OlkoonCalgebrallinen tasokäyrä yli kunnank. Tarkastellaan lähemmin pisteessäP ∈C määriteltyjen käyränCrationaalifunktioiden muodostamaa rengastaOP(C). Merkitään
MP(C) = {a
b ∈k(C)|a(P) = 0, b(P)6= 0}.
Selvästi
MP(C) ={f ∈ OP(C)|f(P) = 0}.
Määritelmästä 1.24 muistetaan, että rengasta OP(C) kutsutaan käyrän C lokaaliksi renkaaksi pisteessä P. Oikeutus tälle nimitykselle saadaan seuraavasta apulauseesta 3.14, jossa osoitetaan, että OP(C) on todellakin lokaali:
Apulause 3.14 Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli kunnan k ja P ∈C. Nyt OP(C) on lokaali rengas, jonka yksikäsitteinen maksimaalinen ideaali on MP(C).
Todistus. Koska MP(C) = OP(C)\(OP(C))∗, voidaan soveltaa apulausetta 3.4. Sen perusteella riittää näyttää, ettäMP(C)on renkaanOP(C)ideaali. Olkoonf, g ∈MP(C) ja h∈ OP(C). Osoitetaan, että f+g, hf ∈MP(C). Koskaf(P) = g(P) = 0, niin
(f +g)(P) =f(P) +g(P) = 0 ja
(f h)(P) =f(P)h(P) = 0·h(P) = 0.
Täten on osoitettu MP(C)renkaan OP(C)ideaaliksi.
2
Apulause 3.15 Olkoon C affiini tasokäyrä yli kunnan k ja P ∈ C. Nyt OP(C) on Noetherin kokonaisalue.
Todistus. Kokonaisalueenk[C] alirenkaana OP(C)on rengas, jossa ei ole nollanjakajia, ja on siten itsekin kokonaisalue.
Halutaan näyttää, ettäOP(C)on Noetherin rengas. OlkoonI ⊆ OP(C)ideaali. Sen osoittamiseksi, että I on äärellisen joukon virittämä, tarkastellaan joukkoa I∩k[C].
Todetaan I∩k[C] renkaan k[C] ideaaliksi. Olkoota, b∈I∩k[C], c∈k[C]. Tällöin
Koska k[C]on Noetherin rengas (kts.lause 3.2) ja I∩k[C]sen ideaali, on olemassa sellaiset polynomifunktiot f1, . . . , fr ∈k[C], että
Apulause 3.16 Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini taso-käyrä, P ∈ C, P0 ∈ A2 ja T : A2 −→ A2 sellainen affiini koordinaattimuunnos, että T(P0) =P. Nyt
k(C)∼=k(CT).
Todistus. Apulauseen 1.15 perusteella T indusoi rengashomomorfismin T˜:k[X, Y]−→k[X, Y],T˜(G) =G(T1, T2).
Nyt T˜ puolestaan indusoi rengashomomorfismin
ϕ:k[X, Y]/(F)−→k[X, Y]/(FT) seuraavasti: jos g =G+ (F), G∈k[X, Y], niin
ϕ(g) =G(T1, T2) + (FT).
KoskaT on määritelmän 1.14 mukaan bijektio, sillä on käänteiskuvausS =T−1. Edellä esitettyyn tapaan S indusoi rengashomomorfismin
S˜:k[X, Y]−→k[X, Y],S(H) =˜ H(S1, S2) ja tämä edelleen rengashomomorfismin
ψ :k[X, Y]/(F)−→k[X, Y]/(FS) seuraavalla tavalla: mikälih =H+ (F), H ∈k[X, Y], niin
ψ(h) =H(S1, S2) + (FS).
Osoitetaan, että ψ◦ϕ=id. Olkoon (a, b)∈A2. Koska T ◦S =id, niin (T1(S1(a, b), S2(a, b)), T2(S1(a, b), S2(a, b)) = (a, b).
Tämä merkitsee, että T1(S1, S2)(a, b) = a ja T2(S1, S2)(a, b) =b. Näin ollen (ψ◦ϕ)(g) =ψ(ϕ(g)) = ψ(G(T1, T2) + (FT)) =G(T1, T2)(S1, S2) + ((FT)S)).
Yllä oleva lauseke voidaan esittää muodossa
G(T1(S1, S2), T2(S1, S2)) + (F(T1, T2)(S1, S2)) ja tämä edelleen muodossa
G(T1(S1, S2), T2(S1, S2)) + (F(T1(S1, S2), T2(S1, S2))).
Mutta viimeksi saatu lauseke on
G+ (F) = g.
Väite ϕ◦ψ = id käsitellään vastaavasti. Koska siis ϕ on isomorfismi, se indusoi osa-määräkuntien välille isomorfismin
ξ :k(C)−→k(CT), ξ(G+ (F)
H+ (F)) = G(T1, T2) + (FT) H(T1, T2) + (FT).
2
Apulause 3.17 Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini taso-käyrä, P ∈ C, P0 ∈ A2 ja T : A2 −→ A2 sellainen affiini koordinaattimuunnos, että T(P0) =P. Nyt
OP(C)∼=OP0(CT).
Todistus.Todetaan, että apulauseen 3.16 isomorfismiξrajoittuu isomorfismiksiOP(C)−→
OP0(CT). Osoitetaan, että
u
v ∈ OP(C), täsmälleen silloin, kun
ξ(u
v)∈ OP0(CT).
Nyt nimittäin v =V + (F), missä V ∈ k[X, Y]. Määritelmän 1.20 perusteella v(P) = V(P). Määritelmän 1.24 nojallav(P)6= 0. Tämä puolestaan on sama asia kuin se, että V(T(P0))6= 0.
2
Apulause 3.18 OlkoonC jaottoman homogeenisen polynominF ∈k[X, Y, Z] määrää-mä projektiivinen tasokäyrä, P ∈C, P0 ∈P2 ja T :P2 −→P2 sellainen projektiivinen koordinaattimuunnos, että T(P0) =P. Nyt
OP(C)∼=OP0(CT).
Todistus. Apulauseen 2.4 perusteella T indusoi rengashomomorfismin T˜:k[X, Y, Z]−→k[X, Y, Z],T˜(G) =G(T1, T2, T3).
Nyt T˜ puolestaan indusoi rengashomomorfismin
ϕ:k[X, Y, Z]/(F)−→k[X, Y, Z]/(FT) seuraavasti: jos g =G+ (F), G∈k[X, Y, Z], niin
ϕ(g) = G(T1, T2, T3) + (FT).
Kuvaus ϕ voidaan todeta isomorfiksi samalla tavoin kuin affiinien tasokäyrien tapauk-sessa apulauseessa 3.16. Apulauseessa 3.17 todistettava osuus todistetaan myös samoin kuin affiineille tasokäyrille (sillä erotuksella, että muodot u, v∈kh(C) ovat homogeeni-sia).
2
Mikäli OP(C) on diskreetti valuaatiorengas, merkinnällä ordP tarkoitetaan diskreetin valuaatiorenkaanOP(C)määräämää kertalukufunktiota. Tällöin puhutaan esimerkiksi lokaalista parametrista pisteessä P. JosC on affiini tasokäyrä ja P ∈C, lauseesta 3.11 saadaan yksinkertainen ehto sille, milloin OP(C) on diskreetti valuaatiorengas:
Lause 3.11 Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini tasokäyrä ja P ∈C. NytOP(C)on diskreetti valuaatiorengas, jos ja vain jos piste P on säännöl-linen. Olkoon
L:aX+bY +c= 0
pisteen P kautta kulkeva suora, joka ei ole käyrän C tangentti pisteessä P. Tällöin suoran L kuva renkaassa OP(C) on renkaan OP(C) lokaali parametri pisteessä P. Todistus.Suunnan ’vain jos’ todistus sivuutetaan, koska sitä ei tässä esityksessä tarvita.
Todistus löytyy teoksesta [1, s.71–72]. Osoitetaan, että jos pisteP ∈C on säännöllinen, niin OP(C) on diskreetti valuaatiorengas. Koska P on säännöllinen, apulauseen 1.16 nojalla mP(C) = 1. Näin ollen voidaan kirjoittaa
F =F1+F2+. . .+Fn,
missä Fi ∈k[X, Y] on homogeeninen astetta i (i= 1, . . . , n),F1 6= 0. Merkitään L1 :F1 = 0.
KoskaL1 on pisteeseenP piirretty tangentti, muttaLei ole, niin suoratLjaL1 eivät ole samat. Tämän vuoksi voidaan käyttää apulausetta 1.12. Sen perusteella on olemassa sellainen affiini koordinaattimuunnos T : A2 −→ A2, että T(0,0) = P, T(X) = L ja T(Y) = L1, missä X ja Y tarkoittavat suoria X = 0 ja Y = 0. Apulauseesta 3.17 seuraa tällöin, että renkaatOP(C)jaO(0,0)(CT)ovat isomorfisia. Riittää siis tarkastella tapausta P = (0,0). Apulauseesta 1.14 seuraa, että suoraY = 0 on käyränC tangentti pisteessä (0,0), mutta suoraX = 0 ei ole.
Apulauseen 3.14 perusteella O(0,0)(C)on lokaali rengas, jonka yksikäsitteinen mak-simaalinen ideaali onM(0,0)(C). Apulauseen 3.15 nojalla puolestaanO(0,0)(C)on Noet-herin kokonaisalue. Lauseen 3.4 ehtojen toteutumiseksi riittää osoittaa, että M(0,0)(C) on pääideaali. Näytetään, ettäM(0,0)(C) = (x).
Huomataan ensin, että olipa piste (0,0)säännöllinen tai epäsäännöllinen, niin aina M(0,0)(C) = (x, y).
Nimittäin jos
z ∈M(0,0)(C),
niin
z = a b,
missä a, b ∈ k[C], a(0,0) = 0, b(0,0) 6= 0. On olemassa sellaiset polynomit A, B ∈ k[X, Y], että a =A+ (F)ja b =B + (F). Kirjoitetaan
A=X
i,j
λi,jXiYj,
missä λi,j ∈k. Nyt
λ0,0 =A(0,0) =a(0,0) = 0,
mikä tarkoittaa, että z on alkioiden x ja y lineaarikombinaatio eli että z ∈(x, y).
Koska suora Y = 0 on pisteeseen(0,0)piirretty tangentti, käyränC yhtälö voidaan lausua muodossa
C :Y +F2+. . .+Fn = 0.
Koska F on jaoton, jollain luvun i ∈ {2, . . . , n} arvolla muoto Fi ei sisällä tekijää Y. Asteeltaan pienin muoto Fi, joka voi sisältää tekijänään muuttujan X, on F2. Näin ollen jollain i ∈ {2, . . . , n} muoto Fi sisältää tekijän X2 (tai korkeamman potenssin).
OttamallaY yhteiseksi tekijäksi niistä muodoistaFi, joissa se esiintyy, käyränC yhtälö saadaan täten muotoon
C :Y G+BX2 = 0, missä
G= 1+ korkeamman asteen termejä ∈k[X, Y],B ∈k[X].
Asettamalla H = −B saadaan yhtälö Y G = HX2. Tarkastellaan sivuluokkia x = X+ (F), y=Y + (F) jne. Nyt
yg=x2h∈k[C].
Koska
g(0,0) =G(0,0) = 16= 0, niin g−1 ∈O(0,0)(C). Tällöin
y=x2hg−1 ∈(x),
joten (x, y) = (x). Koska siis MP(C) = (x), määritelmän 3.6 mukaan x on renkaan O(0,0)(C) lokaali parametri pisteessäP.
2
Nyt lauseen 3.11 tulos voidaan yleistää myös projektiivisille käyrille:
Lause 3.12 OlkoonC projektiivinen tasokäyrä yli kunnan k ja P ∈C. Tällöin OP(C) on diskreetti valuaatiorengas, jos ja vain jos piste P on säännöllinen.
Todistus. Väite seuraa välittömästi lauseista 2.3 ja 3.11 ja apulauseesta 2.6.
2 Tästä eteenpäin oletetaan, että tarkasteltavat tasokäyrät ovat säännöllisiä, jolloinOP(C) on diskreetti valuaatiorengas.
Seuraavasta lauseesta nähdään, että pisteet ja diskreetit valuaatiorenkaat vastaavat toisiaan:
Lause 3.13 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F ∈ k[X, Y, Z] määräämä säännöllinen projektiivinen käyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k. Olkoon vielä O kunnank(C)diskreetti valuaatiorengas. On olemassa sellainen yksikäsitteinen pisteP ∈ C, että O=OP(C).
Todistus. Todistetaan ensin pisteen P yksikäsitteisyys. Tehdään vastaoletus, että O=OP(C) =OQ(C),
missä P, Q ∈ C, P 6= Q. Valitaan f ∈ k(C) siten, että f ∈ OP(C), f ∈ OQ(C), f(P) = 0 ja f(Q)6= 0. Todetaan, että tällainen f on tosiaan olemassa.
Tarkastelun helpottamiseksi huomataan ensinnäkin, että pisteet (1 : 0 : 1) ja (0 : 1 : 1) eivät ole samassa tasossa, joten apulauseen 2.5 perusteella on olemassa sellainen projektiivinen koordinaattimuunnos
T :P2 −→P2,
että T(P) = (0 : 1 : 1),T(Q) = (1 : 0 : 1). Apulauseen 3.17 nojalla OP(C)∼=O(0:1:1)(CT)
ja
OQ(C)∼=O(1:0:1)(CT)
joten voidaan olettaa, ettäP = (0,1,1)jaQ= (1,0,1). Yllä mainitut isomorfismit ovat saman isomorfismin ξ :k(C)−→k(CT) indusoimia, mistä johtuu, että
O(0:1:1)(CT) = O(1:0:1)(CT).
Nyt löytyy sellaiseta, b∈kh[C], että f =a/b,f(P) = 0jaf(Q)6= 0: valitaan vaikkapa a=X,b =X+Y ja merkitään f =a/b. Tällöin f ∈MP(C), joten ord(f)>0. Koska f(Q) 6= 0, niin 1/f ∈ OQ(C), ja ord(1/f) ≥ 0. Apulauseen 3.9 a)-kohtaa käyttämällä päädytään ristiriitaan
0 = ord(1) =ord(f·1/f) = ord(f) +ord(1/f)>0.
Todistetaan seuraavaksi pisteen P olemassaolo.
Voidaan olettaa, että x/z, y/z ∈ O. Kuvitellaan, että näin ei olisi. Koska O on diskreetti valuaatiorengas, niin lauseen 3.10 nojalla x/z ∈ O tai z/x ∈ O. Oletetaan, että vaikkapa x/z ∈ O, mutta y/z 6∈ O. Niinikään lauseen 3.10 perusteella z/y ∈ O.
Tällöin myösx/y = (x/z)(z/y)∈ O. Siisx/y, z/y ∈ O. Käymällä läpi kaikki tapaukset päädytään siihen, että ainax/z, y/z ∈ O tai x/y, z/y ∈ O tai y/x, z/x∈ O. Tekemällä tarvittaessa koordinaattimuunnos voidaan edellä mainittu oletus siis tehdä.
Koska x/z, y/z ∈ O, niin k[x/z, y/z]⊂ O. Käyrää C vastaavan affiinin tasokäyrän C∩U3 koordinaattirengas k[C∩U3]voidaan samastaa renkaan k[x/z, y/z] kanssa. Siis k[C∩U3]⊂ O.
Olkoon M renkaan O maksimaalinen ideaali. Tarkastellaan jäännösluokkia α=x/z+M, β=y/z+M.
Koska k =O/M (kts.lause 3.8), niin α, β ∈k. Tämä tarkoittaa, että x/z =x/z+M, y/z =y/z+M.
Huomataan, että koska F on homogeeninen, luvussa 1.3 määritelmän 1.12 jäljessä to-detun perusteella
F(X/Z, Y /Z,1) =F(X, Y, Z)/Zdeg(F). Nyt koska F(x, y, z) =F + (F) = 0, niin
F(x/z, y/z,1) =F(x, y, z)/zdeg(F)= 0/zdeg(F) = 0.
Siis F(α, β,1) = 0. Tämä merkitsee, että (α, β,1)∈C. Merkitään P = (α, β,1).
Osoitetaan seuraavaksi, että O(α,β)(C∩U3)⊆ O. Oletetaan, ettäz ∈ O(α,β)(C∩U3).
Tällöin on olemassa sellaiset A, B ∈k[C∩U3], että z = A(x/z, y/z)
B(x/z, y/z),
missä B(α, β) 6= 0. Koska k[C ∩U3] ⊆ O, niin A(x/z, y/z), B(x/z, y/z) ∈ O. Tästä seuraa, että z ∈ O.
Havaitaan lopuksi, että käyrän C on säännöllisyydestä seuraa pisteen P ∈C sään-nöllisyys. Tällöin lauseen 2.6 nojalla myös (α, β) ∈ C∩U3 on säännöllinen. Käyttä-mällä lausetta 3.11 nähdään, että O(α,β)(C∩U3)on diskreetti valuaatiorengas. Lauseen 3.9 mukaan diskreettien valuaatiorenkaiden välillä ei voi olla inkluusioita, joten O = O(α,β)(C∩U3). Lauseen 2.3 perusteella puolestaan
O(α,β)(C∩U3)∼=OP(C),
mikä todistaa väitteen, sillä samastuksen k[C∩U3] = k[x/z, y/z] perusteella voidaan nyt kirjoittaa pelkän isomorfian sijasta O =OP(C).
2
Lause 3.14 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k. Olkoon lisäksi R⊆k(C)sellainen alirengas, että k ⊆R⊆k(C), sekä {0} 6=
I ⊂ R renkaan R aito ideaali. On olemassa sellainen piste P ∈C, että I ⊆MP(C) ja R ⊆ OP(C).
Todistus. Tarkastellaan kaikkien sellaisten alirenkaiden S ⊆ k(C) muodostamaa jouk-koa F, joille pätee R ⊆ S ja IS 6= S. Koska joukko IS koostuu kaikista sellaisista äärellisistä summista Xavsv, missä av ∈ I, sv ∈ S, on helppoa todeta, että IS on renkaan S ideaali.
Huomataan ensin, että R ∈ F. Oletuksen mukaan nimittäin R ⊆ k(C) ja I 6= R, jotenIR6=R. Siis F 6=∅.
Todistetaan seuraavaksi, että joukon F jokaisella täydellisesti järjestetyllä osajou-kolla on yläraja. Olkoon H ⊆F täydellisesti järjestetty osajoukko. Asetetaan
T =∪{S|S ∈H}.
TodetaanT osajoukonH ylärajaksi osoittamalla, että T ∈F. EnsinnäkinT on kunnan k(C) alirengas ja R ⊆ T (oletuksen mukaanhan R ⊆ S kaikilla S ∈ H). On vielä näytettävä, että IT 6=T. Mikäli näin ei ole, niin 1∈T. Voidaan siis kirjoittaa
n
X
v=1
avsv = 1,
missäav ∈I,sv ∈T. Nyt on olemassa sellaiset joukotS1, . . . , Sn∈H, että kukinsi ∈Si (i= 1, . . . , n). KoskaH on täydellisesti järjestetty, löytyy sellainenj ={1, . . . , n}, että Si ⊆ Sj kaikilla i= 1, . . . , n. Tällöin s1, . . . , sn ∈ Sj, mikä tarkoittaa, että 1 ∈ISj eli että ISj =Sj. Mutta nyt Sj 6∈F. Siis IT 6=T, joten T ∈F.
Koska osajoukolle H löydettiin yläraja, voidaan soveltaa Zornin lemmaa. Sen pe-rusteella F sisältää maksimaalisen alkion, olkoon se O. KoskaI 6={0}, niinO ⊂k(C).
Osoitetaan, ettäO on diskreetti valuaatiorengas. Lauseen 3.10 mukaan riittää osoit-taa, että kaikilla z ∈k(C) päteez ∈ O tai z−1 ∈ O. Mikäli näin ei ole, löytyy sellainen z ∈ k(C), että z 6∈ O ja z−1 6∈ O. Koska z 6∈ O, niin O ⊂ O[z]. Vastaavasti ehdosta z−1 6∈ O seuraa, että O ⊂ O[z−1]. Selvästi O[z] ⊆ k(C). Alirenkaan O maksimaali-suuden perusteella IO[z] =O[z] ja IO[z−1] =O[z−1]. Näin ollen on olemassa sellaiset alkiot a0, . . . , an, b0, . . . , bm ∈IO, että
1 = a0+a1z+. . .+anzn
ja
1 = b0+b1z−1 +. . .+bmz−m.
Ilmeisesti n ≥ 1 ja m ≥ 1. Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että luvut n ja m on valittu pienimmiksi mahdollisiksi ja että m ≤ n. Kertomalla edellinen yhtälö termillä 1−b0 ja jälkimmäinen termillä anzn saadaan yhtälöt
(1) 1−b0 = (1−b0)a0+ (1−b0)a1z+. . .+ (1−b0)anzn ja
(2) 0 = (b0−1)anzn+b1anzn−1+. . .+bmanzn−m. Kun lasketaan yhteen nämä yhtälöt, tuloksena on
(3) 1 = (1−b0)a0+b0+. . .+ (b1an+ (1−b0)an−1)zn−1. On siis päädytty muotoa
(4) 1 =c0+c1z+. . .+cn−1zn−1
olevaan yhtälöön, jossaci ∈IO(i= 1, . . . , n−1). Tulos on ristiriidassa sen kanssa, että lukun on pienin mahdollinen. Vastaoletus ei siis pidä paikkansa, jotenO on diskreetti valuaatiorengas. Lauseen 3.13 mukaan on olemassa sellainen piste P ∈ C, että O = OP(C). Juuri todistetusta seuraa myös, että I ⊆ MP(C), koska MP(C) on renkaan OP(C)maksimaalinen ideaali.
2 Lauseesta 3.14 seuraa, että rationaalifunktiolla on vähintään yksi napa ja vähintään yksi nollakohta (mikäli kyseessä ei ole vakiofunktio):
Lause 3.15 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k. Rationaalifunktiolla z ∈ k(C), z 6∈ k, on ainakin yksi nollakohta ja ainakin yksi napa.
Todistus. Tarkastellaan rengasta R = k[z] ja sen aitoa ideaalia I = zk[z]. Selvästi k ⊆R⊆k(C)ja {0} 6=I 6=R. Koska C on säännöllinen projektiivinen käyrä, voidaan soveltaa lausetta 3.14. Sen perusteella on olemassa sellainen piste P ∈ C, että I ⊆ MP(C). Koska z ∈ zk[z], niin z ∈ MP(C). Tällöin z(P) = 0. Vastaavasti jossain pisteessä Q∈C onz−1(Q) = 0, jolloin z(Q) =∞.
2