Heikko approksimaatiolause

Tämän luvun päätulosta, heikkoa approksimaatiolausetta, tarvitaan rationaalifunktion nollakohtien ja napojen lukumäärää koskevissa tarkasteluissa.

Lause 3.16 (Heikko approksimaatiolause) Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli kunnank, P₁, . . . , P_n∈C eri pisteitä, x₁, . . . , x_n∈k(C)ja r₁, . . . , r_n∈Z.

On olemassa sellainen x∈k(C), että ord_Pi(x−x_i) =r_i, kun i= 1, . . . , n.

Todistus. Todistus on tekninen, joten jaetaan se osiin selkeyden vuoksi.

Askel 1. Osoitetaan, että on olemassa sellainen u∈k(C), että ord_P1(u)>0

ja

ord_Pi(u)<0, kun i= 2, . . . , n.

Askeleen 1 todistus. Huomataan ensin, että koska C on säännöllinen projektiivinen käyrä, niin lauseen 3.12 perusteella kukin O_Pi(C) on diskreetti valuaatiorengas (i = 1, . . . , n). Käytetään induktiota luvun n suhteen.

Perusaskeleessa arvolla n = 2 havaitaan käyttämällä lausetta 3.9, että O_P1(C) 6⊂

O_P2(C) ja O_P2(C) 6⊂ O_P1(C). On siis olemassa alkiot y₁ ∈ O_P1(C)\ O_P2(C) ja y₂ ∈ O_P2(C)\ O_P1(C). Koska y₁ on määritelty pisteessä P₁ mutta sillä on napa pisteessä P₂, niin ord_P1(y₁) ≥ 0 ja ord_P2(y₁) < 0. Vastaavasti ord_P1(y₂) < 0 ja ord_P2(y₂) ≥ 0.

Asetetaan

u= y₁ y₂. Apulauseen 3.8 a)-kohdan mukaan

ord_P1(u) =ord_P1(y₁)−ord_P1(y₂)>0 ja

ord_P2(u) = ord_P2(y₁)−ord_P2(y₂)<0.

Induktioaskeleessa oletetaan, että askeleen 1 väite on voimassa arvoilla 2, . . . , n−1 ja osoitetaan, että väite pätee myös arvolla n. Induktio-oletuksen perusteella löytyy sellainen y ∈k(C), että

ord_P1(y)>0 ja

ord_P2(y)<0, . . . , ord_Pn−1(y)<0.

Mikäli

ord_Pn(y)<0, ei ole mitään todistettavaa. Jos puolestaan

ord_Pn(y)≥0,

edellä sanotun nojalla löytyy sellainen z ∈ k(C), että ord_P1(z) > 0 ja ord_Pn(z) < 0.

Asetetaan

u=y+z^r. Tässä lukur ≥1valitaan siten, että

r·ordPi(z)6=ordPi(y)

kun i= 2, . . . , n−1. Apulauseen 3.8 b)-kohdasta seuraa, että

ord_P1(u) =ord_P1(y+z^r)≥min{ord_P1(y), r·ord_P1(z)}>0.

Arvoilla i= 2, . . . , n on voimassa aidon kolmioepäyhtälön nojalla ehto ord_Pi(u) =min{ord_Pi(y), r·ord_Pi(z)}<0.

Askel 2. Osoitetaan, että on olemassa sellainen w∈k(C), että ord_P1(w−1)> r₁

ja

ordPi(w)> ri, kun i= 2, . . . , n.

Askeleen 2 todistus. Valitaan u∈k(C) kuten askeleessa 1. Asetetaan w= (1 +u^s)⁻¹,

missä luku s∈Non valittu (riittävän suureksi) niin, että s·ord_P1(u)> r₁ ja

−s·ordPi(u)> ri, kun i= 2, . . . , n. Nyt

w−1 = −u^s(1 +u^s)⁻¹.

Koska ord_P1(1) = 0 ja apulauseen 3.8 a)-kohdan perusteella ord_P1(u^s) =s·ord_P1(u)>0, aidon kolmioepäyhtälön nojalla

ord_P1(1 +u^s) =min{ord_P1(1), s·ord_P1(u)}= 0.

Täten

ord_P1(w−1) =s·ord_P1(u)−ord_P1(1 +u^s) =s·ord_P1(u)−0> r₁. Lisäksi

ordPi(w) =−ordPi(1 +u^s) =−min{0, s·ordPi(u)}=−s·ordPi(u)> ri, kun i= 2, . . . , n.

Askel 3. Olkoot y1, . . . , yn ∈ k(C). Osoitetaan, että on olemassa sellainen z ∈ k(C), että

ord_Pi(z−y_i)> r_i kaikilla i= 1, . . . , n.

Askeleen 3 todistus. Valitaan luku s∈Z niin, että ord_Pi(y_j)> s

kaikilla i, j = 1, . . . , n. Askeleen 2 perusteella on olemassa sellaiset alkiot w₁, . . . , w_n∈k(C),

että

ord_Pi(w_i−1)> r_i−s ja

ord_Pj(w_i)> r_j −s, kun i6=j. Alkiolla

z=

n

X

j=1

y_jw_j

on halutut ominaisuudet. Tämän osoittamiseksi kirjoitetaan z−y_i =

n

X

j=1

y_jw_j−y_i =y_i(w_i−1) +^X

i6=j

y_jw_j.

Nyt

ord_Pi(y_i(w_i−1)) =ord_Pi(y_i) +ord_Pi(w_i−1)> s+ (r_i−s) = r_i. Vastaavasti

ord_Pi(y_jw_j) =ord_Pi(y_j) +ord_Pi(w_j)> s+ (r_i −s) =r_i. Apulauseen 3.8 b)-kohdasta nähdään, että

ord_Pi(z−y_i)> r_i.

Askel 4. Askeleen 3 nojalla on olemassa sellainenz ∈k(C), että ord_Pi(z−x_i)> r_i,

kun i= 1, . . . , n. Valitaan alkiot z_i ∈k(C)siten, että ord_Pi(z_i) = r_i;

asetetaan vaikkapa z_i = t^r_iⁱ, missä t_i on diskreetin valuaatiorenkaan O_Pi(C) lokaali parametri (i= 1, . . . , n). Askelta 3 käyttämällä löydetään sellainen z⁰ ∈k(C), että

ord_Pi(z⁰−z_i)> r_i, kun i= 1, . . . , n. Koska

ord_Pi(z_i)6=ord_Pi(z⁰−z_i), niin aidon kolmioepäyhtälön nojalla

ord_Pi(z⁰) =ord_Pi((z⁰−z_i) +z_i) = min{ord_Pi(z⁰−z_i), ord_Pi(z_i)}=r_i. Asetetaan x=z+z⁰. Koska

ordPi(z−xi)6=ordPi(z⁰),

hyödyntämällä jälleen aitoa kolmioepäyhtälöä päädytään tulokseen

ord_Pi(x−x_i) = ord_Pi((z−x_i) +z⁰) = min{ord_Pi(z−x_i), ord_Pi(z⁰)}=r_i.

2 Heikkoa approksimaatiolausetta käyttämällä voidaan nyt todistaa, että alkionx∈k(C) nollakohtien lukumäärä on enintään [k(C) :k(x)]:

Lause 3.17 OlkoonC säännöllinen projektiivinen käyrä yli algebrallisesti suljetun

Todistus. KäyränC säännöllisyyden perusteella O_Pi(C)on kunnan k(C)diskreetti va-luaatiorengas (i = 1, . . . , r). Koska k on algebrallisesti suljettu, lauseen 3.8 mukaan OPi(C)/MPi(C) =k kaikilla i = 1, . . . , r. Triviaalisti alkio 1 ∈ k muodostaa vektoria-varuudenO_Pi(C)/M_Pi(C)kannan yli kunnan k, kun i= 1, . . . , r. Heikon approksimaa-tiolauseen 3.16 nojalla löytyy sellaiset alkiot z₁, . . . , z_r ∈k(C), että kaikilla lukujen

i= 1, . . . , r arvoilla pätee

ord_Pi(z_i−1)>0 ja

ordP_h(zi)≥ordP_h(x), kun i6=h. Huomataan, että koska

z_i−1∈M_Pi(C),

niin z_i = 1 modulo M_Pi(C) (i= 1, . . . , r). Nyt myös alkio z¯_i muodostaa vektoriavaruu-den OPi(C)/MPi(C)kannan yli kunnan k (i= 1, . . . , r).

Niinikään lauseen 3.16 perusteella jokaista lukua i = 1, . . . , r kohti löytyy sellainen t_i ∈k(C), ettäord_Pi(t_i) = 1 ja että ord_Ph(t_i) = 0, kun i6=h. Väitetään, että alkiot

t^a_iz_i, missä

1≤i≤r,0≤a < ord_Pi(x),

ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnank(x). Näitä alkioita on

r

X

i=1

ord_Pi(x) kappaletta.

Tehdään vastaoletus, että alkiot t^a_iz_i ovat lineaarisesti riippuvia yli kunnan k(x).

Tällöin on olemassa ei-triviaali lineaarikombinaatio

yli kunnank(x). Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että alkiotϕ_ia ∈k[x]ja että kaikki niistä eivät ole jaollisia alkiolla x. Alkiotϕ_ia ovat siis muotoa

ϕ_ia =λ_ia+g_iax, missä λ_ia ∈k,g_ia ∈k[x] ja jokin λ_ia 6= 0.

Äsken tehdyistä oletuksista seuraa, että on olemassa sellaiset indeksith ∈ {1, . . . , r}

jac∈ {0, . . . , ord_Pk(x)−1}, että kaikillaa < c xjakaa alkionϕ_ha ja ettäxei jaa alkiota

Tarkastellaan ensin tapausta i6=h. Tällöin

ord_Ph(ϕ_iat^a_it^−c_h z_i) =ord_Ph(ϕ_ia) +a·ord_Ph(t_i)−c·ord_Ph(t_h) +ord_Ph(z_i)

Koska λ_hc 6= 0, päädytään ei-triviaaliin lineaarikombinaatioon λ_hcz¯_h = 0

yli kunnank. Siis alkioz¯_honkin lineaarisesti riippuva yli kunnank, mikä on ristiriidassa alkuperäisen oletuksen kanssa.

2 Lausetta 3.17 täsmennetään myöhemmin osoittamalla, että josx6∈k, niin lauseen 3.17 epäyhtälö onkin yhtälö. Lauseesta 3.17 seuraa välittömästi alla oleva tulos:

Lause 3.18 OlkoonC säännöllinen projektiivinen käyrä yli algebrallisesti suljetun kun-nan k. Rationaalifunktiolla 06=x∈k(C) on vain äärellinen määrä napoja ja nollakoh-tia.

Todistus. Vakiofunktiollax ∈k ei ole napoja eikä nollakohtia. Jos taas x 6∈k, lauseen 3.17 nojalla sen nollakohtien määrä on ≤ [k(C) : k(x)]. Samalla tavoin todetaan, että rationaalifunktiolla x⁻¹ on vain äärellinen määrä nollakohtia (jotka siis ovat rationaa-lifunktion x napoja).

2

4 Divisorit

4.1 Yleistietoa divisoreista

Tässä luvussa esitellään säännöllisen projektiivisen tasokäyrän divisorit. Tästä eteen-päin ord-funktiolla tarkoitetaan diskreetin valuaatiorenkaanOP(C)määräämää kerta-lukufunktiota; käyränC säännöllisyyden perusteellahanO_P(C)on diskreetti valuaatio-rengas kaikilla P ∈C. Annetaan aluksi joitakin määritelmiä:

Määritelmä 4.1 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä. Käyrän C divisori D on käyrän C pisteiden muodollinen summa

D= ^X

P∈C

n_PP, n_p ∈Z,

missä n_P 6= 0 vain äärelliselle määrälle pisteitä P. Lukua n_P kutsutaan pisteen P kertaluvuksi divisorissa D.

KäyränC kaikkien divisorien joukkoa merkitään symbolilla D_C. On ilmeistä, että pari (D_C,+) muodostaa Abelin ryhmän, kun divisorien yhteenlasku määritellään seuraavas-ti:

Laskutoimituksen + assosiatiivisuus ja kommutatiivisuus seuraa tavallisen yhteenlas-kun assosiatiivisuudesta ja kommutatiivisuudesta. Neutraalialkio on nolladivisori. Al-kion ^X

P∈C

n_PP käänteisalkio on ^X

P∈C

−n_PP. Määritelmä 4.2 Divisoria D = ^X

P∈C

n_PP ∈ D_C kutsutaan effektiiviseksi divisoriksi, jos kaikilla P ∈C pätee nP ≥0. merkitäänD≺D⁰. MikäliD on effektiivinen, niin määritelmän 4.2 mukaisesti D0.

Määritelmä 4.3 Divisorin D= ^X

P∈C

Määritelmä 4.4 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli kunnan k ja 06=

z ∈k(C). Alkion z määräämä divisori on div(z) = ^X

P∈C

ord_P(z)P.

Alkion z nollakohtadivisori on

(z)₀ = ^X

ordP(z)>0

ord_P(z)P

ja alkion z napadivisori on

(z)∞ = ^X

ordP(z)<0

(−ord_P(z))P.

Selvästi

div(z) = (z)₀−(z)∞.

Divisorien avulla voidaan siis pitää lukua rationaalifunktion nollakohdista ja navoista.

Olkoon z, z⁰ ∈k(C), z, z⁰ 6= 0. Koska

ord_P(zz⁰) = ord_P(z) +ord_P(z⁰), niin

div(zz⁰) =div(z) +div(z⁰).

Lisäksi

ord_P(z⁻¹) =−ord_P(z), joten

div(z⁻¹) =−div(z).

Määritelmä 4.5 OlkoonCsäännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli kunnank. Diviso-rienD, D⁰ ∈ D_C sanotaan olevan lineaarisesti ekvivalentteja, jos on olemassa sellainen z ∈k(C), että

D⁰ =D+div(z).

Tällöin merkitään D≡D⁰.

Nimensä mukaisesti lineaarinen ekvivalenssi ≡ on ekvivalenssirelaatio:

Lause 4.1 Määritelmän 4.5 relaatio ≡ on ekvivalenssi.

Todistus.Valitsemallaz = 0jaD⁰ =Dhuomataan, että≡on refleksiivinen. Oletetaan, että D≡D⁰. Määritelmän 4.5 mukaan on olemassa sellainen z₁ ∈k(C), että

D⁰ =D+div(z₁).

Koska div(z₁⁻¹) =−div(z1), asettamalla z2 =z₁⁻¹ havaitaan, että D=D⁰ +div(z₂).

Näin ollen D⁰ ≡D, ja ≡ on symmetrinen. Oletetaan lopuksi, ettäD≡D⁰ ja D⁰ ≡D⁰⁰. Käyttämällä jälleen määritelmää 4.5 nähdään, että löytyy sellaiset z₁, z₂ ∈k(C), että

D⁰ =D+div(z₁).

ja

D⁰⁰ =D⁰+div(z2).

Koska

div(z₁) +div(z₂) = div(z₁z₂), niin valitsemalla z₃ =z₁z₂ on löydetty sellainenz₃ ∈k(C), että

D⁰⁰ =D+div(z₃).

Siis ≡ on myös transitiivinen.

2

Apulause 4.1 Jos D≡D⁰, niin deg(D) = deg(D⁰).

Todistus. Oletetaan, että D ≡ D⁰. Määritelmän 4.5 mukaan on olemassa sellainen z ∈k(C), että D⁰ =D+div(z). Siis

deg(D⁰−D) = ^X

P∈C

ord_P(z).

Lauseessa 4.4 osoitetaan, että rationaalifunktiolla on yhtä paljon napoja ja nollakohtia (kertaluvut huomioon ottaen). Tästä tuloksesta seuraa, että

X

P∈C

ord_P(z) = 0.

Täten myös

deg(D⁰−D) = 0, mikä todistaa väitteen.

2

In document Algebrallisista käyristä (sivua 62-72)