Xn satu nnaisotos jakau m asta, jonka od otu sarvo on ja varianssi

MTTTP5

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 5 liittyen

1. Olkoon p u olu een A kannatu sosu u s p op u laatiossa 30 %. Tarkastellaan tästä p op u laatiosta tehtyä satu nnaisotosta, jonka koko on n. Määritellään satu nnaism u u ttu ja X= p u olu een A kannattajien lu ku m äärä otoksessa. Määritä X:n jakau m a sekä jakau m an od otu sarvo ja varianssi. Tarkastele vielä su hteellista osu u tta X/ n. Antaako X/ n keskim äärin oikean arvion kannatu sosu u d elle?

Miksi?

2. Olkoon X₁, X₂, ... , X_n satu nnaisotos jakau m asta, jonka od otu sarvo on ja varianssi ^. Estim oid aan jakau m an od otu sarvoa estim a attorilla



X =( X₁+ ... + X_n)/ n. Onko estim aattori harhaton? Määritä lisäksi estim aattorin keskivirhe. Mitä voit sanoa estim aattorin jakau m asta? Jos ^ on tuntematon, niin m iten voisit estim oid a keskivirhettä?

3. Au ton sytytystu lp p ien valm istaja väittää, että tu lp at kestävät keskim äärin 60000 km keskihajonnan ollessa 6000 km sekä vaihtelu lu onnehd ittavissa

norm aalijakau m alla. H alu at estim oid a tu lp p ien keskim ääräistä kestoa 4

satu nnaisesti valitu n tu lp an avu lla. Mitä estim aattoria käytät? Onko se harhaton?

Määritä estim aattorisi keskivirhe sekä jakaum a olettaen valm istajan väite tod eksi.

4. Oletetaan, että p u olu een A kannatu sosu u s p op u laatiossa on 18 %.

Tehd ään p op u laatiosta n alkion satu nnaisotos. Määritellään kannatusosu u d en estim aattori p = 100X/ n, missä X on puolueen A kannattajien lukumäärä otoksessa. Onko p kannatusosuuden harhaton estimaattori? Miksi? Määritä lisäksi estim aattorin keskivirhe.

5. Väliestim oi tehtävän 3 tilanteessa tu lp p ien keskim ääräinen kestoa.

6. Erään rikollisen p u olu stu sasianajaja väittää, että kyseisessä tu om ioistu im essa valam iehistöt eivät ole ed u stavia. Yhtenä p eru stelu na väittäm äänsä hänellä on se, että valam iehistö on u sein ollu t keskip alkaltaan koko m aan tasoa korkeam p i.

Tu orein tilastotieto m aan keskip alkasta on $8500. Selvitettiin 100 viim eisim m än valam iehistöön ku u lu vien jäsenten p alkat. Saatiin keskip alkaksi $22890 ja p alkan keskihajonnaksi $7670. Onko p eru steltu a u skoa asianajajan väite? Tu tki asiaa sop ivan lu ottam u svälin avu lla.

7. Tu tkittiin kahd en lisäaineen (A ja B) vaiku tu sta teräksen kovu u teen. Koska teräksen tu ote-erien laatu vaihtelee, p oim ittiin näytteet 10 tu ote-erästä, joista ku kin jaettiin ed elleen kahtia. Toiseen osaan lisättiin lisäainetta A ja toiseen lisäainetta B. Mitattiin kovu u sind eksi:

Tuot e-erä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

Lisäaine A 2 2 2 6 2 9 2 2 3 1 3 4 3 1 2 0 3 3 3 4

Lisäaine B 2 7 2 5 3 1 2 7 2 9 4 1 3 2 2 7 3 2 3 4

Onko p eru steita p itää toista lisäainetta p arem p ana ku in toista? Koska otokset ovat riip p u via, laske ensin kovu u sind eksien erotu kset tu ote-erittäin ja sitten sop iva lu ottam u sväli.

8. Lentoyhtiön ongelm ana on m atku stajien varaam ien p aikkojen käyttäm ättä jättäm inen. Tästä syystä yhtiö ottaa lennoille varau ksia enem m än ku in koneessa on p aikkoja. H alu taan arvioid a sitä, ku inka paljon (p rosentteina) varau ksia void aan ottaa yli p aikkojen. Tehd ään 500 m atku stajan satu nnaisotos, joid en jou kossa tod etaan olevan 40 m atku stajaa, jotka olivat jääneet tu lem atta varatu lle lennolle. Anna ohjeet yhtiölle varau ksien ottam isesta. Käytä sop ivaa

lu ottam u sväliä.

9. Erään m ielip id em ittau ksen m u kaan p resid enttiehd okk aan kannatu s on 52%. Mielip id että oli kysytty 1500 äänioikeu tetu lta siten, että void aan olettaa olevan kyse satu nnaisotannasta. Laske virhem arginaali. Jos otoskoko olisi ollu t 300, niin ikä olisi ollu t virhem arginaali?

10. Kym m enen vu otta sitten eräässä yliop istossa tehd yn tu tkim u ksen m u kaan 18 % yliop iston op iskelijoista ei u skonu t löytävänsä kou lu tu staan vastaavaa työtä valm istu ttu aan. H alu ttiin tu tkia, oliko täm ä p rosenttiosu u s m u u ttu nu t ja kysyttiin m ielip id että 100 satu nnaisesti valitu lta op iskelu nsa aloittaneelta, joista 25 % ei u skonu t työllistyvänsä kou lu tu staan vastaavasti valm istu m isen jälkeen. Onko kym m enessä vu od essa tap ahtu nu t m u u tosta?

11. Ohessa analysointitu loksia liittyen Tam p ereella m yynnissä olleisiin kerrostalohu oneistoihin (Aineisto Aam u lehti 31.10.99). Tu loksista löytyy neliöhinnan tu nnu slu ku ja laskettu na sekä kesku sta - että esikau p u nkialu eelta.

Laske sop iva lu ottam u sväli ja tu lkitse tu lokset.

Level N umber Mean Std D ev

Esikau p u nki 26 7250,59 1691,78

Kesku sta 30 9613,15 1278,22

Ratkaisuja

1.

X ~Bin(n, 0.3), jolloin E(X) = n · 0.3 ja Var(X) = n · 0.3 · 0.7.

E(X/ n) = (1/ n)E(X) = (1/ n) · n · 0.3 = 0.3. Koska otoksessa A:n kannattajien su hteellisen osu u d en od otu sarvo on 0.3, niin antaa X/ n keskim äärin oikean arvion kannatu sosu u d elle. Void aan tietysti yhtä hyvin tarkastella prosentu aalista osu u tta 100X/ n, jonka od otu sarvo on 30.

2.

E(



X ) = E((X

1+ ... + X

n)/ n) = {E(X

1)+ ... + E( X

n)}/ n = ( + ... + )/ n = , joten



X on :n harhaton estim aattori. Var(



X ) = Var((X

1+ ... + X

n)/ n) = {Var(X

1)+ ... + Var( X

n)}/ n2 = ( 2+ ... + 2)/ n2 =2/ n, joten estimaattorin keskivirhe on / n, jota voi estim oid a s/ n. Jos otos norm aalijakau m asta, niin keskiarvon jakau m a on m yös norm aalijakau m a. Jos otos ei ole

norm aalijakau m asta, niin keskeisen raja -arvolau seen p eru steella otoskeskiarvo on likim ain norm aalisti jakau tu nu t, ku nhan otoskoko riittävä.

3.

Otoskeskiarvo on od otu sarvon harhaton estim aattori. Tässä (olettaen valm ist ajan väite oikeaksi)



X ~ N (60000, 6000²/ 4), joten



X :n keskivirhe on 6000/ 2 = 3000.

4.

X ~Bin(n, 0.18), jolloin E(X) = n · 0.18 ja Var(X) = n · 0.18 · 0.82.

E(p ) = E(100X/ n) = (100/ n)E(X) = (100/ n) · n · 0.18 = 18, joten p on kannastu sp rosentin harhaton estim aattori. Var(p ) = Var(100X/ n) = (100/ n)²Var(X) = (100/ n)² · n · 0.18 · 0.82 = 18· 82/ n, jonka neliöju u ri on estim aattorin hajonta eli keskivirhe.

5.

100(1-)%:n lu ottam u sväli od otu sarvolle, kun jakau m an varianssi tu nnettu , on



X ± z_{/ 2}/ n. Saad aan 60000±1,966000/ 2.

6.

100(1-)%:n lu ottam u sväli od otu sarvolle, kun jakau m an varianssi on tu ntem aton, on



X ± t_{/ 2, n-1}s/n. Tässä t0.05/ 2, 100-1= 1.98,



x = 22890 ja s = 7670, joten 95%:n lu ottam u sväli 22890 ± 1.98 · / 100 eli 22890 ± 1519, joka ei sisällä lu ku a 8500 (m aan keskip alkkaa). On siis p eru steltu a u skoa asianajajan väite.

7.

Tu ote-erä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lisäaine A 22 26 29 22 31 34 31 20 33 34

Lisäaine B 27 25 31 27 29 41 32 27 32 34

EROTUS -5 1 -2 -5 2 -7 -1 -7 1 0

Käytetään , ku ten tehtävässä 1, lu ottam u sväliä od otu sarvolle, ku n p op u laation varianssi on tu ntem aton. 100(1-)%:n lu ottam u sväli od otu sarvolle, ku n

jakau m an varianssi on tu ntem aton, on



X ± t_{/ 2, n-1}s/ n. Erotu ksista laskettu

keskiarvo on -2.3 (tai 2.3, jos erotu kset laskettu toisin p äin) ja keskihajonta (kaavasta 1.2) s = 3.4335, t0.05/ 2, 10-1 = 2.262, joten 95%:n lu ottam u sväli on -2.3 ± 2.262 · 3.4335/ 10 eli -2.3 ± 2.456, joka sisältää nollan. N äin void aan ajatella erotu ksen olevan p eräisin jakau m asta, jonka od otu sarvo on nolla. Siis lisäaineet sam an vertaisia.

8.

Prosenttiosu u d en lu ottam u sväli p ± z_{/ 2}



p(100p)

n . Mu od ostetaan 95%:n lu ottam u sväli (  = 0.05, z_{/ 2}= 1.96), saad aan 8 ± 1.96



8(1008)

500 eli (5.6, 10.4).

Void aan arvioid a, että p aikan varanneista 5.6% - 10.4% jää tu lem atta, joten varau ksia void aan ottaa täm än m u kaisesti yli.

9.

Virhem arginaali (95%) on ±1.96



p(100p)

n (ks. tehtävän 8 lu ottam u sväli). N yt p

= 52. Jos n = 1500 virhem arginaali on ±2.5%, jos n = 3000 virhem arginaali on

±1.8%.

10.

Prosenttiosu u d en lu ottam u sväli p ± z_{/ 2}



p(100p)

n . Mu od ostetaan 95%:n lu ottam u sväli (  = 0.05, z_{/ 2}= 1.96), saad aan 25 ± 1.96



25(10025)

100 eli (16.5, 33.5). Koska 18 % ku u lu u tälle välille void aan tehd ä p äätelm ä, että tilanne ei ole m u u ttu nu t.

11.

N eliöhinta m arkkoina!!

Level N umber Mean Std D ev Esikau p u nki n = 26



x =7250,59 s

x =1691,78 Kesku sta m = 30



y =9613,15 s

y=1278,22

100(1-)%:n lu ottam u sväli od otu sarvojen erotu kselle, ku n jakau m an varianssit ovat tu ntem attom ia, m u tta yhtä su u ria, on



X -



Y ± t/ 2,n+m -2



1 n + 1

m , m issä s =



(n - 1)s²_X+ (m - 1)s²_Y

n + m - 2 . Tässä 95%:n lu ottam u sväli ( = 0.05, t0.05/ 2, 26+30-2-≈ 2) - 2362.56 ± 2 ·1484.08



1 26+ 1

30 eli -2362.56 ± 795.16. Koska nolla ei ku u lu lu ottam u svälille, void aan sanoa, että neliöhinnat eivät ole keskim äärin sam oja vaan kesku sta-asu nnot ovat 1567.4 m k - 3157.72 m k neliöhinnaltaan kalliim p ia.