TL9081 Signaaliteoria 2. välikoe 12.12.2004
HYV3SN
1. a) Piirrä oheisen signaalin derivaatan kuvaaja. (2,5 p).
b) Esitä yksikköimpulssin avulla derivaatan matemaattinen lauseke (2,5 p).
) ( 2) ( 2 2) ( 2 ) ) (
( T t T
T t t T
dt t t
dg =δ + − δ + + δ − −δ −
2. Laske tehtävän 1 signaalin Fourier-muunnos käyttäen muunnoksen lineaarisuusominaisuutta.
) ( sin 2 ) 2 ( sin 2 ) (
2 2 )
(
fT c T fT c T F
T rect t T
rect t t
f
−
=
−
=
ω
3. Osoita, että vaimenevan eksponentiaalin 0 , )
(t =Ke− t>
g at
a) Fourier-muunnos saadaan kaavasta
( ) ω ω
j a G K
= +
) (t g
t T
2 T 2
−T
−T
1
−1
2 t
1
−1
−2
−1 1
ω ω
ω
ω ωω
ωj a
K j
a e K
j a dt K e
K dt e Ke
G at j t a j t a j t
= + + −
= − +
= −
=
= ∞ − +
∞ +
−
∞
−
−
∫
∫
/ (0 1))
( ( )
0 0
) ( 0
b) Itseisarvo eli amplitudispektri saadaan kaavasta
( ) ω
2ω
2+
= a G K
Lavennetaan nimittäjän liittoluvulla, jotta saadaan imaginääriosa pois nimittäjästä ja korotetaan neliöön.
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
) 2
)(
(
ω ω
ω ω
ω ω ω
ω ω
ω ω
+
= + +
=
− +
= +
− +
= −
a a K
a G K
ja a
K a j
a j a
j K a
G
4. Laske signaalien f(t)=e−2tu(t) ja g(t)=e.−4tu(t) konvoluutio.
Konvoluutioteoreema: f(t)*g(t)⇔F(ω)G(ω)
Ratkaisu taajuustasossa. Lasketaan taajuustason tulo ja käänteismuunnetaan:
ω ω
ω ω ω
ω
ω ω ω ω
j B j
A j
G j F
G j F j
+ +
= +
⋅ +
= +
= +
= +
4 2
4 1 2
) 1 ( ) (
4 ) 1 2 (
) 1 (
Haetaan kertoimet A ja B siten, että osoittajassa tulee olla
• Reaaliosa = 1
• Imaginääriosa = 0
− +
= +
−
=
=
⇒
−
=
=
⇒ −
= +
= +
+ +
+ +
= + +
+ +
+
= +
ω ω ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω ω
ω ω ω
j G j
F
B A A
B A A B
A B A
j j
B j B A j A j
j B j j G A
F
4 1 2
1 2 ) 1 ( ) (
2 1 2 1 1
2 4 0
1 2 4
) 4 )(
2 (
2 4
) 4 (
) 2 ( ) 2 (
) 4 ) ( ( ) (
Vastaus saadaan Fourier-käänteismuunnoksella:
{
F G} [e t e t]
F 1 2 4
2 ) 1 ( )
( − −
−
