Kirja-arvio: Pitkä matematiikka, kuudes ja seitsemäs kurssi

4 Solmu 1/2019

Kirja-arvio: Pitkä matematiikka, kuudes ja seitsemäs kurssi

Matti Lehtinen

Markus Hähkiöniemi, Satu Juhala, Petri Juutinen, Sa- ri Louhikallio-Fomin, Erkki Luoma-Aho, Terhi Raitti- la jaTommi Tikka:Juuri. Derivaatta. 168 s. Otava 2015. Hinta lokakuussa 2018 eri verkkokaupoissa 22,00 -27,75 euroa.Paavo Heiskanen, Päivi Kaakinen, Jukka Lehtonen, Mika Leikas jaJorma Tahvanainen: Teki- jä. Pitkä matematiikka 6. Derivaatta.178 s. Sa- noma Pro 2017. Hinta lokakuussa 2018 eri verkkokau- poissa 21,00–27,40 euroa.

Markus Hähkiöniemi, Satu Juhala, Petri Juutinen, Erkki Luoma-Aho, Terhi Raittila ja Tommi Tik- ka: Juuri. Trigonometriset funktiot. 144 s. Ota- va 2017. Hinta lokakuussa 2018 eri verkkokaupoissa 22,00–27,75 euroa.Paavo Heiskanen, Päivi Kaakinen, Jukka Lehtonen, Mika Leikas jaJorma Tahvanainen:

Tekijä. Pitkä matematiikka 7. Trigonometriset funktiot. 167 s. Sanoma Pro 2017. Hinta lokakuussa 2018 eri verkkokaupoissa 21,40–27,40 euroa.

Derivaattakurssi

Matematiikan pitkän oppimäärän kuudes kurssi on saanut otsikon Derivaatta. Otsikon käsitteen lisäksi kurssiin on sisällytetty rationaalifunktio. Funktion ylei- nen käsite on esitetty oppimäärän aloittavassa, pitkän ja lyhyen oppimäärän yhteisessä kurssissa ja kurssissa 2 on käsitelty polynomifunktioita. On jo aikakin kas- vattaa funktiotarjotinta. Kurssin tavoitteisiin kuuluvat

sitten ”havainnolliset käsitykset” funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivaatasta ja derivaatan käyttö (ni- menomaan) polynomifunktioiden ominaisuuksien sel- vittämiseen. Yleisemmät funktioihin liittyvät käsitteet kuten funktioiden yhdistäminen ja käänteisfunktio saa- vat vielä odottaa vuoroaan.

Kilpailevat oppikirjasarjat ovat kuudennen kurssin kohdalla varsin lähellä toisiaan. Kumpikin jakaa aineis- ton viiteen lukuun. Näistä kolmella ensimmäisellä on molemmissa kirjoissa sama nimi ja kahden viimeisen- kin nimissä on vain se ero, ettäJuurenotsikkojen sanaa kulku vastaaTekijänotsikoissa sana derivaatta. Harjoi- tustehtävien lukumäärässäTekijävoittaa: siinä on 342 tekstilukuihin liittyvää tehtävää ja lopussa vielä 103 kertaustyyppistä tehtävää.Juuressaon 273 numeroitua harjoitustehtävää ja lisäksi 37 kertaustehtävää. Tekijä jakaa tehtävänsä kahteen kategoriaan, perustehtäviä si- sältävään sarjaan I ja perus- sekä vaativampia tehtäviä sisältävään sarjaan II. Juuri jakaa edelleen tehtävän- sä kolmeen kategoriaan, joita kutsutaanydintehtäviksi, vahvistaviksi tehtäviksi jasyventäviksi tehtäviksi. Juu- renvastausosastossa on ensin vihjeitä (71:een numeroi- tuun harjoitustehtävään) ja sitten vastauksia. Jos teh- tävänanto alkaa sanalla ”osoita”, Juuren vastausosas- tossa on tehtävän numeron kohdalla pelkkä viiva.Teki- jänäyttää antavan jokaiselle tehtävälle joko vastauksen tai muun ratkaisuun johtavan viitteen.Tekijän ratkai- suosasto onkin kaikkiaan hiukan laajempi kuinJuuren.

Solmu 1/2019 5

Tarkastelun kohteena olevista oppimateriaaleista Te- kijä aloittaa esityksensä palauttamalla mieliin eräitä funktioon liittyviä käsitteitä. Palautetaan mieliin, että

”Funktio on sääntö, joka liittää jokaiseen määrittely- joukon lukuun täsmälleen yhden luvun, jota kutsutaan funktion arvoksi.” Kun kääntää sivua, saa sitten eteen- sä määritelmän, jonka mukaan ”Funktion määrittely- joukko muodostuu niistä luvuista, jotka voidaan sijoit- taa funktioon muuttujan paikalle.” Kehää kuljetaan.

Juuri ohittaa nämä tarkastelut.

Rationaalifunktioon Tekijä pääsee kertomalla, että murtolauseke on kahden polynomin osamäärä ja että rationaalifunktio on funktio, jonka lauseke on polyno- mien ja murtolausekkeiden summa. Onko siis funktio, jonka lauseke on

1 1 + 1

x

rationaalifunktio? Juuri puolestaan ilmoittaa hiukan väljemmin, että rationaalifunktio on funktio, jonka lauseke voidaan kirjoittaa kahden polynomin osamää- ränä

P(x) Q(x).

Juuri esittää tässä kohdin käsitteen määrittelyehdon.

Se on tietysti Q(x) 6= 0. Ehdon sanotaan osoittavan funktion määrittelyjoukon. Toisaalta määrittelyjoukon kerrotaan muodostuvan ”niistä kohdista, joissa funk- tion arvo voidaan laskea”. Aika tulkinnanvaraista. Mää- rittelyehto on myösTekijällä. SiltiTekijä esittelee esi- merkin

g(x) =x⁴−x

x + 1

x−3

ja kirjoittaa eksplisiittisestig(0) jag(3); kung:n lausek- keeseen tulee nollanimittäjä, todetaan, että 0 ja 3 eivät kuulug:n määrittelyjoukkoon. Kehältä näyttää taas.

Rationaalilausekkeet johtavat havaitsemaan, että lu- kion kursseissa ei ole vielä harjaannuttu laskemaan.

Molemmat kirjat antavat lyhyet ohjeet murtolausek- keiden yhteenlaskulle ja supistamiselle. Rationaalifunk- tion nollakohdille ja rationaalifunktion määrittämän epäyhtälötehtävän aika ilmeisille ratkaisuille kumpikin kirja omistaa lyhyen luvun. Kun näissä yhteyksissä on melkein vaistonvaraista ajatella tarkasteltavan osoitta- jan ja nimittäjän nollakohtien määrittämiä välejä, niin Tekijän Lauseen statukseen kohottaman ja korostettu- na painaman virkkeen hyvä tarkoitus peittää sen sana- tarkasti luettavan sisällön huvittavuuden: ”Rationaa- lifunktion arvot voivat vaihtaa merkkiään ainoastaan funktion nollakohdissa ja kohdissa, joissa funktio ei ole määritelty.” Lauseen alapuolella onkin sama muodos- sa, joka ei aiheuta hymyilyä: ”Funktion nollakohdat ja kohdat, joissa funktio ei ole määritelty, jakavat lu- kusuoran osaväleihin. Kullakin osavälillä funktion arvot säilyvät samanmerkkisinä (joko positiivisena tai nega- tiivisena).” Miksei tämä ole ”lause”?

Opetussuunnitelma antaa tavoitteeksi sen, ”että opis- kelija omaksuu havainnollisen käsityksen funktion raja- arvosta, jatkuvuudesta ja derivaatasta”. Kyse on siis muutamasta matemaattisen analyysin peruskäsittees- tä. Juuri esittää varsin pelkistetyn raja-arvon määri- telmän: ”Funktionf raja-arvo kohdassaaon lukub, jos funktion arvo lähestyy lukua b, kunxlähestyy kohtaa a. Tällöin merkitään lim

x→af(x) =b.” Tekijän määritel- mä on parempi, siinä muistetaan kertoa, että ”Lähes- tymisen tulee olla sellaista, että funktionf arvot saa- daan niin lähelle lukua b kuin suinkin halutaan, kun- han muuttujan arvot viedään riittävän lähelle lukuaa.”

– Tähänkin voisi pahantahtoinen kommentaattori huo- mauttaa, että määritelmä saattaisi taipua antamaan funktiolle sin1

xjonkin raja-arvon origossa. Mutta eihän opetussuunnitelma edellytä kuin ”havainnollista käsi- tystä”.

Tekijä on muutenkin hiukan seikkaperäisempi raja- arvoa esitellessään. Se esittää raja-arvon rationaaliset laskusäännöt, jotkaJuuriolettaa ilman muuta pätevik- si. EiTekijäkäänlaskusääntöjä perustele. Kun käytössä ovat vain rationaalifunktiot, laskusäännöistä seuraa he- ti, että funktion raja-arvo onkin sen arvo ainakin siel- lä, missä funktio on määritelty. Nimittäjän nollakoh- dat ovat nekin aika yksinkertaisesti käsiteltävissä.Juu- ri omistaa alaluvun toispuolisille raja-arvoille, Tekijä- kin ne määrittelee ja muistaa vielä muotoilla lauseeksi (todistamatta tietenkin) sen, että raja-arvon lim

x→af(x) olemassaolosta seuraa lim

x→a|f(x)|= lim

x→af(x) .

Kumpikin kirja antaa funktion jatkuvuuden määritel- mäksi kohdassaa ehdon lim

x→af(x) =f(a). Onko tämä opetussuunnitelman edellyttämää ”havainnollisuutta”, saattaa olla tulkinnanvaraista. Molemmat kirjat käsit- televät huolellisesti ilmeisesti erään takavuosien yliop- pilastutkintotehtävän esiin tuomaa seikkaa, jonka mu- kaan funktiota voi kutsua epäjatkuvaksi jossain pistees- sä vain, jos se on tässä pisteessä määritelty. Näin ollen yleistä puheenpartta, jonka mukaan 1

x olisi epäjatku- va origossa, on pidettävä virheellisenä. Juuri esittää määritelmän ”Funktio on jatkuva välillä [a, b], jos se on jatkuva kyseisen välin jokaisessa kohdassa.” Itse oli- sin taipuvainen – ainakin ”havainnollisesti” puhuessani – pitämään 1

x epäjatkuvana välillä [−1,1], kun ei se kerran voi määrittelemättömänä jatkuvakaan origossa olla, muttaJuurivaatii, että funktion tulee olla kaikis- sa välin pisteissä määritelty. Samoilla linjoilla on toki Tekijäkin. Suljettua väliä varten se tarvitsee vielä kä- sitteet oikealta ja vasemmalta jatkuva.

Kumpikin kirja nimeää kolmannen päälukunsa Deri- vaataksi ja aloittaa tarpeellisella huomautuksella siitä, että kysymys on muutoksesta ja sen nopeudesta.Teki- jä kertoo miltei heti, että derivaataksif⁰(a) kutsutaan funktion kuvaajan kohtaan x = a piirretyn tangentin

6 Solmu 1/2019

kulmakerrointa.Juuri lähtee ensin esittelemään erilai- sia muuttuvia suureita, esittää keskimääräisen muutos- nopeuden kuvaajien avulla ja ilmoittaa veren puudu- tusaineen pitoisuutta ajan funktiona esittävän käyrän (silmämääräisesti) piirretyn tangentin kulmakertoimen olevan pitoisuuden muutosnopeus. Kuvassa tangentti on laskeva suora, joten muutosnopeus on negatiivinen.

Runsaiden esimerkistöjen jälkeen kirjat pääsevät esit- tämään derivaatan määritelmän erotusosamäärän raja- arvona,Tekijän mukaan

f⁰(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a) h jaJuurenmukaan

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a)

x−a . (1)

Jostain syystä Tekijä on sijoittanut muodon (1)

”Syventävää tietoa” -otsikon alle. Derivaatan raja- arvomuotoisen määritelmän jälkeen molemmat kirjat sitten määrittelevät f:n kuvaajan tangentin suoraksi, jonka kulmakerroin onf⁰(a). Molemmat kirjat määrit- televät derivaattafunktion (joka historiallisesti on sekä sanan derivaatta että merkinnänf⁰ takana), jaTekijä muistaa mainita, että derivaattafunktiolla saattaa ol- la myös derivaattafunktiof⁰⁰ jne.Juurenlukija kohtaa toisen derivaatan vain myöhemmin vastaan tulevassa esimerkkitehtävässä, jossa kysytään hetkeä, jolloin lää- keaineen pitoisuus vähenee nopeimmin.

Jotta polynomifunktioiden derivaattoja voitaisiin muo- dostaa, on oltava tieto potenssien derivaatan muodos- tamisesta ja tieto derivointioperaation lineaarisuudes- ta. Edelliseen tietoon kumpikin oppikirja johdattaa muutaman derivaatan määritelmän perusteella laske- tun pienen eksponentin tapauksen kautta. Juuri pe- rustelee menettelyn yleiselle eksponentille käyttämäl- lä lausekkeenxⁿ−aⁿ tekijöihin jakoa (x−a)(xⁿ⁻¹+ xⁿ⁻²a+· · ·+xaⁿ⁻² +aⁿ⁻¹) (perusteluna ”sulkujen auki kirjoittaminen”),Tekijä taas viittaa todistukses- sa harjoitustehtävään, jossa derivointikaava pyydetään todistettavaksi induktiolla, mutta samalla ilmoitetaan induktion opetuksen tapahtuvan kurssissa 11. Derivaa- tan muodostuksen lineaarisuuttaTekijä perusteleekin, Juurellese on ilmoitusasia.

Entä funktioiden tulon derivaatta? Tekijä peruste- lee kaavan manipuloimalla erotusosamäärää kaikkiaan kymmenen rivin yhtälöketjussa.Juurilykkää koko kaa- van esittämisen rationaalifunktion derivaatan käsitte- lyn yhteyteen ja selviää hiukan vähemmillä yhtälöil- lä. Juuri kertoo lisäksi, että tulofunktion derivaattaa ei kurssissa tarvita muuta kuin osamäärän derivaatan kaavan johtamiseen. Molemmat kirjat sitten johtavat- kin osamäärän

h(x) =f(x) g(x)

derivointikaavan kertomalla ensin, ettähvoidaan ero- tusosamäärää tarkastelemalla osoittaa derivoituvaksi

ja ratkaisemalla h⁰ yhtälöstä f⁰(x) = h(x)g⁰(x) + g(x)h⁰(x). Yksi uskottelukohta olisi voitu ohittaa, jos olisi manipuloitu osamäärän erotusosamäärää hyvin sa- malla tapaa kuin tulofunktion tapauksessa.

Derivaattaa voidaan käyttää funktion kulun ja ääriar- vojen tutkimiseen. Kun derivaatta on paikallisesti mää- ritelty suure, syntyy ongelmaa globaalimpien ominai- suuksien suhteen. Jos esimerkiksi tiedetään funktio kas- vavaksi, on aika ilmeistä, että sen derivaatta ei voi olla negatiivinen. Mutta se, että derivaatan ei-negatiivisuus implikoi kasvamisen, perustellaan yleensä differentiaa- lilaskennan väliarvolauseen avulla. Tämän molemmat kirjat muistavat sanoa, jaJuuressa on väliarvolauseen ymmärrettäväksi tekevä kuvakin. Sen sijaan se keskei- nen tosiasia, että suljetulla välillä jatkuvalla funktiolla on suurin ja pienin arvo, joudutaan ottamaan käyttöön vain kertomalla, että asian todistaminen edellyttää lu- kion kurssin ylittäviä tietoja. Näinhän asia onkin.

Olen aikaisemmin kritisoinut koulukirjoja, nytkin esil- lä olevia sarjoja, siitä, että ne eivät suostu sovittamaan omalle rivilleen ladottavia kaavoja muuhun tekstiin ja esimerkiksi jättävät ne välimerkeittä. SekäTekijä että Juuri näyttävät nyt horjuvan. Samalla sivulla saatta- vat jotkin kaavat olla oikeilla välimerkeillä varustettu- ja, toiset taas eivät. Ja monesti kaavojen viereen on eri kirjasinlajilla ja sinisellä värillä (Tekijä) tai keltaisella pohjalla (Juuri) painettu tekstiä, jonka voisi ajatella olevan esimerkiksi kaavaa taululle kirjoittavan puhu- maa selitystä. Askel matematiikassa normaalin kielen- käytön suuntaan on otettu.

Opetussuunnitelman kurssille asettaman kuuden ta- voitteen joukossa on myös se, että opiskelija osaa käyt- tää teknisiä apuvälineitä kurssiin liittyvien tehtävien ratkaisemisessa. Hyvä niin, mutta silti pysäyttävä on Juuren harjoitustehtävä, jonka a- ja b-kohdissa on osoi- tettava, että tietty lukujono toteuttaa kaksi yksinker- taista epäyhtälöä, ja c-kohdassa sitten pyydetään sopi- vaa ohjelmaa käyttäen ”varmistamaan a- ja b-kohtien tulokset”. Kone tietää enemmän?

Trigonometrisia funktioita

Pitkän matematiikan seitsemännen kurssin opetus- suunnitelma antaa itsessään jotenkin lapsellisen vaiku- telman: siinä ilmaistaan eksplisiittisenä tavoitteena, et- tä oppilas osaa kaavat sin²x+ cos²x= 1 ja

tanx= sinx cosx.

Opetussuunnitelman listaamien seitsemän tavoitteen ja viiden keskeisen sisällön joukossa on yksi trigonomet- risia funktioita yleisemmän tason asia, yhdistetty funk- tio ja sen derivaatta. Trigonometriset funktiot rikastut- tavat hiukan analyysia, jota toistaiseksi on harrastettu vain polynomi- ja rationaalifunktioilla. Matematiikan

Solmu 1/2019 7

perinteen mukainen käsittelyjärjestys olisi kaikkien al- keisfunktioiden käyttöönotto ennen esimerkiksi diffe- rentiaalilaskennan mukaantuloa.

Sisällysluetteloa katsoen selvin ero Tekijä- ja Juuri- sarjojen seitsemännen kurssin esittelyssä on tämän yh- distetyn funktion ja sen derivaatan sijoittamisessa.Te- kijä aloittaa siitä. Juuri taas on asettanut yhdistetyn funktion käsittelyn kirjan viimeiseksi luvuksi. Sijoitta- misella ei ole suurta merkitystä. Kumpikin kirja esittää yhdistetyn funktion derivoinnin, ketjusäännön, johdon erotusosamäärän avulla. VainJuuri muistaa huomaut- taa, että muotoon

(u◦s)(x+h)−(u◦s)(x) h

=u(s(x+h))−u(s(x)

s(x+h)−s(x) · s(x+h)−s(x) h

kirjoitetussa erotusosamäärässä saattaa tulla nollalla- jakamistilanne. Miten asiasta selvittäisiin, jää kuiten- kin kertomatta. Kumpikaan kirja ei mainitse tilannet- ta, jossa sisäkkäin olisi useampia funktioita. Ketjusään- nön yleistäminen tällaisiin tapauksiin olisi kuitenkin aivan triviaalia. Varsinaisen trigonometriaan liittyvän asian kumpikin kirja aloittaa radiaanin määrittelystä.

Juuren esittämästä määritelmästä näyttää seuraavan, että radiaanin yksikkö on pituuden yksikkö! Toisaalta Juuri esittää joukon tyyppiä 360^◦ = 2π olevia yhtä- löitä ja ”lauseen”: ”Jos ympyrän säde ei ole 1, kulman suuruus radiaaneina saadaan jakamalla kaaren pituus säteellä.”Tekijä on tässä korrektimmilla linjoilla.

Molemmat kirjat esittävät yleisen kulman sinin ja ko- sinin normaalilla tavalla yksikköympyrän kehäpisteen koordinaatteina. Kulman tangentti sen sijaan saa vaih- televan käsittelyn. Tekijän mukaan kulman tangent- ti on sen sinin ja kosinin osamäärä, kun kosini ei ole nolla, muttaJuuren mukaan kulman tangentti on sen tangenttipisteen y-koordinaatti. Tangenttipiste taas on se piste, jossa suora, johon muuttuvan kulman kier- tyvä kylki kuuluu, leikkaa yksikköympyrän pisteeseen (1,0) asetetun tangentin. Mutta Tekijäkin tarvitsee tangenttipistettä esimerkiksi määritelläkseen tangent- tifunktion ja löytääkseen sen jakson. Lukija ihmettelee, miksei yhteys

tan(x+π) = sin(x+π)

cos(x+π) = −sinx

−cosx= sinx

cosx = tanx riitä. Kun sitten tullaan tangenttifunktion derivaat- taan, niin tangentti on taas sinin ja kosinin osamää- rä. Olisiko niin, että tekijäkollektiivin eri jäsenet ovat

kirjoittaneet omia jaksojaan, ja yhdenmukaistava koor- dinointi on jäänyt kesken?

Derivaatan esittelyssä Juuri voittaa. Sinin derivaat- ta perustellaan. Tosin tarvittavat apuneuvot, sinin yh- teenlaskukaava ja raja-arvo

h→0lim sinh

h = 1

on esitetty harjoitustehtävissä, joihin derivaatan joh- dossa viitataan vain kirjan luvun tarkkuudella. Tekijä määrittelee vain tylysti sini- ja kosinifunktion derivaa- tat esittämättä asioille muuta perustelua kuin ”tutki- mustehtävän”, jossa pyydetään piirtämään – arvatta- vasti jotain ohjelmaa käyttäen – sini- ja kosinifunktioi- den kuvaajat ja määrittämään niistä derivaatan arvo viidessä pisteessä.

Kaiken kaikkiaan hiukan hämmentää molempien kir- jojen tapa ensin määritellä sinxja cosxkaikille suun- nistetuille (tai suunnatuille) kulmille ja siis kaikille re- aaliluvuillexja aloittaa sitten uusi luku, jonka sisältö on ”sini ja kosini funktioina”. Hämmennystä ei aina- kaan vähennä Tekijän toteamus ”Kosinifunktion cosx arvo on kulman x kehäpisteen x-koordinaatti.” Miksi kulman symbolina on x, kun eletään koordinaatistos- sa, jonka pisteiden totunnainen esitys on (x, y)? Mik- sei sint, cost? Helposti paremmaksi kohennettavia il- mauksia löytyyJuurestakin. Määriteltyään funktionf, jonka arvo on kulman xtangentti, kirja toteaa, ”että funktionf arvoa ei voi laskea kohdissax=π

2 +n·π,”

vaikka edellisessä kurssissa on opittu, että funktiolla on määrittelyjoukko. Voi kuvitella funktion ja määrittely- joukon pisteen, jossa funktion arvon laskeminen ei on- nistu, mutta tässähän ollaan selvästi määrittelyjoukon ulkopuolella. Ja jos tanα=a, niin ”yhtälön tanx=a täydellinen ratkaisu” ei ehkä olisi ”x=α+n·π, missä n on mikä tahansa kokonaisluku”. Jokainen tällainen luku lienee yhtälön yksittäinen ratkaisu.

Tällaiset hiuksenhalkomiset jääkööt. Mutta vakava- na puutteena on pidettävä sitä, että kumpikaan kir- ja ei hiiskahda sanallakaan kolmesta muusta ainakin englanninkielisissä luonnontieteellis-teknisissä yhteyk- sissä melko varmasti vastaan tulevasta trigonometrises- ta perusfunktiosta kotangentti, sekantti ja kosekantti.

Ja kyllä trigonometristen funktioiden yhteydessä voisi arkusfunktiotkin mainita, vaikka käänteisfunktion kä- sitettä pantataankin aina kurssiin 13. Laskimistakin löytyy näitä varten näppäimiä.