Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Rasi- la/Murtola
Mat-1.1230 peruskurssi S3 Syksy 2011
2. v¨alikoe Ti 15.11.2011 klo 16.00-19.00
Kokeessa saa k¨aytt¨a¨a ylippilaskirjoituksessa sallittua laskinta mutta ei taulukkokirjaa.
1. Ratkaise Z-muunnosta k¨aytt¨aen differenssiyht¨al¨o
y(n+ 2)−4y(n) = 1, y(0) = 1, y(1) = 0.
2. Olkoonf(t) =t(a−t), kun 0< t < a. Laske funktion f(t) Fourier-sarja (f:n jakso on a).
3. Osoita Fourier-muunnosta F{1/(1 +t2)} = πe−|ω| ja Parsevalin yht¨al¨o¨a k¨aytt¨am¨all¨a, ett¨a
Z ∞
−∞
dx
(x2+ 1)2 = π 2.
4. RatkaiseAx=yLU-hajotelmaa k¨aytt¨aen, kun
A=
3 −7 −2
−3 5 1
6 −4 0
b=
−7 5 2
.
Kaavoja:
Hyperboliset ja trigonometriset funktiot:
coshz=ez+e−z
2 , sinhz=ez−e−z
2 ,
tanhz= sinhz
coshz, cothz= coshz sinhz, cosθ=eiθ+e−iθ
2 , sinθ= eiθ−e−iθ 2i , sin(x±y) = sin(x) cos(y)±cos(x) sin(y), cos(x±y) = cos(x) cos(y)∓sin(x) sin(y) Z-muunnokseen liittyvi¨a kaavoja
JosA(z) =Z(an), niin
Z(nan) =−zA′(z), Z(cnan) =A(z/c),
Z(an+1) =z(A(z)−a0), Z(an+2) =z2(A(z)−a0−a1/z).
Z-muunnoksia:
(an) A(z) =Z(an)
(1) z/(z−1)
(n) z/(z−1)2
(n2) z(z+ 1)/(z−1)3 (αn) z/(z−α) (nαn) αz/(z−α)2 (cos(nπ/2)) z2/(z2+ 1) (sin(nπ/2)) z/(z2+ 1)
(sin(nα)) zsinα/(z2−2zcosα+ 1) (cos(nα)) z(z−cosα)/(z2−2zcosα+ 1) Parselvalin yht¨al¨ot:
2 T
Z r+T
r
f(t)2dt= a20
2 +
∞
X
k=1
a2k+b2k
.
Z ∞
−∞
f(t)2dt= 1 2π
Z ∞
−∞
fˆ(ω)|2dω.
A BCD CBDD EF
ABC DE
F BBC C E A CC
E E C E E C AB
DBC C DBBDC
!
C DC BB E B D " # $ " # $
E EBBEE
%D A AA & E CC 'C D C B E B E EEBBE !"&#(& D D D EB
A
) C E BB D D D EB " A A B E C * D DC CE D E
BBC C C #
+
E EBBEE
+
,A A DC AA AA D AA EC D B DCBB
+
A
-AA EC D B E C E. BC
A A
C A C E. DC C DB CE AA C C C E. C * ,ABBA E & /BBA E D C E EC B D C D E E CBBDC $ * 0 E. BC DC B E E C E E EB ABBA* 0 E. C "
C A C EBBA ."&## C C D C E C C 1 D E B E C E EC C AC C DBB D .EB C *
BCD E BC E BC
C BCD E
BCD E +
AC A C C
+ +
EBC BD C CE C C *
D D
C E E C AB & D
2 3& E 3 AA C E C $4 5 ( A A D
AA EC D
2D D E E EB A DC E BDC
2D D D EB 617 8 AA C " D EBB BEC E C E# $4 2DC EC BDC E E C E E EB A
2DC E BD BD D EB CBB C E C CBBA
2BD BD E & AA EC D C E E A $4 5 ( E A A
BD BD E D E C E " BBE CC 1 3 / 3 *#
F
,E A A A C C D DC E A
A A AF
F
-A E AA C EE C E C 9 E BC AB A
A
A
A
B
CB
AC,E A A D DBC E :D CE D C BCB
; D E A D C E AB E BB DBEBBE D C E . BC C ABBA C C D
EBC D D E 1 D E
A A AF
F A
A
F AF
A A
B
C BCBB
AC " #<C E DBEC E B E EE E D E C CD D C D C CC C E 1 D E
A A
C BCBAC
CE E A ABBA CC D BB C E. C CBBC E EBBEE
A
C CAC
0 E. BC D C C E C EBB C E. DC CBB 1 E D BB A A CC E EBB
B BD
A A AF
F AF
B D C
0 E. BC AB " # D D C E 2 EEBBC E EBC E $4 0 E. DC C
2 CBBC E $4
2DC E DBE C E. BC D E DB E C B E E D $4 5
, BD E D E C E
23 AC E D D C E 31 *D* *1 D C EBC CC AA
