta{x₁, . . . , x_n} yli kunnan K. Nyt x₁, . . . , x_n ∈L, joten a)-kohdan perusteella jokaista alkiota x_i (i= 1, . . . , n), kohti löytyy sellainen 06=ai ∈R, ettäaixi on kokonainen yli kokonaisalueen R.

Näytetään, että myös joukko {a₁x₁, . . . , a_nx_n} muodostaa vektoriavaruuden Lkan- nan yli kunnan K. Riittää osoittaa, että alkiot a_ix_i (i = 1, . . . , n), ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnan K. Tarkastellaan relaatiota

b₁(a₁x₁) +. . .+b_n(a_nx_n) = 0, missä b1, . . . , bn ∈K. Tämä on sama asia kuin yhtälö

(b₁a₁)x₁+. . .+ (b_na_n)x_n= 0.

Koska alkiotx_i ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnanK, onb_ia_i = 0kaikillai= 1, . . . , n. Mutta koska oletuksen mukaan a_i 6= 0 kaikilla i = 1, . . . , n, niin välttämättä b_i = 0 kaikillai= 1, . . . , n. Tämä todistaa väitteen, kun asetetaan v_i =a_ix_i.

2

1.2 Affiini tasokäyrä

Intuitiivisesti ajateltuna ’algebrallinen tasokäyrä’ ymmärretään jonkin polynomin nol- lakohtien joukkona. Kun siirrytään tutkimaan algebrallisia tasokäyriä, on mielekästä tarkastella niitä yli algebrallisesti suljetun kunnank. Voidaan ensinnäkin osoittaa, että algebrallisesti suljettu kunta on aina ääretön [14, s.1]. Pelkkä kunnan äärettömyys ei sinänsä vielä kuitenkaan riitä takaamaan, että tasokäyrä eroaisi tyhjästä joukosta: ei tiedetä, ’paljonko’ tarkasteltavalla käyrällä on pisteitä. Voidaan kuitenkin osoittaa, että kun käyrän pisteiden koordinaatit sijaitsevat algebrallisesti suljetussa kunnassa, käyrän määräävä pistejoukko on ääretön [7, s.379]. Tästä eteenpäin kunnank oletetaan olevan algebrallisesti suljettu. Annetaan seuraava täsmällinen määritelmä:

Määritelmä 1.10 Olkoon F ∈ k[X, Y] jaoton polynomi. Polynomin F nollakohtien joukkoa

C={(a, b)∈k²|F(a, b) = 0}

kutsutaan polynomin F määräämäksi affiiniksi tasokäyräksi yli kunnan k.

1.3 Homogeeniset polynomit

Eräs tämän tutkielman keskeisimmistä käsitteistä on homogeenisen polynomin käsite:

Määritelmä 1.11 OlkoonRkokonaisalue sekän ∈Z₊. PolynominF ∈R[X₁, . . . , X_n] sanotaan olevan d-asteinen homogeeninen polynomi eli muoto, jos polynomin F jokai- nen nollasta eroava termi on astetta d.

Nollapolynomissa ei ole termejä, joten se on homogeeninen astetta n kaikilla n∈N.

Määritelmä 1.12 Olkoon F ∈R[X₁, . . . , X_n]. Kirjoitetaan F =F₀+F₁+. . .+F_d,

missäd=deg(F)ja kukin F_i ∈R[X₁, . . . , X_n]on homogeeninen astettai(i= 1, . . . , d).

Määritellään polynomi F^∗ ∈R[X₁, . . . , X_n+1] seuraavasti:

F^∗ =X_n+1^d F0+X_n+1^d−1F1+. . .+Fd=X_n+1^d F(X1/Xn+1, . . . , Xn/Xn+1).

Menettelyä kutsutaan homogenisoinniksi ja polynomia F^∗ polynomin F homogenisaa- tioksi muuttujan X_n+1 suhteen.

Määritelmästä 1.12 todetaan ensinnäkin, että

F(X1/Xn+1, . . . , Xn/Xn+1)∈R[X1/Xn+1, ..., Xn/Xn+1].

Lisäksi huomataan, ettäF^∗ on todellakin homogeeninen astettad. Määritelmästä 1.12 nähdään myös, että mikäli G∈R[X₁, . . . , X_n+1] on homogeeninen astetta e, niin

G(X₁/X_n+1, . . . , X_n/X_n+1,1) =G/X_n+1^e .

Vastaavasti homogeenisesta polynomista saadaan ’tavallinen’ polynomi:

Määritelmä 1.13 OlkoonF ∈R[X₁, . . . , X_n+1]homogeeninen polynomi. Määritellään polynomi F∗ ∈R[X₁, . . . , Xi−1, X_i+1, . . . , X_n+1] seuraavasti:

F_∗ =F(X₁, . . . , X_i−1,1, X_i+1, . . . , X_n+1).

Menettelyä kutsutaan dehomogenisoinniksi ja polynomia F∗ polynomin F dehomogeni- saatioksi muuttujan X_i suhteen.

Tarkastelujen helpottamiseksi homogenisointi ja dehomogenisointi suoritetaan jatkossa muuttujan X_n+1 suhteen.

Apulause 1.5 Homogenisoinnilla ja dehomogenisoinnilla on seuraavat ominaisuudet:

a) Olkoot F, G∈R[X₁, . . . , X_n+1] homogeenisia. Nyt (F G)∗ =F∗G∗. b) Olkoot F, G∈R[X₁, . . . , X_n]. Nyt (F G)^∗ =F^∗G^∗.

Todistus. a) Määritelmän 1.13 mukaan

(F G)∗ = (F G)(X1, . . . , Xn,1) =F(X1, . . . , Xn,1)G(X1, . . . , Xn,1) =F∗G∗. b) Käyttämällä määritelmää 1.12 nähdään, että

(F G)^∗ =X_n+1^{deg(F G)}(F G)(X₁/X_n+1, . . . , X_n/X_n+1).

Koska R on kokonaisalue, on voimassa deg(F G) = deg(F) +deg(G). Näin ollen yllä olevasta tulee edelleen esitys

X_n+1^{deg(F)+deg(G)}F(X₁/X_n+1, . . . , X_n/X_n+1)G(X₁/X_n+1, . . . , X_n/X_n+1), joka voidaan lausua muodossa

X_n+1^deg(F)F(X₁/X_n+1, . . . , X_n/X_n+1)X_n+1^deg(G)G(X₁/X_n+1, . . . , X_n/X_n+1).

Viimeksi saatu lauseke on määritelmän 1.12 mukaisesti F^∗G^∗.

2

Apulause 1.6 Homogenisoinnilla ja dehomogenisoinnilla on seuraavat ominaisuudet:

a) Olkoon F ∈ R[X₁, . . . , X_n+1] homogeeninen ja r korkein sellainen muuttujan X_n+1 potenssi, että X_n+1^r jakaa polynomin F. Nyt X_n+1^r (F∗)^∗ =F.

b) Olkoon F ∈R[X₁, . . . , X_n]. Nyt (F^∗)_∗ =F. Todistus. a) Kirjoitetaan d=deg(F) ja

F =X_n+1^d F₀+X_n+1^d−1F₁ +. . .+X_n+1^r Fd−r,

missä kukin F_i ∈ R[X₁, . . . , X_n] on homogeeninen astetta i (i = 0, . . . , d−r). Tällöin määritelmästä 1.13 saadaan

F∗ =F₀+F₁ +. . .+Fd−r

ja edelleen määritelmän 1.12 avulla

(F∗)^∗ =X_n+1^d−rF₀+X_n+1^d−r−1F₁+. . .+Fd−r. Kertomalla yllä oleva yhtälö puolittain termillä X_n+1^r nähdään, että

X_n+1^r (F_∗)^∗ =F.

b) Kirjoitetaan

F =F₀+F₁+. . .+F_d,

missäd=deg(F)ja kukinF_i ∈R[X₁, . . . , X_n]on homogeeninen astettai(i= 1, . . . , d).

Määritelmän 1.12 perusteella

F^∗ =X_n+1^d F₀+X_n+1^d−1F₁+. . .+F_d. Käyttämällä nyt määritelmää 1.13 nähdään, että

(F^∗)∗ = 1^dF₀+ 1^d−1F₁+. . .+F_d =F.

2

Apulause 1.7 Olkoon F ∈R[X₁, . . . , X_n+1]. Jos G∈(F), niin G∗ ∈(F∗).

Todistus. Nyt G =AF, missä A ∈R[X₁, . . . , X_n+1]. Apulauseen 1.5 a)-kohdan perus- teella

G∗ = (AF)∗ =A∗F∗, mikä todistaa väitteen.

2

Apulause 1.8 Olkoon F ∈k[X, Y] homogeeninen polynomi. NytF hajoaa ensimmäi- sen asteen tekijöihin.

Todistus. Olkoon r korkein sellainen muuttujan Y potenssi, että Y^r jakaa polynomin F. Tällöin apulauseen 1.6 a)-kohdan perusteella

F =Y^r(F_∗)^∗.

Koska F∗ ∈ k[X] ja k on algebrallisesti suljettu, F∗ hajoaa tunnetusti ensimmäisen asteen tekijöihin (kts. [4, s. 170]). Voidaan siis kirjoittaa

F∗ =Π(X−λ_i),

missä , λi ∈k. Soveltamalla apulauseen 1.5 b)-kohtaa polynomiinF∗ huomataan, että (F∗)^∗ =Π(X−λ_iY),

joten kaikkiaan

F =Y^rΠ(X−λ_iY).

2

Apulause 1.9 JosF ∈k[X₁, . . . , X_n+1]on kunnassakjaoton homogeeninen polynomi, niin myös dehomogenisaatio F∗ =F(X₁, . . . , X_n,1) on jaoton kunnassak (mikäliF∗ ei ole vakio).

Todistus. Tehdään vastaoletus, että F_∗ = AB, missä A, B ∈ k[X₁, . . . , X_n], A, B 6∈ k.

Apulauseen 1.6 a)-kohdan mukaan

F =X_n+1^r (F∗)^∗,

missä polynomin F jaottomuuden perusteella joko F = λX_n+1, λ ∈ k^∗, tai r = 0.

Edellisessä tapauksessaF∗ =λ, mikä on oletuksessa pois suljettu erikoistapaus. Ollaan siis kiinnostuneita ainoastaan tapauksesta r = 0. Tällöin apulauseen 1.5 b)-kohtaa soveltamalla nähdään, että

F = (F∗)^∗ = (AB)^∗ =A^∗B^∗.

Nyt A^∗, B^∗ 6∈ k, mikä on ristiriidassa polynomin F jaottomuuden kanssa. Vastaoletus on siis väärä, ja F∗ on jaoton.

2

1.4 Affiini koordinaattimuunnos ja affiinin tasokäyrän tangentti

Määritelmä 1.14 Bijektiota T :Aⁿ −→Aⁿ,

(x₁, . . . , x_n)7→(T₁(x₁, . . . , x_n), . . . , T_n(x₁, . . . , x_n)),

missä jokainen T_i ∈ k[X₁, . . . , X_n] on ensimmäisen asteen polynomi (i = 1, . . . , n), kutsutaan affiiniksi koordinaattimuunnokseksi. Merkitään symbolisestiT = (T₁, . . . , T_n).

JosT = (T₁, . . . , T_n) :Aⁿ−→Aⁿ on affiini koordinaattimuunnos ja G∈k[X₁, . . . , X_n], niin polynomille G(T₁, . . . , T_n) käytetään merkintääG^T.

Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini tasokäyrä sekä T = (T₁, T₂) : A² −→ A² affiini koordinaattimuunnos. Osoitetaan, että myös poly- nomi F(T₁, T₂)∈k[X, Y]määrää affiinin tasokäyrän:

Apulause 1.10 Olkoon F ∈k[X, Y] jaoton ja

T = (T₁, T₂) :A² −→A²

affiini koordinaattimuunnos. Nyt myös polynomi F(T₁, T₂)∈k[X, Y] on jaoton.

Todistus. Tehdään vastaoletus, että F(T₁, T₂) = AB, missä A, B ∈ k[X, Y], A, B 6∈

k. Koska määritelmän 1.14 mukaan T on bijektio, sillä on käänteiskuvaus T⁻¹. On selvää, että myös T⁻¹ on affiini koordinaattimuunnos. Merkitään symbolisesti T⁻¹ = (S₁, S₂), missä S_i (i = 1,2) on ensimmäisen asteen polynomi. Näin ollen on olemassa polynomit A⁰ = A(S₁, S₂), B⁰ = B(S₁, S₂) ∈ k[X, Y]. Koska T₁(S₁, S₂)(a, b) = a ja T₂(S₁, S₂)(a, b) = b, niin

A⁰B⁰ =A(S₁, S₂)B(S₁, S₂) = (AB)(S₁, S₂) =F(T₁, T₂)(S₁, S₂) =F.

Siis F ei olekaan jaoton, joten vastaoletus on väärä ja alkuperäinen väite tosi.

2 Käyrälle F(T1(X, Y), T2(X, Y)) = 0 käytetään merkintää C^T. Huomataan, että C^T = T⁻¹(C). NimittäinP ∈T⁻¹(C)täsmälleen silloin, kun T(P)∈C. Tämä puolestaan on yhtäpitävää sen kanssa, että F(T(P)) = 0.

Apulause 1.11 OlkootP, Q∈A² eri pisteitä. Olkoon lisäksiLpisteidenP jaQkautta kulkeva suora ja T : A² −→ A² affiini koordinaattimuunnos. Nyt T(L) on pisteiden T(P) ja T(Q) kautta kulkeva suora.

Todistus. JosP = (a₁, a₂) ja Q= (b₁, b₂), niin

L={(a₁+t(b₁−a₁), a₂ +t(b₂−a₂))|t∈k}.

Kirjoitetaan

T = (T₁, T₂) = (A₁X+B₁Y +C₁, A₂X+B₂Y +C₂), missä A_i, B_i, C_i ∈k,i= 1,2. Tällöin

T(P) =T(a₁, a₂) = (A₁a₁+B₁a₂+C₁, A₂a₁+B₂a₂+C₂) ja

T(Q) =T(b₁, b₂) = (A₁b₁+B₁b₂+C₁, A₂b₁+B₂b₂+C₂).

Merkitään lyhyesti T(P) = (c₁, c₂) sekä T(Q) = (d₁, d₂). Soveltamalla affiinia koordi- naattimuunnosta suoraan Lsaadaan

T(L) ={A₁(a₁+t(b₁−a₁)) +B₁(a₂+t(b₂ −a₂)) +C₁, A₂(a₁+t(b₁−a₁)) +B₂(a₂+t(b₂−a₂)) +C₂|t ∈k}.

Tämä merkitsee, että

T(L) ={(c1+t(d1−c1), c2+t(d2−c2))}.

Viimeksi esitetystä lausekkeesta nähdään, että T(L) on suora, joka kulkee pisteiden T(P) ja T(Q) kautta.

2

Apulause 1.12 Olkoot P, P⁰ ∈A². Olkoot lisäksi L₁ ja L₂ (L₁ 6=L₂) pisteen P kautta kulkevia suoria sekä L⁰₁ ja L⁰₂ (L⁰₁ 6=L⁰₂) pisteen P⁰ kautta kulkevia suoria. On olemassa sellainen yksikäsitteinen affiini koordinaattimuunnos T :A² −→A², että T(P) = P⁰ ja T(L_i) =L⁰_i, missä i= 1,2.

Todistus. Merkitään P = (a₁, a₂), P⁰ = (a⁰₁, a⁰₂) ∈ A². Olkoot vielä Q = (b₁, b₂) ∈ L₁, R = (c₁, c₂) ∈ L₂, Q⁰ = (b⁰₁, b⁰₂) ∈ L₁, R⁰ = (c⁰₁, c⁰₂)∈ L₂. Kaikki tässä mainitut pisteet oletetaan erillisiksi.

Tutkitaan, mitä ehtoja affiinin koordinaattimuunnoksen T pitää toteuttaa. Huoma- taan ensin, että mikäli haluttua tyyppiä olevaT löytyy, niin apulauseen 1.11 perusteella T(L₁)on pisteidenT(P)jaT(Q)kautta kulkeva suora. Vastaavasti suoraT(L₂)kulkee tällöin pisteiden T(P) ja T(R) kautta. Halutaan, että

a) T(L⁰₁)on pisteiden P⁰ ja Q⁰ kautta kulkeva suora ja b) T(L⁰₂)on pisteiden P⁰ ja R⁰ kautta kulkeva suora.

Ehdot a) ja b) toteutuvat, jos löytyy sellainen koordinaattimuunnosT, ettäT(P) =P⁰, T(Q) =Q⁰ ja T(R) =R⁰. MikäliT on olemassa, se on muotoa

T = (T₁, T₂) = (A₁X+B₁Y +C₁, A₂X+B₂Y +C₂).

Tällaisen koordinaattimuunnoksen olemassaolo on sama asia kuin se, että yhtälöryhmä (1) A₁a₁+B₁a₂+C₁ =a⁰₁

(2) A1b1+B1b2+C1 =b⁰₁ (3) A₁c₁+B₁c₂+C₁ =c⁰₁ (4) A₂a₁+B₂a₂+C₂ =a⁰₂

(5) A₂b₁+B₂b₂+C₂ =b⁰₂ (6) A₂c₁+B₂c₂+C₂ =c⁰₂

on ratkeava. Yhtälöryhmää (1)-(6) vastaava6×6-kerroinmatriisi on

A=





















a₁ a₂ 1 0 0 0 b₁ b₂ 1 0 0 0 c₁ c₂ 1 0 0 0 0 0 0 a₁ a₂ 1 0 0 0 b₁ b₂ 1 0 0 0 c₁ c₂ 1





















.

Siis A muodostuu neljästä 3×3-lohkosta. Näistä toinen ja kolmas ovat nollalohkoja.

Koska L1 6= L2 ja L⁰₁ 6= L⁰₂, niin R ei ole pisteiden P ja Q kautta kulkevalla suoral- la eikä R⁰ pisteiden P⁰ ja Q⁰ kautta kulkevalla suoralla. Tämän vuoksi ensimmäisen ja neljännen lohkon rivit ovat lineaarisesti riippumattomia ja siksi näiden kahden lohkon determinantit eroavat nollasta. Koska det(A) on ensimmäisen ja neljännen lohkon de- terminanttien tulo, niin det(A)6= 0. Yhtälöryhmällä (1)-(6) on siis ei-triviaali ratkaisu.

Tästä kuuden yhtälön ryhmästä kertoimet A_i, B_i ja C_i, i = 1,2 ratkeavat yksikäsittei- sesti, mikä osoittaa, että yksikäsitteinen T on löydetty.

2 Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini tasokäyrä, P = (a, b)∈ C ja T :A² −→A² sellainen affiini koordinaattimuunnos, että

T(X, Y) = (X+a, Y +b).

Nyt C^T on käyräF(X+a, Y +b) = 0. Kirjoitetaan F^T =G_m+G_m+1+. . .+G_n,

missä kukin G_i ∈ k[X, Y] on homogeeninen astetta i (i = m, . . . , n), G_m 6= 0. Apu- lauseesta 1.8 seuraa erityisesti, että G_m =^YL^r_iⁱ, missä suorat L_i = 0 ovat eri suoria.

Merkitään Li =αiX+βiY. Näin voidaan asettaa seuraava määritelmä:

Määritelmä 1.15 Olkoot oletukset kuten edellä. Suoria L_i :α_i(X−a) +β_i(Y −b) = 0

kutsutaan käyrän C tangenteiksi pisteessä P. Lukua r_i sanotaan tangentin L_i kertalu- vuksi pisteessä P.

Pisteeseen P = (0,0) piirretyt tangentit ovat selvästi muotoa L_i :α_iX+β_iY = 0

Tangentteihin liittyy läheisesti seuraava määritelmä:

Määritelmä 1.16 Olkoot oletukset yhä kuten määritelmässä 1.15. Jos P = (0,0), lukua m kutsutaan polynomin F (tai käyrän C) kertaluvuksi pisteessä P ja merkitään m=m_P(C). Mikäli P 6= (0,0), niin määritellään, että m_P(C) =m_(0,0)(C^T).

Apulause 1.13 Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini taso- käyrä. Nyt P ∈C, jos ja vain jos m_P(C)>0.

Todistus. Merkitään P = (a, b). Olkoon

T :A² −→A², T(X, Y) = (X+a, Y +b).

Tällöin T(0,0) = P. Koska määritelmän 1.16 perusteella m_P(C) = m_(0,0)(C^T), riittää tarkastella tapausta P = (0,0). Osoitetaan, että m_(0,0)(C) = 0 täsmälleen silloin kun (0,0)6∈C. Kirjoitetaan

F =F₀+F₁+. . .+F_n,

missä kukin F_i ∈k[X, Y]on homogeeninen astetta i(i= 0, . . . , n). Huomataan, että F_i(0,0) = 0,

jos i >0. Tästä seuraa, että F(0,0) =F₀(0,0). Mutta koska deg(F₀) = 0, niin F0(0,0) =F0.

Siis F₀(0,0) = 0 täsmälleen silloin, kun F₀ = 0, mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että

m_(0,0)(C)>0. 2

Apulause 1.14 Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini taso- käyrä, P ∈ C, P⁰ ∈ A² ja T : A² −→ A² sellainen affiini koordinaattimuunnos, että T(P⁰) =P. Nyt suora L = 0 on käyrän C tangentti pisteessä P, jos ja vain jos suora L^T = 0 on käyrän C^T tangentti pisteessä P⁰.

Todistus.MerkitäänP = (a, b),P⁰ = (a⁰, b⁰). Etsitään aluksi esitys käyränCtangenteille pisteessä P käyttämällä määritelmää 1.15. Olkoon

T⁰ :A² −→A² sellainen affiini koordinaattimuunnos, että

T⁰(X, Y) = (X+a, Y +b).

Tällöin T⁰(0,0) =P. Lausutaan

F^T0 =Gm+. . .+Gn,

missä m = m_P(C) ja kukin G_i ∈ k[X, Y] on homogeeninen astetta i (i = m, . . . , n).

Olkoon G_m = ^YL_j apulauseen 1.8 mukainen esitys. Määritelmän 1.15 perusteella suorat

L_j(X−a, Y −b) = 0 ovat käyrän C tangentit pisteessä P.

Pyritään sitten esittämään käyränC^T tangentit pisteessäP⁰ suorienL_j avulla. Hyö- dynnetään tässä ensin affiinia koordinaattimuunnosta T. Se on muotoa

T(X, Y) = (T1(X, Y), T2(X, Y)) = (A1X+B1Y +C1, A2X+B2Y +C2), missä A_i, B_i, C_i ∈k,i= 1,2. Koska T(P⁰) = P, niin

(1a) A₁a⁰+B₁b⁰+C₁ =a ja

(1b) A₂a⁰+B₂b⁰ +C₂ =b.

Näin ollen

(2a) C₁ =a−A₁a⁰−B₁b⁰ sekä

(2b) C₂ =b−A₂a⁰−B₂b⁰,

joten sijoittamalla kohdissa (2a) ja (2b) saadut lausekkeet affiinin koordinaattimuun- noksen T esitykseen nähdään, että

T(X, Y) = (A₁(X−a⁰) +B₁(Y −b⁰) +a, A₂(X−a⁰) +B₂(Y −b⁰) +b).

Edelleen

F^T(X, Y) = F(A₁(X−a⁰) +B₁(Y −b⁰) +a, A₂(X−a⁰) +B₂(Y −b⁰) +b).

Olkoon nyt

T⁰⁰ :A² −→A² sellainen affiini koordinaattimuunnos, että

T⁰⁰(X, Y) = (X+a⁰, Y +b⁰).

Siis T⁰⁰(0,0) =P⁰. Kirjoitetaan

(F^T)^T00 =F^T(X+a⁰, Y +b⁰)

=F(A₁X+B₁Y +a, A₂X+B₂Y +b)

=

n

X

i=m

G_i(A₁X+B₁Y, A₂X+B₂Y), missä

G_m(A₁X+B₁Y, A₂X+B₂Y) =^YL_j(A₁X+B₁Y, A₂X+B₂Y).

Määritelmän 1.15 mukaan käyrän C^T tangentit pisteessä P⁰ ovat suorat L_j(A₁(X−a⁰) +B₁(Y −b⁰), A₂(X−a⁰) +B₂(Y −b⁰)) = 0.

Nämä ovat samat kuin suorat L^T = 0, mikä todistaa väitteen.

2

Apulause 1.15 Olkoon T : Aⁿ −→ Aⁿ affiini koordinaattimuunnos. Nyt T indusoi isomorfismin

T˜ :k[X₁, . . . , X_n]−→k[X₁, . . . , X_n],T˜(F) =F(T₁, . . . , T_n).

Todistus.Määritelmän 1.14 perusteella polynomitTi ∈k[X1, . . . , Xn]ovat ensimmäisen asteen polynomeja (i= 1, . . . , n). Ne ovat siten muotoa

T_i(X₁, . . . , X_n) = Σa_ijX_j+b_i (i= 1, . . . , n).

Näin ollen T voidaan esittää matriisimuodossa:

T(x₁, . . . , x_n) =Ax+b, missä

A=









a₁₁ · · · a_1n ... ... a_n1 . . . a_nn









,

x=









x₁ ... x_n









ja

b=









b₁ ... b_n









.

Selvästi T =T⁰⁰◦T⁰, missä

T⁰ = (T₁⁰. . . , T_n⁰) :Aⁿ −→Aⁿ on lineaarikuvaus (T_i⁰ = Σa_ijX_j (i= 1, . . . , n)) ja

T⁰⁰ = (T₁⁰⁰. . . , T_n⁰⁰) :Aⁿ −→Aⁿ

on siirto (T_i⁰⁰ = X_i +b_i (i = 1, . . . , n)). Siirtona T⁰⁰ on bijektio ja määritelmän 1.14 mukaan T on bijektio, joten myösT⁰ on bijektio. Tästä seuraa, että A on kääntyvä.

Kuvaus T indusoi rengashomomorfismin

T˜ :k[X₁, . . . , X_n]−→k[X₁, . . . , X_n],T˜(F) =F(T₁, . . . , T_n).

Alussa esitetyn nojalla T˜ voidaan lausua matriisimuodossa T˜(X) =AX+b,

missä

X=









X₁ ... Xn









Matriisin A kääntyvyyden perusteella on olemassa kuvaus S :X7→A⁻¹(X−b).

Nyt

(S◦T˜)(X) =S(AX+b) = A⁻¹((AX+b)−b) =X, joten

S◦T˜=id.

Väite T˜◦S =id todistetaan samoin suoralla laskulla. Siis S = ˜T⁻¹. Rengashomomor- fismi T˜ on näin todettu bijektioksi ja siten isomorfismiksi.

2

1.5 Affiinin tasokäyrän säännöllisyys

Affiinin tasokäyrän pisteet voidaan jakaa kahteen kategoriaan:

Määritelmä 1.17 Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini ta- sokäyrä. Pistettä P ∈C kutsutaan epäsäännölliseksi, jos

∂F

∂X(P) = ∂F

∂Y (P) = 0.

Muussa tapauksessa pisteen P sanotaan olevan säännöllinen. Käyrää, jonka kaikki pis- teet ovat säännöllisiä, kutsutaan säännölliseksi tai sileäksi käyräksi.

Säännöllisillä tasokäyrillä on monia tärkeitä erityisominaisuuksia. Seuraavassa saadaan kätevä ehto affiinin tasokäyrän säännöllisyydelle:

Apulause 1.16 Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini taso- käyrä. Piste P ∈C on säännöllinen, jos ja vain jos m_P(C) = 1.

Todistus. Mikäli asetetaan T : A² −→ A², T(X, Y) = (X +a, Y +b), niin määritel- män 1.16 perusteella m_P(C) = m_(0,0)(C^T). Riittää siis tutkia tapausta P = (0,0).

Kirjoitetaan jälleen

F =F_m+F_m+. . .+F_n,

missä kukin F_i ∈k[X, Y]on homogeeninen astetta i (i=m, . . . , n). Koska P ∈C, niin apulauseen 1.13 mukaan ei voi olla m = 0. Havaitaan, että

∂Fi

∂X(0,0) = ∂Fi

∂Y (0,0) = 0, jos i6= 1. Siis

∂F

∂X(0,0) = ∂F₁

∂X(0,0) ja

∂F

∂Y (0,0) = ∂F₁

∂Y (0,0).

Määritelmän 1.17 perusteella (0,0)on säännöllinen täsmälleen silloin, kun

∂F

∂X(0,0)6= 0

tai ∂F

∂Y (0,0)6= 0

Äsken sanotun perusteella tämä toteutuu tarkalleen, kun F₁ 6= 0, mikä puolestaan on yhtäpitävää sen kanssa, että m_P(C) = 1.

2

1.6 Koordinaattirengas

Otetaan seuraavaksi käyttöön käyrän koordinaattirenkaan käsite. Sen avulla voidaan määritellä ensin käyrän polynomifunktiot ja tämän jälkeen rationaalifunktiot (ks. luku 1.7), jotka ovat keskeisellä sijalla tutkittaessa algebrallisia käyriä.

Määritelmä 1.18 Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini ta- sokäyrä. Käyrän C koordinaattirengas yli kunnan k on jäännösluokkarengas

k[C] =k[X, Y]/(F).

Määritelmä 1.19 Alkiota g ∈k[C] kutsutaan käyrän C polynomifunktioksi.

Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini tasokäyrä ja P ∈ C.

Koordinaattirenkaan k[C]alkiot ovat sivuluokkia g =G+ (F), missäG∈k[X, Y]. Mo- tivaatio määritelmän 1.19 nimitykselle ’polynomifunktio’ saadaan siitä, että jokaiseen g =G+ (F)∈k[C] voidaan liittää konkreettinen polynomifunktio

ψ :C −→k, ψ(P) = G(P).

Havaitaan, että ψ on todellakin kuvaus. Nimittäin jos g =G+ (F) = G⁰ + (F)

jollain G⁰ ∈ k[X, Y], niin G−G⁰ ∈ (F). Tämä tarkoittaa, että G−G⁰ = HF, missä H ∈k[X, Y]. Nyt

G(P)−G⁰(P) = H(P)F(P) = 0, jolloin siis G(P) = G⁰(P).

Yllä sanotun perusteella voidaan asettaa seuraava määritelmä:

Määritelmä 1.20 Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini ta- sokäyrä. Olkoon lisäksig =G+(F)∈k[C],G∈k[X, Y]sekä P ∈C. Polynomifunktion g arvo pisteessä P on

g(P) =G(P).

Kirjoittamalla

G= Σλ_i,jXⁱY^j

huomataan, että koska alkiotλ∈k voidaan samastaa sivuluokkienλ+ (F)kanssa, niin G+ (F) = Σλ_i,jxⁱy^j =G(x, y),

missä x=X+ (F),y =Y + (F). Näin ollen k[C] =k[x, y]. Erikoisesti F(x, y) =F + (F) = 0.

Apulause 1.17 Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini taso- käyrä. Koordinaattirengas k[C] on kokonaisalue.

Todistus. Olkoot g, h∈k[C]. Osoitetaan, että josgh= 0, niing = 0 tai h= 0. Tällöin g =G+(F),h =H+(F), missäG, H ∈k[X, Y]. Nytgh=GH+(F). Koskagh = 0, on oltavaGH ∈(F). Tämä tarkoittaa, ettäF|GH. PolynominF jaottomuuden perusteella F|G tai F|H [7, s. 148]. Siis G∈(F) tai H ∈(F)eli g = 0 tai h= 0.

2

1.7 Rationaalifunktiot

Koska affiinin tasokäyränC koordinaattirengask[C]on kokonaisalue, voidaan muodos- taa sen osamääräkunta:

Määritelmä 1.21 Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini ta- sokäyrä. Kokonaisalueenk[C]osamääräkuntaak(C)sanotaan käyränC rationaalifunk- tioiden kunnaksi. Alkiota f ∈k(C) kutsutaan käyrän C rationaalifunktioksi.

Koordinaattirengas k[C] on kunnan k(C) alirengas, joten jokainen g ∈ k[C] on myös rationaalifunktio. Lisäksi huomataan, että koska k[C] =k[x, y], niin k(C) = k(x, y).

Määritelmä 1.22 Sanotaan, että rationaalifunktio f ∈ k(C) on määritelty pisteessä P ∈C, jos on olemassa sellaiset polynomifunktiot a, b∈k[C], että

f = a b

ja b(P)6= 0. Tällöin rationaalifunktion f arvo pisteessäP on f(P) = a(P)

b(P). Määritelmä 1.22 on mielekäs. Jos näet

f = a⁰ b⁰, missä a⁰, b⁰ ∈k[C], b⁰(P)6= 0, niin ab⁰ =a⁰b. Tällöin

a(P)b⁰(P) = a⁰(P)b(P), joten

a(P)

b(P) = a⁰(P) b⁰(P).

Siis rationaalifunktion f arvo pisteessä P on hyvinmääritelty. Rationaalifunktio ei kui- tenkaan ole välttämättä määritelty kaikkialla:

Määritelmä 1.23 Olkoon

f = a

b ∈k(C)

ja P ∈C. Jos f ei ole määritelty pisteessä P, sanotaan, että rationaalifunktiolla f on napa pisteessä P. Tällöin merkitään f(P) =∞.

On helppo todeta, että joukko {a

b ∈k(C)|b(P)6= 0}

on kunnan k(C) alirengas. Kyseinen joukko koostuu siis pisteessä P määritellyistä ra- tionaalifunktioista. Tästä saadaan motivaatio seuraavalle määritelmälle:

Määritelmä 1.24 Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini ta- sokäyrä ja P ∈C. Alirengasta

OP(C) = {a

b ∈k(C)|b(P)6= 0}.

kutsutaan käyrän C lokaaliksi renkaaksi pisteessä P. RengastaO_P(C) tarkastellaan lähemmin luvussa 3.

2 Affiinista tasosta projektiiviseen tasoon

2.1 Projektiivinen avaruus

Affiinissa tasossa A² kaksi suoraa joko leikkaavat toisensa tai ovat yhdensuuntaiset. Li- sätään affiiniin tasoon ’äärettömyyspisteitä’, jotta saataisiin avaruus, jossa kaksi suoraa leikkaavat toisensa täsmälleen yhdessä pisteessä. Näin päästään projektiivisen tason kä- sitteeseen. Annetaan kuitenkin ensin yleinen määritelmä n-ulotteiselle projektiiviselle avaruudelle:

Määritelmä 2.1 Kaikkien pisteen (0,0, . . . ,0)∈ Aⁿ⁺¹ kautta kulkevien suorien jouk- koa kutsutaan projektiiviseksi n-ulotteiseksi avaruudeksi yli kunnan k. Sille käytetään merkintääPⁿ(k)tai lyhyestiPⁿ. Edellä mainittuja suoria kutsutaan projektiivisen ava- ruuden Pⁿ pisteiksi.

Määritelmä 2.2 Joukkoa P² =P²(k) kutsutaan projektiiviseksi tasoksi yli kunnan k.

Huomataan, että jokainen affiinin avaruuden piste

(0,0, . . . ,0)6= (x₁, . . . , x_n+1)∈Aⁿ⁺¹

määrittää yksikäsitteisen, pisteen (0,0, . . . ,0) ∈ Aⁿ⁺¹ kautta kulkevan suoran eli pro- jektiivisen avaruuden Pⁿ yksikäsitteisen pisteen. Tämä suora on joukko

{(λx₁, . . . , λx_n+1)|λ∈k)}.

Pisteet (x) = (x₁, . . . , x_n+1) ∈ Aⁿ⁺¹ ja (y) = (y₁, . . . , y_n+1) ∈ Aⁿ⁺¹ määräävät saman suoran, mikäli on olemassa sellainenλ ∈k^∗, ettäy_i =λx_i (i= 1, . . . , n+ 1). Merkitään tällöin (x)∼(y).

Lause 2.1 Yllä määritelty relaatio ∼ on ekvivalenssi.

Todistus. Selvästi (x)∼(x) (valitaanλ= 1), mikä tarkoittaa, että ∼on refleksiivinen.

Jos(x)∼(y), on olemassa sellainenλ₁ ∈k^∗, ettäy_i =λ₁x_i(i= 1, . . . , n+1). Asetetaan λ₂ =λ⁻¹₁ . Koska x_i =λ₂y_i, niin (y)∼(x). Siis ∼ on symmetrinen. Mikäli (x) ∼(y) ja (y)∼(z), löytyy sellaiset alkiotλ₁, λ₂ ∈k^∗, ettäy_i =λ₁x_ijaz_i =λ₂y_i (i= 1, . . . , n+1).

Merkitään λ₃ =λ₁λ₂. Nytz_i =λ₃x_i, joten (x)∼(z), ja ∼on transitiivinen.

2 Lauseen 2.1 ja sitä edeltävän havainnon perusteella projektiivinen avaruusPⁿ voidaan ajatella ekvivalenssiluokkien joukkona

(Aⁿ⁺¹\(0,0, . . . ,0))/∼.

Kukin projektiivisen avaruudenPⁿpiste vastaa selvästi yhtä tällaista ekvivalenssiluok- kaa.

Affiinin avaruuden pistettä (x₁, . . . , x_n+1)∈Aⁿ⁺¹ vastaavalle projektiivisen avaruu- den Pⁿ pisteelle käytetään merkintää (x₁ :. . .:x_n+1).

Määritelmä 2.3 Pisteen (x₁ :. . .:x_n+1)∈Pⁿ koordinaatteja sanotaan homogeenisik- si koordinaateiksi.

Merkitään

U_i ={(x₁ :. . .:x_n+1)∈Pⁿ|x_i 6= 0}.

Helposti nähdään, että Pⁿ =

n+1

[

i=1

U_i.

Määritelmä 2.4 Joukkoa

H_i =Pⁿ\U_i ={(x₁ :. . .:x_n+1)∈Pⁿ|x_i = 0}

kutsutaan projektiivisen avaruuden Pⁿäärettömyyspisteiden eli ideaalipisteiden joukok- si.

2.2 Projektiivinen tasokäyrä

Nyt voidaan asettaa seuraava keskeinen määritelmä:

Määritelmä 2.5 Olkoon F ∈k[X, Y, Z] jaoton homogeeninen polynomi. Joukkoa C ={(a :b:c)∈P²|F(a, b, c) = 0}

kutsutaan polynomin F määräämäksi projektiiviseksi tasokäyräksi yli kunnank.

Määritelmässä 2.5 oleellista on, että polynomi F ∈ k[X, Y, Z] on homogeeninen. Jos nimittäin (a : b : c) ∈ P² ja F(a, b, c) = 0, niin kaikilla λ ∈ k^∗ on oltava myös F(λa, λb, λc) = 0. Tämä johtuu siitä, että projektiivisen tason pisteille pätee (a : b : c) = (λa : λb : λc). Homogeeniset polynomit toteuttavat yllä mainitun vaatimuksen, koska niille on voimassa

F(λa, λb, λc) =λ^deg(F)F(a, b, c).

OlkoonCjaottoman homogeenisen polynominF ∈k[X, Y, Z]määräämä projektiivinen tasokäyrä. Jokaisella P ∈C\H3 on yksikäsitteinen esitys muotoa P = (x, y,1). Täten P voidaan samastaa affiinin tason pisteen (x, y) ∈ A² kanssa. Näistä affiinin tason

pisteistä muodostuu joukkoC∩U₃. Ideaalipisteiden joukkoH₃ on se joukko, joka ’jää yli’

edellä muodostetusta käyränCpisteiden ja tiettyjen affiinin tasonA²pisteiden välisestä bijektiosta (x, y,1) 7→ (x, y). Sama koskee myös joukkoja U₁ ja U₂. Homogeenisten polynomien yhteydessä todistettu apulause 1.9 osoittaa, että homogeenisen polynomin F ∈k[X, Y, Z]jaottomuudesta seuraa myös dehomogenisaatioiden

F(1, Y, Z)∈k[Y, Z], F(X,1, Z)∈k[X, Z], F(X, Y,1)∈k[X, Y]

jaottomuus (mikäli ne eivät ole vakioita). Näin ollen joukot C ∩ U_i, i = 1,2,3 ovat affiineja tasokäyriä (elleivät ne ole tyhjiä). Projektiivista tasokäyrääC :F(X, Y, Z) = 0 vastaa siis kolme affiinia tasokäyrää:

C∩U₁ :F(1, Y, Z) = 0, C∩U₂ :F(X,1, Z) = 0 ja

C∩U3 :F(X, Y,1) = 0.

Todistetaan seuraava apulause tapauksessaC∩U₃. Vastaava tulos pätee tietenkin myös käyrille C∩U1 ja C∩U2.

Apulause 2.1 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F ∈ k[X, Y, Z] määrää- mä projektiivinen tasokäyrä. Nyt C∩U₃ =∅ täsmälleen silloin,kun F =λZ, λ ∈k^∗. Todistus. Jos F = λZ, λ ∈ k^∗, niin F_∗ = λ, jolloin C ∩ U₃ = ∅. Oletetaan, että C∩U₃ =∅. Tästä seuraa, että F∗(a, b)6= 0 kaikilla(a, b)∈A². Kirjoitetaan

F∗ =F₀+F₁+. . .+F_d,

missä kukin F_i ∈ k[X, Y] on homogeeninen astetta i (i = 0, . . . , d). Koska myös F∗(0,0) 6= 0, niin F₀ 6= 0. Kaikilla i = 1, . . . , d on oltava F_i = 0. Muuten ei nimit- täin olisi C∩U3 =∅. Siis F∗ = F0 = λ ∈ k^∗. Polynomin F jaottomuuden perusteella F = (F∗)^∗ =λZ.

2

2.3 Homogeeninen koordinaattirengas ja funktiokunta

Luvussa 1.6 annettu affiinin tasokäyrän koordinaattirenkaan määritelmä voidaan yleis- tää myös projektiivisille käyrille:

Määritelmä 2.6 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F ∈ k[X, Y, Z] mää- räämä projektiivinen tasokäyrä. Jäännösluokkarengasta

k_h[C] =k[X, Y, Z]/(F)

kutsutaan käyrän C homogeeniseksi koordinaattirenkaaksi yli kunnan k.

Määritelmä 2.7 Alkiota g ∈ k_h[C] kutsutaan d-asteiseksi muodoksi, mikäli on ole- massa sellainen G∈k[X, Y, Z], että g =G+ (F) ja G on homogeeninen astetta d.

Määritelmän 2.7 muoto g ei ole riippuvainen polynomin G valinnasta. Jos näet G⁰ ∈ k[X, Y, Z]on homogeeninen astettad,g⁰ =G⁰+ (F)ja G+ (F) =G⁰+ (F), niing =g⁰. Apulause 2.2 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F ∈ k[X, Y, Z] määrää- mä projektiivinen tasokäyrä. Käyrän C homogeeninen koordinaattirengas k_h[C] on ko- konaisalue.

Todistus. Väite todistetaan samoin kuin apulauseen 1.17 tapauksessa.

2

Määritelmä 2.8 Olkoon C projektiivinen tasokäyrä. Homogeenisen koordinaattiren- kaan k_h[C] osamääräkuntaa k_h(C) kutsutaan käyrän C homogeeniseksi funktiokunnak- si.

Jos g = G+ (F) ∈ k_h(C), G ∈ k[X, Y, Z], niin määritelmä g(P) = G(P) ei yleensä ole mielekäs. Päinvastoin kuin affiinien tasokäyrien tapauksessa, homogeenisen koor- dinaattirenkaan alkioita ei voida vakioita lukuunottamatta ajatella funktioina. Tämä johtuu siitä, että polynomin G arvo ja myös sitä vastaavan ’polynomifunktion’ g ar- vo pisteessä P riippuu pisteen P homogeenisten koordinaattien valinnasta. Myöskään homogeenisen funktiokunnan alkioita ei voida samasta syystä useimmissa tapauksissa pitää funktioina. Jos kuitenkin g, h ∈k_h[C] ovat samaa astetta d olevia muotoja, niin niissä pisteissä P ∈C, joissa h(P)6= 0, osamäärä g/h määrittelee funktion. Nimittäin jos P = (a:b :c)∈P²,λ ∈k, niin

g(λa, λb, λc)

h(λa, λb, λc) = λ^dg(a, b, c)

λ^dh(a, b, c) = g(a, b, c) h(a, b, c),

joten osamäärän g/h arvo pisteessä P on riippumaton pisteen P homogeenisten koor- dinaattien valinnasta. Tällä perusteella rationaalifunktion käsite voidaan yleistää pro- jektiivisille tasokäyrille:

Määritelmä 2.9 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F ∈ k[X, Y, Z] mää- räämä projektiivinen tasokäyrä. Käyrän C funktiokuntak(C)koostuu niistä osamääris- tä

z = g

h ∈k_h(C),

joissa g, h∈k_h[C] ovat samaa astetta olevia muotoja. Kunnan k(C)alkioita kutsutaan rationaalifunktioiksi.

Rationaalifunktion z = g/h ∈ k(C) arvo pisteessä P ∈ C ja lokaali rengas O_P(C) määritellään samoin kuin affiinien tasokäyrien tapauksessa määritelmissä 1.22 ja 1.24.

Selvästik(C)on kunnank_h(C)alikunta. Lisäksi huomataan, ettäk⊂k(C)⊂k_h(C), mutta k_h(C) 6⊂ k(C). Itse asiassa projektiivisen käyrän funktiokunta vastaa affiinin tasokäyrän rationaalifunktioiden kuntaa:

Lause 2.2 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F ∈ k[X, Y, Z] määräämä projektiivinen tasokäyrä. Valitaan sellainen i ∈ {1,2,3}, että C ∩ U_i 6= ∅. Tällöin k(C)∼=k(C∩U_i).

Todistus. Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, ettäi= 3. Jaetaan todistus selkey- den vuoksi osiin.

(1) Oletetaan, ettäz ∈k(C). Määritelmän 2.9 perusteella löytyy sellaiset samaa astetta d olevat homogeeniset muodot g, h∈k_h[C], että

z = g h.

Tällöin määritelmän 2.7 nojalla on olemassa sellaisetd-asteiset homogeeniset polynomit G, H ∈k[X, Y, Z], että g =G+ (F),h =H+ (F).

(2) Havaitaan, että polynominF jaottomuuden perusteella(F∗)^∗ =F. (KoskaC∩U₃ 6=

∅, niin apulauseen 2.1 mukaan F 6=λZ,λ∈k^∗. Ollaan siis apulauseen 1.9 tapauksessa r= 0.)

(3) Määritellään kuvaus

ψ :k(C)−→k(C∩U₃) seuraavasti:

G+ (F)

H+ (F) 7→ G∗+ (F∗) H∗+ (F∗).

Kuvaus ψ on tosiaan olemassa eli sen arvo ei riipu homogeenisten polynomien G ja H valinnasta. Jos nimittäin jollain homogeenisilla polynomeilla G⁰, H⁰ ∈k[X, Y, Z] on voimassa

G+ (F)

H+ (F) = G⁰ + (F) H⁰ + (F),

niin

GH⁰+ (F) = G⁰H+ (F).

Tällöin

(GH⁰−G⁰H)∈(F) ja apulauseen 1.7 mukaan

(GH⁰−G⁰H)∗ ∈(F∗).

Siis

(GH⁰)∗−(G⁰H)∗ ∈(F∗), jolloin apulauseen 1.5 a)-kohtaa käyttämällä nähdään, että

G∗H_∗⁰ −G⁰_∗H∗ ∈(F∗).

Tämä tarkoittaa, että

G∗H_∗⁰ + (F∗) =G⁰_∗H∗+ (F∗) eli

(G∗+ (F∗)(H_∗⁰ + (F∗) = (G⁰_∗+ (F∗)(H∗+ (F∗).

Näin ollen

G∗+ (F∗)

H∗+ (F∗) = G⁰_∗+ (F∗) H_∗⁰ + (F∗).

(4) Koska G7→G∗ on homomorfismi, myös ψ on homomorfismi.

(5) Osoitetaan, että ψ on surjektio huomaamalla, että jokaisella A+ (F∗)

B + (F_∗) ∈k(C∩U₃)

on alkukuva kunnassa k(C). Jos deg(A)≤deg(B), valitaan alkukuvaksi Zdeg(B)−deg(A)A^∗+ (F)

B^∗ + (F) ∈k(C).

Tapauksessa deg(A)> deg(B) alkukuvaksi kelpaa vastaavasti A^∗+ (F)

Zdeg(A)−deg(B)B^∗+ (F) ∈k(C).

(6) Osoitetaan, että ψ on injektio toteamalla, että ehdosta ψ(G+ (F)

H+ (F)) = 0