Aalto-yliopistoRasila/Korvenp¨a¨a
Mat-1.1230 p eruskurssi S3 Syksy 2012
2.v¨alikoeTi20.11.2012klo16.00-19.00 Kokeessasaak¨aytt¨a¨aylippilaskirjoituksessasallittualaskintamuttaei taulukkokirjaa. 1.RatkaiseZ-muunnostak¨aytt¨aendifferenssiyh t¨al¨o y(n+2)+y(n)=n,y(0)=0,y(1)=0. 2.Olkoonf(t)=cosh(t),kun−π<t<π.Laskefunktionf(t)kompleksinen Fourier-sarja(f:njaksoon2π). 3.a)M¨a¨arittelefunktionFourier-muunnosjaFourier-muunnoksen k¨a¨anteismuunnos. b)OsoitaderivaatanFourier-muunnoksenkaava F{f0 (t)}=iωF{f(t)}. 4.LaskamatriisinACholesky-hajotelma,kun A= 2i0 −i2i 0−i2 . Vihje:Seuraavistakaavoistasaattaaollaapuateh
t¨avien
ratkaisemisessa.
Kaa v o ja:
Hyperbolisetjatrigonometrisetfunktiot: coshz=ez+e−z 2,sinhz=ez−e−z 2, tanhz=sinhz coshz,cothz=coshz sinhz, cosθ=eiθ+e−iθ 2,sinθ=eiθ−e−iθ 2i, sin(x±y)=sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y), cos(x±y)=cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y) Z-muunnokseenliittyvi¨akaavoja JosA(z)=Z(an),niin Z(nan)=−zA0 (z),Z(cn an)=A(z/c), Z(an+1)=z(A(z)−a0),Z(an+2)=z2 (A(z)−a0−a1/z). Z-muunnoksia: (an)A(z)=Z(an) (1)z/(z−1) (n)z/(z−1)2 (n2)z(z+1)/(z−1)3 (αn)z/(z−α) (nαn )αz/(z−α)2 (cos(nπ/2))z2/(z2+1) (sin(nπ/2))z/(z2 +1) (sin(nα))zsinα/(z2−2zcosα+1) (cos(nα))z(z−cosα)/(z2 −2zcosα+1) Fourier-sarjat: f(t)=a0 2+∞X k=1
akcos(kωt)+bksin(kωt)
, a0=2 TZT/2 −T/2f(t)dt,ak=2 TZT/2 −T/2f(t)cos(kωt)dt, bk=2 TZT/2 −T/2f(t)sin(kωt)dt, f(t)=
∞X k=−∞ckeikωt ,ck=1 T
ZT/2 −T/2f(t)e−ikωt dt,ω=2π/T.
S3 V¨alikokeen 2 malliratkaisut ja arvosteluperusteet
Teht¨av¨a 1
Teht¨av¨an¨a on ratkaista
y(n+ 2) +y(n) =n.
Z-muunnetaan yht¨al¨o puolittain, jolloin annetun kaavan ja muunnosten perus- teella saadaan.
Z(y(n+ 2)) +Z(y(n)) =Z(n) z2(Y(z)−y(0)−y1/z) +Y(z) = z
(z−1)2 (z2+ 1)Y(z) = z
(z−1)2
Ratkaistaan nyt Y(z)/z:n osamurtokehitelm¨a, jotta voidaan k¨a¨anteismuuntaa Y(z)
z = 1
(z−1)2(z2+ 1) = Az+B z2+ 1 + C
z−1+ D (z−1)2 A(z3−2z2+z) +B(z2−2z+ 1) +C(z3−z2+z−1) +D(z2+ 1) = 1
⇐⇒
A+C= 0
−2A+B−C+D= 0 A−2B+C= 0 B−C+D= 1
T¨ast¨a saadaan ratkaisuksi A= 1/2, B = 0, C =−1/2, D = 1/2. Osamurtoha- jotelma on siis
Y(z)
z = z
2(z2+ 1)− 1
2(z−1) + 1 2(z−1)2 Nyt voidaan kertoaz:lla ja etsi¨a k¨a¨anteismuunnokset taulukosta
Y(z) = z2
2(z2+ 1) − z
2(z−1)+ z 2(z−1)2 y(n) = 1
2cosnπ 2
−1 2+n
2
My¨os Residymenetelm¨all¨a ratkaisu on ok. Teht¨av¨an ratkaisemisesta osamur- toa vaativaan tilanteeseen sai 2 pistett¨a. Osamurrosta / Residylaskusta sai 3 pistett¨a ja k¨a¨anteismuunnoksesta 1 piste.
Teht¨av¨a 2
Teht¨av¨an¨a on laskea cosh(t):n kompleksinen Fourier-sarja v¨alill¨a π < t < π.
Lasketaan kompleksiset Fourier-kertoimet suoraan m¨a¨aritelm¨ast¨a
1
cosh(t) =et+e−1 2
, ω= 1
ck= 1 2π
Z π
−π
et+e−t 2 e−iktdt
= 1 2π
Z π
−π
et(1−ik)
2 +et(−1−ik) 2 dt
= 1 2π
et(1−ik)
2(1−ik)+ et(−1−ik) 2(−1−ik)
π
−π
= 1 2π
eπ(1−ik)−e−π(1−ik)
2(1−ik) +eπ(−1−ik)−e−π(−1−ik) 2(−1−ik)
;eπik= (−1)k
=(−1)k 4π
(1 +ik)(eπ−e−π)−(1−ik)(e−π−eπ) 1 +k2
= (−1)k 4π(1 +k2)
2(eπ−e−π
=(−1)ksinh(π) π(1 +k2) N¨ain ollen kompleksinen Fourier-sarja on
f(t) =
∞
X
k=−∞
(−1)ksinh(π) π(1 +k2) eikt.
T¨aysiin pisteisiin ei tarvinnut sievent¨a¨a aivan n¨ain paljoa, eksponenttifunk- tio on riitti. M¨a¨aritelm¨ast¨a sai yhden pisteen ja t¨aysin oikeasta laskusta 6p, virheist¨a rokotettiin seuraavasti: -2p jos oli laskettu vain reaalinen (kosinit ja sinit) Fourier-sarja, -2p jos laskussa oli vedottu integraalin parillisuuteen ai- heetta (cosh(t) on parillinen,eikt ei), pienist¨a laskuvirhest¨a -1p.
2
