Seuraava lause muodostaa perustan tässä luvussa käsiteltäville asioille:
Lause 3.4 OlkoonO kokonaisalue, joka ei ole kunta. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä:
1) O on lokaali Noetherin rengas, ja sen maksimaalinen ideaali on pääideaali
2) On olemassa sellainen jaoton alkio t ∈ O, että jokainen 0 6=z ∈ O voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa z =utn, missä u∈ O∗ ja n ∈N.
Todistus. Osoitetaan ensin, että jos ehto 1) pätee, niin myös ehto 2) on voimassa.
OlkoonM renkaanOyksikäsitteinen maksimaalinen ideaali. Apulauseen 3.4 perusteella M =O \ O∗. Koska M on oletuksen mukaan pääideaali, on olemassa sellainen t ∈ O, että M = (t). Apulauseen 3.7 nojalla M on alkuideaali, joten apulauseesta 3.6 seuraa alkion t jaottomuus.
Näytetään aluksi, että jos alkiolla 06=z ∈ O on vaadittua muotoa oleva esitys, niin tämä esitys on yksikäsitteinen. Tehdään vastaoletus, että jollain 06=z ∈ O pätee
z =vtm =utn,
missä u, v ∈ O∗, u 6= v, m, n ∈ N, m 6= n. Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että n > m. Tällöin
vu−1 =tn−m.
Nyt tn−m ∈M, mutta vu−1 ∈ O∗. Tässä on ristiriita, jotenu=v ja n=m.
Todistetaan sitten, että jokaiselle 0 6= z ∈ O löytyy haluttua muotoa oleva esitys.
Mikäliz ∈ O∗, kirjoitetaanz =zt0. Muutoin z ∈M, jolloin on olemassa esitysz =z1t, missä z1 ∈ O. Jos z1 ∈ O∗, vaadittu esitys on löydetty. Muussa tapauksessa z1 =z2t, missä z2 ∈ O jne. Osoitetaan, ettei jono
z1, z2, . . . voi olla ääretön. Tarkastellaan ideaaleja
(z1)⊂(z2)⊂. . . .
Koska oletuksen mukaan O on Noetherin rengas, apulauseen 3.3 mukaan tällä ketjulla on maksimaalinen jäsen. Näin ollen jollainn∈Z+on(zn) = (zn+1). Tällöinzn+1 ∈(zn), joten jollain v ∈ O päteezn+1 =vzn. Koska zn =zn+1t, niin kaikkiaanzn=vtzn, josta saadaanvt = 1. Siis t ∈ O∗, mikä on oletuksen vastaista.
Osoitetaan seuraavaksi, että ehdosta 2) seuraa ehto 1). Merkitään M = (t). Olkoon z ∈ O. Mikäli z ∈ O∗, ehdon 2) mukaan on olemassa esitys z = zt0 6∈ M. Muussa tapauksessaz voidaan lausua yksikäsitteisesti muodossaz =utn, missän ∈Z+. Tällöin z ∈M. SiisM =O \ O∗. KoskaM on ideaali, apulauseen 3.4 perusteella M on renkaan O yksikäsitteinen maksimaalinen ideaali, ja määritelmän 3.4 mukaanO on lokaali.
Todetaan vielä O Noetherin renkaaksi osoittamalla, että renkaan O kaikki ideaalit ovat täsmälleen ideaalit(tn),n∈N. OlkoonI 6=O renkaanO aito ideaali. Huomataan aluksi, että löytyy sellainenn∈Z+, ettätn∈I. Ehdosta 2) ja apulauseen 3.4 todistuk-sessa tehdystä havainnosta I ⊆M näet seuraa, että jokaisellaa ∈I on yksikäsitteinen esitys a=utn, missä u∈ O∗ ja n ∈Z+. Tällöin tn =u−1a∈I. Olkoon m pienin luku, jolle pätee tm ∈I. Näytetään, että I = (tm). Ilmeisesti (tm)⊆I. Olkoona ∈I. Mikäli a = utn, missä u ∈ O∗ ja n ∈ Z+, niin a = utn = utn−mtm ∈ tm. Siis myös I ⊆ (tm), mikä todistaa väitteen.
2
Lauseen 3.4 perusteella voidaan antaa seuraava määritelmä:
Määritelmä 3.6 Olkoon O lauseen 3.4 ehdot toteuttava kokonaisalue ja F sen osa-määräkunta. KokonaisaluettaOsanotaan kunnanF diskreetiksi valuaatiorenkaaksi (DVR).
Alkiota t kutsutaan diskreetin valuaatiorenkaan O lokaaliksi parametriksi.
Lause 3.5 Jos t on diskreetin valuaatiorenkaan O lokaali parametri, niin renkaan O kaikki lokaalit parametrit ovat täsmälleen alkiot ut, missä u∈ O∗.
Todistus. Huomataan ensin, että mikäli u∈ O∗, niinut on diskreetin valuaatiorenkaan O lokaali parametri. Selvästi (ut)⊆(t). Lisäksi
t=u−1(ut)∈(ut), joten myös (t)⊆(ut). Siis
M = (t) = (ut).
Jos puolestaan t0 ∈ O on lokaali parametri, lauseen 3.4 ehdon (2) mukaan M = (t0).
Koska myös M = (t), on oltava t0 =ut, missä u∈ O∗.
2
Lause 3.6 Jos O on kunnan F diskreetti valuaatiorengas ja lokaali parametri t ∈ O on kiinnitetty, niin jokainen06=z ∈F pystytään lausumaan yksikäsitteisesti muodossa z =utn, missä u∈ O∗ ja n ∈Z.
Todistus. Voidaan kirjoittaa z = ab−1, missä a, b ∈ O. Lauseen 3.4 perusteella on olemassa yksikäsitteiset esitykset a = vtk ja b = wtl, missä v, w ∈ O∗ sekä k, l ∈ N.
Merkitään u=vw−1 ja n =k−l.
2
Määritelmä 3.7 Yllä mainittua yksikäsitteistä lukua n∈Z kutsutaan alkion 06=z ∈ F kertaluvuksi ja merkitään n =ord(z). Lisäksi määritellään, että ord(0) =∞.
Luvun n yksikäsitteisyyden nojalla ehto
z 7→ord(z)
määrittelee funktion F −→ Z∪ {∞}. Näin ollen voidaan puhua diskreetin valuaatio-renkaan O kertalukufunktiosta. Lauseesta 3.5 seuraa, että kertalukufunktion arvo ei riipu lokaalin parametrint valinnasta. Jos nimittäint0 =vt on lokaali parametri, missä v ∈ O∗, niin esitys z =utn saadaan muotoon
utn = (uv−n)t0n, missä uv−n∈ O∗.
Selvästi
O ={z ∈F|ord(z)≥0}.
Renkaan O yksikköjen joukkoO∗ on
O∗ ={z ∈F|ord(z) = 0}
ja renkaan O maksimaalinen ideaali M puolestaan joukko M ={z ∈F|ord(z)>0}.
Apulause 3.8 Olkoon O kunnan F diskreetti valuaatiorengas ja a, b∈F. Tällöin a) ord(ab) =ord(a) +ord(b)
b) ord(a+b)≥min{ord(a), ord(b)}.
(Aito kolmioepäyhtälö) Jos ord(a)< ord(b), niin ord(a+b) =ord(a).
Todistus. a) Oletetaan aluksi, että a, b 6= 0. Olkoot a = utn ja b = vtm lauseen 3.6 mukaisia esityksiä. Nyt
ab= (uv)tm+n. Koska uv ∈ O∗, niin
ord(ab) = m+n=ord(a) +ord(b).
Oletetaan sitten, että a = 0 tai b = 0, olkoon esimerkiksi a = 0. Nyt tietenkin myös ab= 0. Tällöin määritelmän 3.7 mukaan
ord(a) =ord(ab) =∞,
ja väite pätee tässäkin tapauksessa. b) Tarkastellaan aluksi tapaustaa, b6= 0. Oletetaan ensin, että m=n. Nyt
a+b = (u+v)tn.
Mikäli u+v ∈O∗, yllä annettu esitys on lauseen 3.6 mukainen, ja ord(a+b) =m=n.
Jos puolestaan u+v 6∈ O∗, niin u+v ∈(t). Tämä tarkoittaa, että u+v =wtk jollain w∈ O∗ ja k∈Z+, jolloin
ord(a+b) = k+n > n.
Oletetaan sitten, että m6=n, olkoon vaikkapa m < n. Kirjoitetaan a+b= (v+utn−m)tm.
Huomataan, että
v+utn−m 6∈(t).
Muutoin näet olisi
v+utn−m =wtk, missä w∈ O,k ∈Z+. Tällöin myös olisi
v =wtk−utn−m ∈(t),
mutta v ∈ O∗. Koska siisv+utn−m 6∈(t), niin v+utn−m ∈ O∗. Siten alkiona+b esitys on lauseen 3.6 mukainen. Tällöin
ord(a+b) = m=min{ord(a), ord(b)}.
Jos a=b = 0, niin määritelmän 3.7 mukaan
ord(a+b) =ord(0) =∞=min{ord(a), ord(b)}.
Jos taas esimerkiksi a= 0, b6= 0, päädytään myös tulokseen ord(a+b) = ord(b) =min{ord(a), ord(b)}.
2
Apulauseen 3.8 a)-kohdasta seuraa, että jos a∈F,n ∈Z, niin ord(an) =n·ord(a).
Apulause 3.9 Olkoon O kunnan F diskreetti valuaatiorengas. Jos a1, . . . , an ∈ F ja on olemassa sellainen i ∈ {1, . . . , n}, että ord(ai) < ord(aj) kaikilla j 6= i, niin a1+ . . .+an 6= 0.
Todistus. Tehdään vastaoletus, että
a1+. . .+an = 0.
Silloin määritelmän 3.7 mukaan
ord(a1+. . .+an) = ∞.
Koska ord(ai) < ord(aj) kaikilla j 6= i, niin apulauseen 3.8 b)-kohdan aidon kolmio-epäyhtälön perusteella
ord(a1+. . .+an) = ord(ai)<∞.
Viimeksi sanottu merkitsee, ettäa1+. . .+an6= 0. On päädytty ristiriitaan alkuperäisen oletuksen kanssa, joten vastaoletus on väärä ja väite tosi.
2 Jos M on diskreetin valuaatiorenkaan O maksimaalinen ideaali, apulauseen 3.7 yhtey-destä nähdään, että jäännösluokkarengas O/M on kunta.
OlkoonCalgebrallinen tasokäyrä yli kunnank,O kunnank(C)diskreetti valuaatio-rengas sekä x ∈M, missä M on renkaan O maksimaalinen ideaali. Kolmen seuraavan apulauseen avulla todistetaan lauseessa 3.7, ettäk(C)on äärellisulotteinen vektoriava-ruus yli kunnan k(x). Apulause 3.10 todistetaan affiinin tasokäyrän tapauksessa todis-tustekniikkansa vuoksi, mutta lauseen 2.2 perusteella se yleistyy myös projektiivisille tasokäyrille.
Apulause 3.10 Olkoon C jaottoman polynomin F ∈ k[X, Y] määräämä affiini taso-käyrä ja x=X+ (F). Jos x6∈k, niin [k(C) :k(x)]<∞.
Todistus. Polynomin F jaottomuuden perusteellaF 6= 0. Näin ollen voidaan kirjoittaa F =F0Yd+F1Yd−1+. . .+Fd,
missä F0, . . . , Fd∈k[X], F0 6= 0. Olkoon
B =F0(x)Yd+F1(x)Yd−1+. . .+Fd(x)∈k(x)[Y].
Havaitaan ensin, että B 6= 0. Jos nimittäin olisi B = 0, niin olisi F0(x) = F1(x) =. . .=Fd(x) = 0,
jolloin x olisi algebrallinen yli kunnan k. Kuitenkin oletuksen mukaan x 6∈ k ja k on algebrallisesti suljettu, mikä tarkoittaa, että xon transkendenttinen yli kunnan k.
Huomataan seuraavaksi, että koska
F(x, y) =F + (F) = 0,
niinB(y) = 0. EhdoistaB ∈k(x)[Y],B(y) = 0 jaB 6= 0seuraa, ettäyon algebrallinen yli kunnan k(x). Täten apulauseen 1.3 nojalla
[k(x)(y) :k(x)]<∞.
Tämä todistaa väitteen, sillä apulauseen 1.1 mukaan k(x)(y) = k(x, y) ja luvussa 1.7 on todettu, että k(x, y) =k(C).
2 Alla olevasta apulauseesta nähdään, että apulauseen 3.10 alkio x voidaan itse asiassa korvata millä tahansa alkiolla z ∈k(C), z 6∈k:
Apulause 3.11 Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli kunnan k. Jos z ∈ k(C), z 6∈ k, niin [k(C) :k(z)]<∞.
Todistus. Olkoon x = X + (F), missä F on käyrän C määräävä polynomi. Koska apulauseen 3.10 mukaan [k(C) :k(x)]<∞, niin luvussa1 todetun mukaisestik(C)on kunnank(x)algebrallinen laajennus. Tällöin määritelmän 1.4 nojallazon algebrallinen yli kunnan k(x). Määritelmän 1.3 perusteella löytyy sellaiset f0, . . . , fn ∈k(x), f0 6= 0, että
f0zn+f1zn−1+. . .+fn= 0.
Yleisyyttä rajoittamatta on mahdollista olettaa, että f0, . . . , fn ∈ k[x] (mikäli näin ei ole, nimittäjät voidaan laventaa pois). Merkitään fi = Fi(x), missä Fi ∈ k[X] (i =
0, . . . , n). Voidaan myös olettaa, että jollain j ∈ {0, . . . , n} x ei jaa alkiota fj (muussa tapauksessax saadaan yhteiseksi tekijäksi alkioista f1, . . . , fn), jolloin Fj(0)6= 0.
Olkoon
G=F0zn+F1zn−1+. . .+Fn∈k(z)[X].
Selvästi G(x) = 0. Lisäksi huomataan, että G6= 0. Muutoin näet olisi myös 0 =G(0) =F0(0)zn+F1(0)zn−1+. . .+Fn(0),
mikä tarkoittaisi, että z on algebrallinen yli kunnan k eli ettäz ∈k. NytG∈k(z)[X], G(x) = 0 ja G 6= 0, joten x on algebrallinen yli kunnan k(z). Apulauseen 1.1 nojalla k(x, z) = k(z)(x). Yllä todetusta ja apulauseesta 1.3 seuraa, että
[k(x, z) :k(z)]<∞.
Oletus [k(C) : k(x)] < ∞ takaa, että myös [k(C) : k(x, z)] < ∞. Koska k(C) on kunnank(x, z)laajennus ja k(x, z)on kunnank(z)laajennus, soveltamalla apulausetta 1.2 nähdään, että
[k(C) :k(z)] = [k(C) :k(x, z)][k(x, z) :k(z)]<∞.
2
Apulause 3.12 OlkoonCalgebrallinen tasokäyrä yli kunnank,O kunnank(C)lokaali alirengas ja M renkaan O maksimaalinen ideaali. Nyt k∩M ={0}.
Todistus. Olkoon 0 6=x ∈ M. Oletetaan, että olisikin x ∈ k. Mutta nyt x on yksikkö, mikä on oletuksenx∈M vastaista, koska apulauseen 3.4 mukaan M =O \ O∗.
2
Lause 3.7 Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli kunnan k, O kunnan k(C) diskreetti valuaatiorengas, M renkaan O maksimaalinen ideaali ja 06=x∈M. Nyt on voimassa
[k(C) :k(x)]<∞.
Todistus. Diskreettinä valuaatiorenkaanaO on määritelmän 3.6 mukaan lokaali, joten apulauseen 3.12 perusteella x on transkendenttinen yli kunnan k. Apulauseesta 3.11 seuraa tällöin, että
[k(C) :k(x)]<∞.
2 Edellä havaittiin, ettäO/M on jokin kunta. Näytetään, että kunnank ollessa algebral-lisesti suljettu vieläpä O/M =k:
Lause 3.8 Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k, O kunnan k(C)diskreetti valuaatiorengas ja M renkaanO maksimaalinen ideaali. Nyt on voimassa
[O/M :k] = 1.
Todistus. Olkoon 06=x∈M. Apulauseesta 3.11 seuraa tällöin, että [k(C) :k(x)]<∞.
Osoitetaan ensiksi, että
[O/M :k]≤[k(C) :k(x)].
Olkoot alkiot z1, . . . , zn∈ O sellaisia, että niiden jäännösluokatz¯1, . . . ,z¯n ∈ O/M ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnank. Koskaz1, . . . , zn ∈k(C), riittää osoittaa, että alkiotz1, . . . , znovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnank(x). Tehdään vastaoletus, että on olemassa ei-triviaali lineaarikombinaatio modulo M yhtälöön (1) saadaan relaatio
(2) 0 = ¯0 =
Koska jollain luvunj ∈ {1, . . . , n}arvollaaj 6= 0, yhtälö (2) ilmaisee, että jäännösluokat
¯
z1, . . . ,z¯n ∈ O/M ovat lineaarisesti riippuvia yli kunnan k. Tässä on ristiriita, joka osoittaa vastaoletuksen vääräksi.
Selvästi k ⊆ O/M. Äsken näytettiin, että [O/M : k] < ∞, joten O/M on kunnan k äärellinen ja samalla myös algebrallinen laajennus. Mutta koska kuntak on algebral-lisesti suljettu, sillä ei voi olla aitoja äärellisiä laajennuksia (kts. [5, s.49]) eikä siten myöskään aitoja algebrallisia laajennuksia. Siis O/M =k, mikä merkitsee samaa kuin [O/M :k] = 1.
2 Seuraavasta lauseesta 3.9 nähdään, että diskreettien valuaatiorenkaiden välillä ei ole inkluusioita:
Lause 3.9 OlkoonC algebrallinen tasokäyrä yli kunnank ja O kunnan k(C) diskreetti valuaatiorengas. Nyt O on kunnan k(C) maksimaalinen aito alirengas.
Todistus.OlkoonR⊆k(C)sellainen alirengas, ettäO ⊆R. Näytetään, että josR 6=O, niin R =k(C). Olkoon z ∈ R\ O. Tällöin ord(z)<0, joten apulauseen 3.8 a)-kohdan seurauksen perusteella
ord(z−1) =−ord(z)>0.
Käyttämällä taaskin apulauseen 3.8 a)-kohtaa nähdään, että jokaisellay ∈k(C) pätee ord(yz−n) = ord(y) +n·ord(z−1)≥0,
kun lukun valitaan riittävän suureksi. Täten yz−n∈ O, mikä merkitsee, ettäy ∈ O[z].
Koska O[z]⊆R, niin y∈R, ja R=k(C).
2 Apulausetta 3.13 varten otetaan käyttöön seuraava merkintä. Jos M on renkaan O maksimaalinen ideaali ja x∈M, niin määritellään, että
xM ={xz|z ∈M}.
Apulause 3.13 Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli kunnan k ja O ⊂k(C) sellainen alirengas, että kaikilla z ∈ k(C) on voimassa ehto z ∈ O tai z−1 ∈ O. Oletetaan, että M on renkaan O maksimaalinen ideaali ja 06=x∈M. Olkootx1, . . . , xn∈M sellaisia, että x1 =x ja xi ∈xi+1M (i= 1, . . . , n−1). Tällöin
n ≤[k(C) :k(x)]<∞.
Todistus. Koska oletuksen mukaan kaikilla z ∈ k(C) pätee z ∈ O tai z−1 ∈ O, niin apulauseen 3.5 mukaan O on lokaali. Apulauseesta 3.12 seuraa, että x 6∈ k. Siis x on transkendenttinen yli kunnan k. Niinpä apulauseen 3.11 nojalla
[k(C) :k(x)]<∞.
Riittää siis osoittaa, että alkiotx1, . . . , xnovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnan k(x). Oletetaan, että näin ei olisi. Tällöin on olemassa ei-triviaali lineaarikombinaatio
(1)
n
X
i=1
ϕixi = 0
yli kunnank(x). Yleisyyttä rajoittamatta voidaan samoista syistä kuin apulauseen 3.11 todistuksessa olettaa, että ϕ1, . . . , ϕn ∈k[x]ja että xei jaa kaikkia alkioistaϕ1. . . , ϕn. Jakamalla yhtälö (2b) puolittain termillä xj saadaan
(3) −ϕj =
Tarkastellaan yhtälön (3) oikean puolen termejä. Arvoillai < j päteexi ∈xjM, jolloin xi/xj ∈ M. Alussa tehdyn oletuksen perusteella erityisesti x ∈ xjM. Koska lisäksi ϕi, gi ∈ k[x] ⊆ O ja xi ∈ M ⊆ O, niin yhtälön (3) oikean puolen yhteenlaskettavat kuuluvat joukkoon M. Näin ollen myös ϕj ∈ M. Toisaalta edellä tehtyjen oletusten mukaan
aj =ϕj−xgj.
Koska gj ∈ O, x, ϕj ∈ M ja aj ∈ k, niin aj ∈ M ∩k. Nyt apulauseen 3.12 nojalla aj = 0, mikä ei pidä paikkaansa.
2 Apulausetta 3.13 käyttämällä saadaan välttämätön ja riittävä ehto sille, milloin aliren-gas O ⊂k(C) on kunnan k(C) diskreetti valuaatiorengas:
Lause 3.10 Olkoon O ⊂ k(C) alirengas. Nyt O on kunnan k(C) diskreetti valuaatio-rengas, jos ja vain jos kaikilla z ∈k(C) pätee z ∈ O tai z−1 ∈ O.
Todistus. Osoitetaan ensin, että jos O on kunnan k(C) diskreetti valuaatiorengas, niin kaikilla z ∈ k(C) on voimassa ehto z ∈ O tai z−1 ∈ O. Tapauksessa z ∈ O asia on selvä. Jos puolestaan z 6∈ O, niinord(z)<0. Tällöin apulauseen 3.8 a)-kohdan nojalla
ord(z−1) =−ord(z)>0, jotenz−1 ∈ O.
Todistetaan sitten, että jos kaikilla z ∈ k(C) pätee z ∈ O tai z−1 ∈ O, niin O on kunnan k(C) diskreetti valuaatiorengas.
Apulauseen 3.5 mukaan O on lokaali eli renkaalla O on yksikäsitteinen maksimaa-linen ideaali M. Osoitetaan M pääideaaliksi. Tehdään vastaoletus, että ideaalilla M on useampi kuin yksi virittäjä. Olkoon 0 6= x1 ∈ M. Koska M 6= (x1), niin on ole-massa x2 ∈ M \(x1). Tällöin x2x−11 6∈ O, joten ord(x2x−11 ) < 0. Tämä tarkoittaa, että ord(x−12 x1) >0 eli että x−12 x1 ∈ M. Toisin sanoen siis x1 ∈x2M. Oletetaan, että xn−1 ∈xnM. Koska edelleen M 6= (xn), löytyyxn+1 ∈M\(xn). Nyt xn+1x−1n 6∈ O, mi-kä merkitsee, että x−1n+1xn∈M. Siisxn ∈xn+1M. Induktiolla luvun n suhteen saadaan näin ääretön jono
x1, x2, x3, . . .
ideaalin M alkioita siten, että xi ∈ xi+1M, i ≥ 1. Mutta tämä on ristiriidassa apu-lauseen 3.13 kanssa. On siis olemassa sellainen t∈ O, että M = (t). Tässät on jaoton, koska apulauseen 3.7 mukaan M on alkuideaali.
Näytetään seuraavaksi, että kaikillaz ∈ Oon yksikäsitteinen esitys muotoaz =utn, missä u ∈ O∗ ja n ∈ N. Tällaisen esityksen yksikäsitteisyys todistetaan samoin kuin lauseessa 3.4. Vielä on osoitettava esityksen olemassaolo. Koska z ∈ O tai z−1 ∈ O, yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että z ∈ O. Mikäliz ∈ O∗, voidaan kirjoittaa z = zt0. Jäljelle jää tapaus z ∈ M. Nyt z = utm jollain m ∈ N, u ∈ O (tämä ei ole välttämättä sama kuin lauseen 3.4 esitys). Huomataan, että
z∈tm−1M, tm−1 ∈tm−2M, . . . , t2 ∈tM,
joten voidaan asettaa
x1 =z, x2 =tm−1, x3 =tm−2, . . . , xm =t.
Koska apulauseen 3.13 nojalla yllä saatu jono on pituudeltaan rajallinen, on olemassa suurin mahdollinen sellainen luku m ≥ 1, että z ∈ (tm). Kirjoitetaan nyt z = utm, u ∈ O. Välttämättä u ∈ O∗. Muutoin näet u ∈ M, jolloin olisi u = tw, missä w ∈ O ja z =wtm+1 ∈(tm+1). Tämä aiheuttaisi ristiriidan sen kanssa, että luku m on valittu suurimmaksi mahdolliseksi.
Näin on osoitettu, että lauseen 3.4 ehto 2) pätee, joten O on diskreetti valuaatio-rengas.
2