• Ei tuloksia

Laskeg0(0)kun tiedetään, että∂1f(p) =−1 ja∂2f(p

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "Laskeg0(0)kun tiedetään, että∂1f(p) =−1 ja∂2f(p"

Copied!
1
0
0

Kokoteksti

(1)

Analyysi II, syksy 2008 Harjoitus 6

1. Olkoot f :R3R jaG:RR3 seuraavat funktiot:

f(x, y, z) = cos(xz)−x2y G(t) = (t2, t, πt).

Määrää funktiof ◦Gsekä sen 1. ja 2. derivaatta.

2. Olkoon f : R2 R dierentioituva kuvaus, p R2 ja a = ( 2,1).

Määritellääng:RR kaavalla

g(t) =f(ta+p).

Laskeg0(0)kun tiedetään, että1f(p) =−1 ja2f(p) = 2. 3. Olkoot f :RnR jag:RR määritelty seuraavasti:

f(x) =kxk ja g(t) =t5.

(a) Tutki, missä pisteissä funktiog◦f on dierentioituva, ja määrää sen osittaisderivaatat näissä pisteissä.

(b) Olkootv,nRn sellaiset, ettänv jaknk= 1. Määritä

n(g◦f)(v).

4. Määrää pinnalle

S

(x, y, z)R3 : 3x2+y4=zª pisteeseenp= (2,1,13)asetetun tangenttitason yhtälö.

5. Määrää ne avaruuden R3 yksikköpallon pinnan pisteet, joihin asetettu tangenttitaso kulkee pisteenp= (0,2,0)kautta.

6. Olkoon I R avoin väli, ja olkoot F, G : I Rn sekä ϕ : I R dierentioituvia funktioita. Osoita, että

a) (ϕF)0 =ϕ0F+ϕF0 b) (F•G)0 =F0•G+F•G0

c) kun n= 3,(F×G)0= (F0×G) + (F×G0).

7. Määrää kaikki funktion

f(x, y) = ex2y kolmannen kertaluvun osittaisderivaatat.

Viittaukset

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

[r]

Pyri esittämään konstruktiotehtävien ratkaisut kahdella eri tavalla: Sallituilla piirtämisvä- lineillä sekä toisaalta lausekkeiden (kaavojen)

Osoita, että heidän joukostaan löytyy aina kolme, jotka kaikki tuntevat toisensa, tai kolme, joista ketkään kaksi eivät tunne

[r]

Muista mallin 1 sävymuuttujista ainoastaan epävarmuus aikavälillä [0, 1] oli lähellä tilastollista merkitsevyyttä (p=0.08), joten tämän tu- loksen perusteella voisi olla

For instance, in R&D, which is the example I use for the rest of the note, one may think that R&D activity consist of choosing di¤erent paths of research, and each of the

Ensimmäinen laivalasti amerik- kalaisia risteili Kristina Reginalla vuonna 2001, mutta tämä avaus ei ollut erityisen innostava.. Käytännössä asiakaskunta on- kin

Ohjauksen tarkoituksena on auttaa opiskelijaa lukio-opinto- jen eri vaiheissa. Koulu tarjoaa opiskelun ja valintojen tueksi oh- jausta, jonka avulla opiskelija ymmärtää