MTTTP5
Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen
1. Valitaan 25 alkion satu nnaisotos jakau m asta N (, 25). Olkoon H0 : = 12.
H ylätään H0, jos otoskeskiarvo on su u rem p i ku in 13,96. Mikä on testissä käytet ty
:n arvo?
2. Peru nalastu jen valm istaja ilm oittaa p eru nalastu p u ssin keskip ainoksi 340 g.
Tu tkitaan väitettä ja tehd ään 16 p u ssin satu nnaisotos ja saad aan keskip ainoksi 336 g ja keskihajonnaksi 11 g. Testaa kau p p iaan v äitettä 5% riskitasolla. Arvioi tod ennäköisyyttä saad a otoksesta saatu a testisu u reen arvoa harvinaisem p i arvo eli arvioi p ienintä riskitasoa, jolla valm istajan väite void aan hylätä.
3. Tarkastellaan oheisia analysointitu loksia. Mille p op u laation p aram etrille löytyy lu ottam u sväli? Mitä kaavaa käyttäen se on laskettu ? Mitä hyp oteesia on testattu ? Kirjoita testisu u reen kaava. Määritä p ienin riskitaso, jolla H 0 voidaan hylätä.
-2,0 -1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Moment s Test Mean=value
Mean -0 ,0 2 1 7 4 Hypot hesized Value 0 ,0 0 0
St d Dev 0 ,9 6 3 2 9 Test St at ist ic -0 ,2 0 2
St d Err Mean 0 ,1 0 7 7 0 Prob > |t | 0 ,8 4 1
upper 9 5 % Mean 0 ,1 9 2 6 3 Prob > t 0 ,5 8 0
lower 9 5 % Mean -0 ,2 3 6 1 1 Prob < t 0 ,4 2 0
N 8 0
4. Tu tkitaan onko m iesten ja naisten kolesteroliarvot (tietyllä tavalla rajatu ssa p op u laatiossa) keskim äärin sam oja. Ohessa analysointitu loksia. Mitä graafista esitystä olisi ollu t m ahd ollista käyttää? Kirjoita käytetyn testisu u reen kaava. Sijoita testisu u reen kaavaan aineistosta lasketu t lu vu t. Mitä t -jakau m an tau lu kkoarvoa on käytetty laskettaessa vastaavaa lu ottam u sväliä? Tu lkitse tu los.
5. Tu tkittiin op etu sm enetelm än vaiku tu sta op p im iseen. Ku rssilla lu ennot esitettiin toiselle ryhm älle televisioitu ina ja toiselle ryhm älle tavalliseen tap aan.
Osallistu jille tehtiin testi sekä ennen että jälkeen ku rssin ja laskettiin testip istem äärien erotu kset (selitettävä m u u ttu ja). Ohessa saatu ja analysointitu loksia. Täyd ennä kohd at a) - c) sekä su orita testau s ja tee
johtop äätelm ät. Määritä p ienin riskitaso, jolla nollahyp oteesi void aan hylätä.
Mitkä ovat testin käyttöön liittyvät oletu kset?
Group Statistics
OPETUSTAPA N Mean Std . Deviation Std . Error Mean
Tavallinen a) 13,748 13,691 2,542
TV 49 17,090 10,883 1,555
Independent Samples Test
Levene's Test for Equ ality of Variances
F Sig.
3,637 ,060
t-test for Equ ality of Means
Mean Std . Error
t d f Sig. (2-tailed ) Difference Difference
Equ al variances assu m ed c) 76 ,238 b) 2,810
Equ al variances not assu m ed -1,121 48,87 ,268 ******* 2,980
6. On generoitu 100 alkion otos Tas(0,1):sta. Ohessa generointiin liittyviä tu loksia.
Moment s
Mean 0 ,5 1 5 5
St d Dev 0 ,2 7 8 8
St d Err Mean 0 ,0 2 7 9 upper 9 5 % Mean 0 ,5 7 0 8 lower 9 5 % Mean 0 ,4 6 0 2
n 1 0 0
Testaa otoksen p eru steella sitä, onko otos p eräisin jakau m asta, jonka od otu sarvo on kyseisen tasajakau m an od otu sarvo. Arvioi p -arvoa. Miten lu ottam u sväli on laskettu ?
Ratkaisuja
1. Ku n H 0 on tosi, niin
P X
13.96
1P X
13.96
1 13.96125/ 25
1
1.96 10,9750,025 joten = 0,025.2. H 0 : = 340, H 1 : < 340. Ku n H 0 on tosi, niin ~ ( 1)
/ t n
n s
340 -
=X
t .
45 . 16 1
/
11 -340
=336
thav . t
0.05;15 = 1.753, t
0.1;15 = 1.341. Koska t
hav> -1.753, niin H 0 hyväksytään 5%:n riskitasolla tarkasteltuna. Koska -1.341 < thav < -1.753, niin p p ienin riskitaso, jolla H 0 voidaan hylätä (yksisuuntaisessa testissä) on 0.05 < p
< 0.1
3.
-2,0 -1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Moment s Test Mean=value
Mean = -0 ,0 2 1 7 4 Hypot hesized Value 0 ,0 0 0
St d Dev s = 0 ,9 6 3 2 9 Test St at ist ic -0 ,2 0 2
St d Err Mean s/n =0 ,1 0 7 7 0 Prob > |t | 0 ,8 4 1
upper 9 5 % Mean 0 ,1 9 2 6 3 Prob > t 0 ,5 8 0
lower 9 5 % Mean -0 ,2 3 6 1 1 Prob < t 0 ,4 2 0
N n = 8 0
100(1-)%:n lu ottam u sväli od otu sarvolle, kun jakau m an varianssi on
tu ntem aton, X ± t/ 2;n-1s/n, m issä = 0.05. Tässä H 0 : = 0 ja testisu u reen kaava
n s/
0 -
= X
t , josta t
hav= -0.202 sekä kaksisu u ntaisessa testissä p = 0.841.
4.
Selitettävä m u u ttu ja on kvantitatiivinen kolesteroliarvo ja selittävä
lu okittelu asteikollinen sukupuoli. Graafisesti näitä voi tarkastella p istep arvena tai laatikko-jana -ku viona.
H yp oteesit H 0 : M = N , H 1 : M ≠ N . Käytetään riip p u m attom ien otosten t - testiä, jolloin
N
M n
S n1 1
N M-Y
= Y
t , m issä
2 2
(
N M N
M
N M
n n n
n
n
n M2 2N M M
2 ( -1)S + -1)S SS +SS
= S
4796 . 2 2
19 78
19 (
7
2 2
2 ( 8-1)1.5672 + -1)1.6063
=
S , joten
787 . 1 19
1 78 5748 1 . 1
6.5926 -
7.3126
=
thav tai su oraan
(tu loksista saad aan Std . Error Difference = 0.4029 =
19 1 78 5748 1 .
1 )
787 . 4029 1
.
0 -6.5926 7.3126
=
thav . Laskettu 95%:n lu ottam u sväli, joten kaavassa käytetty t
0.05/ 2;78+19-2 ≈ 1.98. Taulukkoarvo voidaan määrittää myös seu raavasti: lu ottam u svälin yläraja 1.5197 = 0.7199+ t
0.05/ 2;95 0.4029, josta t0.05/ 2;95 = 0.7998/ 0.4029 = 1.9851.
Koska (kaksisu u ntaisessa testissä) p ienin riskitaso, jolla H 0 voidaan hylätä on 0.077 (Sig. (2-tailed )), hyväksytään H 0 ja tehdään johtopäätelmä, että
kolesteroliarvot ovat m iehillä ja naisilla keskim äärin sam oja. Sam an johtop äätelm än voi tehd ä lu ottam u svälin avu lla. Koska nolla ku u lu u od otu sarvojen erotu ksen lu ottam u svälille, void aan erotu sta p itää nollana.
5. Group Statistics
OPETUSTAPA N Mean Std . Deviation Std . Error Mean
Tavallinen a) 76-49+2=29 13,748 13,691 2,542
TV 49 17,090 10,883 1,555
Independent Samples Test
Levene's Test for Equ ality of Variances F Sig. TässäH0 : 2tav = 2TV
3,637 ,060 Koska p = 0.06, voidaan H0 hyväksyä ja olettaa populaatioiden varianssin yhtä suuriksi.
t-test for Equ ality of Means
t d f Sig. (2-tailed ) Mean Difference Std . Error
Difference
Equal variances assumed c) 76 ,238 b) 13.748-17.090 2,810
= -3.342/2,810 = -3.342
= -1.189
Equ al variances not assu m ed -1,121 48,87 ,268 ******* 2,980
Ku ten tehtävässä 4 (ks. kaavat sieltä) käytetään riip p u m attom ien otosten t -testiä.
H yp oteesit H 0 : tav = TV, H 1 : tav ≠ TV. Pienin riskitaso, jolla H 0 void aan kaksisu u ntaisessa testissä hylätä on 0.238 > 0.05 (esim .), joten hyväksytään H 0.
Void aan tietysti m yös katso tau lu kkoarvo t
0.05/ 2;76 ≈ 2. Koska | -1.189| < 2, H0 hyväksytään 5%:n riskitasolla tarkastellen.
Riip p u m attom ien otosten t-testissä oletetaan, että m eillä on riip p u m attom at satu nnaisotokset kahd esta norm aalijakau m asta, joid en varianssit tu ntem attom ia, m u tta yhtä su u ria.
6.
Kyseisen tasajakau m an od otu sarvo on (0+1)/ 2 = 0.5. H 0 : = 0.5, H 1: ≠ 0.5. Jos oletetaan varianssi tu ntem attom aksi niin, ku n H 0 on tosi ~ ( 1)
/ t n
n s
0.5 -
=X
t .
N yt 0.5560
100 / 2788 .
00.5155-0.5
=
thav , t
0.025;99 ≈ 1.98, joten H0 hyväksytään 5%:n riskitasolla tarkastellen. Koska t
0.1;99 ≈ 1.289, niin p-arvo > 0.2.
Void aan olettaa m yös, että tu nnetaan p op u laation (t asajakau m an) varianssi, joka on (1-0)2/ 12 ≈ 0.08333, joten = 0.2887. Tällöin testisu u re
) 1 , 0 ( / ~
2887 .
0 N
n 0.5 -
= X
Z , ku n tosi H 0 ja zhav= 0.537. Nyt z0.025 ≈ 1.96 ja H0 hyväksytään 5%:n riskitasolla tarkastellen. Pienin riskitaso, jolla H 0 voidaan hylätä, on P(| Z| >0.537) = 2P(Z>0.537) = 2(1-P(Z<0.537)) = 2(1-0.537)) = 2(1- 0.7054) = 0.5892.
100(1-)%:n lu ottam u sväli od otu sarvolle, kun jakau m an varianssi on tu ntem aton, on
X ± t/ 2;n-1s/ n. Tässä käytetty tätä kaavaa (eli on oletettu varianssi
tu ntem attom aksi). Lu ottam u svälin ylär aja saad aan 0.5155 + 1.98 · 0.2788/ 10 = 0.5707. Jos olettaisi varianssin tu nnetu ksi yläraja olisi 0.5155 + 1.96 · 0.2887/ 10 = 0.5721.
