TL908Z Signaaliteoria (TRT80)
1. Välikoe 16.10.2000 Tehtävien ratkaisut:
1) Kuva 1 esittää erästä virtasignaalia ajan funktiona.
a) Määritä signaalin taajuus, jaksonaika ja huipusta huippuun amplitudi (2p) b) Minkälaista funktiota kuvan 1 signaali esittää matemaattisesti ? (3p)
a) T=40 s, f=1/T=0.025 Hz, A=2A.
b) Funktio on selvästikin sinimuotoinen. Se saa maksimin nollassa, joten se on muotoa i(t)=cos(At), missä A on tuntematon.
i(0)=1, i(10s)=0, i(20s)=-1, i(30s)=0, i(40s)=1.
Edelleen tiedetään, että
cos(0)=1, cos(p/2)=0, cos(p)=-1, cos(3p/2)=0, cos(2p)=1.
Voidaan päätellä, että A=p/20, josta seuraa että i(t)=cos(pt/20).
2) Kuvan 1 mukainen virta ajetaan 1 W:n vastuksen läpi.
a) Mikä on vastuksen ottama teho ajanhetkellä 9 s ? (2p) b) Mikä on vastuksen ottama keskimääräinen teho ? (3p)
0 20 40 60 80 100
-1.0 -0.5 0.0 0.5
1.0
KUVA 1:
Virta ( A)
Aika (s)
Zeon PDF Driver Trial
www.zeon.com.tw
a) p(t) = Ri2 = cos2(pt/20)
p(9s) = cos2(p9/20) = cos2(0,45p) = cos2(81o) = 0,024 W
b)
[ ]
2 ) 1 0 sin(
) 4 10 sin(
20 ) 1 2 0 (40 40
1
) 10 / 2 cos(
1 2
1 40 ) 1 20 / ( 40 cos ) 1
1 ( 40
0
40
0 40
0 2 0
2
= -
+ -
=
úû ê ù
ë
é +
=
=
=
ò ò ò ò
p p
p
pt dt dt t dt
dt t T i p
T av
Kohdan b) tulos voidaan myös päätellä ilman integrointia. Koska p(t)= cos2(pt/20), on tehon maksimiarvo 1 W ja minimiarvo 0 W. Keskimääräinen teho on siten (1+0)/2=0,5 W.
3) Erään periodisen funktion yksi jakso voidaan esittää seuraavilla yhtälöillä, jotka kuvaavat virran i riippuvuutta ajasta (t):
i(t)=4000t , kun 0 £ t £ 1,25 ms i(t)=5, kun 1,25 £ t £ 3,75 ms
i(t)=20-4000t, kun 3,75 £ t £ 6,25 ms i(t)=-5, kun 6,25 £ t £ 8,75 ms
i(t)=-40+4000t, kun 8,75 £ t £ 10 ms.
a) Piirrä funktion kuvaaja.
b) Mikä on funktion perustaajuus hertseinä ? c) Onko funktio parillinen vai pariton ?
d) Onko funktio puoliaaltosymmetrinen, entäpä neljäsosa-aaltosymmetrinen ? e) Mitä voit näiden symmetriaominaisuuksien perusteella sanoa funktiota kuvaavan
Fourier-sarjan kertoimista ? a)
b) 100 Hz
c) i(t)=-i(-t), eli pariton.
d) i(t)=-i(t-T/2), josta seuraa että funktio on puoliaaltosymmetrinen. Funktio on lisäksi
symmetrinen positiivisen ja negatiivisen puolijakson keskikohtien suhteen. Se on siten myös neljäsosa-aaltosymmetrinen.
e) A0=0, Ak=0 kaikilla k:n arvoilla. Bk=0 jos k on parillinen.
i(t)
-6 -4 -2 0 2 4 6
0 2 4 6 8 10 12
t (m s)
i (A)
Zeon PDF Driver Trial
www.zeon.com.tw
kun k on pariton.
4) Osoita, että kuvan 2 aaltomuodon Fourier-muunnos on 2/w(sin2w – sinw).
Euler:
1 2 - 2 - 1
1 (t ) g
t Kuva 2
ò
¥¥ -
-
= g t j t dt G(v) ( )exp( v )
[
(exp( ) exp( )) ( exp(2 ) exp( 2 ))]
1
)) exp(
) 2 (exp(
)) 1 2 exp(
) (exp(
1
) exp(
) exp(
) (
2
1 1
2
v v
v v v
v v v
v v v
v v
v
j j
j j j
j j j
j j j
dt t j dt
t j G
- - -
- - - -
=
- - -
- -
-
=
- +
-
=-
ò ò
-
v v
v j j j
j ) cos sin
exp( = +
[ ]
) sin 2 2(sin ) 2 sin 2 sin 2 (
)) 2 sin(
) 2 cos(
2 sin 2
(cos ) sin(
) cos(
sin cos
) (
w w w
w w w
w w
w w
w w
w w w
v
-
= -
=
- -
- - +
- - -
- - +
=
j j j
j j
j j j
G
4 , 80 sin sin
) 8 (
2 2 4
/
0
0
p
v p k
tdt k k t T i B
T
k =
